江苏省南菁高级中学2026-2027学年第一学期高三数学周练2

**基本信息** 以函数与导数为核心，融合Peukert蓄电池公式、市场供需模型等真实情境，通过选择、填空、解答题的梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与模型构建能力，适配高三周测的巩固与提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合、函数性质、充分必要条件、高斯函数|第6题以Peukert经验公式考查数学应用，体现数学眼光观察现实世界| |填空题|3题/15分|导数应用、不等式解集|第13题结合导函数性质解不等式，考查数学思维的逻辑性| |解答题|5题/77分|函数建模、导数综合证明|15题市场供需模型构建考查数学语言表达，19题函数零点证明突出逻辑推理深度|

2026－2027学年第一学期南菁高中高三数学周练2 (考试时间：120分钟 试卷满分：150分) 一、 单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（  C  ） A． B． C． D． 2.己知，则＂＂是＂＂的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 在式子有意义的前提下，令， 则． 当时，，所以能推出，条件充分。 但当时，在该区间递减，仍有，故原条件不必要．选 A． 3．已知奇函数满足，且当时，（）．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是定义域包含的奇函数，故，即， 由，可得， 所以是周期为4的周期函数，因为，所以， 又，令得，所以． 4．已知，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，得或，所以的定义域是， 当， 单调递减，则单调递减， 单调递减，则单调递减，所以在上单调递减； 当， 单调递增，则单调递增， 单调递增，则单调递增，所以在上单调递增； 当，，结合的定义域，则或，即或， 当，在上单调递减，，则，不符合要求；当，，不符合要求，当，，在上单调递增，，则，符合要求，所以. 5．高斯函数也称取整函数，记作，表示不超过的最大整数．例如，．已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【详解】当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则；…… 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则；…… 所以函数的图象如图所示，函数表示恒过的直线， 若方程有三个不同的实根，则函数与函数有且仅有三个交点， 由图可得，当直线过点时，；当直线过点时，； 当直线过点时，；当直线过点时，； 则实数的取值范围是或，故选D. 6．Peukert 于 1897 年提出蓄电池的容量（单位：）、放电时间（单位： h ）与放电电流（单位：A）之间关系的经验公式，其中为 Peukert 常数。在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为 A． 28 h B． 56 h C．70h D．112h 【答案】B 电池容量不变，解析，解析．由，得，故，选 B． 7．若对任意成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则，故，则或， 令，得，解得，故，解得， 当时，，当时，，综上，.故选：C 8． 已知函数及其导函数的定义域均为，记．若为偶函数，为奇函数，则下列结论正确的是 A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．是偶函数 D． 【答案】B方法一： 由为偶函数，得． 令，则．两边对求导，得， 故的图象关于点中心对称，B 正确． 又因为为奇函数，所以，这表示的图象关于点中心对称，而不是关于直线轴对称， A 不一定正确． 取，则为偶函数，为奇函数． 但此时不是偶函数，且，所以 C、D 均不一定正确．故选 B． 方法二： 由，设，则，又，故． 因此的图象关于直线对称．另一方面，由，函数图象还关于直线对称．两个对称轴相距 2 ，所以以 4 为周期，也以 4 为周期． 对等式求导，仍得，故 B 正确．条件只确定了对称性与周期性；给加上任意常数并不改变两条已知条件，却会改变函数是否为偶函数以及整数点函数值之和，因此 C、D 不能确定．A 把中心对称误判成了轴对称．故选 B． 二、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．， B．“”是“”的必要条件 C．若，，，则是的充分不必要条件 D．命题“，”的否定是“，” 【答案】AC 【详解】对于A选项，取，则，故A正确； 对于B选项，若，不妨取，，此时，即“”“”， 若，不妨取，，此时，即“”“”， 综上所述，“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误； 对于C选项，因为，则为的真子集，故是的充分不必要条件，故C正确； 对于D选项，由全称量词命题的否定可知， 命题“，”的否定是“，”，故D错误. 10．已知，为正实数，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【详解】由得， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值，对 , ， 当且仅当时取等号，此时取得最小值，B错 因为，当且仅当时取等号， 解不等式得，故的最大值为，C对 ， 当且仅当即时取等号， 此时取得最小值，D正确 故选：ACD. 11．已知函数，，当关于实数的方程有个根时，则实数的可能的取值有（ ） A． B． C．(3) D． 【答案】BD 【详解】分别作出函数，的图象，如图所示， 令，则即为， 若，则方程没有根，不合题意； 若，则方程有且仅有1个根，即， 可知方程有且仅有2个不相等根，不合题意； 若，则方程有2个不相等实根，， 方程有且仅有2个不相等实根，且方程有且仅有2个不相等实根， 所以方程有4个不相等实根，不合题意； 若，则方程有3个不相等实根，，， 方程有且仅有2个不相等实根，且方程有且仅有2个不相等实根， 由题意可知方程有且仅有2个不相等实根，则或， 可得； 综上所述：实数的取值范围是. 三、 填空题：本题共3个小题，每题5分，共15分． 12．设，则 【答案】2 解析，所以． 于是，从而．应填： 2 ． 13．已知定义在上的连续函数，其导函数为，若．且当时，，则不等式的解集为 【详解】构造函数，该函数的定义域为，且函数在上连续， 则， 故函数为偶函数， 当时，，所以函数在上为减函数， 由可得， 即，可得，所以，则， 整理可得，解得， 所以不等式的解集为. 14．已知函数在上的最小值为1，则的取值范围是 【详解】已知，由题意函数在上的最小值为1， 等价于对任意，都有恒成立．由于时，，若分母， 则，与条件矛盾，因此必须满足对所有恒成立， 即在上恒成立，令，由幂函数性质得在上单调递减， 当时，，所以．因为函数在上的最小值为1， 则恒成立，且存在，使得， 因为，故只需恒成立，即成立， 令．则，，， 令，则，所以，所以解得， 因为当时，，所以，令，则， 故在上单调递增，又， 所以当时，，即， 所以在上递增，所以，故成立，综上，的取值范围是． 四、 解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知某产品市场价格与市场供应量P的关系近似满足 (其中t为关税的税率，且，x为市场价格，b，k为正常数)，当时的市场供应量曲线如图所示． (1)根据图象求b，k的值； (2)记市场需求量为Q，它近似满足，当时的价格称为市场平衡价格，为使市场平衡价格不低于9元，求税率的最小值． 【详解】（1）由图象知，，即，解得；………………6 （2）当时，有， 即， 则得 令，则， ∵，∴， 当时，取最大值，即， 解得，即税率的最小值为．…………………………………………………………13 16．已知函数（其中a，b均为常数，且）的图象经过点与点． (1)求不等式的解集； (2)设函数，若对任意，存在，使得成立，求实数m的取值范围． 【详解】（1）由题意知，，即，解得：， ，， 所以，即， 所以，令，则， 解得；解得， 所以，的解集为，即，解得， 所以不等式的解集为……………………………………7 （2）由得函数， 当时，， 故， 当时， 因为对任意，存在，使得成立， 所以是的子集， 所以，即，所以实数的取值范围为…………………………………………15 17．已知函数． (1)求的单调区间； (2)若的图象在点处的切线的倾斜角为，对于任意的，函数在区间上不是单调函数，求实数的取值范围． 【详解】（1）的定义域为， ， 若，则，此时无单调区间； 若，令得，令得， 此时单调递增区间为，单调递减区间为； 若，令得，令得， 此时单调递增区间为，单调递减区间为； 综上，若，则无单调区间； 若，则单调递增区间为，单调递减区间为； 若，则单调递增区间为，单调递减区间为.……………………………………8 （2）由（1）得， 由题意得，解得， ，， 则， 所以， 因为函数在区间上不是单调函数， 所以存在，使得， 其中，结合开口向上， 必有， 由题意可得，对于任意的，恒成立， 故只需， 其中，， 故，解得.…………………………………………………………15 18．（17分）已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）当时，若存在极小值点，证明：； （3）若对任意，都有，求的取值范围． 解析：（1）时，， 令，令或 ∴的单增区间为，单减区间为．………………3分 （2） ①当时，恒成立，不存在极小值点，不合 题意，舍去 ②当时，在上单调递增；上单调递减有唯一的极大值点，舍 ③当时，在上单调递减；上单调递增；上单调递减，存在极小值点， ④当时，在上单调递减；上单调递增；单调递减，存在极小值点∴ 若ヨ极小值点，则，证毕！………………11分 （3）由（必要条件）下证充分性， 当时，由（1）知在上单调递增；上单调递减； ∴恒成立故的取值范围为．……………………17分 19．已知函数，函数，t，a均为实数． (1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)当时，若存在正实数x，使不等式成立，求a的取值范围； (3)若函数有两个不同的零点，记作，，且，求证：． 【详解】（1）当时，, 则，即切点坐标为, ，， 则切线方程为， 令，得轴截距为，令，得轴截距为， 则切线与两坐标轴围成的三角形的面积.……………………………………4 （2）已知，则，若存在正实数x，使， 即，即有解， 因为，两边同时除以得， 即， 令， ， 易得，，则的符号完全由决定， 所以当时，，单调递减， 当时， ，单调递增， 所以， 即.………………………………………………………………10 (3)由两边同时取对数得， 已知是的两根，所以， 设，因为，所以， 将代入得， 则， 即， 则问题转化为证明：当时，，即证， 设，则 ， 因为，所以且， 因此在上，,单调递增， 所以,即， 由此可得，即， 两边同时取指数，则有，命题得证.…………………………………………17 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年第一学期南菁高中高三周练2 数 学 本试卷满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知奇函数满足，且当时，（）．则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．高斯函数也称取整函数，记作，表示不超过的最大整数．例如，．已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 6．Peukert于1897年提出蓄电池的容量（单位：）、放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（   ） A． B． C． D． 7．若对任意成立，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则下列结论正确的是（   ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．是偶函数 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（    ） A．， B．“”是“”的必要条件 C．若，，，则是的充分不必要条件 D．命题“，”的否定是“，” 10．已知为正实数，且，则（   ） A．的最小值为8 B．的最小值为 C．的最大值为8 D．的最小值为 11．已知函数，，当关于实数的方程有个根时，实数的可能取值有（ ） A． B． C．(3) D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．设，则___________． 13．已知定义在上的连续函数，其导函数为，若．且当时，，则不等式的解集为___________． 14．已知函数在上的最小值为1，则的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本题满分13分） 已知某产品市场价格与市场供应量P的关系近似满足 （其中t为关税的税率，且，x为市场价格，b，k为正常数），当时的市场供应量曲线如图所示． （1）根据图象求b，k的值； （2）记市场需求量为Q，它近似满足，当时的价格称为市场平衡价格，为使市场平衡价格不低于9元，求税率的最小值． 16．（本题满分15分） 已知函数（其中a，b均为常数，且）的图象经过点与点． （1）求不等式的解集； （2）设函数，若对任意，存在，使得成立，求实数m的取值范围． 17．（本题满分15分） 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若的图象在点处的切线的倾斜角为，对于任意的，函数在区间上不是单调函数，求实数的取值范围． 18．（本题满分17分） 已知函数，（）． （1）当时，求的单调区间； （2）当时，若存在极小值点，证明：； （3）若对任意，都有，求的取值范围． 19．（本题满分17分） 已知函数，函数，t，a均为实数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）当时，若存在正实数x，使不等式成立，求a的取值范围； （3）若函数有两个不同的零点，记作，，且，求证：． 试卷第1页（共3页） 南菁周练2 第2页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $