专题03 全等三角形 高频十五大题型突破-2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 以15大题型系统覆盖全等三角形核心内容，从概念到综合应用形成完整认知链，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念与对应元素|6题|判断全等图形、对应边/角|从图形全等定义到三角形对应关系识别，奠定基础| |性质应用|16题|求长度/角度、结论判断、动点问题|运用全等性质解决定量计算与动态问题，培养空间观念| |判定方法|20题|SSS/SAS/ASA/AAS/HL证全等|按判定定理分类训练，构建逻辑推理体系| |综合应用|12题|性质与判定结合证明|整合性质与判定，提升综合解题能力| |角平分线相关|17题|性质应用、实际问题、综合证明|从角平分线性质拓展到与全等的综合，强化应用意识|

专题03 全等三角形高频十五大题型突破 【题型01：全等图形的概念】 【题型02：全等三角形的对应元素的判断】 【题型03：全等三角形的性质-求长度】 【题型04：全等三角形的性质-求角度】 【题型05：全等三角形的性质-判断结论】 【题型06：全等三角形的性质-动点问题】 【题型07：判断三角形全等-SSS】 【题型08：判断三角形全等-SAS】 【题型09：判断三角形全等-ASA】 【题型10：判断三角形全等-AAS】 【题型11：判断三角形全等-HL】 【题型12：全等三角形的性质与判定综合】 【题型13：角平分线的性质定理】 【题型14：角平分线的性质实际应用】. 【题型15：角平分线与全等三角形的综合】 【题型01：全等图形的概念】 1．下列各组图形中，属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等图形，掌握知识点是解题的关键． 根据全等图形的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：A．这两个图形不是全等图形，不符合题意； B． 这两个图形不是全等图形，不符合题意； C． 这两个图形不是全等图形，不符合题意； D． 这两个图形是全等图形，符合题意； 故选D． 2．如图，给出的四对图形中是全等形的有（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是全等形，根据能够完全重合的两个图形是全等形对各选项分析即可得解． 【详解】解：观察发现，①中两个图形大小不一样，不可能完全重合，不是全等形； ②中的两个图形可以完全重合，是全等形； ③中两个图形形状不一样，不可能完全重合，不是全等形； ④中的两个图形可以完全重合，是全等形； 则给出的四对图形中是全等形的有2对． 故选：B． 3．下列各组图形中，一定是全等图形的是（　　） A．两个底边相等的等腰三角形 B．两个斜边相等的直角三角形 C．两个周长相等的长方形 D．两个面积相等的圆 【答案】D 【分析】此题考查全等图形的定义，全等图形必须形状和大小完全相同，选项A、B、C中，图形可能因其他参数（如腰长、直角边、长宽比）不同而不全等；选项D中，圆的全等仅取决于半径，面积相等则半径相等，故一定全等． 【详解】A、两个底边相等的等腰三角形，腰长不一定相等，故不一定全等； B、两个斜边相等的直角三角形，内角不一定分别相等，直角边长也不一定分别相等，故不一定全等； C、两个周长相等的长方形，长和宽不一定分别相等，故不一定全等； D、∵ 圆的面积公式为 ，且圆的大小由半径唯一确定； ∴ 两个面积相等的圆，其半径必然相等，因此一定全等； 故选：D 【题型02：全等三角形的对应元素的判断】 4．如图，已知，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，解答的关键是熟记全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等． 根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，则的对应角为． 故选：A． 5．若，则的对应边是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的表示方法，根据对应点的字母写在对应的位置进行解答即可求解，掌握全等三角形的表示方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴点和点是对应点，点和点是对应点， ∴的对应边是， 故选：． 6．如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的概念，熟练寻找全等三角形的对应边和对应角是解题的关键．根据全等三角形中的对应边、对应角的定义依次判定即可． 【详解】解：由得： ①与是对应边，故①不符合题意； ②与是对应边，故②符合题意； ③与是对应角，故③符合题意； ④与是对应角，与是对应角，故④不符合题意； 故正确的有②③， 故选：B． 【题型03：全等三角形的性质-求长度】 7．如图，，点在同一条直线上，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质得，，结合即可． 【详解】解： ，， ∴，， 则． 8．如图，，若，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得出对应边相等，即，再结合图形中线段的和差关系即可求解． 【详解】解：， ， ，， ． 9．如图，已知，，，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】因为已知，根据全等三角形的性质，对应边相等，所以首先确定与所求线段相关的对应边关系．观察图形可知点E在上，所以，因此需要先求出的长度。根据全等三角形对应边相等的性质，找到的对应边，代入数值计算即可得到的长度． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴ 10．如图， ，点B，C，D在同一直线上，，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】根据全等三角形的对应边相等得出，，即可求解． 【详解】解： ， ，， ， ， ． 