2026年北京市高二第二次普通高中学业水平合格性考试数学试题

2026年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试(一) 第一部分(选择题共54分) 一、选择题:共18小题,每小题3分,共54分.在每小题列出的四个选项中,选出最符合题目要求的 一项。 1.已知集合A={-1,0,2),B={0,1),则A∩B= () A.{0) B.{-1,1) C.{-1,0》 D.{-1,0,1,2} 2.已知复数x=3十4i,则|x|= A.3 B.4 C.5 D.6 x十2,x≥0, 3.已知函数f(x)= 则f(0)= ( x3-2,x<0, A.-1 B.0 C.1 D.2 4.已知向量a=(1,1),b=(m,2).若a⊥b,则实数m= A.-2 B.-1 C.1 D.2 5.下列函数中,在区间(0,十∞)上单调递增的是 ( A.f(x)=一x B.f(x)=-x2 C.fx)=(2)' D.f(x)=log2x 6.命题“x∈R,x2一x十1≥0”的否定是 A.3x∈R,x2-x+1<0 B.3x∈R,x2-x+1≤0 C.Hx∈R;x2-x+1<0 D.Vx∈R,x2-x+1≤0 7.函数y=5的图象过点 () A.(0,-1) B.(0,1) C.(-1,0) D.(1,0) 8为了得到函数y=sin(x-)的图象,可以将函数y=sinx的图象 () A向左平移智个单位长度 B向右平移个单位长度 C.向左平移需个单位长度 D向右平移需个单位长度 9.如图,在正四棱锥P一ABCD中,下列结论正确的是 A.直线BC与直线PA相交 B.直线BC与直线PA平行 C.直线BC与直线PD垂直 D.直线BC与直线PD是异面直线 10.已知la|=1,|b|=√2,向量a与向量b的夹角为45 ,则a b= B号 C.1 D.√2 11.在 ABC中,a=2,c=4,∠C=30 ,则sinA= ( A C.3 12 D. 12.已知x∈R,则“x=1”是“|x=1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D,既不充分也不必要条件 13.某快递公司为优化配送路线,从100000单快递中随机抽取了1000单,将这1000单快递的配 送时长(单位:min)按照[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]分成6组,绘制 成如下频率分布直方图: 频率 组距 0.03 0.02 0.01 0 102030405060时长 由此可估计这100000单快递中配送时长在[30,50)的快递单数为 A.20000 B.30000 C.40000 D.50000 14.设a=1og28,b=3-1,则a,b,1的大小关系为 A.b<a<1 B.a<6<1 C.a<1< D.6<1<a 15.某学校启用了“智慧食堂”系统,在该系统中,学生通过人脸识别或刷卡两种方式进行结算.若 甲、乙两名学生每人从这两种方式中随机选择一种进行结算,则至少有一人选择人脸识别的概 率为 A.4 B 1-2 D. 6 16,已知>0,则+1的最小值为 A.1 B.2 C.3 D.4 17.如图,O,P,Q,R是半径为1的圆M.上的四等分点,圆M与数轴相切于原点O.数轴上的点A 对应的数为 ,把数轴看成一个“皮尺”,将线段OA按逆时针方向缠绕到圆M上,则点A与圆 -111- M上重合的点是 () 0 A.点O B.点P C.点Q D.点R 18.某市2025年1~8月运输邮电业主要业务量指标如下表所示: 项目 计量单位 8月 8月同比增长率 1~8月 1~8月同比增长率 邮政行业业务总量 亿标准量 29.63 10.2% 241.77 8.8% 电信业务总量 亿元 49.16 11.5% 391.94 4.5% 客运量 万人 7798.7 -4.8% 60588.1 -1.6% 货物量 万吨 1652.3 一0.8% 13653.0 3.6% 说明:在统计学中,同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较,例如2025年8月与 2024年8月相比较;同比增长率=(本期数一同期数) 同期数 100%. 根据上述信息,下列结论中正确的是 () A.表中的4个项目中,2025年8月同比增长率最低的是货物量 B.表中的4个项目中,2025年1~8月同比增长率最高的是客运量 C.2025年邮政行业业务总量,8月高于同年1~8月的平均值 D.电信业务总量8月在1~8月中的占比,2024年低于2025年 第二部分(非选择题 共46分) 二、填空题:共3小题,每小题4分,共12分. 19.在 ABC中,b=1,c=2,∠A=60 ,则a= 20.已知a>b>c>0,则a-c b-c,ac bc.(两空均填“>”或“<”) 110 21.2025年7月我国首台月壤打砖机在深空探测实验室研制成功,这种打砖机可以利用聚光太阳 能将月壤熔融成型.小明在通用技术课上制作了“月壤砖”模型,并拼成如图1所示的长方体 ABCD一A,B,C1D1,该长方体是由图2、图3所示的榫、卯结构多面体组成.在图1中,AA1∥ EE:∥PP1∥MM,∥NN1∥QQ1∥FF1,AB∥EP∥Q1F1∥MN1,BC∥QN∥P1M1,AB= 100 mm,BC=70 mm,AA:=PM=30 mm,AE=BF=20 mm,EP=QF-35 mm. D D M E P 图1 图2 图3 给出下列三个结论: ①图2所示的榫结构多面体的体积为87000mm3; ②图3所示的卯结构多面体的体积为123000mm3; ③图2、图3所示的榫、卯结构多面体的表面积之和比图1所示的长方体的表面积多 9600mm2. 其中所有正确结论的序号是 三、解答题:共4小题,共34分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 22.(本小题8分) 已知函数f(x)- 2sinx+ 2 cos x. (1)求f(牙)的值; (2)求f(x)在区间[,]上的最大值. 23.(本小题9分) 阅读下面题目及其解答过程. A 如图,在三棱柱ABC一A1B1C1中,侧面AA1B,B为正方形,平面 C R AA,B,B⊥平面ACC1A1. (1)求证:AB∥平面A1B1C; (2)若CA,=CB,求证:AA1⊥AC. BL 证明:(1)因为侧面AA1B,B为正方形,所以① 又②,A1B1C平面AB1C, 所以AB∥平面A,B1C. (2)因为侧面AA,B,B为正方形,所以③. 因为平面AA1B,B⊥平面ACC1A1, 平面AA,B1B∩平面ACC1A,=AA1, 所以④ 又因为ACC平面ACC,A,所以⑤ 因为CA,=CB,AA,=AB,AC=AC,所以 CAA,≌ CAB. 所以⑥.所以AA1⊥AC. 以上题目的解答过程中,设置了①~⑥六个空格,如下的表格中为每个空格给出了两个选 项,其中只有一个符合逻辑推理.请选出符合逻辑推理的选项,并填写在横线上(只需填写“A” 或“B”). 空格序号 选项 ① (A)AB∥A1B1 (B)AB⊥A,B ② (A)ABC平面A1B,C (B)AB中平面A1B,C ③ (A)AB⊥AA (B)BB1∥AA1 ④ (A)BB1∥平面ACC1A1 (B)AB⊥平面ACC1A: ⑤ (A)BB1∥A1C (B)AB⊥AC ⑥ (A)∠CAA,=∠CAB (B)∠AA1C=∠ACB 24.(本小题9分) 已知函数f(x)=x2十ax十2(a为常数)的图象过点(1,3) (1)求a的值,判断f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)求不等式f(x)>3x的解集. 25.(本小题8分) 给定正整数p≥2,从区间[一力,p]中的2p十1个整数中任取m(m≥3)个不同的整数,若这m 个整数中存在和为0的3个数,则称力具有性质G(m). (1)判断2是否具有性质G(4),2是否具有性质G(5);(结论无需证明) (2)若p.具有性质G(5),求力的最大值; (3)若5具有性质G(m),求m的最小值. 所以登+<贸 所以-≤n(+)< 当x十子-行,即2=时,f《x)取得最大值1. 所以f(e)在区间[?,]上的最大值为1. 23.①A②B③A④B⑤B⑥A 24.解:(1)因为函数f(x)=x2十ax+2的图象过点 (1,3). 所以3=12+a十2,解得a=0. 因此f(x)=x2十2,x∈R. f(x)是偶函数,证明如下: 因为Vx∈R,都有f(-x)=(-x)2+2=x2+2 =f(x), 所以f(x)是偶函数. (2)由f(x)>3x,得x2+2>3x, 所以x2-3x+2>0,即(x-1)(x-2)>0. 所以x<1或x>2. 所以原不等式的解集为(x|x<1或x>2). 25.解:(1)2不具有性质G(4);2具有性质G(5). (2)力的最大值为3 2026年北京市第二次普通高中 设所选出的5个数组成的集合记为A. 学业水平合格性考试(一)】 当p≥4时,取A={0,1,2,3,4},此时A中不存在 第一部分选择题 和为0的3个数. 1.A2.C3.D4.A5.D6.A7.B8.B 当p=3时, 9.D10.C11.B12.A13.D14.D15.C ①若0∈A,令B,=(-1,1,B2=(-2,2),B3= 16.B17.C18.D (-3,3),则从-3,一2,-1,1,2,3这6个数中选4 第二部分 非选择题 个数,必有2个数属于同一个集合B:(i=1,2,3), 此时A中存在和为0的3个数. 19.520.>>21.①②③ ②若04A,令C1=(1,2,-3),C2=(-1,-2,3), 2.解:1)因为fe)= 2sin4② 则从一3,-2,-1,1,2,3这6个数中选5个数, 必有3个数属于同一个集合C,(i=1,2),此时A 所以f(x)=sin acos4 元十cos xsin4 中存在和为0的3个数。 =sin(x+), 综上,p的最大值为3. (3)当p=5时,设所选出的m个数组成的集合记 所以f()=sin(牙+)=1 为A. 若m<7,则取A=(0,1,…,m-1},此时A中不 2)因为≤x≤, 存在和为0的3个数. -.163 所以m≥7.下证:5具有性质G(7). ①若{一5,一4,4,5}中至多有2个数属于A,则A 中至少有5个数在[一3,3]中,由(2)知,得证. ②若{一5,一4,4,5)中至少有3个数属于A,则其 中必有2个数同号. 不妨设{-5,一4)}二A. 若{1,4}二A或{2,3}二A,得证,否则A中至多有 3个正数. 当5∈A时,若0∈A,得证; 若0庄A,则A中至少有4个负数,且一5∈A, 集合{一1,一4}和{一2,一3)必有1个集合包含于 A,得证 当5氏A时,4∈A,A中至多有2个正数,若0∈ A,得证; 若0A,则{一1,一3}二A,得证. 综上,5具有性质G(7),即m的最小值为7.