专题01 直线和圆中的对称问题 讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题01 直线和圆的对称问题

1.点关于点对称：①写出已知点坐标、对称中心坐标；②代入中点公式：
③解方程组，求出对称点；④写出结果。

【例1】点关于点的对称点的坐标是（）

A． B． C． D．

2.点关于直线对称：①线段的中点落在对称轴直线上；

②直线与对称轴互相垂直（斜率乘积等于）。

【例2】点关于直线对称的点的坐标为（）

A． B． C． D．

3.直线关于点对称

方法一①在已知直线上任取一个点；②求这个点关于对称中心的对称点；③两直线平行，斜率不变；用对称点+斜率，点斜式写出对称后的直线。

方法二①先利用对称直线与原直线平行设出直线方程②再根据点到两直线距离相等求出参数

方法三①设待求直线上任意一点；②求关于对称中心的对称点，该对称点一定在原来的直线上；③把对称点代入原直线方程，化简得到所求直线。

【例3】直线关于点对称的直线方程为（）

A． B．

C． D．

4.直线关于直线对称问题

①已知直线与对称轴相交：与对称轴相交，求关于的对称直线1）联立与对称轴，求出交点（交点一定在对称后的直线上）；2）在上任取一个异于交点的点；3）求该点关于对称轴的对称点；4）由交点、对称点两个点，两点式写出对称直线。

②已知直线和对称轴平行：与对称轴互相平行1）对称之后的直线和它们斜率仍然相同；2）在上任取一点，求该点关于对称轴的对称点；3）利用该对称点+相同斜率，点斜式写出直线。
 

【例4】已知直线，，．

（1）求直线关于直线的对称直线的方程；

（2）求直线关于直线的对称直线的方程．

5.利用对称解决有关最值问题

动点在定直线上运动，求到两个定点距离之和/差的最值，利用对称把折线段转化成两点之间线段（直线段最短）。 和最小：两点在直线同侧，做其中一点对称点；差最大：两点在直线异侧，做其中一点对称点。（同侧和最小，异侧差最大）

【例5-1】直线分别交轴和于点，，为直线上一点，则的最大值是__________．

【例5-2】已知直线和，两点，若直线l上存在点P使得最小，求

点P的坐标．

6.利用对称解决光线反射问题

入射光线、反射光线所在直线关于法线对称，即入射光线、反射光线上对应点是关于法线对称的，利用点的对称解决问题。

【例6】如图，已知两点，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，再经直线反射后射到点，则光线所经过的路程等于（    ）

  

A． B．

C． D．

7.圆的对称性

圆是轴对称图形，对称轴所在直线过圆心。圆也是中心对称图形，对称中心是圆心。

【例7】圆关于直线对称，则的最小值为（    ）

A．2 B． C．4 D．8

8.圆关于点对称

圆对称之后半径不变，只需要求圆心关于对称中心的对称点，得到新圆心，半径照搬原来半径。两点关于点对称，用中点公式。

【例8】圆关于点对称的圆的标准方程为（）

A． B．

C． D．

9.圆关于直线对称

圆关于直线对称，半径不变；对称轴是新旧两个圆心连线的垂直平分线。只需要求原圆心关于对称轴直线的对称点，作为新圆心。

【例9】圆关于直线对称的圆的方程为（    ）

A． B．

C． D．

10.与圆有关的最值问题

利用圆上点到定点距离最值公式：（为定点到圆心距离）求出最大、最小值

【例10】已知圆:，定点，为轴上一动点，为圆上一动点，则的最小值为（     ）

A． B． C． D．