第25章一元二次方程数学活动（教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程公共解判定与黄金分割，通过知识回顾（解一元二次方程方法、根的判别式等）搭建支架，以“两个方程何时有公共解”设问导入，引导学生从特例计算到归纳推理，衔接旧知与新知探究。 其亮点在于融合数学眼光（几何直观呈现黄金分割线段）、数学思维（推理意识贯穿公共解条件推导）、数学语言（模型意识解决“减半”矩形等实际问题）。采用“猜想—证明—建模”教学法，学生能提升代数推理与数形结合能力，教师可借助典例与易错提醒优化教学效率。

数学活动 第二十五章 一元二次方程 人教版2026·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 理解两个一元二次方程存在公共解的含义，掌握方程有公共解的判定条件及推理方法；掌握线段黄金分割的定义，能通过列一元二次方程推导黄金分割比，熟记黄金分割近似值，会判断简单的黄金分割线段. 经历“特例计算—猜想结论—推理证明—归纳总结”的探究过程，提升代数推理、归纳概括能力；通过线段分割建模解方程的过程，强化数形结合、数学建模的思想方法. 在自主探究与合作交流中体验数学探究的乐趣；感受黄金分割的数学美感与实用价值，体会代数与几何的内在统一性，提升数学学习的积极性与审美素养. 解一元二次方程核心思想与常用解法 基本思想： “降次”，即将一元二次方程转化为一元一次方程来求解，化繁为简。 常用方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，需根据方程特点灵活选择。 一元二次方程根的判别式 Δ 的奥秘 判别式定义：对于 ax²+bx+c=0 (a≠0)， Δ = b² - 4ac 决定了根的情况三种情况： Δ>0 有两个不等实根Δ=0 有两个相等实根Δ<0 无实数根。 一元二次方程解决实际问题的七步法 审题意→巧设元→找等量→列方程→解方程→验实际→写答案 关键提示：检验环节不可少，既要验证解是否满足方程，也要符合实际问题的意义。 知识回顾 我们已经学习了与一元二次方程有关的知识 导入新课 两个一元二次方程何时会有公共解？ 我们已经掌握了单个一元二次方程的解法，但数学的魅力往往藏在“关系”之中。如果两个不同的一元二次方程，它们之间会不会存在某种联系 ——也就是拥有“公共的解”呢？ 这种特殊的关系背后，又隐藏着怎样的数学规律？ 新知探究 活动1 探究一元二次方程有公共解的条件 议一议 （1）请大家解下列一元二次方程，这两个方程有公共解吗？ 方程①根为， 方程②根为， 两个方程有公共解x=1。 （2）公共解x=1满足什么特点？ 公共解同时满足两个方程，代入两个方程等式均成立. ① -3x+2=0 ② -4x+3=0 解： ① -3x+2=0 （x－1）（x－2）=0 解得： ② -4x+3=0 （x－1）（x－3）=0 解得： 新知探究 活动1 探究一元二次方程有公共解的条件 活 动 探究一元二次方程有公共解的条件 ax2+bx+c=0，① bx2+cx+a=0，② cx2+ax+b=0. ③ 若两个方程恰有一个公共实数根x=m.给出 a，b，c 满足的条件，并求出方程①②③的解 已知abc≠0，三个一元二次方程： 探究任务 解：设三个方程的公共解为m，根据方程解的定义，将m代入三个方程，等式均成立： am2+bm+c=0，① bm2+cm+a=0，② cm2+am+b=0. ③ 由①+②+③，合并同类项可得： (a+b+c)m2+(a+b+c)m+(a+b+c)=0. 提取公因式 (a+b+c)，化简得： (a+b+c)(m2+m+1)=0. 新知探究 活动1 探究一元二次方程有公共解的条件 活 动 探究一元二次方程有公共解的条件 ax2+bx+c=0，① bx2+cx+a=0，② cx2+ax+b=0. ③ 若两个方程恰有一个公共实数根x=m.给出 a，b，c 满足的条件，并求出方程①②③的解 已知abc≠0，三个一元二次方程： 探究任务 思考： (a+b+c)(m2+m+1)=0中m2+m+1=0能成立吗？ 解方程： m2+m+1=0， ∵Δ=12– 4×1×1= –3<0， 又∵ m2+m+1 =（m+）2+ 不论m取何值，（m+）2+ >0. ∴要使等式成立，只能满足 a+b+c=0， 这就是 a，b，c 需要满足的条件. 方程 m2+m+1=0无实数解. 新知探究 活动1 探究一元二次方程有公共解的条件 活 动 探究一元二次方程有公共解的条件 ax2+bx+c=0，① bx2+cx+a=0，② cx2+ax+b=0. ③ 若两个方程恰有一个公共实数根x=m.给出 a，b，c 满足的条件，并求出方程①②③的解 已知abc≠0，三个一元二次方程： 探究任务 由 a+b+c=0，得 c = –(a+b)， 代入①，②，③得： ax2+bx–(a+b)=0， ① bx2–(a+b)x+a=0， ② –(a+b)x2+ax+b=0. ③ (x–1)[ax+(a+b)]=0， ① (x–1) (bx–a)=0， ② (x–1)[(a+b)x+b]=0. ③ 因式分解 新知探究 活动1 活动1探究一元二次方程有公共解的条件 活 动 探究一元二次方程有公共解的条件 ax2+bx+c=0，① bx2+cx+a=0，② cx2+ax+b=0. ③ 若两个方程恰有一个公共实数根x=m.给出 a，b，c 满足的条件，并求出方程①②③的解 已知abc≠0，三个一元二次方程： 探究任务 解方程：(x–1)[ax+(a+b)]=0， ① 解得： x1=1，x2= – 解方程：(x–1) (bx–a)=0， ② 解得： x1=1，x2= – 解方程：(x–1)[(a+b)x+b]=0. ③ 解得： x1=1，x2= – . ∴三个方程的公共解为 x=1. 新知探究 活动1 活动1探究一元二次方程有公共解的条件 公共解问题通用方法： 设公共解，代入所有方程联立，通过加减消元、因式分解简化推导. 活 动 探究一元二次方程有公共解的条件 ax2+bx+c=0，① bx2+cx+a=0，② cx2+ax+b=0. ③ 若两个方程恰有一个公共实数根x=m.给出 a，b，c 满足的条件，并求出方程①②③的解 已知abc≠0，三个一元二次方程： 探究任务 新知探究 活动2 神奇的线段分割 议一议 一条长为l线段，被分成的三条线段为a、b、c，满足a=b+c，且a、b、c互不相等，求a、b、c. 满足条件的线段： ①a=b+c， ②a+b+c= l ， 解：线段全长为 l，分成的三条线段为 a，b，c，且 a>b>c>0，两两不等.如图所示 ∵a+b+c= l ，a=b+c， ∴ 2a=l，即 a = l. a b c 你能把任意一条线段分成不等的三条线段，使其中最长的线段等于另外两条线段的和？ 问题转化 新知探究 活动2 活动2神奇的线段分割 活 动 将一条线段AB分割为AP、PB两段（AP＞PB），若满足较长线段与整条线段的比等于较短线段与较长线段的比，这种分割方式有何特殊性？ 解：设线段AB=1，AP=x，则PB=1x，根据比例关系列出等式： AP²=AB×PB，整理得一元二次方程： x2+x1=0 解方程，得 ： ∴AP = ≈0.618. A B P 分析 已知条件 解决的问题：确定分割点P 的位置 即 AP²=AB×PB， 黄金分割比 新知探究 活动2 活动2神奇的线段分割 试一试 将一条线段分成不等的三条线段，三条线段为a、b、c，且a>b>c，你能找的a、b、c，使和同时成立吗？ 解：设线段全长为 1，分成的三条线段为 a，b，c，且 a>b>c>0，两两不等. ∵ + = + = ， 即 = . ∴ bc+ac=ab， (a+b)c=ab. ① 把a=b+c，代入①，得: (b+c+b)c=(b+c)b， 移项，合并同类项得: b2–bc–c2=0. ② 将②看作关于 b 的一元二次方程，c 为常数， 解关于b的一元二次方程： : b2–bc–c2=0 b= = c. 因为 b>0，所以 b = c ，即 = . 求根公式求解 ∵b＞0，∴ b= c 新知探究 活动2 活动2神奇的线段分割 试一试 将一条线段分成不等的三条线段，三条线段为a、b、c，且a>b>c，你能找的a、b、c，使和同时成立吗？ ∵ a+b+c=1，a=b+c， ∴ 2a=1，即 a = ∴ c+c = ， 即 c = . ∵b= c =× = 验证：长度关系： 倒数关系: a∶b∶c = ∶ ∶ =1∶ ∶ . 新知探究 活动2 神奇的线段分割 画一画 1.作中点（找到第一个分点）： ① 画任意长度线段AB，分别以线段AB的两个端点 A，B 为圆心， 以大于AB的长度为半径画弧，两弧相交于一点. ② 过交点作AB的垂线，这条垂线与AB的交点即为中点 M. ③ 此时AM=BM=a. 作图步骤： 用直尺和圆规作出这条线段中的两个分点. 新知探究 活动2 活动2神奇的线段分割 画一画 2.在MB上找第二个分点： ① 用上述同样的方法作出MB的中点P； ② 过点B作MB的垂线，在垂线上截取点C，使BC=PB，连接MC. ③ 以点C为圆心，CB长为半径画弧，交线段MC于点D. ④ 以点M为圆心，MD长为半径画弧，交线段MB于点N. ⑤ 此时MN=b，NB=c. 用直尺和圆规作出这条线段中的两个分点. 典例分析 例1.我们可以用一元二次方程知识研究下面关于“减半”矩形的问题，即：任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形的周长和面积分别是矩形周长和面积的一半． (1)阅读探究过程并完成填空； 当已知矩形的边长分别是和时． 设所求矩形的一边长是，则另一边长为， 根据题意，得， 整理，得； ∵， ∴_ ； ； ∴满足要求的矩形存在； (2)请你继续解决下列问题： 如果已知矩形的边长分别是和，请你仿照上述方法研究是否存在满足要求的矩形； 如果矩形的边长为，，请你研究满足什么条件时，矩形存在？ 解:（1）， ∴，， 2）①设所求矩形的一边长是x， 则另一边长为， 根据题意，得 ， 整理，得：， ∵， ∴不存在矩形； 典例分析 例1.我们可以用一元二次方程知识研究下面关于“减半”矩形的问题，即：任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形的周长和面积分别是矩形周长和面积的一半． (1)阅读探究过程并完成填空； 当已知矩形的边长分别是和时． 设所求矩形的一边长是，则另一边长为， 根据题意，得， 整理，得； ∵， ∴ ；______ ； ∴满足要求的矩形存在； (2)请你继续解决下列问题： 如果已知矩形的边长分别是和，请你仿照上述方法研究是否存在满足要求的矩形； 如果矩形的边长为，，请你研究满足什么条件时，矩形存在？ ②设所求矩形的一边长是x， 则另一边长为， 根据题意，得： ， 整理，得 ， 要使矩形存在， 此方程需有解，即， 即， 整理，得， ∴当时， 矩形存在． 新知巩固 1.如图，在矩形中，，点以的速度从顶点出发沿折线向点运动，同时点以的速度从顶点出发沿边向点运动．当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动． (1)若运动时间为秒，则_______，__________． (2)两动点运动几秒，使四边形的面积是矩形面积的？ (3)是否存在某一时刻，点与点之间的距离为？若存在，求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由． （1）解：由题意得： ，， ； 2）解：根据题意，得 ，， 矩形的面积， ， ， 解得：， 所以，两动点运动秒时， 四边形的面积是矩形面积的． 新知巩固 1.如图，在矩形中，，点以的速度从顶点出发沿折线向点运动，同时点以的速度从顶点出发沿边向点运动．当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动． (1)若运动时间为秒，则_______，__________． (2)两动点运动几秒，使四边形的面积是矩形面积的？ (3)是否存在某一时刻，点与点之间的距离为？若存在，求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由． （3）解：存在，理由如下： 设两动点经过t秒使得点P与点Q之间的距离为． ①当时，如图①， 过点作于点， 四边形是矩形， ， ， ， 由勾股定理得： ， ， 解得：，； 新知巩固 1.如图，在矩形中，，点以的速度从顶点出发沿折线向点运动，同时点以的速度从顶点出发沿边向点运动．当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动． (1)若运动时间为秒，则_______，__________． (2)两动点运动几秒，使四边形的面积是矩形面积的？ (3)是否存在某一时刻，点与点之间的距离为？若存在，求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由． ②当时，如图②， ， 由勾股定理得： ， ， ， 此时，此方程无解． 综上所述， 当两点运动时间为或时， 点P与点Q之间的距离为． 拓展提升 1.综合与实践：阅读材料，并解决以下问题． (1)学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，求解过程如下： ①变形：将方程变形为； ②构图：画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形； ③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为， 从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程，∵表示边长，∴，即． 这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根．但是从新方程可以得到原方程的另一个根是________． 解:（1）由得 ∴ ∴原方程的另一个根是． 拓展提升 1.综合与实践：阅读材料，并解决以下问题． (1)学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，求解过程如下： ①变形：将方程变形为； ②构图：画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形； (2)类比迁移：根据赵爽几何解法的方法求解方程的一个正根 （写出完整的求解过程，并在画图区画出示意图、标明各边长）． （2）将方程变形为，画四个长为，宽为的矩形，按如图所示构造一个“空心”大正方形， 则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即， 因此，可得新的一元二次方程：， ∵表示边长， ∴， 即． 拓展提升 1.综合与实践：阅读材料，并解决以下问题． (1)学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，求解过程如下： ①变形：将方程变形为； ②构图：画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形； (3)拓展应用：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么________，________，方程的一个正根为________． （3）∵中间围成的正方形面积为4， ∴中间正方形的边长为2， 设长方形的宽为x，则长为， 由题意得， 整理得， ，． 如图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和， 即 因此，可得新的一元二次方程： ， ∵表示边长， ∴，即． ∴方程的一个正根为． 真题感知 1．（2025·南充·统考期中）配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求二次函数的顶点坐标等，所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题．我们规定：一个整数能表示成 (a，b是整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】： （1）下列各数中，“完美数”有_____ (只填序号)； ①10       ②24      ③34     ④60 【探究问题】： （2）若可配方成 (m，n为常数)，则的值为_____； （3）已知 (a，b是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； 【拓展应用】： （4）已知实数x，y均满足，求代数式的最小值． 真题感知 1．（2025·南充·统考期中）配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求二次函数的顶点坐标等，所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题．我们规定：一个整数能表示成 (a，b是整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】： （1）下列各数中，“完美数”有 (只填序号)； ①10       ②24      ③34     ④60 解：（1）， ， 24和60不能写成的形式， 10和34是“完美数”， 24和60不是“完美数”， ①③ 真题感知 1．（2025·南充·统考期中）配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求二次函数的顶点坐标等，所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题．我们规定：一个整数能表示成 (a，b是整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【探究问题】： （2）若可配方成 (m，n为常数)， 则的值为_____； （2）解： ， ，， 真题感知 1．（2025·南充·统考期中）配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求二次函数的顶点坐标等，所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题．我们规定：一个整数能表示成 (a，b是整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【探究问题】： （3）已知 (a，b是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； （3）当时，S是“完美数”，理由如下： ， 当时，， ∵a，b是整数， ∴和也是整数， ∴当时，S是“完美数”； 真题感知 1．（2025·南充·统考期中）配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求二次函数的顶点坐标等，所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题．我们规定：一个整数能表示成 (a，b是整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【拓展应用】： （4）已知实数x，y均满足，求代数式的最小值． （4）解：∵， ∴，  ∴原式 ，          又∵，∴， ∵， ∴当时， 原式的值随着x的增大而增大， ∴当时，原式取最小值， 最小值为： ． 知识与技能 两个一元二次方程的公共解可同时满足两个方程，可通过联立方程、代入验根判断公共解，求解参数. 课堂小结 思想方法 （1）特殊到一般： 通过具体方程特例，归纳出方程公共解的通用判定规律. （2）数形结合： 将几何线段比例问题转化为一元二次方程代数问题，以代数解几何. （3）数学建模： 从实际几何情境中提取等量关系，建立方程模型解决问题. 易 错 提 醒 课堂小结 （1）探究方程公共解时，忽略实数根前提，误将无实根方程的虚拟公共根当作有效解. （2）未根据线段长度为正的实际意义舍去负根. 课后练习 11. 绿水村 2020 年的人均收入为 18000 元，2022 年的人均收入为 21000 元. 求人均收入的年平均增长率（结果写成 a% 的形式，其中 a 保留小数点后两位）. 解：设人均收入的年平均增长率为 x.由题意，得： 18000(1+x)2=21000， 解得： x=± –1， ∴ x1≈0.0801，x2≈ – 2.1. 又∵ x= – 2.1 不合题意，舍去， ∴ x=8.01%. 答：人均收入的年平均增长率为8.01%. 教材p28页 复习题 25 课后练习 13.右图是南宋数学家杨辉研究的垛积问题中“圭垛”的示意图.其问题如下：今有圭垛一堆，上一束，底宽八束.问共几束？ （1）你能解决这个问题吗？ 解：由题意，得第1行共有1束； 前2行共有1+2=3束； 前3行共有1+2+3=6束；⋯ ∴前n行共有：1+2+3+⋯+(n–2)+(n–1)+n =n(n+1)（束）. 当n=8时，n(n+1)=36束. 教材p28页 复习题 25 （2）如果将这个“圭垛”继续堆积下去，即第 n 行有 n 束……你能发现从上往下前行的数的和是 300 吗？ （提示：1+2+3+ ⋯ +(n–2)+(n–1)+n=n(n+1).） 解：当 n(n+1)=300时， 整理得：n²+n－600=0 解得x1=24，x2= –25（不合题意，舍去）. ∴从上往下数，前24行的束数的和是300. 课后练习 13.右图是南宋数学家杨辉研究的垛积问题中“圭垛”的示意图.其问题如下：今有圭垛一堆，上一束，底宽八束.问共几束？ 教材p28页 复习题 25 谢谢聆听 $