26.1 二次函数的概念 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数概念，通过复习函数定义及正比例、一次函数形式导入，再以正方体表面积、球队比赛场次、产量增长三个实际问题搭建学习支架，衔接旧知与新知。 其亮点在于以问题链激活数学思维，从现实情境抽象函数关系培养抽象能力与模型意识，例题辨析强化推理意识，分层作业兼顾差异。学生能深化概念理解，教师可提升教学效率。

第二十六章 二次函数 26.1 二次函数的概念 1 导入新课 前面我们学习过函数, 请思考: 什么叫函数? 我们之前学习过哪些函数? 它们的形式是怎样的? 2 导入新课 什么叫函数? 一般地, 在一个变化过程中, 如果有两个变量 x 与 y, 并且对于 x 的每一个确定的值, y 都有唯一的值与其对应, 那么我们就说 x 是自变量, y 是 x 的函数. ○ ○ ○ … x y ● ● ● … 自变量 x 的函数 3 导入新课 我们之前学习过哪些函数? 它们的形式是怎样的? 我们之前学过正比例函数、一次函数. 它们的形式分别是 y = kx (k 为常数, k ≠ 0), y = kx + b (k, b 为常数, k ≠ 0). 4 任务一：情境导入，初步认识二次函数 问题 1: 如图所示是一个棱长为 x cm 的正方体, 它的表面积为 y cm2, 则 y 与 x 之间的关系式可表示为什么? y 是 x 的函数吗? 高效课堂 对于 x 的每个值, y 都有唯一的值与之对应,故 y 是 x 的函数. 正方体有 6 个面, 每个面的面积为 x2, 这是我们学过的一次函数吗? 你能类比一次函数给这个函数命名吗? 则 y 与 x 之间的关系式为 y = 6x2. 5 问题 2: n 支球队参加比赛, 每两队之间进行 1 场比赛. 比赛的场次数 m 与球队数 n 之间有什么关系? m 是 n 的函数吗? 高效课堂 每支球队要与其他(n - 1)支球队各比赛 1 场, 由于甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛, 所以比赛的场次数 m = n(n - 1), 即 m = n2 - n. 对于 n 的每一个确定的值, m 都有唯一确定的值与其对应, 即 m 是 n 的函数. 6 问题 3: 某种产品现在的年产量为 20 t, 计划今后两年增加产量. 如果每年都比上一年的产量增加 x 倍, 那么两年后这种产品的产量 y (单位: t) 将由 x 的值确定, y 与 x 之间的关系应怎样表示? 高效课堂 如果每年都比上一年的产量增加 x 倍, 这种产品现在的年产量是 20 t, 一年后的产量是___________t. 再经过一年后的产量是________________t, 即两年后的产量是__________t, 即 y 与 x 之间的关系式可表示为__________________. 两年后的产量 y 与每年的计划增产倍数 x 之间存在关系, 其中 x 和 y 都是变量, 而且对于 x 的每一个确定的值, y 都有唯一确定的值与之对应, 所以 y 是 x 的函数. 20(1 + x) 20(1 + x)(1 + x) 20(1 + x)2 y = 20x2 + 40x + 20 7 任务二：抽象特征，明确定义 问题 1: 上述三个函数解析式具有哪些共同特征? 高效课堂 上述问题中, 函数都是用自变量的二次式表示的. 三个函数的解析式化简后都可以化为 y = ax2 + bx + c (a, b, c 是常数, a ≠ 0)的形式. y = ax2 + bx + c (a, b, c 是常数, a ≠ 0) 二次函数 自变量 二次项系数 一次项系数 常数项 二次函数的一般式 8 问题 2: 为什么强调 a ≠ 0 ? b, c 是否可以为 0 ? 高效课堂 若 a = 0, 则 ax2 + bx + c 不是关于 x 的二次多项式, 不符合“二次”的要求; 若 a ≠ 0, b = 0, 则 y = ax2 + c; 若 a ≠ 0, c = 0, 则 y = ax2 + bx; 若 a ≠ 0, b = 0, c = 0, 则 y = ax2. 