11．如图，且，，，则（   ） A．3 B．3.5 C．5 D．6.5 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质．由全等三角形的性质求得，推出，求得，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 【题型04：全等三角形的性质-求角度】 12．如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质以及三角形内角和，先根据全等的性质得到，再根据三角形的内角和即可． 【详解】解：，， ， ． 故选：B． 13．如图是两个全等三角形，由图中条件可知（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 由全等三角形的对应角相等和三角形内角和定理可求得答案． 【详解】解：这是两个全等三角形， 边所对的角相等， ． 故选：A． 14．如图，已知，，，则（   ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和全等三角形的性质，熟练掌握以上知识点是做题的关键．根据全等三角形的性质得到，，再利用三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴，． ∵， ∴． 故选：D． 15．如图，已知，平分，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的性质得到，，由三角形外角的性质和角平分线的定义求出的度数，则可得到的度数，据此利用三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 16．如图，已知，且，延长交于点F，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，得到，，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴． 【题型05：全等三角形的性质-判断结论】 17．如图，，则对于结论，，，， 其中正确结论的个数是（    ） A．1   个 B．2  个 C．3  个 D．4    个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，两个全等三角形，它们的对应边相等，对应角相等，据此逐项判断即可． 【详解】解： ， ，，， ， ， 正确， 而不是对应角，不一定相等， 故选：C． 18．如图，，则对于结论①，②，③，④，其中判断正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应边和对应角都相等可得，，，据此可判断①③，再由角的和差关系可判断④；根据现有条件无法证明，故②不正确． 【详解】解：∵， ∴，，，故①③正确， ∴， ∴，故④正确， 根据现有条件无法证明，故②不正确， 故选：D． 19．如图，，则下列结论 ①；②；③；④． 其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴即． 故①②③④正确，正确结论的个数有4个 故选：D． 20．如图，，则对于结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等结合图象解答即可． 【详解】解：， ，故①正确； 故②正确， ，故③正确； ， ， 即，故④正确； 综上所述，结论正确的是①②③④共4个． 故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图，准确确定出对应边和对应角是解题的关键． 【题型06：全等三角形的性质-动点问题】 21．如图，在中，，，．动点P从点A出发沿的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作于点E，于点F，则点P的运动时间为______s时，与全等． 【答案】2或 【分析】根据题意分为P在上，Q在上和当P、Q都在上两种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于t的方程，求出即可． 【详解】解：作于E，作于F． 分以下情况：①如图1，P在上，Q在上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与全等， ∴， 即， ； ②当P、Q都在上时，此时P，Q两点重合，如图2， ， ． 综上所述，点运动时间为2或，与全等． 22．如图，，于点，于点，且，点以的速度从向运动，点以的速度从向运动．若，两点同时出发，运动后，的面积是______；运动______后，与全等． 【答案】 或 【分析】本题考查了几何图形中的动点问题，全等三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识．由题意可得，，根据三角形的面积公式即可求出的面积，与全等分两种情况：当时，；当时，，即可求解． 【详解】解：由题意可得，， ， 当时，， 于点，于点， 与全等分为两种情况： 当时，，即； 当时，，即， ； 故答案为：，或． 23．如图，，，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点从点出发在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．在射线上取点，在、运动到某处时，有与全等，则此时的长度为______． 【答案】或 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，一元一次方程的运用，掌握全等三角形的性质正确列式是关键． 根据题意得到，，则，结合全等三角形的性质分类讨论，并列式求解即可． 【详解】解：点在线段上以的速度由点向点运动， ∴点从的时间为， ∵它们运动的时间为， ∴，，则， 当时， ∴， ∴， 解得：， ∴； 当时， ∴， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，的长度为或， 故答案为：或． 【题型07：判断三角形全等-SSS】 24．