3.2勾股定理的逆定理同步练习2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学勾股定理的逆定理新授课同步练，以基础认知、技能应用、综合拓展三层递进设计，覆盖从定义辨析到实际应用的完整巩固路径，培养推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|勾股数定义、逆定理直接应用|单选1-3直接判断勾股数与直角三角形，填空7-10验证平方关系| |技能应用|图形应用、含参数问题|单选4-6结合图形摆放与角平分线，填空11-13探究勾股数规律与参数计算| |综合拓展|实际问题与规律证明|解答题15-18通过旅游路线等情境考查综合应用，证明勾股数公式培养推理能力|

3.2勾股定理的逆定理 同步练习 一、单选题 1．下列各组数中是勾股数的一组是（   ） A．2，5，6 B．3，4，5 C．0.6，0.8，1 D．，， 2．已知的三条边分别为，下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 3．下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（   ） A．，4，5 B．，， C．，， D．1，，3 4．五根小木棒，其长度分别为，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 5．三角形的三边长为、、，且满足等式，则此三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 6．如图，是的角平分线，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．一个三角形三条边的长分别为8、6、10，那么这个三角形是 ________三角形．（填“钝角”、“锐角”或“直角”） 8．如图，，，，，，则这个图形的面积为______． 9．将勾股数3，4，5扩大为原来的2倍，3倍，4倍，…可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…则我们把3，4，5这样最大公约数是1的勾股数称为基本勾股数，请根据题意再写出一组基本勾股数________． 10．木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为，宽为，对角线为，则这个桌面____________（填“合格”或“不合格”）． 11．若一个三角形的三边长分别是，，，它是直角三角形，则的值为______． 12．勾股定理最早出现在《周髀算经》中：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列各组勾股数：6，8，10；8，15，17；10，24，26；12，35，37；14，48，50；……可发现当一组勾股数的勾为（，为正整数）时，它的股、径分别为和．若一组勾股数的勾为26，则径为_____． 13．如图，分别以的三边为直径向三角形外作半圆，图中有阴影的三个半圆的面积的关系为，则是______三角形． 14．如图，在中，，，，B是延长线上的一点，连接．若，则的面积为____________． 三、解答题 15．判断由下列各组线段a、b、c的长，能组成的三角形是不是直角三角形，并说明理由. (1)，，； (2)，，． 16．如图，在中，，求边上的高．    17．满足的三个正整数，称为勾股数． (1)请把下列三组勾股数补充完整： ①______，8，10；②5，______，13；③8，15，______． (2) 任取两个正整数m和n（），请你证明这三个整数，，是勾股数． 18．笔直的河流一侧有一旅游地点G，河边有两个漂流点A、B，且点A到点B的距离等于点A到点G的距离．近阶段由于点G到点A的路线处于维修中，为方便游客决定在河边新建一个漂流点C（点A、B、C在同一条直线上），并新建一条路，测得km，km，km． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求原路线的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查勾股数，解题的关键是掌握勾股数的定义，即满足 的三个正整数a、b、c称为勾股数． 根据勾股数的定义逐项判断即可． 【详解】解：，因此2，5，6不是一组勾股数，A选项不符合题意； ，因此3、4、5是一组勾股数，B选项符合题意； 0.6和0.8不都是正整数，因此0.6、0.8、1不是一组勾股数，C选项不符合题意； ，因此、、不是一组勾股数，D选项不符合题意； 故选B． 2．A 【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案． 本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． 【详解】解：A、∵，， ∴最大角为， ∴不是直角三角形， 故本选项符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故本选项不符合题意； C、∵， ∴最大角是， ∴能构成直角三角形， 故选项不符合题意； D、∵， ∴， ∴最大角为， ∴是直角三角形， 故本选项不符合题意． 故选：A． 3．B 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为，4，5的三条线段不能组成直角三角形，不符合题意； B、∵， ∴长为，，的三条线段能组成直角三角形，符合题意； C、∵且不能组成三角形， ∴长为，，的三条线段不能组成直角三角形，不符合题意； D、∵且不能组成三角形，， ∴长为1，，3的三条线段不能组成直角三角形，不符合题意； 故选：B． 4．C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．要求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】A．，，，故A不正确，不符合题意； B．，，故B不正确，不符合题意； C．，，故C正确，符合题意； D．，，故D不正确，不符合题意． 故选：C． 5．B 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形． 先由完全平方公式展开，再由勾股定理的逆定理求解． 【详解】解：， ， ． 此三角形为直角三角形． 故选：B． 6．A 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理的应用，过点作于点，证明是直角三角形，且，根据角平分线的性质可得，证明得出，设，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且 又∵是的角平分线 ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ 设，则， 在中， ∴ 解得： 即的长为 故选：A． 7．直角 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，求出较短两边的平方和，看是否等于第三边平方，若等于，则是直角三角形，否则不是直角三角形． 【详解】解：∵， ∴该三角形是直角三角形， 故答案为：直角． 8．24 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的运用，三角形面积的求法．关键是掌握勾股定理与逆定理．连接，在中，，，可求；在中，由勾股定理的逆定理可证为直角三角形，利用两个直角三角形的面积差求图形的面积． 【详解】解：连接，在中，， ， 在中， ， 为直角三角形； 图形面积为： 故答案为：． 9．5，12，13（答案不唯一） 【分析】本题主要考查勾股数和公约数，填写满足最大公约数为1的勾股数即可． 【详解】解：常见的勾股数如满足，且最大公约数为1． 故答案为：（不唯一）． 10．合格 【分析】本题考查了勾股定理逆定理在长方形判定中的应用，掌握若四边形的一组邻边与对角线满足勾股定理，则该角为直角，可判定为长方形是解题的关键． 通过计算长、宽和对角线的平方，验证是否满足勾股定理． 【详解】解：长为，宽为，对角线为， 计算，， 满足勾股定理，桌面合格． 故答案为：合格． 11．2 【分析】此题考查了勾股定理逆定理，勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．根据勾股定理逆定理列方程计算出m的值即可． 【详解】解：， 解得：， 当时，，不合题意舍去， 则． 故答案为：2． 12．170 【分析】本题考查勾股定理，解题的关键是读懂题意，利用题中的结论进行求解． 根据题干的公式直接进行计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意得， 当时，， ∴径为， 故答案为：170． 13．直角 【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据圆的面积公式，结合题意求出是解题关键．分别求出，再结合，即可得出，说明是直角三角形． 【详解】解：∵，，， 又∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：直角． 14． 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用． 先用勾股定理逆定理证明是直角三角形，且.再由勾股定理求出的长，得到的长，利用三角形面积公式即可求出答案． 【详解】解：在中，，，， ∴，即， ∴是直角三角形，且. 在中，，即， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴的面积为 故答案为： 15．(1)不是，理由见解析 (2)是，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形． （1）根据两小边的平方和等于最长边的平方就是直角三角形，否则就不是，进行判断，即可求出答案； （2）根据两小边的平方和等于最长边的平方就是直角三角形，否则就不是，进行判断，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 即， ∴由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形； （2）解：，， ∴， 即， ∴由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形． 16． 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理可证明是直角三角形，再利用直角三角形的面积公式即可．关键是掌握“如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形”． 【详解】解：， ， 是直角三角形， ， 即， ． 17．(1)①6；②12；③17 (2)见解析 【分析】本题考查勾股数： （1）根据勾股数的定义求解即可； （2）根据勾股数的定义，分别计算各整式的平方，然后判断等式是否成立即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴6，8，10是勾股数； 故答案为：6 ②∵， ∴5，12，13是勾股数； 故答案为：12 ③∵， ∴8，15，17是勾股数． 故答案为：17； （2）证明：∵，， ∴， ∴三个整数，，是勾股数； 18．(1)是直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，注意计算的准确性即可． （1）根据题意可得，即可判断； （2）由（1）得：，根据，，即可求解； 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵km，km，km， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：∵点A到点B的距离等于点A到点G的距离， ∴， ∵ 又由（1）得：， ∴， 即：， 解得：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $