25.3 实际问题与一元二次方程（第3课时） 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程解决实际问题，核心涵盖单循环双循环比赛场次计算与销售问题建模。课堂导入先复习平均变化率及上节课单循环排球赛问题，通过“双循环是否同单循环”的问题引导，搭建旧知到新知的学习支架，衔接知识脉络。 其亮点是以实际问题为载体，让学生用数学眼光观察现实（如球赛、互赠礼物等情境），通过推导场次公式和分析方程解的合理性发展数学思维（推理能力），用表格梳理销售问题量关系强化数学语言（模型意识）。例如探究3通过判别式判断场数合理性，销售问题用表格呈现数量变化，助力学生掌握建模方法，也为教师提供结构化教学流程和典型例题，提升教学效率。

（人教版）九年级上 第二十五章 一元一次方程 25.3 实际问题与一元二次方程 （第3课时） 22051 2 1．区分单循环、双循环比赛场次计算逻辑，推导场次等量关系． 2．结合握手、互赠礼物、球赛等同类题型，归纳组合类问题建模思路． 学习目标 22051 平均变化率问题 增长率问题 下降率问题 基数为 , 平均增长/下降率为 第一次增长 第二次增长 第 次增长 第一次下降 第二次下降 第次下降 0＜下降率＜ 1 增长率 ＞ 0 复习导入 22051 上一节课我们学习了利用一元二次方程解决传播、增长率问题，大家还记得排球邀请赛的问题吗？ 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式(每两支球队之间比赛1场).根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ 解：设应邀请支球队参赛，每支球队要与其他(x-1)支球队各赛1场，则此次邀请赛共需进行场，所以可列得方程 整理并化简，得 解方程，得(不合题意，舍去). 因此，比赛组织者应邀请8支球队参赛. 22051 这种赛制里两支球队只交手一次，如果改成主客场双循环，两支球队要进行两场比赛，数量关系还一样吗？ 今天我们一起探究单循环、双循环比赛场次问题，归纳这类计数问题的建模方法. 22051 5 探究3 若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300. 他算得对吗？为什么？ 每两支球队之间比赛2场. 分析：如果有n支球队参赛，那么比赛的总场数为n(n–1). 假设这个人算得对，即n支球队进行主客场双循环比赛的总场数为 300，那么 n(n–1)=300. 解方程，得 n = . 由于1201不是完全平方数，所以n不可能为整数. 因此，总场数不可能为300，这个人算得不对. 探索新知 22051 解：设毕业晚会上一共有x位同学， 依题意，得x(x－1)＝90. 即x2－x－90＝0， 解得x1＝10，x2＝－9(不合题意，舍去). 答：毕业晚会上一共有10位同学. 1. 毕业晚会上，同学们互送照片，每人给每位同学一张照片，一共送出90张照片，问毕业晚会上一共有多少位同学？ 对应练习 22051 探究3：若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300. 他算得对吗？为什么？ 分析：双循环比赛是指所有参赛球队彼此间进行两场比赛. 如果有支球队参赛，每一支球队都和其余支球队各进行两场比赛 那么比赛的总场数为. 22051 探究3：若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300. 他算得对吗？为什么？ 解：假设这个人算得对，即球队进行主客场双循环比赛的总场数为300，那么 解方程，得 由于1201不是完全平方数，所以不可能为整数. 因此，总场数不可能为300，这个人算得不对. 由总场数为可知，其必为两个连续正整数的乘积，如2，6，12，20，...，240，272，306，... 22051 2. 元旦期间，某交流群每两个成员之间都单独互发一条祝福短信，共发出30条短信，求这个群的人数. 解：设这个群的人数为x人. 依题意，得x(x－1)＝30， 解得x1＝6，x2＝－5(不合题意，舍去). 答：这个群的人数为6人. 对应练习 22051 循环问题分为单循环问题（记数不重复）和双循环问题（记数重复），常见的循环问题如下： 类型 特点 常见实际问题 n个元素情况下的循环总次数 单循环 每两个元素之间算一次 握手问题、签合同问题、照相问题、比赛问题（每两队之间赛一场） n(n−1) 双循环 每两个元素之间算两次 互赠贺卡、比赛问题（每两队之间赛两场） n(n−1) 知识点1 循环问题 22051 探究4 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. 当每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润为1200元？ 分析：设每件商品降价 x 元时，该商店每天的销售利润为1200元. 每件盈利/元 销售数量/件 获得利润/元 原来 40 20 40×20 现在 40−x 20+2x (40−x)(20+2x) 22051 每件盈利/元 销售数量/件 获得利润/元 原来 40 20 40×20 现在 40−x 20+2x (40−x)(20+2x) 解：设当每件商品降价 x 元时，该商店每天的销售利润为1200元. 根据题意，得(40−x)(20+2x)= 1200. 整理，得 x2−30x+200=0. 解得x1=10，x2=20. 因为要求每件盈利不少于25元，所以40−x≥25，解得 x≤15. 所以 x2=20 应舍去. 所以 x=10. 答：当每件商品降价10元时，该商店每天的销售利润为1200元. 22051 例：某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）．乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_________________， 请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； 解：（1）根据题意，乐乐列出的方程应该是：， 即 ， 整理得 ， 解得 ，不为整数， ∴方程的解不符合实际，按这个赛制不应该是40场， 故淇淇的说法正确； 22051 （2）∵有一人比赛了4场后退出比赛， 由题意得， 解得 ，（舍去）， ∴x的值为10． (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时的值． 22051 某商场一款品牌服装平均每天可以售出10件，每件盈利40元. 商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利. 经市场调查发现：每件服装每降价1元，平均每天就可以多售出2件，如果需要盈利700元，那么每件降价多少元？ 解：设每件降价x元，则每件盈利(40－x)元，平均每天 可售出(10＋2x)件. 依题意，得(40－x)(10＋2x)＝700， 解得x1＝5，x2＝30. 答：每件降价5元或30元. 对应练习 22051 销售问题中常见的几个等量关系： （1）利润 = 售价 − 进价； （2）利润率 = ×100% = ×100%； （3）售价 = 进价×（1+利润率）； （4）总利润 = 总售价−总成本=单件利润×销售总量. 知识点2 销售问题 22051 循环比赛总场数（设有n支比赛队伍） 单循环（只进行一次）： 双循环（相互两次）： 22051 2.销售问题： (1)关系式：(售价－成本)×销售量＝总利润； (2)一般都是设涨价(或降价)x元，然后间接求定价或进货量. 课堂小结 22051 1.通过本课的学习，你学到了哪些内容？ 2.学习了本课你有何感想？ 请畅所欲言. 22051 20 实际问题与 一元二次方程 比赛总场次问题 单循环： 双循环： 22051 谢谢大家聆听 22051 $