如图，已知：、、、四点在一条直线上，，，且．请说明． 【答案】见解析 【分析】由可得，再根据判定全等即可． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中 ， ∴ 25．如图，点D，A，E，B在同一直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】根据等式的性质得出，利用证明与全等，进而解答即可． 【详解】略 26．如图，．求证：． 【答案】 证明：， ， ， 在和中， ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形判定定理即可证明． 【详解】略 27．如图，点，在线段上，若，，，那么与全等吗？为什么？ 【答案】 解：与全等，理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的“边边边”判定定理，通过等式性质得出是解题的关键． 与全等，由，依据等式性质两边加上可得，利用“边边边”判定定理即可证明． 【详解】略 【题型08：判断三角形全等-SAS】 28．如图，点A，F，C，E在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴． 【分析】本题主要考查三角形全等的证明，根据等式的性质可得，根据平行线的性质可得，然后根据证明即可． 【详解】略 29．如图，，，求证：平分． 【答案】 证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， ∴平分． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键；由题意得，利用即可证明，得，即可得平分． 【详解】略 30．如图，已知且，、是上两点，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是： （1）根据等式的性质可得出，根据平行线的性质得出，然后根据证明即可； （2）根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质求出，然后根据邻补角定义求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 31．如图，是等边三角形，D为延长线上一点，，且．求证：． 【答案】 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴ 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，解决此题的关键是熟练掌握的判定方法；根据等边三角形得到两边相等，根据平行得到两角相等，进而即可解决问题； 【详解】略 【题型09：判断三角形全等-ASA】 32．已知：如图，点、在上，与交于点，，，．求证：． 【答案】答案见解析 【分析】先证明，再利用“角边角”证明即可． 【详解】解：， ， ， 在和中， ． 33．如图，点、在上，，，，交于点，且． (1)与相等吗？请说明理由． (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 解：与相等，理由如下： ∵， ∴，即 ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）证明即可； （2）先根据全等三角形的性质得到，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ∴ ∵ ∴ 34．如图，，，，点D在边上． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，进一步证明即可； （2）利用全等三角形的性质求解即可. 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：， ， 又， . 【题型10：判断三角形全等-AAS】 35．如图，与相交于点，，．求证：． 【答案】证明：在和中， ， ∴． 【分析】结合已知条件与对顶角相等，使用“角角边”的判定定理证明全等即可． 【详解】略 36．如图，．求证：． 【答案】证明：， , 即， 在和中， . 【分析】利用补角的性质得出，由“角角边”定理证明. 【详解】略 37．和的位置如图所示，点B在边上，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长度． 【答案】(1)证明：， ，， ， 在和中， ， ， ； (2) 【分析】（1）首先，由，证得，再由，证得，可得； （2）由（1）知，可得，，再由可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知：， ，， ． 38．如图，在中，点为边上一点，点为边的中点，连接并延长，交的平行线于点，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵E为中点， ∴， ∵ ∴ 在和中 ， ∴ (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，根据E为中点，可得，进而根据，证明； （2）证明，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 在和中， ， ∴； ∴， 由（1）知：， ∴， ∴． 39．如图，在中，，，，点是中点，点在上，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)证明： ， ，， 点是中点， ， ； (2)四边形的面积为 【分析】（1）根据平行线的性质得到，，根据线段中点的定义得到，即可得证； （2）由（1）知，，得到，结合，，，得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）由（1）知，， ， ，，， ． 40．如图，，，垂足分别为，，．求证：． 【答案】 证明： ，， ， 在和中， ， ． 【分析】先由垂直条件推出两个直角相等，再结合题目给的角相等和公共边，用判定两个三角形全等． 【详解】略 41．