25.3 实际问题与一元二次方程 第3课时 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程解决单循环（握手、球赛）和双循环（主客场）实际问题，通过足球联赛赛制对比的情境导入，衔接方程解法，搭建从生活场景到数学模型的学习支架。 其亮点在于以活动探究推导公式，用表格系统总结模型，培养数学眼光、思维与语言。如排球邀请赛、握手次数计算等实例，提升建模与推理能力，助力学生解决实际问题，为教师提供清晰教学流程与丰富案例。

第二十五章 一元二次方程 第3课时 初中数学人教版九年级上册 01 掌握单循环、双循环问题等量关系，会列一元二次方程求解握手、球赛类实际问题. 02 辨析单循环与双循环模型，结合实际情境判断方程的解是否为符合题意的整数解. 03 经历分析题意、推导公式、类比迁移的过程，提升数学建模和归纳推理的能力. 04 体会数学模型的通用性，养成严谨审题、结合现实取舍结果的良好做题习惯. 足球联赛中，单循环赛制要求每两支球队仅交手1次，而主客场双循环赛制则规定每两队需在双方主场各赛一场，即共进行2场比赛.不同赛制下，比赛总场数与参赛球队数量之间存在着截然不同的数学关系. 今天，我们将透过赛事组织这一生活场景，深入探究单循环与双循环赛制背后的数量奥秘，感受数学在体育领域的巧妙应用. 1 活动一：探究利用一元二次方程解决单循环问题 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式(每两支球队之间比赛1场).根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ 整理并化简，得：x2-x-56=0. 解方程，得 x1=8，x2=-7(不合题意，舍去) 因此，组织者应邀请 8 支球队参赛. 若参加聚会的人数为n(n为正整数)人，则共握手          次. 2 活动一：探究利用一元二次方程解决单循环问题 3 10 握手问题：甲和乙握手与乙和甲握手在同一次进行，所以总数要除以2. 3人聚会 5人聚会 活动一：探究利用一元二次方程解决单循环问题 若参加聚会的人共握手28次，求出参加聚会的人数. 建立方程 解方程 参加聚会的人数为8人. 活动一：探究利用一元二次方程解决单循环问题 嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段AB上共有m个点(不含端点A，B)，则线段总数为多少呢？(用含m的式子表示) ∵线段AB上共有m个点(不含端点A，B)， ∴总共有(m+2)个点(包含点A，B) m个点(不含A、B) A B 思路 活动一：探究利用一元二次方程解决单循环问题 常见的单循环问题(记数不重复)如下： 活动二：探究利用一元二次方程解决双循环问题 若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300. 他算得对吗？为什么？ 3 双循环比赛：所有参赛球队彼此间进行两场比赛. 如：A主场对战B、B主场对战A，共发生两次事件. 如果有n支球队参赛，那么比赛的总场数为n(n–1). 由总场数为n(n–1)可知，其必为两个连续正整数的乘积，如2，6，12，20， ...， 240， 272，306， .... 活动二：探究利用一元二次方程解决双循环问题 若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300. 他算得对吗？为什么？ 3 因此，总场数不可能为300，这个人算得不对. 活动二：探究利用一元二次方程解决双循环问题 常见的双循环问题(记数重复)如下： 类型 特点 常见实际问题 n个元素情况下的循环总次数 双循环 每两个元素之间算两次 互赠贺卡、互发信息、比赛问题(每两队之间赛两场) n (n-1) 例题1 某交流群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有多少人？ 设该群一共有x人．依题意，得：x(x-1)=90， 解得：x1=10，x2=-9(舍去)． 答：该群一共有10人． 某市要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排15场比赛． (1)应该邀请多少支球队参加比赛？ (1)设应该邀请x支球队参加比赛，根据实行单循环赛制共赛了15场，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； 例题2 某市要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排15场比赛． (1)应该邀请多少支球队参加比赛？ 例题2 (2)若某支球队参加3场后，因故不参与以后比赛，问实际共比赛多少场？ (2)利用比赛总场次数=该球队参加的场次数+剩下5支球队实行单循环赛制比赛的场次数，即可求出结论． 例题2 1. n个人参加聚会，每两人都握1次手，所有人共握手10次，共有多少人？ 2.一个凸多边形共有 20 条对角线，它是几边形？是否存在有 18 条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明理由. 寻找生活中的两两组合模型 留心生活场景，找出 2 个类似球赛、握手的实例，一个单循环场景，一个双循环场景. 设未知数列出一元二次方程，自主求解，判断解是否为整数.写出对应场景的公式推导过程. 手写完成，清晰写出题干、方程、求解步骤. 简要写出你的感悟，说一说为什么实际问题里方程的解必须是正整数，体会数学的严谨性，字数控制合理. 任务 要求 1 2 1 2 3 $