3.1.2椭圆的简单几何性质讲义（知识清单+12类热点题型+分层强化训练）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦椭圆的简单几何性质核心知识点，系统梳理椭圆的标准方程、范围、顶点、轴长、焦点、焦距、对称性、离心率等基础性质，延伸至常用结论及直线与椭圆的位置关系（相交、相切、相离），构建从性质理解到综合应用的学习支架。 资料以思维导图开篇构建知识体系，结合即学即练与12类题型精讲（含典例及变式），培养学生用数学眼光观察图形特征、用数学思维推理离心率范围、用数学语言表达方程关系的核心素养。分层次题型精练助力课中教学与课后查漏补缺，提升学习效果。

第02讲 3.1.2椭圆的简单几何性质 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 （） （） 范围 ， ， 顶点 ，， ， 轴长 短轴长＝，长轴长＝ 焦点 焦距 对称性 对称轴：轴、轴　对称中心：原点 离心率 ， 【即学即练1】（25-26高二下·陕西商洛·期末）椭圆的短轴长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由椭圆方程知，故短轴长为. 知识点02：椭圆的简单几何性质 离心率：椭圆焦距与长轴长之比：. （） 当越接近1时，越接近，椭圆越扁； 当越接近0时，越接近0，椭圆越接近圆； 当且仅当时，图形为圆，方程为 【即学即练2】（26-27高三上·湖南·阶段检测）椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】代入离心率公式即可计算. 【详解】由离心率公式得：. 知识点03：常用结论 1、与椭圆共焦点的椭圆方程可设为： 2、有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上） 3、椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）： （1）； （2），，； （3）,，； 知识点04：直线与椭圆的位置关系 1、直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为. ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 【即学即练3】（26-27高二上·全国·课后作业）与椭圆有公共焦点的椭圆是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义计算即可. 【详解】椭圆的焦点在轴上，故排除选项A，D． 在椭圆中，；在椭圆中，，故排除选项B； 在椭圆中，，易知中的椭圆符合题意． 2、直线与椭圆的相交弦 直线与椭圆问题（韦达定理的运用） （1）弦长公式：若直线与圆锥曲线相交与、两点，则： 弦长 弦长 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： ； （2）结论1：已知弦是椭圆（）的一条弦，中点坐标为，则的斜率为 运用点差法求的斜率，设，；、都在椭圆上， 两式相减得：， 即 ，故 结论2：弦的斜率与弦中心和椭圆中心的连线的斜率之积为定值： （3）.已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点， ．求：的面积（用、、表示）． 设，由椭圆的对称性，不妨设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限． 由余弦定理知： · ① 由椭圆定义知： ②，则得 故 【即学即练4】（26-27高三·全国·一轮复习）已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于A、B两点，则弦的长为________． 【答案】/ 【分析】依题意，写出直线的方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求得. 【详解】由题意知，椭圆的右焦点的坐标为，直线的方程为． 联立方程，消去y整理得． 设，由根与系数的关系，得． 则. 第三部分 题型精讲 题型01根据椭圆的标准方程研究其几何性质 【典例1】（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知是椭圆上的点，则的值可能是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【分析】根据题意，可设，得到，求得的取值范围，即可求解. 【详解】由椭圆，可设，其中， 则，其中， 因为，所以， 即的取值范围为，结合选项，可得A符合题意. 故选：A. 【典例2】已知、分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点，若，则这样的点P有______个． 【答案】2 【分析】由椭圆焦点三角形的性质知：最大时P在椭圆的上下顶点上，应用余弦定理求得的最大角，进而判断点P的个数. 【详解】由题设，最大时P在椭圆的上下顶点上， 此时，又， 所以，故这样的点P有2个，恰好为上下顶点. 故答案为：2 【变式1】（25-26高二下·河南新乡·期中）若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则长轴长为（    ） A． B．12 C． D．24 【答案】A 【详解】因椭圆的焦点在轴上，则且， 则，即，解得， 所以椭圆的长轴长为． 【变式2】（多选）（25-26高二上·云南玉溪·期末）已知直线与椭圆有公共点，则可取（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】BCD 【详解】联立可得. 依题意得，，解得. 所以可取、、. 【变式3】（多选）（25-26高三下·辽宁铁岭·阶段检测）已知椭圆与椭圆，则（    ） A．的短轴长相等 B．有公共点 C．的焦距相等 D．的离心率相等 【答案】BD 【详解】由椭圆方程知，中，中， 的短轴长为，的短轴长为2，A错误； 都经过点，B正确； 的焦距为，的焦距为2，C错误； 的离心率都为，D正确． 题型02根据椭圆的几何性质求其标准方程 【典例1】（26-27高三·全国·一轮复习）已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为，则椭圆方程为（    ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】由条件知，所以，，则， 当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为； 当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为. 综上所述，椭圆的标准方程为或. 【典例2】已知椭圆焦点在轴，它与椭圆有相同离心率且经过点，则椭圆标准方程为______. 【答案】 【分析】设所求椭圆方程为，根据椭圆的离心率得到，又在椭圆上得到，求出可得答案. 【详解】椭圆的离心率为， 设所求椭圆方程为， 则，从而，， 又，∴， ∴所求椭圆的标准方程为. 故答案为： . 【变式1】2．已知椭圆的方程为，且离心率为，则下列选项中不满足条件的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合椭圆离心率的定义，求出m，n的关系判断作答. 【详解】椭圆的方程为，则该椭圆的长短半轴长分别为， 离心率，解得， 对于A，，A符合； 对于B，，B符合； 对于C，，C不符合； 对于D，，D符合. 故选：C 【变式2】（25-26高二上·广东江门·期末）已知椭圆（），离心率为，长轴长为4，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合题意得到基本量，进而求出椭圆的方程即可. 【详解】因为椭圆的长轴长为4，所以， 因为椭圆的离心率为，所以，解得，可得， 则的方程为，故B正确. 故选：B 【变式3】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知点是椭圆上一点，，分别是其左、右焦点，若，离心率为，则椭圆的标准方程为_____ 【答案】 【详解】根据题意，，即， 又，所以，则， 所以椭圆的标准方程为. 题型03求椭圆的离心率的值 【典例1】（26-27高三上·安徽六安·开学考试）已知椭圆：的两个焦点分别为，，点是上除长轴端点外的动点，若的周长恒为6，面积的最大值为，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列式，求出，结合离心率定义，即得答案. 【详解】 如图所示，当点位于上顶点（或下顶点）时，的面积取最大值， 因此，由题意得，且，联立得，解得（负值舍去），则， 离心率，故A正确. 【典例2】（25-26高二下·上海·期中）已知椭圆经过点，则椭圆的离心率为_____. 【答案】/ 【详解】因为椭圆经过点， 则，解得，则， 所以椭圆的离心率为 【变式1】（25-26高二下·河南驻马店·期末）已知椭圆的短轴的长为6，则该椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意求出的值，再由离心率公式求解即可. 【详解】因为椭圆的短轴的长为6， 所以，解得， 所以， 所以离心率. 【变式2】（2026·云南曲靖·二模）经过椭圆的左顶点与上顶点的直线的斜率为，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知左顶点，上顶点，则， 所以， 所以椭圆的焦点在y轴上， 所以. 【变式3】（2026·贵州安顺·模拟预测）已知椭圆：的一个长轴端点与一个短轴端点之间的距离为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，短半轴，长半轴为 因为一个长轴端点与一个短轴端点之间的距离为，所以，代入，两边平方得，解得，即 ，即 离心率 题型04求椭圆的离心率的最值或范围 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）已知是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得，依题意即得，借助于的关系求解不等式即得离心率的范围. 【详解】由可得，要使点M总在椭圆内部， 即需使以为直径的圆上的点总在椭圆的内部， 如图可得，即，得，则， 又，则得. 【典例2】（2026·山西运城·二模）已知点在椭圆的内部，为的左焦点，为上的动点，若的最大值大于，则的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设的右焦点为，因为点在的内部，所以． 由椭圆的定义知，所以， 则， 则的最大值为，所以， 又，所以，此时满足， 所以的离心率． 【变式1】（2026·河北唐山·二模）若，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定焦点位置，再由即可求解． 【详解】解：，，则椭圆焦点在轴，， ． 【变式2】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】记的焦距为，设，则，即， 由，得，即， 则，整理得，又， 因此，解得， 所以的离心率的取值范围是． 【变式3】（2026·贵州毕节·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B为椭圆上关于原点对称的两点，A点在第一象限，若，，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可知四边形为矩形，根据勾股定理及椭圆的定义可得，结合已知条件列不等式组，进而解得答案. 【详解】因为点A，B为椭圆上关于原点对称的两点，A点在第一象限， 则O为的中点，结合，所以四边形为矩形， 所以，而， 则，整理得， 所以，结合A在第一象限，可知， 所以， 由椭圆的对称性可知，由可得， 即，所以，整理得， 所以，即椭圆C的离心率的取值范围为. 题型05根据椭圆离心率求参数 【典例1】（26-27高三·全国·一轮复习）已知椭圆的离心率，则实数的值为（    ） A．3 B．3或 C． D．或 【答案】B 【分析】分类讨论焦点在轴和轴上的情况. 【详解】①当焦点在轴上时，，，，则，解得； ②当焦点在轴上时，，，， ，解之得. 综合①②知，适合条件的实数或. 【典例2】（26-27高三上·广西南宁·开学考试）设椭圆与的离心率相等，则______． 【答案】3 【详解】由题可知，椭圆的离心率为， 当即时，椭圆的离心率， 当时，，则椭圆的离心率无解. 综上，. 【变式1】（25-26高二上·江苏宿迁·期中）椭圆的离心率的范围为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对分类讨论，确定焦点的位置，求椭圆的离心率，从而可求实数的取值范围. 【详解】由椭圆方程， 当时，椭圆焦点在轴上，，，， 所以，解得； 当时，椭圆焦点在轴上，，，， 所以，解得， 故实数的取值范围为. 故选：D. 【变式2】（2024·广西·二模）已知椭圆的离心率为，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆的离心率列出关系式，求解即可求得结果． 【详解】，，所以，， ，解得， . 故选：A. 【变式3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知椭圆的离心率，则的值为（    ） A．12 B． C．12或 D．或 【答案】C 【分析】通过讨论和，结合离心率，即可求解. 【详解】①当时，即椭圆的焦点在轴上时， 此时，，解得，符合题意； ②当时，即椭圆的焦点在轴上时， 此时，，解得，符合题意； 综上，的值为或12. 故选：C 题型06直线与椭圆的位置关系 【典例1】（25-26高二上·河南·阶段检测）直线与椭圆的位置关系为（    ） A．与k的值有关 B．相切 C．相离 D．相交 【答案】D 【分析】先求出直线的必过定点，利用椭圆的性质得到点在椭圆内部，进而得到位置关系即可. 【详解】设椭圆上的点为，则，， 而直线恒过定点，则该定点在椭圆的内部， 可得不论k为何值，直线与椭圆都相交，故D正确. 故选：D 【典例2】（24-25高二上·浙江温州·期末）已知直线与曲线有两个公共点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当直线l与椭圆上半部分有两个交点时，直线l的斜率k介于直线l与椭圆上半部分相切时的斜率和直线l过椭圆上半部分右顶点时的斜率之间. 【详解】直线过定点，曲线是椭圆的上半部分， 当直线l与椭圆上半部分有两个交点时，直线l的斜率k介于直线l与椭圆上半部分相切时的斜率 和直线l过椭圆上半部分右顶点时的斜率之间，直线l与椭圆上半部分相切时的斜率为， 直线l过椭圆上半部分右顶点时的斜率为， 所以k的取值范围为. 故选：B 【变式1】（25-26高二上·上海·阶段检测）若过点的任意直线均与椭圆相交，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】由题意可得到在椭圆内部，所以，解该不等式即可得到答案． 【详解】若过点的任意直线都与椭圆相交（非相切）， 说明点P必须在椭圆内部，得到，解得． 故答案为： 【变式2】若直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则n的取值范围是_____ 【答案】 【分析】由题意直线恒过的定点在椭圆上或椭圆内，结合表示焦点在轴上的椭圆，即可列不等式求解. 【详解】直线恒过定点，若直线与椭圆总有公共点， 则定点在椭圆上或椭圆内，，解得或， 又表示焦点在轴上的椭圆，故，. 故答案为：. 【变式3】直线与椭圆有两个不同的交点，则的取值范围为_____________． 【答案】． 【分析】联立直线与椭圆方程，根据其有两个不同交点，令判别式大于，即可求解. 【详解】由题意， ∵此方程有两个不相等实根，∴， ∴． 故答案为：. 题型07直线与椭圆相切 【典例1】（23-24高三上·广东广州·开学考试）直线与圆和椭圆同时相切，请写出一条符合条件的的方程________ 【答案】或或（只需写一条） 【分析】画出它们的图像，由图像易得满足题意的两条公切线，再根据相切条件解得第三条公切线. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为，椭圆中，，它们的图象如下图：    由图可知，或与圆和椭圆同时相切， 即符合条件的的方程可以为或 假设公切线斜率存在且不为零时方程为，由图可知 所以① 由得 由得② 由①②解得 故答案为： 或或（只需写一条） 【典例2】已知椭圆的两个焦点分别为，，且椭圆经过点． （1）求椭圆方程； （2）若点为椭圆上一动点，则点到直线的最小距离． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据题意，利用代入法，结合椭圆中的关系进行求解即可； （2）根据椭圆的切线性质进行求解即可. 【详解】解：（1）椭圆的焦点为，① 又点在上，②，而③ 联立①②③得，椭圆方程为 （2）设与椭圆相切联立方程组： ， 显然易知当时，与距离最近， . 【变式1】过圆上一定点的圆的切线方程为.此结论可推广到圆锥曲线上.过椭圆上的点作椭圆的切线.则过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据类比推理，可得直线的方程，然后根据垂直关系，可得所求直线方程. 【详解】过椭圆上的点的 切线的方程为， 即，切线的斜率为， 与直线垂直的直线的斜率为， 过点且与直线垂直的 直线方程为， 即. 故选： 【点睛】本题考查类比推理以及直线的垂直关系，属中档题. 【变式2】已知椭圆，将绕坐标原点顺时针旋转90°得到椭圆，则椭圆与椭圆的公切线方程(切点在第一象限)为________. 