已知在同一条直线上，，，，与交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵在同一条直线上，， ∴， 即， ∵， ∴， 在和中，， ∴． (2) 【分析】（1）根据题意可得，由平行线的性质可得，进而可证明． （2）根据，，，可得，，代入即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 【题型11：判断三角形全等-HL】 42．如图，在和中，点A、B、C、D在一条直线上，已知，，，若用“”证明，需添加什么条件？写出来并证明． 【答案】解：条件是，证明如下： ，， ， 和是直角三角形， 在和中， ， ． 【分析】根据判断出添加条件，进而证明即可． 【详解】略． 43．如图，已知点在同一条直线上，，垂足分别为、． (1)求证：； (2)若时，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴和， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定定理“”以及平行线的判定，“”即为在直角三角形中，一组直角边和一组斜边对应相等的两个三角形全等，根据题意确定全等条件是解题的关键． （1）由，可得出，即可证明； （2）由（1）可得，即可得，从而求证． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴． 44．如图，在中，，，F为延长线上一点，点E在上，且 (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴和是直角三角形． ∵，， ∴； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）可根据“”判断； （2）由，，可判断为等腰直角三角形，则，可得到，再根据得到，然后根据进行计算． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ， ， ∵， ， ． 45．已知：如图，相交于点．求证： (1)； (2)． 【答案】(1) 证明： ， 和是直角三角形， 在和中， ， ； (2) 证明：在和中， ， ， ． 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，熟记直角三角形全等的判定定理、三角形全等的判定定理是解决问题的关键． （1）由两个直角三角形全等的判定定理求证即可得到答案； （2）由两个三角形全等的判定定理得到，再由全等三角形性质即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）略 【题型12：全等三角形的性质与判定综合】 46．如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据得，根据得，进一步推出，再根据即可得证．掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】略 47．在四边形中，，连接，且，在对角线上取点E，使，连接． (1)求证：； (2)若平分，且，，求的周长． 【答案】(1)证明：， ， 在和中， ， ； (2)11 【分析】（1）根据题意找出全等条件即可； （2）根据平行及角的关系说明，进而求出，即可得到的周长． 【详解】（1）略； （2）解： 平分， ， 由（1）可知， ， ， ， ． ，， 的周长， 即的周长是11． 48．如图，中，，，点D在上，E为延长线上一点，且．延长交于点F． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明：，为延长线上一点， ， 在和中， ， ， ； (2)证明：， ， ， ． 【分析】（1）运用证明可得； （2）根据可得，进而即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 49．如图，在中，点在上，点在外，连结，，，交于点，，，． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)， ， ， 又，， ； (2) 【分析】（1）利用“角边角”即可证明； （2）根据全等三角形的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， 又， ， 又， ∴， ， ． 50．如图，，，，点D在边上，与相交于点O． (1)求证：． (2)求证：平分． (3)若，，，求与的周长之和． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ (2)证明： 由（1）得， ∴，， ∴， ∴， ∴平分； (3)40 【分析】（1）先证明，再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质得到，，则由等边对等角得到，则可证明，据此可证明结论； （3）求出的长，由全等三角形的性质得到的长，再根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵，， ∴， 由（1）得， ∴， ∵的周长， 的周长， ∴的周长与的周长之和 ． 51．已知，于点，平分，交于点． (1)如图1，若，，则______； (2)如图2，点为上一点，连接，，，求的长． 【答案】(1)50 (2) 【分析】（1）依据角平分线定义得，结合，用证，由全等性质得，结合求出． （2）作，由得（等腰三线合一），结合推出，再用证明，得． 【详解】（1）解：平分， ， 在和中， ， ， ， ， ． （2）解：过点作于点，如图2所示： ， ， ， ， ， 又， ， ， 平分，于点，于点， ，， 在和中， ， ， ． 52．如图，在中，点在上，连接，点，在线段上，连接，，满足，． (1)求证：； (2)若，，，请求出的度数． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； (2) 【分析】（1）证明即可证得结论； （2）先根据全等三角形的对应角性质，结合已知求得，，则，然后根据三角形的内角和定理求得，最后利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解： ，， ． 【题型13：角平分线的性质定理】 53．如图，是的角平分线，，垂足为，，，，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示，过点作，垂足为． ∵，，平分， ∴． ∴，即， ∴． 54．如图，已知在四边形中，，平分，，，四边形的面积为，则是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作的垂线，交的延长线于点，设，由角平分线的性质可得，根据建立方程并求解即可． 【详解】解：如图，过点作的垂线，交的延长线于点，设， ∵平分， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 55．如图，在四边形中，，，分别平分，，过点作，分别交，于点，．若，的面积为12，则的长为（     ） A．8 B．10 C．12 D．18 【答案】A 【分析】过点P作于H，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，，再根据三角形的面积公式得，求出，即可求的长． 【详解】解：如图，过点P作于H， ∵，， ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∵的面积为12，， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【题型14：角平分线的性质实际应用】. 56．如图，在中，是角平分线，是中线，交于点．若，，的面积为8，则的面积为_________． 【答案】3 【分析】根据题意得和，过点作于点，过点作于点，根据角平分线得，则有，结合，解得，即可得． 【详解】解：∵是中线，， ∴， ∵的面积为8， ∴， 过点作于点，过点作于点，如图， ∵是角平分线， ∴， ∵，，， ∴， 则， ∵， ∴， 则． 57．如图，、、是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（    ） A．三条中线的交点位置 B．三条角平分线的交点位置 C．三条高的交点位置 D．三边的垂直平分线的交点位置 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答． 【详解】解：∵要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等， ∴加油站应该在三条角平分线的交点处． 故选：B． 58．如图，公路，公路交公路于，交公路于，若要建一汽车旅店到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（   ）    A．处 B．处 C．处 D．处 【答案】B 【分析】由角平分线的交点到角边的距离相等，两同旁内角平分线的交点满足条件；这样的点有2个，可得可供选择的地址有2个． 【详解】解：和的平分线的交点到、、距离相等， 这两个角的平分线的交点满足条件； 和的平分线的交点到、、距离相等， 这两个角的平分线的交点满足条件； 满足这条件的点有2个； 故选：B．    【点睛】此题考查了角平分线的性质．注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，注意数形结合思想的应用，小心别漏解． 59．如图，的三边AC、BC、AB的长分别是8、12、16，点O是三条角平分线的交点，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点O作于点D，于点E，于点F，根据角平分线的性质定理可知．再由三角形的面积公式计算，作比即可． 【详解】如图，过点O作于点D，于点E，于点F， ∵点是三条角平分线的交点， ∴． ∵， ， ， ∴． 故选A． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理．正确作出辅助线，由角平分线的性质定理得出是解题关键． 60．如图，从内一点 出发，把剪成三个三角形(如图1)，边放在同一直线上，点都落在直线上（如图2），直线，则点是的（    ） A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点 C．三条中线的交点 D．三边中垂线的交点 【答案】A 【分析】根据平行线的性质可得点O到三边的距离相等，点O是三角形三条角平分线的交点即可． 【详解】解：∵直线， 根据平行线性质知点O到BC距离，点O到AC距离，点O到BA距离相等， ∴点O到三边的距离相等 ∴点O是三角形三条角平分线的交点， 故选择A． 【点睛】本题考查角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题关键． 【题型15：角平分线与全等三角形的综合】 61．如图，在四边形ABCD中，AC平分，，于点E． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1) 证明：过点作于点F， 平分，， ． ， ， ， ， ； (2)4 【分析】（1）过点作于点F，先通过角平分线的性质定理证明，然后通过定理证明，由此即可得到结论； （2）通过定理证明，得到，通过（1）中的得到，最后通过线段和差关系即可求出的值． 【详解】（1）略 （2）解：在和中， ， ， 又， ， ． 62．如图，的外角，的平分线，相交于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1) 证明：过P作于G，如图所示： ∵平分，， ∴， 同理：， ∴； (2) 【分析】（1）过P作于G，根据角平分线的性质定理，结合等量代换证明即可； （2）先证明平分，再由三角形内角和定理以及角平分线进行计算即可． 【详解】（1）略； （2）解：如图， ∵，，， ∴平分， ∴， ∴ ∵平分，平分， ∴，， ∴ ∴． 63．解答下列各题 (1)【追本溯源】如图1，P为内部一点，于点E，于点F，且，求证：点P在的平分线上； (2)【结论应用】如图2，在中，，点E在边上，，于点F，． ①求证：平分； ②若，，的面积是54，求线段的长． 【答案】(1) 证明：连接，如图1， ∵于点E，于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点P在的平分线上； (2) ①证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 而，， ∴平分； ②15 【分析】（1）连接，如图1，根据“”可证明，所以，从而得到结论； （2）①先证明，得到，然后根据（1）的结论可判断平分； ②利用三角形面积公式得到，由于，，代入解方程即可． 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得． 即线段的长为15． 64．如图，是的角平分线上一点，，，垂足分别为，．过点作，交于点，在射线上取一点，使． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：平分，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定． （1）根据角平分线的性质可得，再根据已知条件证明，即可证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）证明得出，根据，得出，根据，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：在和中， ， ， ， 由（1）可知：， ； ， ， ． 65．如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，交的延长线于点F，已知，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分∠ADC； (3)若，，，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 证明：过E点作于M点，于N点，如图， ∵，， ∴， ∴平分， ∵，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴点E在的平分线上， 即平分； (3)18 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积． （1）先根据三角形外角性质计算出，然后计算即可； （2）过E点作于M点，于N点，如图，先计算出得到平分，根据角平分线的性质得到，，所以，根据角平分线的性质定理的逆定理得到结论； （3）根据三角形面积公式得到，则可计算出，所以，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：∵， ∴， 而， ∴， ∴， ∵，， ∴的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $专题03全等三角形高频十 题型归纳 【题型01：全等图形的概念】 【题型02：全等三角形的对应元素的判断】 【题型03：全等三角形的性质求长度】 【题型04：全等三角形的性质求角度】 【题型05：全等三角形的性质判断结论】 【题型06：全等三角形的性质动点问题】 【题型07：判断三角形全等-SSS】 【题型08：判断三角形全等-SAS】 【题型09：判断三角形全等-ASA】 【题型10：判断三角形全等-AAS】 【题型11：判断三角形全等-HL】 【题型12：全等三角形的性质与判定综合】 【题型13：角平分线的性质定理】 【题型14：角平分线的性质实际应用】. 【题型15：角平分线与全等三角形的综合】 的 专题训练 【题型01：全等图形的概念】 1.下列各组图形中，属于全等图形的是() 大题型突破 00 00 2.如图，给出的四对图形中是全等形的有() P出○己L ① ② 3 (④ A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 3.下列各组图形中，一定是全等图形的是() A.两个底边相等的等腰三角形 B.两个斜边相等的直角三角形 C.两个周长相等的长方形 D.两个面积相等的圆 【题型02：全等三角形的对应元素的判断】 4.如图，已知△ACD≌△CBE,则∠A的对应角是() A.∠BCE B.∠E C.∠ACD D.∠B 5.若△ABC≌△乙，则DE的对应边是() A.AB B.AC C.BC D.EF 6.如图，△ABC≌△CDA,下列结论：①AB与AD是对应边；②AD与CB是对应边： ③∠CAB与∠ACD是对应角；④∠BAC与∠DAC是对应角.其中正确的有() D A.①③ B.②③ C.①④ D.②④ 【题型03：全等三角形的性质求长度】 7.如图，△ABC≌△ADE,点A,C,D在同一条直线上，AB=5,AE=2,则CD的长 为() A.2 B.3 C.4 D.5 8.如图，△ABC≌△BAD,若AD=7,BE=3,则CE的长度是() C D E 夕 A.9 B.6 c.4 D.3 9.如图，已知△ABC≌△ADE,AB=10,AC=4,则BE的长为() E A.4 B.5 C.6 D.8 10.如图，△ABC≌△CDE,点B,C,D在同一直线上，DE=4,BD=14,则AB 的长为() A B D A.6 B.8 C.10 D.12 11.如图，△ABC≌△EFD且AB=EF,AE=10,CD=3,则AC=() 3 b 。8a 。帅门 。098 。08H （)晋豫到明丑7 随‘。88=H9D7‘。0妮=V7某‘D875本QO‘?命7万O8V7此已‘☒rsL 090 0S 0巾8 O8'V 。()=乙7ⅷ‘。0Z=I7‘。08=V7‘aDa7亏OaV7此纪‘☒bT 。S9海。080。S8门 。088 oS9∀ 008 oS8 D oS8 D （)=刀7世抄差中园甲‘张三参舌型晋☒·工 。00La 。085 。09‘8 。0b ()(赚a7M‘。0b=Da7‘。08=aDH7‘V☑D7云OaV7‘圆ZL 【卸举四孙明张斯三巅舌0应暗】 S90 SE'8 E'V c 16.如图，已知△ABC≌△ADE,且∠DAC=100°，延长CB交DE于点F,则 ∠BFD的度数是() E B A.130° B.125° C.120° D.115° 【题型05：全等三角形的性质判断结论】 17.如图，△ABC≌△AEF,则对于结论①AC=AF,②∠AB=∠EAB, ③EF=BC,④∠EAB=∠FAC,其中正确结论的个数是() E B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 18.如图，△ABC≌△AEF,则对于结论①AC=AF,②∠FAB=∠EAB,③ EF=BC,④∠EAB=∠FAC,其中判断正确的是() B A.①② B.①③ C.②③ D.①③④ 19.如图，△ABC≌△AED,则下列结论 E ①AC=AD:②BC=ED:③∠ACB=∠ADE:④∠BAE=∠CAD 5 其中正确结论的个数有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 20.如图，△ABC≈△AEF,则对于结论：①AC=AF;②∠BAC=∠EAF;③ EF=BC;④∠EAB=∠FAC,其中正确结论的个数是() E A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【题型06：全等三角形的性质-动点问题】 21.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=10cm,BC=18cm.动点P从点A出发 沿A→C的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿B→C→A的路径向终点A运 动.点P和点Q分别以每秒2cm和6cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点 时另一点也停止运动.在某时刻，过点P和点Q分别作PE⊥MN于点E, QF⊥MN于点F,则点P的运动时间为 s时，△PEC与△QFC全等， B -M 22.如图，AB=12m,CA⊥AB于点A,DB⊥AB于点B,且AC=4m,点P以 1mmi的速度从B向A运动，点Q以2m/min的速度从B向D运动.若P,Q两点同时 出发，运动5min后，△PQB的面积是m2:运动 min后，△CAP与 △PQB全等. 23.如图，BC=6Cm,∠PBC=∠QCB=60°，点M在线段CB上以3cm/s的速度由点 C向点B运动.同时，点N从点C出发在射线CQ上以1Cm/s的速度运动，它们运动的 时间为ts(当点M运动结束时，点N运动随之结束).在射线BP上取点A,在M、 N运动到某处时，有△ABM与△MCN全等，则此时AB的长度为 6 【题型07：判断三角形全等-SSS】 24.如图，已知：A、F、C、D四点在一条直线上，AF=CD,BC=EF,且AB=DE. 请说明△ABC≌△U, B 25.如图，点D,A,E,B在同一直线上，BC=EF,AC=DF,BE=AD.求证： BC‖EF. 26.如图，AD=AE,BE=CD,AB=AC.求证：△ABD≌△ACE. B DE C 27.如图，点B,E在线段FC上，若FB=CE,AB=DE,AC=DF,那么△ABC与 △就全等吗？为什么？ 【题型08：判断三角形全等-SAS】 28.如图，点A,F,C,E在同一条直线上，ABDF,AB=DF,AF=CE.求证： △ABC≌△FDE. y B D 29.如图，BD=BC,∠DBE=∠CBE,求证：AB平分∠DAC. 30.如图，已知AD‖BC且AD=BC,E、F是BD上两点，且BE=DF. A D F E B (1)求证：△ADE≌△CBF: 8 (2)若∠CBD=35°，∠BCF=95°，求∠AEB的度数. 31.如图，△ABC是等边三角形，D为AB延长线上一点，AE‖BC,且AE=AD.求证： △ABE≌△ACD. 【题型09：判断三角形全等-ASA】 32.已知：如图，点E、F在BC上，AF与DE交于点G,BE=CF,∠AFB=∠DEC, ∠B=∠C.求证：△ABF≌△DCE. A D G B E F 33.如图，点E、F在BD上，BE=DF,∠B=∠D,AF,CE交于点O,且 ∠OEF=∠OFE. (2)AB与CD相等吗？请说明理由. (2)若∠A=95°，∠D=45°，求∠CED的度数. 34.如图，∠A=∠B,∠1=∠2，AE=BE,点D在AC边上. 6 E D (1)求证：△ACE≌△BDE: (2)若∠BDE=65°，求∠C的度数. 【题型10：判断三角形全等-AAS】 35.如图，AB与CD相交于点O,∠A=∠D,CO=BO.求证： 36.如图，∠1=∠2，∠B=∠D.求证：△ABC≌△ADC 10 △AOC≌△DOB. 37.△ABC和△CDE的位置如图所示，点B在CD边上，∠ACE=∠D=∠ABC=90°， AC=CE. (1)求证：AB=CD: (2)已知AB=6,DE=2,求BD的长度. 38.如图，在△ABC中，点D为AB边上一点，点E为AC边的中点，连接DE并延长，交 AB的平行线CF于点F,连接BE, E D (1)求证：△ADE≌△CFE: (2)若BE⊥AC,BD=3,CF=4,求BC的长. 11 39.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,点D是BC中点，点E在AB 上，过点C作CFAB交ED的延长线于点F. C F D (1)求证：△CDF≌△BDE: (2)求四边形AEFC的面积. 40.如图，AB⊥BD,AC⊥DC,垂足分别为B,C,∠BAD=∠CAD.求证： △ABD≌△ACD: B 41.已知B、E、C、F在同一条直线上，BE=CF,AB‖DE,∠A=∠D,AC与 DE交于点G. (1)求证：△ABC≌△些乙： (2)若∠B=40°，∠F=80°，求∠EGC的度数. 12 G 【题型11：判断三角形全等HL】 42.如图，在△AEC和△DFB中，点A、B、C、D在一条直线上，已知EA⊥AC, FD⊥BD,AE=DF,若用“HL”证明Rt△AEC≌Rt△DFB,需添加什么条件？ 写出来并证明. D B 43.如图，己知点A、E、F、D在同一条直线上，AE=DF,BF⊥AD,CE⊥AD,垂足 分别为F、E,AB=CD B E F (1)求证：△ABF≌△DCE: (2)若∠A=27°时，求∠C的度数. 44.如图，在△ABC中，AB=CB,∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC 13 上，且AE=CF. E ■ B (1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF; (2)若∠CAE=30°，求∠CFA的度数. 45.已知：如图，∠A=∠D=90°，AB=DC,AC、BD相交于点E.求证： D B (I)△ABC≌△DCB (2)EB=EC' 【题型12：全等三角形的性质与判定综合】 46.如图，点A,B,D,E在同一直线上，AD=EB,BC‖DF,∠C=∠F.求 证：△ABC≌△EDF. 14 47.在四边形ABCD中，AD‖BC,连接AC,且AC=BC,在对角线AC上取点E,使 CE=AD,连接BE. D E (1)求证：△DAC≌△ECB: (2)若CA平分∠BCD,且AD=3,AC=5,求△BEC的周长. 48.如图，△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，点D在BC上，E为AC延长线上一点， 且AD=BE.延长AD交BE于点F. (1)求证：CD=CE: (2)求证：AF⊥BE】 49.如图，在△ABC中，点E在BC上，点D在△ABC外，连结AD,AE,DE,DE交 AB于点F,∠DAB=∠EAC,∠B=∠D,AD=AB. D B (1)求证：△ABC≌△ADE (2)若∠EAC=30°，∠BAE=35°，求∠D的度数. 15 50.如图，∠1=∠2，∠A=∠B,AE=BE,点D在边AC上，AE与BD相交于点O. B E (1)求证：△AEC≌△BED. (2)求证：DE平分∠BDC. (3)若BE=10,AD=7,DC=6,求△BOE与△AOD的周长之和. 51.已知，AO⊥BC于点O,CD平分∠ACB,交AO于点D. E B O B O 图1 图2 (1)如图1，若AC=BC,∠CAO=50°，则∠DBC=°： (2)如图2，点E为AC上一点，连接DE,AC+CE=10,AD=DE,求CO的长. 16 52.如图，在△ABC中，点D在BC上，连接AD,点E,F在线段AD上，连接BE,CF, 满足BE=AF,∠BED=∠DFC=∠BAC. E B D (1)求证：AE=CF: (2)若∠ACF=15°，∠CAD=2∠BAD,∠ABC=∠ACB,请求出∠BDE的度 数 【题型13：角平分线的性质定理】 53.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,垂足为E,S△ABC=8,DE=2, AB=5,则AC长为() A.5 B.4 c.3 D.2 54.如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD=90°，BD平分∠ABC,AB=6,BC=9, 四边形ABCD的面积为30，则CD是() A.3.5 B.4 c.4.5 D.5 55.如图，在四边形ABCD中，ABCD,BP,CP分别平分∠ABC,∠DCB,过点P 17 作EF⊥AB,分别交AB,CD于点E,F.若BC=6,△BCP的面积为12，则EF的 长为() A.8 B.10 C.12 D.18 【题型14：角平分线的性质实际应用】. 56.如图，在△ABC中，BD是角平分线，AE是中线，AE交BD于点F.若AB=6, BC=4,△ABC的面积为8，则△ABF的面积为 57.如图，AB、AC、BC是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内 修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在() A B C A.△ABC三条中线的交点位置 B.△ABC三条角平分线的交点位置 C.△ABC三条高的交点位置 D.△ABC三边的垂直平分线的交点位 置 58.如图，公路MNPQ,公路AB交公路MN于A,交公路PQ于B,若要建一汽车旅店 到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有() 18 A.1处 B.2处 c.3处 D.4处 59.如图，△ABC的三边AC、BC、AB的长分别是8、12、16，点O是△ABC三条角平 分线的交点，则SAOAB:SAOBC:SAOAC的值为() B A.4:3:2 B.5:3:2 c.2:3:4 D.3:4:5 60.如图，从△ABC内一点O出发，把△ABC剪成三个三角形如图1)，边 AB,BC,AC放在同一直线上，点O都落在直线MN上（如图2），直线MN/1AC, 则点O是△ABC的() O B B C B 图1 图2 A.三条角平分线的交点 B.三条高的交点 C.三条中线的交点 D.三边中垂线的交点 【题型15：角平分线与全等三角形的综合】 61.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD,CD=CB,CE⊥AB于点E. (1)求证：∠ADC+∠ABC=180°： 19 (2)若BE=2,求AB-AD的值. 62.如图，△ABC的外角∠CBD,∠BCH的平分线BP,CP相交于点F. D E B A F (1)求证：PE=PF: (2)连接AP,若∠PAH=18°，求∠BPC的度数. 63.解答下列各题 (1)【追本溯源】如图1，P为∠AOB内部一点，PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点 F,且PE=PF,求证：点P在∠AOB的平分线上： A E B 图1 (2)【结论应用】如图2，在Rt△ABC中，∠B=90°，点E在边AB上，DE=DC, DF⊥AC于点F,BE=FC. 图2 ①求证：AD平分∠BAC: ②若AB=12,BD=4,△ABC的面积是54，求线段AC的长. 64.如图，C是∠MAN的角平分线上一点，CE⊥AN,CF⊥AM,垂足分别为E,F. 过点C作CD⊥CE,交AM于点D,在射线EN上取一点B,使∠CBE=∠DAE, 20 D E B N (1)求证：CD=CB: (2)若AB=16.7,AD=7.3,求DF的长. 65.如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD=110°，∠ABC的平分线BE交AC 于点E,过点E作BF⊥BA,交BA的延长线于点F,已知∠AEF=55°，连接DE. B (1)求∠CAD的度数： (2)求证：DE平分∠ADC; (3)若AB=12,AD=6,CD=14,且SAACD=30,求△ABE的面积. 21