以上三种形式都是二次函数的特殊形式. 特殊形式 9 例 1 下列函数中, 哪些是二次函数, 哪些不是? 若是二次函数, 指出它的二次项系数、一次项系数和常数项. 高效课堂 任务三：例题精讲，巩固应用 (1)不是二次函数. 解: (2) 是二次函数, 二次项系数是 3, 一次项系数是 -2, 常数项是 0. (3) 化简得 y = -2x + 1, 不是二次函数. (4) 不是二次函数. (5) 当 a = 0 时, 不是二次函数; 当 a ≠ 0 时, 是二次函数, 此时二次项系数是 a, 一次项系数是 4, 常数项是 1. (1) y = - 1; (2) y = 3x2 - 2x; (3) y = (x - 1)2 - x2; (4) y = + 3x; (5) y = ax2 + 4x + 1. 10 例 2 (1)一个圆柱的高等于底面半径, 写出它的表面积 S 关于半径 r 的函数解析式. (2)一种产品某年的销售量为 8 万件, 由于其他新产品的出现, 后两年的年销售量有所下降, 年平均下降率是 x. 写出两年后产品的年销售量 y (单位: 万件) 关于 x 的函数解析式. 高效课堂 (1)圆柱表面积是其底面积与侧面积的和, 所以 S = 2πr2 + 2πr•r, 即 S = 4πr2. 解: (2)一年后产品的年销售量为 8(1 - x) 万件, 两年后的年销售量为 8(1 - x)(1 - x)万件, 所以 y =8(1 - x)2, 即 y = 8x2 - 16x + 8. 11 课堂评价 1.下列 y 关于 x 的函数中, 属于二次函数的是 ( ) A.y = ax2 + bx + c B. C. D. C 点拨 A. 当 a = 0 时不是二次函数, 故此选项不符合题意. B. 不是二次函数, 故此选项不符合题意. C. 是二次函数, 故此选项符合题意. D. 整理得 y = 2x + 1, 不是二次函数, 故此选项不符合题意. 12 课堂评价 2. y 关于 x 的二次函数解析式是 y = -2x2 + 4x + 1, 其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是 ( ) A. 2, -4, -1 B. -2, 4, 1 C. 2, -4, 1 D. -2, 4, -1 B 13 课堂评价 3.下列变量具有二次函数关系的是 ( ) A.圆的周长 C 与半径 r B.在弹性限度内, 弹簧的长度 y 与所挂物体的质量 x C.正方形的面积 S 与边长 a D.匀速行驶的汽车, 路程 s 与时间 t C 点拨 A. C = 2πr, 是一次函数关系. B. 弹簧的长度 y 是随着物体的质量 x 增大而增长的, 是一次函数关系. C. 正方形的面积 S = a2, 是二次函数关系. D. s = vt, 故匀速行驶的汽车,路程 s 与时间 t 之间是一次函数关系. 14 课堂总结 1.二次函数的定义是什么? 2.如何从实际问题中抽象出二次函数解析式? 3.它和一次函数的本质区别是什么? 总结: 二次函数是刻画现实中变量关系的重要模型, 只要充分把握二次项系数 a ≠ 0 这个核心, 就能够准确识别二次函数; 从实际问题建模时, 一定要先理清变量间的逻辑关系, 再列式化简. 15 作业设计 基础性作业: 教材练习第 1 ~ 3 题. 提高性作业: 教材习题 26.1 第 1 ~ 4 题. 拓展性作业: 如图, 某单位准备将院内一块长 30 米、宽 20 米的长方形空地, 建成一个矩形花园, 要求在花园中修建两条纵向和一条横向的小道, 剩余的地方种植花草. (注: 所有小道进出口的宽度相等) 设小道进出口的宽度为 x 米, 种植花草的面积为 S 平方米, 则 S 与 x 之间的函数解析式为________________. 30 米 20 米 16 感 谢 观 看 $