【答案】 【解析】易得，设公切线方程，分别与，联立，利用求解. 【详解】因为， 由题意得:， 设公切线方程， 与联立，得， ，得， 与联立，得， ，得， 联立解得，， 因为切点在第一象限， 所以公切线方程为. 【变式3】在平面直角坐标系中，动点在椭圆上运动，则点到直线的距离的最大值为______． 【答案】 【解析】求出与已知直线平行且与椭圆相切的直线方程，根据椭圆的性质可得两条切线中与已知直线距离较远的那条直线上的点到直线的最大值． 【详解】解：设直线与椭圆相切 联解消去，得 ，解得或 与直线平行且与椭圆相切的直线方程为 其中与直线距离较远的是，且距离为， 到直线的最大距离为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了点到直线的距离公式、椭圆的简单几何性质和直线与圆锥曲线的关系等知识，属于中档题． 题型08弦长 【典例1】（2026·山东淄博·一模）已知椭圆：的左、右焦点分别为和，过且倾斜角为的直线与交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】椭圆：的右焦点， 过且倾斜角为的直线的方程为，即， 将代入，得到， 即， 设， 则， 则，故选项B正确. 【典例2】（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，是C上一点. (1)求C的方程； (2)已知斜率为1的直线l与C交于M，N两点，若，求l的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知条件列出关于的方程组求解； （2）设直线l：y＝x＋m，，直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后应用韦达定理，然后由圆锥曲线中的弦长公式求解. 【详解】（1）由题可知解得a＝2，， 所以C的方程为. （2）设直线l：y＝x＋m，. 由得，则， ， 解得，所以l的方程为. 【变式1】（25-26高二上·江西赣州·期末）已知离心率为的椭圆：的顶点所构成的四边形的面积为，过右焦点且斜率为1的直线交于，两点． (1)求的方程； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求解即得椭圆的方程； （2）依题意写出过点，的直线方程，与椭圆方程联立求出两点的横坐标，利用弦长公式计算即可. 【详解】（1）由题意，可得，解得 椭圆的标准方程为． （2）由（1）知椭圆的右焦点坐标为， 点，所在直线方程为． 联立，消去并整理得． 设，，则，， ． 【变式2】（25-26高二上·河北·期中）已知椭圆C的方程为（）上顶点为，离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)若斜率为2的直线l经过椭圆C的左焦点，且与椭圆C相交于M，N两点，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题求出，求出椭圆方程； （2）利用弦长公式求解. 【详解】（1）由题意，且，，得， 因此椭圆的方程为. （2）设椭圆左焦点为，直线的方程为，，， 联立直线方程与椭圆方程， 可得，解得：，. 所以 【变式3】（2025高二上·全国·专题练习）已知直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于A，B两点，弦AB的长为，求直线AB的方程． 【答案】 【分析】分别讨论直线斜率不存在于存在两种情况，当存在时设出点斜式，再与椭圆方程联立，根据弦长公式求斜率. 【详解】当直线的斜率不存在时，方程为，显然被椭圆截得的弦长为，不是，不合题意． 当直线的斜率存在时，设直线方程为． 设，则A，B的坐标为方程组的解， 消去y得， ， 所以， 代入弦长公式得 ，解得， 所以直线AB的方程为． 题型09中点弦和点差法 【典例1】（25-26高二上·辽宁丹东·期末）已知直线l与抛物线交于A，B两点，弦AB的中点为，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，设出点坐标，借助抛物线方程及弦中点坐标求出直线斜率，进而求出直线方程. 【详解】由直线l与抛物线交于A，B两点，设， 由弦AB的中点为，得，则直线的斜率， 所以直线l的方程为，即. 故选：A 【典例2】（25-26高二上·重庆·期中）已知椭圆 ，点 为椭圆内一点，过点 的直线 与椭圆交于 、 两点， (1)若直线 的斜率为 1，求线段 的长度. (2)若 为线段 的中点，求直线 的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出直线方程，然后联立直线与椭圆方程，求出坐标，进而可求出线段的长度. （2）设，然后将其代入椭圆方程中，两式相减，结合中点坐标，即可求出直线斜率，进而求出其方程. 【详解】（1）若直线的斜率为1，那么该直线方程为，即. 联立直线与椭圆方程组得，解得. 所以. 所以. （2）设，则满足，两式相减得 ，因为是线段的中点， 所以，所以， 则有，所以直线的方程为， 即，即. 【变式1】（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知直线l与椭圆相交于A，B两点，若弦AB的中点坐标为，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点差法即可求解. 【详解】设， 则，两式相减可得， 即. 因为弦AB的中点坐标为，所以， 所以. 易知，所以， 所以直线l的方程为，化简得. 经验证满足题意，故直线l的方程为. 故选：A. 【变式2】（24-25高二上·甘肃酒泉·期末）已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点，利用题设条件得出利用点差法得到 ，代入结论整理得直线的斜率，即可求出直线的方程. 【详解】设点，因点为线段的中点，则（*） 又在椭圆（即）上，则 ①， ② ， 由，可得， 将（*）代入，化简得，即，可知直线的斜率为， 故直线的方程为：，即. 故选：B. 【变式3】（25-26高二上·陕西西安·期中）已知是曲线上的动点，且动点与定点的距离和到直线的距离的比是常数． (1)求曲线的轨迹方程； (2)若过点的直线和曲线相交于，两点，且为线段的中点，求直线的方程． 【答案】(1). (2). 【分析】（1）根据距离公式可得出关于x、y所满足的等式，化简可得点M的轨迹方程； （2）设点、，由点差法求出直线斜率即可由点斜式方程得解. 【详解】（1）因为动点与定点的距离和到直线的距离的比是常数， 则，整理可得， 所以曲线的轨迹方程为. （2）由题意点在椭圆内，且直线l的斜率存在且不为0， 设点、，因为为线段的中点， 所以 ， 所以直线的方程为即.    题型10椭圆中三角形面积问题 【典例1】（25-26高二上·云南迪庆·期末）已知椭圆，点在椭圆上，且点到两焦点和的距离之和为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点的坐标为，过点的直线与椭圆交于（异于点）两点，且直线的斜率为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的定义求得后即可求得椭圆的标准方程； （2）由题意求得直线方程，直线与椭圆联立方程根据弦长公式求得，再利用点到直线的距离公式及三角形面积公式计算即可求解. 【详解】（1）由已知可得，化简可得， ， 则椭圆方程为； （2）设，， 由已知可得直线，即， 联立直线与椭圆，消去可得， 则，， 则， 又点到直线的距离， 所以； 【典例2】（25-26高二上·北京·期中）已知椭圆：（）的右顶点为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）依题意得到关于、的方程组，求出、，再求出，即可求出椭圆方程； （2）设的方程为，联立方程组，设，，利用面积分割法得，解方程求得的值，即可求解. 【详解】（1）依题意，所以，则， 所以椭圆的方程为. （2）由题意知，直线的斜率存在，设的方程为， 联立方程组，整理得到， 由，解得， 设，，则，， 所以的面积 ， 平方化简得，解得，所以， 所以l的方程为或， 即直线l的方程为或． 【变式1】（25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）已知椭圆的右焦点为，离心率为. (1)求的方程； (2)若为的左顶点，为上的动点，求面积的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据焦点、离心率求出椭圆参数值，进而写出椭圆方程； （2）由（1）知，结合椭圆的性质确定面积最大时对应的位置，即可得. 【详解】（1）由题意得，解得，所以的方程为； （2）    由（1）知，的坐标为，则， 由图知，当为的短轴的顶点时，的面积最大， 故面积的最大值为 【变式2】（26-27高三上·北京门头沟·开学考试）已知椭圆的焦距为2，椭圆上的点到两焦点距离之和为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交于，两点，直线与的另一个交点为，若的面积是的面积的4倍，求的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）根据椭圆的概念及基本性质，即可求得椭圆的方程； （2）设直线方程为，与椭圆联立，结合韦达定理及三角形的面积关系，即可求解. 【详解】（1）由椭圆定义，可得，解得， 又椭圆的焦距为2，即，解得， 又在椭圆中，，即，解得， 因此，椭圆的方程为. （2）由题意，直线的斜率一定存在，设其斜率为，则直线的方程为， 设，，将直线与椭圆联立，即， 整理得， 则，解得， 由韦达定理可得，， 因为直线与的另一个交点为，所以是关于原点的对称点， 所以, 又，所以，即，所以， 又，，所以， 代入韦达定理，可得，则，所以， 又，即，解得， 所以直线的方程为，即或. 【变式3】（26-27高二上·河南南阳·开学考试）（1）已知点到点的距离比到轴的距离大，求点的轨迹方程； （2）已知点分别为椭圆的左、右焦点，直线l经过点，且与椭圆交于，两点，求面积的最大值，并求此时的直线的方程. 【答案】（1）或；（2）面积的最大值为；直线的方程为. 【分析】(1) 距离条件要对横坐标分正负讨论，符合抛物线定义，时得到 轴负半轴，轨迹是抛物线加射线，切勿漏掉: (2) 过 轴上定点的直线，设可避开斜率不存在讨论；面积转化为，换元后用对勾函数求最值. 【详解】(1)当点横坐标大于等于时，由题意可转化为点到点的距离等于点到的距离， 设，所以点的轨迹是以为焦点，为准线，顶点在原点， 开口向右的抛物线，设其方程为，所以，， 所以点的轨迹方程为； 当点横坐标小于时，因为点到轴的距离为， 所以点在轴上，即点的轨迹方程为； 所以点的轨迹方程为或. (2)由题知，， 所以当直线与轴重合时，不满足条件， 因为直线经过点，故设直线，， 所以联立方程得，所以， 所以 令，则由对勾函数性质得函数为单调递增函数， 所以，此时，， 所以当时，的面积取得最大值，此时直线的方程为 题型11椭圆的定点、定值、定直线问题 【典例1】（25-26高二上·江苏扬州·期中）将圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，所得曲线为. (1)求曲线的方程； (2)若曲线上存在一定点和两动点（异于），且关于原点对称，试判断直线与直线斜率乘积是否为定值？ 【答案】(1) (2)为定值 【分析】（1）利用相关点法求曲线的方程. （2）列出，化简即可. 【详解】（1）设为曲线上的任意一点， 由题意，点为圆上的点， 所以. 即曲线的方程为：. （2）如图：    设，则，且，， 所以. 所以直线与直线斜率乘积为定值. 【典例2】（25-26高二下·湖北·期中）已知椭圆焦距为4，短轴长为4． (1)求椭圆的方程． (2)若椭圆与轴的交点为A，B（点位于点的上方），直线与椭圆交于不同的两点M，N．设直线AN与直线BM相交于点．试问点是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)在定直线上 【分析】（1）根据条件，可得b，c的值，根据的关系，可得的值，即可得答案. （2）将直线l与椭圆联立，根据韦达定理，可得表达式，求出直线AN、BM的方程，联立求解，化简整理，即可得答案. 【详解】（1）依题意可得，解得，则， 所以椭圆的方程为； （2）点在定直线上，理由如下： 设点， 联立，与直线联立消去，整理得， 由，得 且， 所以， 易知，则， 两式作商得，解得， 故在定直线上． 【变式1】（25-26高三上·青海西宁·阶段检测）已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆的上顶点，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线交椭圆于两点，直线的斜率为，直线的斜率为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积公式，可得关系，根据离心率，可得的关系，联立求解，即可得答案. （2）将直线与椭圆联立，结合韦达定理，设，可得，表达式，由题意得的表达式，化简整理，即可得答案. 【详解】（1）由题意，所以， 因为，所以， 又离心率，解得， 联立解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）将直线与椭圆联立，得， 设，则， 又，所以， 所以 . 【变式2】（25-26高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆C：（）的右焦点为，点在C上，直线l经过F且与C交于两点（不在x轴上）. (1)求C的方程； (2)若直线l的斜率为，求； (3)设分别为C的左，右顶点，直线与交于点T.证明：点T在定直线上. 【答案】(1)； (2)； (3)    设直线l方程为，与椭圆联立， 消得：， 设交点，则， 由分别为C的左，右顶点，则， 所以直线方程为：，直线方程为：， 两式消得：， 整理得： 由可得：， 所以有， 即点T在定直线上. 【分析】(1)利用已知条件列方程组求参数即可； (2)利用直线与椭圆联立方程组，结合弦长公式求解即可； (3)利用直线与椭圆联立，再用坐标去表示两直线方程，然后消，去求解交点的横坐标，再由根与系数关系，即可求得，从而问题得证. 【详解】（1）点在C上得：， 右焦点为得：，联立解得：， 所以椭圆方程为； （2）直线l经过F且斜率为，则直线方程为，与椭圆联立， 消得：， 设交点，则， 由弦长公式可得：； （3）略 【变式3】（26-27高三上·北京·开学考试）已知椭圆过点，且. (1)求椭圆的方程； (2)设为原点，过点的直线与椭圆交于不同的两点，，直线和分别与轴交于，两点，求证：为定值. 【答案】(1) (2) 证明：设过点的直线的方程为（避免斜率不存在的讨论）， 设，将代入椭圆方程得到： 展开整理得 ， 由韦达定理得： 点，直线的方程为 令得的纵坐标： 同理，直线与轴交点的纵坐标： 因此：， 由于故同理 计算分母： 代入韦达定理结果： 分子部分：， 因此： 故为定值. 【详解】（1）椭圆过点，将代入椭圆方程： ，又已知， 因此故，所以椭圆方程。 （2）略 题型12椭圆中的向量问题 【典例1】（福建漳州市2027届高三毕业班教学质量检测数学试题）已知动圆过点，且与圆相内切，记动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)设斜率为的直线与的交点为，与轴的交点为，若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设动圆圆心为，半径为，根据条件可得，再利用椭圆的定义即可求解； （2）设直线，，联立直线与椭圆方程，根据条件，利用根与系数间的关系求出，即可求解. 【详解】（1）设动圆圆心为，半径为，因为动圆过点，则， 圆的圆心为，半径为，又动圆与圆相内切， 则，所以， 则动圆圆心的轨迹是以为焦点的椭圆，且，得到， 所以，则的方程为. （2）设直线，，易知， 由，消得到，即， 则，且①，②， 又，且，所以③， 由①③得到，由②③得到，所以， 整理得到，解得，满足， 所以直线的方程为或. 【典例2】（26-27高三上·陕西榆林·开学考试）已知椭圆，为的右焦点，点，在上，且关于轴对称，，分别为线段，的中点，为坐标原点． (1)求的方程； (2)证明：是定值； (3)是否存在点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明：设椭圆的左焦点为，连接，， 由椭圆的对称性知； 因为，分别为线段，的中点， 所以， 又因为， 所以，即为定值． (3)存在，点或或或 【分析】（1）因为椭圆的方程和焦点坐标得到和的值，利用公式求出，从而得到椭圆的方程． （2）设椭圆的左焦点为，连接，，根据椭圆的对称性得到，利用，分别为线段，的中点得到，结合椭圆的定义得解. （3）假设存在点，使得，设点，由，关于轴对称得到，求出，由点在上得到，由，分别为线段，的中点得到，由得到，通过计算得解. 【详解】（1）因为椭圆， 为的右焦点， 所以，，所以， 所以椭圆． （2）略 （3）假设存在点，使得， 设点， 因为，关于轴对称， 所以， 所以． 因为点在上， 所以，即， 代入得到， 因为，分别为线段，的中点， 所以， 若，则，即，此时， 即，解得，， 所以存在点或或或， 使得． 【变式1】（26-27高三上·安徽阜阳·开学考试）已知椭圆的上顶点与右焦点间的距离为，且椭圆经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)设，分别为椭圆的左、右顶点，是椭圆上异于点，的动点，直线，分别交直线于，两点，求（为坐标原点）的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意计算即可得； （2）设，则有，再表示出直线、的方程，即可得、点坐标，最后计算即可得解. 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆的标准方程为； （2）由（1）知，，设， 因为点在椭圆上，所以，即有， ，则直线的方程为， 令，得，所以， ，则直线的方程为， 令，得，所以， 则，， 所以 . 【变式2】（25-26高二下·江苏盐城·期末）已知椭圆：（）经过，且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为1的直线交椭圆于，两点． （i）若直线经过椭圆的右焦点，求的面积； （ii）求的最小值． 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【分析】（1）由椭圆过，椭圆离心率以及求解即可； （2）（i）由直线经过椭圆的右焦点以及斜率为1，直线与椭圆联立，解得交点，的坐标，即可求解； （ii）设直线的方程，与椭圆联立，再由韦达定理代入，由一元二次方程性质即可求解. 【详解】（1）因为椭圆：（）经过，所以，因为椭圆离心率为， 所以，因为，所以解得，所以椭圆：. （2）（i）由题意可得，，因为直线的斜率为，所以直线：，所以联立， 可得，化简可得，解得或， 所以，，故点到直线的距离为， 所以. （ii）设直线：，设，， 所以联立，可得， 可得，由韦达定理可得， 则，， 所以， 因为，， 所以， 即， 所以， 当时，取得最小值，即此时. 【变式3】（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知椭圆经过点为椭圆的左、右两个焦点，． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过右焦点作直线与椭圆C交于两点（点A位于x轴上方），是否存在直线，使得？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据已知的焦距、椭圆上一点的坐标以及的基本关系式列出方程组，利用待定系数法求解出椭圆的标准方程; （2）设出直线方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理将给定的向量关系转化为两交点纵坐标之间的代数关系，代入计算即可求出直线参数. 【详解】（1）由题意，可得，解得 故椭圆的标准方程为． （2）由题意，若存在这样的直线，则直线的斜率存在且不为0， 易知，设直线的方程为， 因为，所以有，其中， 联立可得， ， 故，， 因为，即， 代入到得，整理得， 代入到得，整理得， 因此有，整理得，解得． 又，故，所以， 所以存在直线满足条件且其方程为，即． 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 1．（2026·贵州黔南·模拟预测）椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【答案】D 【分析】利用椭圆的性质计算即可. 【详解】A选项，椭圆的长轴长为，椭圆的长轴长为，所以A选项错误； B选项，椭圆的短轴长为，椭圆的短轴长为，所以B选项错误； C选项，椭圆的离心率为，椭圆的离心率为，所以C选项错误； D选项，椭圆的焦距为，椭圆的焦距为，所以D选项正确. 2．（2026·安徽滁州·三模）已知椭圆C：经过点，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知椭圆C：经过点， 则，解得， ， ． 3．（24-25高二下·上海·期中）若椭圆的离心率，则的值为（    ） A．16 B．16或 C． D．3或 【答案】B 【详解】当焦点在轴时，有 ，，则，解得； 当焦点在轴时，有 ，，则，解得， 因为，满足题意，综上所述，或. 4．（2026·河北张家口·三模）已知椭圆的离心率为，则C的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设椭圆的焦距为. 由题意得，则， 所以，即， 结合选项依次判断，只有A选项满足. 5．（2026·云南保山·二模）设椭圆的离心率为，，，分别为其左、右焦点，点为椭圆短轴的一个端点，且的面积为2，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由椭圆离心率为，得，即，又因为，所以， 又点为椭圆短轴顶点，则，解得，所以， 即椭圆的方程为. 6．（25-26高三下·海南·阶段检测）已知椭圆的右焦点为F，点O为坐标原点，点P为椭圆C上一点，点Q为PF中点，若的周长为4，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由中位线性质得出的周长，从而求得半焦距，再由离心率的定义式计算即可. 【详解】由椭圆方程，可得，即长半轴, 如图所示，设椭圆左焦点为，原点是的中点，是的中点， 则是的中位线，得； 因为，椭圆半焦距. 所以的周长为：. 由，可得：， 代入，得，即，故椭圆离心率. 7．（多选）（2026·云南·模拟预测）已知椭圆：的两个焦点分别为，，点为上的动点，以下正确的是（     ） A．椭圆离心率为 B．的周长为6 C．的最小值为 D．面积的最大值为 【答案】ABD 【分析】由椭圆方程求出，即得离心率，判断A；根据椭圆的定义即可求出的周长，判断B；由椭圆上一点到焦点的距离最小值为，判断C；结合图形可知，当的边上的高最大时其面积最大，计算即可判断D. 【详解】由题可知，，则，则离心率，故A正确； 由椭圆的定义可知，， 所以的周长为，故B正确； 由图知，椭圆上一点到焦点的距离最小值为，即，故C错误； 由，则当点在上顶点或下顶点时， 即取得最大值时，面积的最大值为，故D正确. 8．（多选）（25-26高二上·宁夏中卫·期末）已知分别是椭圆：，的左、右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ） A．的周长为6 B．的最小值为1 C．若，则的面积为 D．椭圆的离心率为 【答案】AC 【分析】由椭圆方程得，即判断离心率，由焦点三角形的性质求解其周长和面积，从而判断AC，由焦半径的取值范围判断B. 【详解】由椭圆方程：，可知，. 对于D选项，离心率为，D选项错误； 对于A选项，的周长为，A选项正确； 对于B选项，根据椭圆焦半径性质，，取等号条件是为长轴的两个端点， 由题知等号条件取不到，因此，无最小值，B选项错误； 对于C选项，不妨设，由椭圆的定义，则， 中，由余弦定理可得， 从而，即，，C选项正确. 故选：AC 9．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知椭圆：（）的右焦点为，若，则椭圆的离心率为_________． 【答案】 【分析】根据题意，得到方程即可求解. 【详解】已知椭圆：（），且，则， 化简得，即，使用求根公式，得， 又因为，所以. 10．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）椭圆的两焦点分别为，设椭圆的离心率，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】根据椭圆的方程和离心率公式可得到，结合椭圆的离心率的取值范围解不等式即可. 【详解】依题意，设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，则，所以， 又椭圆的离心率为，所以， 即，即，解得， 则实数的取值范围是. 故答案为：. B能力提升 1．（2026·河南·模拟预测）已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆上，且的周长为，则的面积的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【详解】由椭圆定义可知，焦距， 则，离心率， 联立，解得， ， ， 椭圆上，，当时，的面积最大， 最大值为． 2．（多选）（25-26高二下·云南玉溪·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．不存在点，使得 C．的最大值为4 D．使得为等腰三角形的点共有六个 【答案】BCD 【分析】A选项：利用离心率公式计算即可；B选项：设，利用的符号判断夹角即可；C选项：结合椭圆定义和基本不等式求的最大值即可；D选项：分、、三类情况，分别计数符合条件的点的个数即可. 【详解】已知椭圆，其中，，， 对于A：离心率，故A错误； 对于B：设，则， 又因为，化简得：，代入得：， 所以两向量的夹角不可能为钝角，故B正确； 对于C：设，，则， 由均值不等式，，当且仅当时取等号， 所以的最大值为4，故C正确； 对于D：等腰三角形有三种情况， （1）当时，点P取短轴端点，共有2个点P符合要求； （2）当时， 设，由距离公式：，平方得：， 由点P在椭圆上，得， 代入：．化简得：， 解得：． 因为，所以，所以共有两个点P符合要求； （3）当时，同理共有两个点P符合要求； 综上：使得为等腰三角形的点P共有六个，故D正确． 3．（多选）（25-26高二下·贵州遵义·期末）已知为圆上的动点，过点作轴的垂线段，为垂足，线段的中点的轨迹为曲线，直线：与曲线相交于两点．下列结论正确的是（    ） A．的方程为 B． C．的面积为 D．上的点到的距离的最大值为 【答案】ACD 【分析】先用相关点法设中点坐标反推圆上动点坐标，代入圆方程求得椭圆曲线；联立直线与椭圆方程，借助韦达定理和弦长公式判断弦长，再用点到直线距离结合弦长求三角形面积；利用椭圆参数方程结合辅助角公式求出曲线上点到直线距离最大值，逐一判定选项． 【详解】对于A，设，由题意，是中点，故， 因为在圆上，所以，化简得，A正确； 对于B，联立，整理得， ， 设，由韦达定理得，， 所以 ，B错误； 对于C，原点到直线：的距离， ，C正确； 对于D，椭圆的参数方程为，， 点到直线距离公式， ，其中， 最大值出现在时， ，D正确． 4．（26-27高二上·全国·课后作业）已知椭圆的两个焦点分别为，，且椭圆与直线相切．过作两条互相垂直的直线，，与椭圆分别交于点，及，，则四边形面积的最大值与最小值分别为________． 【答案】2， 【详解】设椭圆方程为．因为它与直线只有一个公共点，所以方程组只有一组解，消去，整理得． 所以，化简得． 又焦点为，，所以，联立上式解得，， 所以椭圆的方程为．    若直线的斜率不存在（或为0），则四边形的面积为． 若直线的斜率存在且不为0，设为，则直线的斜率为． 所以直线的方程为，设，， 联立方程得化简得， 则，， ， 同理可得． 所以． 因为（当且仅当时，等号成立）， 所以，所以． 综上所述，四边形面积的最大值为2，最小值为． C综合素养 1．（福建漳州市2027届高三毕业班教学质量检测数学试题）已知动圆过点，且与圆相内切，记动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)设斜率为的直线与的交点为，与轴的交点为，若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设动圆圆心为，半径为，根据条件可得，再利用椭圆的定义即可求解； （2）设直线，，联立直线与椭圆方程，根据条件，利用根与系数间的关系求出，即可求解. 【详解】（1）设动圆圆心为，半径为，因为动圆过点，则， 圆的圆心为，半径为，又动圆与圆相内切， 则，所以， 则动圆圆心的轨迹是以为焦点的椭圆，且，得到， 所以，则的方程为. （2）设直线，，易知， 由，消得到，即， 则，且①，②， 又，且，所以③， 由①③得到，由②③得到，所以， 整理得到，解得，满足， 所以直线的方程为或. 2．（2026高二·全国·专题练习）（1）已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，求椭圆C1的离心率的取值范围； （2）已知动点P在椭圆上，为椭圆的焦点，若，，且恒成立，求实数的最小值. 【答案】（1） ； （2） . 【分析】（1）由题意知，存在点P使和两个切点围成的四边形为正方形，得，进而知即可，利用椭圆参数关系求离心率范围. （2）依题意知，该椭圆的焦点，点M在以为圆心，1为半径的圆上，当PF最长时，切线长PM最大，作出图形，即可得到答案． 【详解】（1）设过作圆的切线，切点为，连接， 因为，根据切线的对称性可知， 在中，则， 可得，即，， 可得，化简得，可得，即， 所以椭圆离心率的取值范围为； （2）由题意可知：，，， 设为椭圆的右焦点， 因为，可知点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 又因为，则，可知为圆的切线， 且，则，可得， 所以实数的最小值为. 3．（26-27高三上·四川南充·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且，点，是椭圆上关于坐标原点对称的两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在第一象限，轴于点，直线交椭圆于点（不同于点），证明：； (3)已知点在椭圆上，直线与圆相切，连接，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1)； (2)证明：由题可设，则， 所以直线的方程为， 联立， 则、，即， 所以，又， 所以； 所以； (3)为定值，定值为.理由如下： 当直线斜率不存在时，，则， 所以，故， 当直线斜率存在时，设， 则，即， 联立， 设，则即，且， 所以 ， ， 由题意，， 所以. 综上，是定值，定值为1. 【分析】（1）设，代点并结合数量积的运算建立关于的方程组即可计算求解； （2）设，联立直线的方程与椭圆方程求出点M，再由数量积运算求出即可得证； （3）先分析计算直线斜率不存在时的值，接着分析直线斜率存在时情况，此时设，依据直线与圆相切和点到直线距离公式计算得到等量关系，再联立直线和椭圆方程，利用韦达定理、弦长公式和两点间距离公式依次计算和即可得到，进而得解. 【详解】（1）设， 则由题， 所以椭圆C标准方程； （2）略 （3）略 4．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）椭圆的离心率，过右焦点的直线与上下两个交点为，． (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆的左右顶点分别为，，直线，分别交轴于，两点，试问：与的面积比是否为定值，若为定值，证明你的结论；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)为定值，根据题意，可设直线的方程为， 联立，整理得， 设，，则，． 得直线的方程为，直线的方程为， 又直线，分别交轴于，两点， 则，，又，，且，为轴上下两个点． 则，，． 由，得， 则． 又，所以．即与的面积比为定值． 【分析】（1）由椭圆的离心率和焦点坐标求解即可； （2）可设直线的方程为，联立椭圆方程，由根与系数的关系求出，即可求解． 【详解】（1）椭圆的标准方程为：． 根据题意，可得．又离心率，所以，所以， 所以椭圆的标准方程为． （2）略 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 3.1.2椭圆的简单几何性质 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 （） （） 范围 ， ， 顶点 ，， ， 轴长 短轴长＝，长轴长＝ 焦点 焦距 对称性 对称轴：轴、轴　对称中心：原点 离心率 ， 【即学即练1】（25-26高二下·陕西商洛·期末）椭圆的短轴长为（   ） A． B． C． D． 知识点02：椭圆的简单几何性质 离心率：椭圆焦距与长轴长之比：. （） 当越接近1时，越接近，椭圆越扁； 当越接近0时，越接近0，椭圆越接近圆； 当且仅当时，图形为圆，方程为 【即学即练2】（26-27高三上·湖南·阶段检测）椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 知识点03：常用结论 1、与椭圆共焦点的椭圆方程可设为： 2、有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上） 3、椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）： （1）； （2），，； （3）,，； 知识点04：直线与椭圆的位置关系 1、直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为. ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 【即学即练3】（26-27高二上·全国·课后作业）与椭圆有公共焦点的椭圆是（   ） A． B．C．D． 2、直线与椭圆的相交弦 直线与椭圆问题（韦达定理的运用） （1）弦长公式：若直线与圆锥曲线相交与、两点，则： 弦长 弦长 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： ； （2）结论1：已知弦是椭圆（）的一条弦，中点坐标为，则的斜率为 运用点差法求的斜率，设，；、都在椭圆上， 两式相减得：， 即 ，故 结论2：弦的斜率与弦中心和椭圆中心的连线的斜率之积为定值： （3）.已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点， ．求：的面积（用、、表示）． 设，由椭圆的对称性，不妨设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限． 由余弦定理知： · ① 由椭圆定义知： ②，则得 故 【即学即练4】（26-27高三·全国·一轮复习）已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于A、B两点，则弦的长为________． 第三部分 题型精讲 题型01根据椭圆的标准方程研究其几何性质 【典例1】（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知是椭圆上的点，则的值可能是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【典例2】已知、分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点，若，则这样的点P有______个． 【变式1】（25-26高二下·河南新乡·期中）若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则长轴长为（    ） A． B．12 C． D．24 【变式2】（多选）（25-26高二上·云南玉溪·期末）已知直线与椭圆有公共点，则可取（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 【变式3】（多选）（25-26高三下·辽宁铁岭·阶段检测）已知椭圆与椭圆，则（    ） A．的短轴长相等 B．有公共点 C．的焦距相等 D．的离心率相等 题型02根据椭圆的几何性质求其标准方程 【典例1】（26-27高三·全国·一轮复习）已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为，则椭圆方程为（    ） A．或 B． C．或 D．或 【典例2】已知椭圆焦点在轴，它与椭圆有相同离心率且经过点，则椭圆标准方程为______. 【变式1】2．已知椭圆的方程为，且离心率为，则下列选项中不满足条件的为（    ） A． B．C．D． 【变式2】（25-26高二上·广东江门·期末）已知椭圆（），离心率为，长轴长为4，则的方程为（    ） A． B． C．D． 【变式3】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知点是椭圆上一点，，分别是其左、右焦点，若，离心率为，则椭圆的标准方程为_____ 题型03求椭圆的离心率的值 【典例1】（26-27高三上·安徽六安·开学考试）已知椭圆：的两个焦点分别为，，点是上除长轴端点外的动点，若的周长恒为6，面积的最大值为，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二下·上海·期中）已知椭圆经过点，则椭圆的离心率为_____. 【变式1】（25-26高二下·河南驻马店·期末）已知椭圆的短轴的长为6，则该椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·云南曲靖·二模）经过椭圆的左顶点与上顶点的直线的斜率为，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·贵州安顺·模拟预测）已知椭圆：的一个长轴端点与一个短轴端点之间的距离为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 题型04求椭圆的离心率的最值或范围 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）已知是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·山西运城·二模）已知点在椭圆的内部，为的左焦点，为上的动点，若的最大值大于，则的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·河北唐山·二模）若，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·贵州毕节·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B为椭圆上关于原点对称的两点，A点在第一象限，若，，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型05根据椭圆离心率求参数 【典例1】（26-27高三·全国·一轮复习）已知椭圆的离心率，则实数的值为（    ） A．3 B．3或 C． D．或 【典例2】（26-27高三上·广西南宁·开学考试）设椭圆与的离心率相等，则______． 【变式1】（25-26高二上·江苏宿迁·期中）椭圆的离心率的范围为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．D． 【变式2】（2024·广西·二模）已知椭圆的离心率为，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知椭圆的离心率，则的值为（    ） A．12 B． C．12或 D．或 题型06直线与椭圆的位置关系 【典例1】（25-26高二上·河南·阶段检测）直线与椭圆的位置关系为（    ） A．与k的值有关 B．相切 C．相离 D．相交 【典例2】（24-25高二上·浙江温州·期末）已知直线与曲线有两个公共点，则k的取值范围是（    ） A． B． C．D． 【变式1】（25-26高二上·上海·阶段检测）若过点的任意直线均与椭圆相交，则实数的取值范围是______． 【变式2】若直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则n的取值范围是_____ 【变式3】直线与椭圆有两个不同的交点，则的取值范围为_____________． 题型07直线与椭圆相切 【典例1】（23-24高三上·广东广州·开学考试）直线与圆和椭圆同时相切，请写出一条符合条件的的方程________ 【典例2】已知椭圆的两个焦点分别为，，且椭圆经过点． （1）求椭圆方程； （2）若点为椭圆上一动点，则点到直线的最小距离． 【变式1】过圆上一定点的圆的切线方程为.此结论可推广到圆锥曲线上.过椭圆上的点作椭圆的切线.则过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知椭圆，将绕坐标原点顺时针旋转90°得到椭圆，则椭圆与椭圆的公切线方程(切点在第一象限)为________. 【变式3】在平面直角坐标系中，动点在椭圆上运动，则点到直线的距离的最大值为______． 题型08弦长 【典例1】（2026·山东淄博·一模）已知椭圆：的左、右焦点分别为和，过且倾斜角为的直线与交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，是C上一点. (1)求C的方程； (2)已知斜率为1的直线l与C交于M，N两点，若，求l的方程. 【变式1】（25-26高二上·江西赣州·期末）已知离心率为的椭圆：的顶点所构成的四边形的面积为，过右焦点且斜率为1的直线交于，两点． (1)求的方程； (2)求． 【变式2】（25-26高二上·河北·期中）已知椭圆C的方程为（）上顶点为，离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)若斜率为2的直线l经过椭圆C的左焦点，且与椭圆C相交于M，N两点，求的长. 【变式3】（2025高二上·全国·专题练习）已知直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于A，B两点，弦AB的长为，求直线AB的方程． 题型09中点弦和点差法 【典例1】（25-26高二上·辽宁丹东·期末）已知直线l与抛物线交于A，B两点，弦AB的中点为，则直线l的方程为（   ） A． B．C．D． 【典例2】（25-26高二上·重庆·期中）已知椭圆 ，点 为椭圆内一点，过点 的直线 与椭圆交于 、 两点， (1)若直线 的斜率为 1，求线段 的长度. (2)若 为线段 的中点，求直线 的方程. 【变式1】（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知直线l与椭圆相交于A，B两点，若弦AB的中点坐标为，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·甘肃酒泉·期末）已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·陕西西安·期中）已知是曲线上的动点，且动点与定点的距离和到直线的距离的比是常数． (1)求曲线的轨迹方程； (2)若过点的直线和曲线相交于，两点，且为线段的中点，求直线的方程．   题型10椭圆中三角形面积问题 【典例1】（25-26高二上·云南迪庆·期末）已知椭圆，点在椭圆上，且点到两焦点和的距离之和为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点的坐标为，过点的直线与椭圆交于（异于点）两点，且直线的斜率为，求的面积． 【典例2】（25-26高二上·北京·期中）已知椭圆：（）的右顶点为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程. 【变式1】（25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）已知椭圆的右焦点为，离心率为. (1)求的方程； (2)若为的左顶点，为上的动点，求面积的最大值. 【变式2】（26-27高三上·北京门头沟·开学考试）已知椭圆的焦距为2，椭圆上的点到两焦点距离之和为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交于，两点，直线与的另一个交点为，若的面积是的面积的4倍，求的方程． 【变式3】（26-27高二上·河南南阳·开学考试）（1）已知点到点的距离比到轴的距离大，求点的轨迹方程； （2）已知点分别为椭圆的左、右焦点，直线l经过点，且与椭圆交于，两点，求面积的最大值，并求此时的直线的方程. 题型11椭圆的定点、定值、定直线问题 【典例1】（25-26高二上·江苏扬州·期中）将圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，所得曲线为. (1)求曲线的方程； (2)若曲线上存在一定点和两动点（异于），且关于原点对称，试判断直线与直线斜率乘积是否为定值？ 【典例2】（25-26高二下·湖北·期中）已知椭圆焦距为4，短轴长为4． (1)求椭圆的方程． (2)若椭圆与轴的交点为A，B（点位于点的上方），直线与椭圆交于不同的两点M，N．设直线AN与直线BM相交于点．试问点是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【变式1】（25-26高三上·青海西宁·阶段检测）已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆的上顶点，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线交椭圆于两点，直线的斜率为，直线的斜率为，求的值. 【变式2】（25-26高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆C：（）的右焦点为，点在C上，直线l经过F且与C交于两点（不在x轴上）. (1)求C的方程； (2)若直线l的斜率为，求； (3)设分别为C的左，右顶点，直线与交于点T.证明：点T在定直线上. 【变式3】（26-27高三上·北京·开学考试）已知椭圆过点，且. (1)求椭圆的方程； (2)设为原点，过点的直线与椭圆交于不同的两点，，直线和分别与轴交于，两点，求证：为定值. 题型12椭圆中的向量问题 【典例1】（福建漳州市2027届高三毕业班教学质量检测数学试题）已知动圆过点，且与圆相内切，记动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)设斜率为的直线与的交点为，与轴的交点为，若，求直线的方程. 【典例2】（26-27高三上·陕西榆林·开学考试）已知椭圆，为的右焦点，点，在上，且关于轴对称，，分别为线段，的中点，为坐标原点． (1)求的方程； (2)证明：是定值； (3)是否存在点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（26-27高三上·安徽阜阳·开学考试）已知椭圆的上顶点与右焦点间的距离为，且椭圆经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)设，分别为椭圆的左、右顶点，是椭圆上异于点，的动点，直线，分别交直线于，两点，求（为坐标原点）的值. 【变式2】（25-26高二下·江苏盐城·期末）已知椭圆：（）经过，且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为1的直线交椭圆于，两点． （i）若直线经过椭圆的右焦点，求的面积； （ii）求的最小值． 【变式3】（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知椭圆经过点为椭圆的左、右两个焦点，． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过右焦点作直线与椭圆C交于两点（点A位于x轴上方），是否存在直线，使得？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 1．（2026·贵州黔南·模拟预测）椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 2．（2026·安徽滁州·三模）已知椭圆C：经过点，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海·期中）若椭圆的离心率，则的值为（    ） A．16 B．16或 C． D．3或 4．（2026·河北张家口·三模）已知椭圆的离心率为，则C的方程可以为（    ） A． B． C．D． 5．（2026·云南保山·二模）设椭圆的离心率为，，，分别为其左、右焦点，点为椭圆短轴的一个端点，且的面积为2，则椭圆的方程为（   ） A． B． C．D． 6．（25-26高三下·海南·阶段检测）已知椭圆的右焦点为F，点O为坐标原点，点P为椭圆C上一点，点Q为PF中点，若的周长为4，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．（多选）（2026·云南·模拟预测）已知椭圆：的两个焦点分别为，，点为上的动点，以下正确的是（     ） A．椭圆离心率为 B．的周长为6 C．的最小值为 D．面积的最大值为 8．（多选）（25-26高二上·宁夏中卫·期末）已知分别是椭圆：，的左、右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ） A．的周长为6 B．的最小值为1 C．若，则的面积为 D．椭圆的离心率为 9．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知椭圆：（）的右焦点为，若，则椭圆的离心率为_________． 10．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）椭圆的两焦点分别为，设椭圆的离心率，则实数的取值范围是_____. B能力提升 1．（2026·河南·模拟预测）已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆上，且的周长为，则的面积的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 2．（多选）（25-26高二下·云南玉溪·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．不存在点，使得 C．的最大值为4 D．使得为等腰三角形的点共有六个 3．（多选）（25-26高二下·贵州遵义·期末）已知为圆上的动点，过点作轴的垂线段，为垂足，线段的中点的轨迹为曲线，直线：与曲线相交于两点．下列结论正确的是（    ） A．的方程为 B． C．的面积为 D．上的点到的距离的最大值为 4．（26-27高二上·全国·课后作业）已知椭圆的两个焦点分别为，，且椭圆与直线相切．过作两条互相垂直的直线，，与椭圆分别交于点，及，，则四边形面积的最大值与最小值分别为________． C综合素养 1．（福建漳州市2027届高三毕业班教学质量检测数学试题）已知动圆过点，且与圆相内切，记动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)设斜率为的直线与的交点为，与轴的交点为，若，求直线的方程. 2．（2026高二·全国·专题练习）（1）已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，求椭圆C1的离心率的取值范围； （2）已知动点P在椭圆上，为椭圆的焦点，若，，且恒成立，求实数的最小值. 3．（26-27高三上·四川南充·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且，点，是椭圆上关于坐标原点对称的两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在第一象限，轴于点，直线交椭圆于点（不同于点），证明：； (3)已知点在椭圆上，直线与圆相切，连接，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 4．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）椭圆的离心率，过右焦点的直线与上下两个交点为，． (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆的左右顶点分别为，，直线，分别交轴于，两点，试问：与的面积比是否为定值，若为定值，证明你的结论；若不为定值，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $