第二十五章 一元二次方程 本章复习课 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了一元二次方程的概念、解法、性质及应用，通过表格对比不同解法的适用类型与核心步骤，结合根的判别式和根与系数关系，构建完整的知识网络，帮助学生理清知识点内在逻辑。 其亮点在于采用“概念回顾-解法梳理-性质应用-实际建模”的递进式复习策略，如通过几何面积、增长率等实际问题典例，培养学生数学建模和运算能力，分层作业设计兼顾基础与拓展，助力教师精准教学，有效提升学生知识巩固效果。

第二十五章 一元二次方程 本章复习课 回顾与思考 1 导入新课 1.概念回顾 (1)定义: 只含有一个未知数, 且含有未知数的式子都是整式, 未知数的最高次数是 2, 这样的方程叫作一元二次方程. (2)一般形式: ax2 + bx + c = 0 (a, b, c 为常数, a ≠ 0). (3)项和系数: 一次项为 bx, 一次项系数为 b; 常数项为 c. 二次项为 ax2, 二次项系数为 a; 2 导入新课 (4)一个方程是一元二次方程需同时满足: ① 含有一个未知数; ② 未知数的最高次数为 2; ③ 二次项系数不为 0; ④ 整式方程. 同时满足 3 导入新课 2.解法梳理 解法 适用方程类型 核心步骤 注意事项 直接开 平方法 配方法 公式法 因式分 解法 (mx + n)2 = p (p ≥ 0) 所有一元二次方程, 尤其是二次项系数为 1 的方程 直接开平方降次 注意符号,有两个解(p > 0 时) 移项 → 化二次项系数为 1 → 配方 → 开平方 配方时加一次项系数一半的平方 化为一般形式 → 计算判别式 → 代入求根公式 先判断Δ 的符号, Δ≥ 0 才有实根 所有的一元二次方程 能分解为两个一次因式乘积的方程 因式分解 → 转化为两个一元一次方程 避免漏根(如 x2 = 3x 不能直接约去 x) 4 导入新课 3.性质梳理 (1)一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根的判别式: Δ > 0 → 两个不相等的实数根; Δ= 0 → 两个相等的实数根; Δ< 0 → 无实数根. Δ = b2 - 4ac. 5 导入新课 (2)根与系数的关系: 注意: 已知 x1, x2 是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a, b, c 为常数, a ≠ 0) 的两根, 则有 x1 + x2 = , x1x2 = (1)不是一般形式的, 要化成一般形式; (2)在方程有实数根的条件下应用, 即 b2 - 4ac ≥ 0; (3)在使用 x1 + x2 = 时, 注意“-”不要漏写. 6 导入新课 4.应用分类 传播问题、增长率/下降率问题、几何图形面积问题、比赛场次问题等. 7 导入新课 列方程解应用题的一般步骤: 审: 设: 列: 解: 验: 答: 审清题意, 分清题中的已知量、未知量. 设未知数, 设其中某个未知量为 x. 根据题意寻找等量关系列方程. 解方程. 检验方程的解是否符合题意. 写出答案(包括单位). 8 高效课堂 任务：典例探究，深化理解 例 1 将方程 3x(x - 2) = 2(x + 1) 化为一元二次方程的一般形式, 并指出二次项系数、一次项系数和常数项. 解析 将方程 3x(x - 2) = 2(x + 1) 化为一般形式. 类型 1: 一元二次方程的概念及其一般形式 先去括号得 3x2 - 6x = 2x + 2, 移项、合并同类项得 3x2 - 8x - 2 = 0. 根据一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), 识别二次项系数 a = 3, 一次项系数 b = -8, 常数项 c = -2. 答案 一般形式为 3x2 - 8x - 2 = 0, 二次项系数为 3, 一次项系数为 -8, 常数项为 -2. 9 高效课堂 方法总结: 化为一般形式的步骤: 去括号 移项 合并同类项 排列 (所有项移至左边) (按未知数次数从高到低排列,注意符号变化) 10 高效课堂 例 2 解下列方程,选择最优解法: (1) (x + 3)2 = 16; (2) x2 - 4x - 5 = 0; (3) 2x2 - 5x - 1= 0; (4) 3x(x - 2) = 2(x - 2); (5) x2 - 6x + 9 = 0. 类型 2: 一元二次方程的解法选择 答案 (1) x + 3 =± 4, 解得 x1 = 1, x2 = -7. (2) 移项, 得 x2 - 4x = 5, 配方, 得 (x - 2)2 = 9, 解得 x1 = 5, x2 = -1. (4) 移项, 得 3x(x - 2) - 2(x - 2) = 0, 提公因式, 得(x - 2)(3x - 2) = 0, 解得 (5) 化为 (x - 3)2 = 0, 解得 x1 = x2 = 3. (3) a = 2, b = -5, c = -1, Δ = (-5)2 - 4×2×(-1) = 33 > 0, 解得 x = , 即 x1 = , x2 = . x1 = 2, x2 = . 11 高效课堂 方法总结: 能因式分解先 因式分解 能开平方先 开平方 复杂方程用 公式法 二次项系数为 1 用 配方法 解法选择优先顺序 避免盲目计算 ! 12 高效课堂 例 3 (1)若关于 x 的方程 kx2 - 2x - 1 = 0 有两个不相等的实数根, 求 k 的取值范围. (2)求证: 无论 m 取何值, 方程 x2 - (m + 2)x + 2m = 0 总有实数根. 类型 3: 根的判别式的应用(含参数方程) 答案 (1)方程 kx2 - 2x - 1=0 有两个不等实根, 需满足“二次项系数 ≠ 0”且“Δ> 0”. (2)对于方程 x2 - (m + 2)x + 2m = 0, Δ=[-(m + 2)]2 - 8m = (m - 2)2 ≥ 0, 故总有实数根. 即 k ≠ 0 且 Δ= (-2)2 - 4k×(-1) = 4 + 4k > 0, 解得 k > -1 且 k ≠ 0. 13 高效课堂 方法总结: 含参数的一元二次方程根的情况判断 需同时兼顾 二次项系数不为 0 判别式符号 二者缺一不可 ! 14 高效课堂 类型 4: 根与系数关系应用(代数式变形) 答案 已知方程 x2 - 4x + 3 = 0 的两根分别为 x1, x2, 例 4 已知方程 x2 - 4x + 3 = 0 的两根分别为 x1, x2, 求下列代数式的值: (1) ; (2) ; (3) ; (4) . (1) (2) (3) (4) 由根与系数的关系得 x1 + x2 = 4, x1x2 = 3. 15 高效课堂 方法总结: 利用根与系数的关系进行代数式变形时, 核心是 无需直接求出方程的根 两根之和 x1 + x2 两根之积 x1x2 复杂的代数式 有关的形式 转化 16 高效课堂 类型 5: 实际应用(几何面积问题) 答案 设剪去正方形的边长为 x cm, 则纸盒底面长为(19 - 2x)cm, 宽为(15 - 2x)cm. 例 5 矩形硬纸片长 19 cm、宽 15 cm, 在四角剪去相同的正方形后折成一个无盖纸盒, 若纸盒的底面积为 117 cm2, 求剪去正方形的边长. 根据底面积为 117 cm2, 列方程得 (19 - 2x)(15 - 2x) = 117, 整理得 x2 - 17x + 42 = 0, 解得 x1 = 3, x2 = 14 (舍去, 15 - 2×14 = -13 < 0, 边长不能为负). 答: 剪去正方形的边长为 3 cm. 17 高效课堂 方法总结: 几何面积问题, 关键是 图形的边长 未知数 列方程 表示 根据 面积公式 验根 保证 线段长度为正 18 高效课堂 类型 6: 实际应用(增长率问题) 答案 设平均每次降价的百分率为 x, 则第一次降价后售价为 200(1 - x)元, 第二次降价后售价为 200(1 - x)2 元, 例 6 某商品原价为 200 元, 连续两次降价后售价为 162 元, 求平均每次降价的百分率. 列方程, 得 200(1 - x)2 = 162, 解得 x1 = 0.1 =10%, x2 = 1.9 (舍去). 答: 平均每次降价的百分率为10%. 19 高效课堂 方法总结: 增长率/下降率问题, 需注意 指数 “连续增长/下降”的次数 对应 验根 排除 除不符合实际的数值 (负数、大于 1 的数) 20 高效课堂 类型 7: 实际应用(比赛场次问题) 答案 设参赛球队有 x 支, 则每支球队需赛(x - 1)场, 总场数为 x(x - 1), 例 7 参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛(双循环), 共比赛 110 场, 求参加比赛的球队数. 列方程, 得 x(x - 1) = 110, 解得 x1 = 11, x2 = -10 (舍去). 答: 参加比赛的球队有 11 支. 整理, 得 x2 - x - 110 = 0, 21 高效课堂 方法总结: 比赛场次问题要分清是单循环赛还是双循环赛, 再列方程进行求解. 单循环 双循环 22 高效课堂 类型 8: 实际应用(传播问题) 答案 设每轮传染中平均 1 人传染 x 人, 例 8 有 1 人患流感, 经过两轮传染后共有 225 人患流感, 求每轮传染中平均 1 人传染的人数. 列方程为 (1 + x)2 = 225, 解得 x1 = 14, x2 = -16 (舍去). 答: 每轮传染中平均 1 人传染 14 人. 第一轮传染后有 (1 + x) 人患流感, 第二轮传染后共有 (1 + x) + x(1 + x) = (1 + x)2 人患流感, 23 课堂评价 1.下列方程是一元二次方程的是 ( ) C 2.用配方法解方程 x2 - 4x - 1 = 0, 配方后为 ( ) A. (x - 2)2 = 5 B. (x + 2)2 = 5 C. (x - 2)2 = 1 D. (x + 2)2 = 1 A. 2x + 1 = 0 B. x2 + y = 3 C. x2 - 3x = 0 D. x2 + = 2 A 24 课堂评价 3. 方程 x2 - 2x - 3 = 0 的根的情况是 ( ) B 4.已知方程 x2 - 3x - 2 = 0 的两根分别为 x1, x2, 则 x1 + x2 = ______, x1x2 = ______. A.两相等实根 B.两不等实根 C.无实根 D.无法确定 3 -2 25 课堂评价 5.菜农小王种植的某种蔬菜, 计划以每千克 5 元的价格对外批发销售. 由于部分菜农盲目扩大种植, 造成该种蔬菜滞销. 小王为了加快销售, 减少损失, 对价格经过两次下调, 以每千克 3.2 元的价格对外批发销售. 求平均每次下调的百分率是多少. 答案 设平均每次下调的百分率是 x, 根据题意, 得 5(1 - x)2 =3.2. 解得 x1 = 1.8 (舍去), x2 = 0.2 = 20%. 答: 平均每次下调的百分率是 20%. 26 课堂总结 1. 回顾本节课重点: 一元二次方程的解法选择、性质应用、实际建模三大核心内容. 2. 解题关键: 3. 还有哪些地方存在困惑? ① 解法选择“先简后繁” ② 性质应用“先化一般形式”; ③ 实际问题“必验根”. 验根是解决实际问题的必要步骤. 27 作业设计 基础性作业:教材复习题 25 第 1 题(1)(3)(4)(5), 第 5 题(1)(2), 第 6 ~ 10 题. 拓展性作业:教材复习题 25 第 13 题. 28 $