2026年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷02

**基本信息** 立足学业水平合格性要求，融合生活实践（如气泡水pH计算）与数学文化（哥德巴赫猜想），通过基础巩固与创新探究（集合性质P）的梯度设计，考查数学眼光、思维与语言的综合运用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|18题/54分|集合运算、不等式、向量、函数定义域等|基础概念为主，如第1题集合交补运算，第8题基本不等式应用| |填空题|3题/12分|复数、统计方差、函数与集合概念辨析|注重知识辨析，如第21题判断函数同一性与子集个数| |解答题|4题/34分|三角函数定义、分段函数最值、立体几何证明、集合性质探究|突出能力提升，如第25题创新设计集合性质P的探究，考查逻辑推理；第24题结合直三棱柱证明线面平行与垂直，体现空间观念|

2026年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟卷02 考试时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（本大题共18题，每小题3分，共计54分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1．已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 3．化简：等于（   ） A． B． C． D． 4．已知向量，若，则（    ） A． B． C．0 D．1 5．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．如图，已知正方体的棱长为，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 7．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 8．若x>0，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 9． A． B． C． D． 10．在中，，，，那么等于　　 A． B． C． D． 11．某班共有45名学生，其中女生25名，为了解学生的身体状况，现采用分层抽样的方法进行调查，若样本中有5名女生．则样本中男生人数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．9 12．在下列区间中，函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 13．“”是“幂函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．若直线直线，且平面，则 A． B． C． D．或 15．已知为非零实数，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 16．在中，若，，则（   ） A． B． C． D． 17．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个质数（质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数）的和，例如：8=3+5，在不超过14的质数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为（    ） A． B． C． D． 18．溶液酸碱度是通过计算的，的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，某新式茶饮店推出的“竹香青柠”气泡水，经检测其氢离子浓度为摩尔/升，则该气泡水的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共3小题，每小题4分，共计12分） 19．复数，在复平面上对应的点分别为，，则________. 20．为了调查公司员工的健康状况，某公司男女员工比例是，用分层随机抽样的方法抽取样本，统计样本数据如下：男员工的平均体重为，标准差为；女员工的平均体重为，标准差为.则由此估计该公司员工的平均体重是___________，方差是___________. 21．下列结论中正确的有 ①．函数和函数为同一个函数 ②．集合的子集个数是4 ③．若集合，满足，则 三、解答题（本题共4小题，共34分） 22．（本小题满分8分）已知角的终边过点，求角的正弦、余弦，正切及余切值. 23．（本小题满分10分）阅读下面题目及其解答过程． 已知函数， （1）求f（－2）与f（2）的值； （2）求f(x)的最大值． 解：（1）因为－2＜0，所以f（－2）＝ ① ． 因为2＞0，所以f（2）＝ ② ． （2）因为x≤0时，有f(x)＝x＋3≤3， 而且f（0）＝3，所以f(x)在上的最大值为 ③ ． 又因为x＞0时，有， 而且 ④ ，所以f(x)在（0，＋∞）上的最大值为1． 综上，f(x)的最大值为 ⑤ ． 以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”）． 空格序号 选项 ① A．（－2）＋3＝1     B． ② A．2＋3＝5     　　  B． ③ A．3         　　　　　  B．0 ④ A．f（1）＝1     　　　  B．f（1）＝0 ⑤ A．1           　　　　　B．3 24．（本小题满分8分）如图，在直三棱柱中，，，分别是棱、的中点，是线段上的点． (1)求证：直线∥平面； (2)求证：直线平面． 25．（本小题满分8分）给定正整数，设集合．对于集合M的子集A，若任取A中两个不同元素，，有，且，，…，中有且只有一个为2，则称A具有性质P． (1)当时，判断是否具有性质P；（结论无需证明） (2)当时，写出一个具有性质P的集合A； (3)当时，求证：若A中的元素个数为4，则A不具有性质P． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟卷02·参考答案 一、选择题（本大题共18题，每小题3分，共计54分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B B D D A A C D D 10 11 12 13 14 15 16 17 18 C A B A D B D D A 二、填空题（本题共3小题，每小题4分，共计12分） 19．/-i+3 20． ； /. 21．②③ 三、解答题（本题共4小题，共34分） 22．（本小题满分8分） 【答案】答案见解析 【详解】根据三角函数的定义可知，，……………………2分 若时，，， ，， 同理若时，，，，……………………8分 23．（本小题满分10分） 【答案】（1）①A  ；  ②B；（2）③A   ； ④A   ； ⑤B．……………………10分 【详解】解：因为， （1）因为，所以， 因为，所以 （2）因为时，有， 而且，所以在上的最大值为． 又因为时，有， 而且，所以在上的最大值为1． 综上，的最大值为． 24．（本小题满分8分） 【详解】（1）连接，因为，分别是棱、的中点， 则，，所以四边形为平行四边形，所以， 平面，平面，故直线∥平面．……………………4分 （2）直棱柱中，，则. 因为是棱中点，所以. 因为平面，平面，所以. ，，平面，故直线平面．……………………8分 25．（本小题满分8分） 【详解】（1）根据题设定义可知不具有性质P；……………………2分 （2）当时，，，且，，中有且只有一个为2，满足性质P；……………………4分 （3）当时，若A中的元素个数为4，假设A具有性质P， 即任取A中两个不同元素，， 有，① ，，，中有且只有一个为2．② 设；则． 当时，由①得，不满足②，矛盾． 当时，由①得， 由②得与不同时在A中；与不同时在A中；与不同时在A中，所以A中元素个数至多为3，矛盾． 当时，由①得，不满足②，矛盾． 当或时，不满足A中的元素个数为4，矛盾． 所以假设不成立，即A不具有性质P．……………………8分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年北京市学考仿真模拟试卷 数学·答题卡姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 一、选择题（本大题共18题，每小题3分，共计54分。 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 17 [A] [B] [C] [D] 18 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共计15分） 19．_______________________ 20．_______________________ 21．_______________________ 22. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ （续22题） 23． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24． 25. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 第4页 第5页 第6页 第1页 第2页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟卷02 考试时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（本大题共18题，每小题3分，共计54分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1．已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的运算求解即可. 【详解】，所以. 2．不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】整理可得，结合一元二次不等式运算求解即可. 【详解】因为，可得，解得， 所以不等式的解集为. 3．化简：等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量运算求得正确答案. 【详解】 . 4．已知向量，若，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【详解】已知向量，若， 则，解得． 5．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义直接判断. 【详解】依题意，集合真包含于集合， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 6．如图，已知正方体的棱长为，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助体积公式计算即可得. 【详解】. 7．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以的取值范围是，则定义域为：. 8．若x>0，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因为x>0，所以，当且仅当，即，取等号，故A，B，C错误. 故选：D. 9． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据特殊角的三角函数值，得出答案. 【详解】根据特殊角的三角函数值，可知.故选D. 【点睛】本小题主要考查特殊角的三角函数值，属于基础题.从到内特殊角的三角函数值需要熟练记忆. 10．在中，，，，那么等于　　 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用余弦定理以及特殊角的三角函数值就可得出答案． 【详解】解：根据余弦定理得 故选：C． 11．某班共有45名学生，其中女生25名，为了解学生的身体状况，现采用分层抽样的方法进行调查，若样本中有5名女生．则样本中男生人数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．9 【答案】A 【分析】设出未知数，根据比例关系列出方程，求出答案. 【详解】设样本中男生人数为x，由题意可得，解得 故选：A 12．在下列区间中，函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据零点存在性定理判断即可 【详解】因为在上单调递增， ， ， ， 所以函数的零点所在的区间为， 故选：B 13．“”是“幂函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由幂函数的概念，即可求出或，再根据或均满足在上单调递增以及充分条件、必要条件的概念，即可得到结果. 【详解】若为幂函数，则，解得或， 又或都满足在上单调递增． 故“”是“幂函数在上单调递增”的充分不必要条件． 故选：A. 14．若直线直线，且平面，则 A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】试题分析：当时，，则，当时，，则，当与相交时，，则与不垂直，所以直线，且，所以或，故选D． 考点：空间中直线与平面之间的位置关系． 【方法点晴】本题主要考查了空间中的直线与平面之间的位置关系问题，其中解答中涉及到直线与平面平行、直线与平面垂直，以及空间中的直线与平面位置关系的判定与证明等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，解答时要认真审题、自习解答，注意空间想象能力和推理能力的培养． 15．已知为非零实数，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件可得，再结合，可得，即可选出答案. 【详解】因为，所以 因为，所以，所以 当时，、、都不成立 故选：B 【点睛】本题考查的是指数不等式的解法及不等式的性质，属于基础题. 16．在中，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理即可求解. 【详解】由，所以， 所以． 故选：D. 17．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个质数（质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数）的和，例如：8=3+5，在不超过14的质数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定不超过14的质数，再用列举法求事件的概率. 【详解】不超过14的质数有2，3，5，7，11，13共6个数， 在这6个数中随机选取两个不同的数，有以下15种情况： 2，3；2，5；2，7；2，11；2，13； 3，5；3，7；3，11；3，13； 5，7；5，11；5，13； 7，11；7，13； 11，13. 其和等于14的只有1种情况：3，11. 故在不超过14的质数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为. 故选：D. 18．溶液酸碱度是通过计算的，的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，某新式茶饮店推出的“竹香青柠”气泡水，经检测其氢离子浓度为摩尔/升，则该气泡水的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据题干所给公式求解即可． 【详解】根据题意可得该气泡水的值， 为 故选：A． 二、填空题（本题共3小题，每小题4分，共计12分） 19．复数，在复平面上对应的点分别为，，则________. 【答案】/-i+3 【详解】因为复数，在复平面上对应的点分别为，， 所以，， 所以， 故答案为：. 20．为了调查公司员工的健康状况，某公司男女员工比例是，用分层随机抽样的方法抽取样本，统计样本数据如下：男员工的平均体重为，标准差为；女员工的平均体重为，标准差为.则由此估计该公司员工的平均体重是___________，方差是___________. 【答案】 ； /. 【详解】由题得 所以方差 故答案为：；. 21．下列结论中正确的有 ①．函数和函数为同一个函数 ②．集合的子集个数是4 ③．若集合，满足，则 【答案】②③ 【详解】对于①，函数的定义域为R，函数定义域为，①错误； 对于②，集合的子集个数是4，②正确； 对于③；，③正确； 故选：②③ 三、解答题（本题共4小题，共34分） 22．（本小题满分8分）已知角的终边过点，求角的正弦、余弦，正切及余切值. 【答案】答案见解析 【详解】根据三角函数的定义可知，，……………………2分 若时，，， ，， 同理若时，，，，……………………8分 23．（本小题满分10分）阅读下面题目及其解答过程． 已知函数， （1）求f（－2）与f（2）的值； （2）求f(x)的最大值． 解：（1）因为－2＜0，所以f（－2）＝ ① ． 因为2＞0，所以f（2）＝ ② ． （2）因为x≤0时，有f(x)＝x＋3≤3， 而且f（0）＝3，所以f(x)在上的最大值为 ③ ． 又因为x＞0时，有， 而且 ④ ，所以f(x)在（0，＋∞）上的最大值为1． 综上，f(x)的最大值为 ⑤ ． 以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”）． 空格序号 选项 ① A．（－2）＋3＝1     B． ② A．2＋3＝5     　　  B． ③ A．3         　　　　　  B．0 ④ A．f（1）＝1     　　　  B．f（1）＝0 ⑤ A．1           　　　　　B．3 【答案】（1）①A  ；  ②B；（2）③A   ； ④A   ； ⑤B．……………………10分 【详解】解：因为， （1）因为，所以， 因为，所以 （2）因为时，有， 而且，所以在上的最大值为． 又因为时，有， 而且，所以在上的最大值为1． 综上，的最大值为． 24．（本小题满分8分）如图，在直三棱柱中，，，分别是棱、的中点，是线段上的点． (1)求证：直线∥平面； (2)求证：直线平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）连接，因为，分别是棱、的中点， 则，，所以四边形为平行四边形，所以， 平面，平面，故直线∥平面．……………………4分 （2）直棱柱中，，则. 因为是棱中点，所以. 因为平面，平面，所以. ，，平面，故直线平面．……………………8分 25．（本小题满分8分）给定正整数，设集合．对于集合M的子集A，若任取A中两个不同元素，，有，且，，…，中有且只有一个为2，则称A具有性质P． (1)当时，判断是否具有性质P；（结论无需证明） (2)当时，写出一个具有性质P的集合A； (3)当时，求证：若A中的元素个数为4，则A不具有性质P． 【答案】(1)A不具有性质P； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）根据题设定义可知不具有性质P；……………………2分 （2）当时，，，且，，中有且只有一个为2，满足性质P；……………………4分 （3）当时，若A中的元素个数为4，假设A具有性质P， 即任取A中两个不同元素，， 有，① ，，，中有且只有一个为2．② 设；则． 当时，由①得，不满足②，矛盾． 当时，由①得， 由②得与不同时在A中；与不同时在A中；与不同时在A中，所以A中元素个数至多为3，矛盾． 当时，由①得，不满足②，矛盾． 当或时，不满足A中的元素个数为4，矛盾． 所以假设不成立，即A不具有性质P．……………………8分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $