2.3一元二次方程的根与系数的关系 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦北师大版九年级上册“一元二次方程的根与系数的关系”，通过复习求根公式与判别式，引导学生解具体方程观察两根和积与系数的关系，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以探究活动培养抽象能力与创新意识，通过求根公式推导韦达定理发展推理能力，结合实例应用（如求参数、代数式值）强化模型意识。学生能深化代数关系理解，教师可高效落实教学目标。

初中数学教学课件 北师大版新版九年级上册 仅供课堂教学使用 1.7.2013 这是我们课件的封面页母版。设计非常简洁，突出课题名称和教材版本。蓝色主标题显得专业稳重，符合教研资料的风格。底部的小字声明了使用范围，显得规范。 ‹#› 教材总览 第二章 一元二次方程 2.3一元二次方程的根与系数的关系 学习目标： 1.掌握韦达定理，清楚一元二次方程两根和、两根积与系数的关系式 2.会借助根与系数关系，快速求值、求待定参数、检验方程根 3.结合判别式，综合解决含两根的代数式、构造新方程类题型 2.3一元二次方程的根与系数的关系 1. 一元二次方程的求根公式是什么？ 想一想：方程的根与系数 a，b，c 之间 还有其他关系吗？ 2. 如何用判别式来判断一元二次方程根的情况？ 复习思考 1. 求根公式： 2.对于一元二次方程 ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0)， 其判别式 ：Δ = b2 - 4ac. 当 Δ ＞ 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ ＜ 0 时，方程无实数根. 复习导入 解下列方程： (1) x2 - 4x + 4 = 0； (2) x2 - 3x - 2 = 0； (3) 3x2 - 5x + 2= 0. 探究新知 探索一元二次方程的根与系数的关系 1 思考：每个方程的两根之和与它的系数有什么关系？两根之积呢？ 一元二次方程 两 根 关 系 x1 x2 3x2 - 5x + 2= 0 2 2 1 x1 + x2 = 4 x1·x2 = 4 x1 + x2 =3 x1·x2 = 2 将二次项系数化为 1 对于任何一个一元二次方程，这种关系都成立吗？与同伴交流. x2 - 4x + 4 = 0 x2 - 3x - 2 = 0 x1 + x2 = x1·x2 = （1）一元二次方程 (x - x1)(x - x2) = 0 (x1，x2 为已知数) 的两根是什么？若将此方程化为 x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2 与 p，q 之间的关系吗？ 证一证 方程 x2 + px + q = 0 的两根 x1，x2 满足上面两个关系式 (x - x1)(x - x2) = 0 x2 - (x1 + x2) x + x1·x2 = 0 x2 + px + q = 0 x1 + x2 = -p， x1·x2 = q 证一证 （2）通过前面的表格猜想，如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两根分别是 x1，x2，那么，你可以得到什么结论？与同伴交流。 思考.交流 一元二次函数 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 当 b2 - 4ac≥0 时有两个根： 思考.交流 一元二次方程的根与系数的关系 如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个实数根为 x1， x2，那么 温馨提示： 满足上述关系的前提条件 b2 - 4ac≥0. 归纳总结 例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. （1）x2 -5x + 4 = 0； （2）3x2 +4x - 1 = 0 一元二次方程的根与系数的关系的应用 2 （1）解：这里 a = 1，b = -5， c = 4. Δ = b2 - 4ac = （-5）2 – 4 × 1 ×4= 25 – 16 = 9 ＞ 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1， x2，那么 x1 + x2 = 5， x1 x2 = 4. 一元二次方程的根与系数的关系的应用 2 x1 + x2 = x1 x2 = （2）解：这里 a = 3，b = 4， c = -1. Δ = b2 − 4ac = 42 – 4×3×(−1) = 16 + 12 = 28＞ 0， ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1，x2，那么 所以 x1·x2 = 2x2 = ，即 x2 = 由于 x1 + x2 = 2 + = ， 解得 k = -7. 答：方程的另一个根是 ，k 的值为 -7. 例2 已知关于 x 的方程 5x2 + kx - 6 = 0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值. 解： 因方程有两个实数根，故 Δ = k² + 120，则 k 是任意数.设方程的两根分别是 x1，x2，其中 x1 = 2. 例3 不解方程，求方程 3x2 - 4x - 2= 0 的两根的平方和、倒数和. 解：根据根与系数的关系可知： 常见的代数式求值如下： 20 方法总结 求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入. 1.本节课你收获了哪些新知识？ 2.通过今天的学习你还有哪些疑惑？ 归纳小结 2. 已知一元二次方程 x2 + px + q = 0 的两根分别为 -1 和 2，则 p = ，q = . 1 -2 1. 如果 -1 是方程 x2 - 2x + m = 0 的一个根，那么另一个根是 ，m = ____. ___ -3 课堂练习 3 3. 已知关于 x 的方程 3x2 - 18x + m = 0 的一个根是 1，求它的另一个根及 m 的值. 解：将 x = 1 代入方程中，得 3 - 18 + m = 0. 解得 m = 15. 设另一个根为 x1，则 1 · x1 = 5 ∴ x1 =5 $