2.4一元二次方程的应用-第2课时 一元二次方程的应用(二)课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的应用，围绕销售利润、握手次数、增长率等实际问题展开。通过“定价如何兼顾销量与利润”的现实情境导入，衔接方程解法前备知识，以例题表格分析、设元对比等作为学习支架，引导学生建立方程模型。 其亮点在于以问题驱动贯穿教学，通过例1设“降价”与“定价”未知数的对比分析，培养学生数学思维中的推理能力。归纳利润、握手、增长率等公式形成模型，强化数学语言的模型意识。随堂练习结合台灯销售、冰墩墩钥匙扣等真实情境，提升学生用数学眼光抽象数量关系的能力。学生能掌握实际问题解决方法，教师可直接使用结构化资源提升教学效率。

第二章 一元二次方程 2.4 一元二次方程的应用 第2课时 一元二次方程的应用（二） 九年级上│BS 1. 经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题的过程. 2. 能利用一元二次方程解决有关销售及其他实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性. 学习目标 定价太高，卖不出去；定价太低，赚不到钱.怎么定一个合适的价格，既能卖得多，又能赚到目标利润呢？ 新课引入 分析：设每台冰箱降价x元，则： 例1 新华商场销售某种冰箱，每台进货价为 2 500 元. 调查发现，当销售价为 2 900 元时，平均每天能售出 8 台；销售价每降低 50 元时，平均每天就能多售出 4 台，商场要想使这种冰箱平均每天的销售利润达到 5 000 元，每台冰箱的定价应为多少元？ 每天的销售量/台 每台的销售利润/元 总销售利润/元 降价前 降价后 8 2900－2500 (2900－2500)×8 2900 – x – 2500 5000 每台冰箱的销售利润 × 平均每天冰箱的数量= 5000 元 新知学习 解：设每台冰箱降价 x 元，根据题意，得 ( 2900 – x – 2500 )( 8 ＋ 4× ) = 5000. 解这个方程，得 x1 = x2 = 150. 2900 – 150 = 2750(元). 所以，每台冰箱应定价为 2750 元. 例1 新华商场销售某种冰箱，每台进货价为 2 500 元. 调查发现，当销售价为 2 900 元时，平均每天能售出 8 台；销售价每降低 50 元时，平均每天就能多售出 4 台，商场要想使这种冰箱平均每天的销售利润达到 5 000 元，每台冰箱的定价应为多少元？ 新知学习 思考·交流 如果设每台冰箱的定价应为元，那么你能列出怎样的方程? 它与例题中列出的方程有什么区别和联系? 解：若设每台冰箱定价为 x 元， 则：每台利润＝x－2500，降价金额＝2900－x， 增加的销售量 = ；总销售量 = . 根据每台冰箱的销售利润 × 平均每天冰箱的数量= 5000 元，可得 新知学习 设 “降价x元” 的方程 设 “定价x元” 的方程 区别 联系 ( 2900 – x – 2500 )( 8 ＋ 4× ) = 5000 思考·交流 如果设每台冰箱的定价应为元，那么你能列出怎样的方程? 它与例题中列出的方程有什么区别和联系? 未知数是 “降价金额”，计算更直接，化简更简便 未知数是 “最终定价”，需要用(2900−x)表示降价，式子更复杂 本质是同一个等量关系，只是未知数设定不同； 设降价为x的方程，解出x=150后，定价为2900−150=2750； 设定价为x的方程，直接解出x=2750，结果一致 新知学习 尝试·思考 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个. 调查发现，这种台灯的售价在40元至60元范围内，售价每上涨1元，平均每月就少售出10个. 为了实现平均每月10 000 元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应购进台灯多少个？ 分析：主要等量关系为： 涨价后每个台灯的利润 × 总销量= 10000 元 新知学习 尝试·思考 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个. 调查发现，这种台灯的售价在40元至60元范围内，售价每上涨1元，平均每月就少售出10个. 为了实现平均每月10 000 元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应购进台灯多少个？ 解：设每个台灯上涨 x 元，则售价为( x ＋ 40 )元， 根据题意，得(40 ＋ x – 30)( 600 – 10x ) = 10000. 解得x1 = 10，x2 = 40(不合题意，舍去). 售价：40 ＋ 10 = 50 (元)；进货量：600 – 10×10 = 500 (个). 答：每个台灯的售价定为 50 元，进货量应为 500 个. 新知学习 归纳总结 1.利润问题基本关系： ①总售价=单价×销量； ②利润=售价 – 进价=进价×利润率； ③利润率= ×100%； ④总利润=单件利润×销量. 2.每每问题：在每每问题中，若单价每涨a元，少卖b元，则涨价x元，少卖的数量为 ·b 件. 新知学习 例2 在参加学校组织的毕业典礼后，数学社团中的每两个九年级同学之间都通过握手来告别，如果所有九年级学生一共握手55次，那么该校数学社团共有多少名九年级学生? 解:设该校数学社团共有x名九年级学生， 由题意得: =55， 整理得:x2－x－110＝0， 解得: x1＝11，x2＝－10(不符合题意，舍去) 答:该校数学社团共有11名九年级学生. 归纳总结 握手问题： 两个人之间进行一次活动， x人之间进行了 次活动. 新知学习 1.运动展风采，筑梦向未来.翰林中学组织了一场秋季田径运动会.本次运动会设置了拔河比赛，参赛队伍中每两队之间都要比赛一场，共比赛36场，那么参加本次比赛的队伍有( ) A.9个 B.8个 C.7个 D.6个 A 随堂练习 2.(2025广东)广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势.某公司工业机器人在今年5月产值达到2 500万元，预计7月产值将增至9 100万元.设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为( ) A.2500(1＋x)2＝9100 B.2500(1－x)2＝9100 C.2500(1－2x)2＝9100 D.2500(1＋2x)2＝9100 A 设a为原来量，b为变化后的量，当m为平均增长率，2为增长次数时，b=a(1－m)2. 随堂练习 3.某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件.若生产的产品一天的总利润为1120元，且同一天所生产的产品为同一档次，则该产品的质量档次是( ) A.6 B.8 C.10 D.12 解析:设该产品的质量档次是x档，则每天的产量为[95－5(x－1)]件，每件的利润是[6＋2(x－1)]元. 根据题意得 [6＋2(x－1)][95－5(x－1)]=1120， A 随堂练习 4.某文具店新进一批体育中考专用排球，每个排球的进价为40元，原计划以每个60元的价格销售，为更好地满足学生的需求，现决定降价销售，已知这种排球销售量y(个)与每个排球降价x(元)(0<x<20)之间满足一次函数关系，其图象如图所示： (1)求y与x之间的函数关系式； 解：(1)设y与x之间的函数关系式y=kx＋b(k≠0)，将(1，110)，(3，130)代入y=kx＋b得： 解得： ∴y与x之间的函数关系式为y=10x＋100； 110=k＋b 130=3k＋b， k=10 b=100， 随堂练习 y=10x＋100 (2)在这次排球销售中，该文具店获利1760元，这种排球每个的实际售价多少元? 解：根据题意得： (60－x－40)(10x＋100)=1760， 整理得：x²－10x－24=0， 解得：x1=12，x2=－2(不符合题意，舍去)， ∴60－x=60－12=48. 答：这种排球每个的实际售价是48元. 随堂练习 5.某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：(注：利润=销售价－进货价) 类别 价格 A款钥匙扣 B款钥匙扣 进货价(元/件) 30 25 销售价(元/件) 45 37 (1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数； 解：(1)设购进A款钥匙扣x件，B款钥匙扣y件， 依题意得： ，解得 x＋y=30 30x＋25y=850 x=20 y=10 答：购进A款钥匙扣20件，B款钥匙扣10件． 随堂练习 (2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件(进货价和销售价都不变)，且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ (2)设购进m件A款钥匙扣，则购进(80－m)件B款钥匙扣， 依题意得：30m＋25(80－m)≤2200， 解得：m≤40． 设再次购进的A、B两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为w元，则w=(45－30)m＋(37－25)(80－m)=3m＋960． 随堂练习 ∵3＞0， ∴w随m的增大而增大， 当m=40时，w取得最大值，最大值=3×40＋960=1080， 此时80－m=80－40=40． 答：当购进40件A款钥匙扣，40件B款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是1080元． (2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件(进货价和销售价都不变)，且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 随堂练习 (3)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？ (3)设B款钥匙扣的售价定为a元，则每件的销售利润为(a－25)元， 平均每天可售出4＋2(37－a)=(78－2a)件， 依题意得：(a－25)(78－2a)=90， 整理得：a2－64a＋1020=0， 解得：a1=30，a2=34． 答：将销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元． 随堂练习 建立一元二次方程解决销售及其他问题 销售问题 握手问题 每每问题 增长率问题 ①总售价=单价×销量； ②利润=售价 – 进价=进价×利润率； ③利润率= ×100%； ④总利润=单价利润×销量； 两个人之间进行一次活动， x人之间进行了 次活动. 在每每问题中，若单价每涨a元，少卖b元，则涨价x元，少卖的数量为 ·b件. (1)增长率= ×100%； (2)设a为原来量，b为变化后的量， 当m为平均增长率，2为增长次数时，b=a(1＋m)2； 当m为平均下降率，2为下降次数时，b=a(1－m)2. 课堂小结 $