26.1 二次函数的概念 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数的概念及一般形式，课堂导入通过复习函数、一次函数和一元二次方程等旧知，结合正方体表面积、球队比赛场次等实际问题引出新函数关系，搭建从已有知识到新知的学习支架。 其亮点是以实际问题情境为载体，引导学生用数学眼光抽象数量关系，通过含参数函数类型判断、实际问题列表达式等环节培养数学思维的推理与运算能力，以规范定义和形式转化强化数学语言精确性。如产量增长问题列表达式，帮助学生建立模型意识，既让学生感受数学与生活的联系，也为教师提供层次分明的教学资源。

第二十六章 二次函数 26.1 二次函数的概念 学习目标 1.理解掌握二次函数的概念和一般形式. 2.会利用二次函数的概念解决问题. 3.能根据实际问题列二次函数表达式. 重点：掌握二次函数的概念和一般形式 难点：利用二次函数的概念解决问题 复习导入 1.什么叫函数? 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 3.一元二次方程的一般形式是什么？ 一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数.当b=0 时，一次函数y=kx就叫做正比例函数. 2.什么是一次函数？正比例函数？ ax2+bx+c=0 (a，b，c为常数，a≠0) 探究新知 知识点1 二次函数的概念 问题1.正方体六个面是全等的正方形(如下图)，设正方体棱长为x，表面积为y，则 y关于x的关系式为 . y=6x2 y是x的函数吗？ 问题2.n个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？ m是n的函数吗？ 探究新知 知识点1 二次函数的概念 问题3.某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？ y=20x2+40x+20； y是x的函数吗？ y=6x2 y=20x2+40x+20 二次函数的定义： 形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 探究新知 知识点1 二次函数的概念 温馨提示： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式，a,b,c为常数，且a≠0; （2）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项； （3）一般情况下，自变量x的取值范围是任意实数. 二次函数的定义： 形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 典例解析 题型1 二次函数的概念 例1.下列函数一定是二次函数的是__________． ① y=ax2+bx+c ； ② ； ③ y=4x2-3x+1； ④ y=3x3-x2 ； ⑤ y=(x-3)2-x2 ③ 针对训练 1.判断下列函数哪些是二次函数，哪些不是? (1) ( ) (2) ( ) (3) ( ) (4) ( ) (5) ( ) (6) ( ) (7) ( ) (8) ( ) 针对训练 2.把下列二次函数化成一般形式，并指出二次项系数、一次项系数及常数项. y=2x2+2x+1 2 2 1 y=2x2+x+2 2 1 2 y=-8x2-12x -8 -12 0 y=x2-1 1 0 -1 典例解析 题型2 二次函数的概念 解：(1)∵这个函数是二次函数， ∴m2－m≠0，∴m(m－1)≠0， ∴m≠0且m≠1. (2)∵这个函数是一次函数， ∴ ∴m＝0. 例2.已知函数y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋2－2m. (1)若这个函数是二次函数，求m的取值范围． (2)若这个函数是一次函数，求m的值． (3)这个函数可能是正比例函数吗？为什么？ (3)不可能．∵当m＝0时，y＝－x＋2， ∴不可能是正比例函数． 针对训练 3.已知函数y=(m2-2)x2+(m+ )x+8． （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，求m的取值范围. 解：（1）由题意得， 解得m= ； （2）由题意得，m2-2≠0，解得m≠ 且m≠- . 针对训练 4.已知 是y关于x的二次函数，则m=_____. 5.已知 是y关于x的二次函数，则k=_____. -1 ±2 典例解析 题型3 函数值 例3 (1)在二次函数y=2x2-4x+1中,当x=0时,y=　 　; 当x=2时,y=　 　; (2)在二次函数y=-3x2+2x+1中,当y=0时,x=　 　; 当y=2时,x　 　. 1 1 无解 针对训练 6.已知y与x2成正比例,并且当x=-1时,y=-3.求: (1)y与x的函数关系式; (2)当x=4时,y的值; (3)当y=-12时,x的值. 解:(1)设y=kx2, 把x=-1, y=-3代入y=kx2中, 解得k=-3. ∴y=-3x2. (2)当x=4时, y=-3×42=-48. (3)当y=-12时, 则-12=-3x2, 解得x=±2. 典例解析 题型4 实际问题 例4（1）一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S关于半径r的函数解析式. （2）一种产品某年的销售量为8万件，由于其他新产品的出现，后两年的销售量有所下降，年平均下降率是x.写出两年后产品的年销售量y（单位：万件）关于x的函数解析式. 解：（1）圆柱表面积是其底面积与侧面积的和，所以 （2）一年后产品的年销售量为8(1-x)万件，两年后的年销售量为8(1-x)(1-x)万件，所以 y=8(1-x)2 即 y=8x2-16x+8 针对训练 7.用长为32 m的篱笆围一个矩形养鸡场,设围成的矩形一边长为x m,面积为y m2. (1)求y与x之间的函数关系式; (2)当边长为多少时,围成的养鸡场的面积为60 m2? (3)能否围成面积为70 m2的养鸡场?如果能,请求出其边长;如果不能,请说明理由. 解:(1)y=-x2+16x(0<x<16). (2)由(1)知y=-x2+16x. 当y=60,即-x2+16x=60时,解得x1=6,x2=10. 当x=6时,16-x=10;当x=10时,16-x=6. ∴当边长为6 m,10 m时... (3)不能.理由如下: 令y=70,则-x2+16x=70, 即x2-16x+70=0. ∵Δ=(-16)2-4×1×70=-24<0, ∴该方程无实数解. ∴不能围成面积为70 m2的养鸡场. 归纳总结 二次函数 定 义 y=ax2+bx+c(a ≠0，a，b，c是常数） 一般形式 等号两边都是整式； 自变量的最高次数是2； 二次项系数a ≠0． 特殊形式 y=ax2（a ≠0）； y=ax2+bx(a ≠0，a，b是常数) ； y=ax2+c(a ≠0，a，c是常数)． 作业布置 课堂作业:P32习题26.1的勾选做在课堂作业本上;(写清页码和题号，不抄题目) 家庭作业:打印的习题，完成对应内容到课后作业本上； (写清日期和题号，不抄题目) $