北京市2025年高二第二次普通高中学业水平合格性考试数学试卷

2025年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试 数学试卷 考生须知 1.考生要认真填写考场号和座位序号. 2.本试卷共6页：分为两部分：第一部分为选择题，共54分；第二部分为非选择题，共46分. 3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分必须用2B铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答. 4.考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回. 第一部分（选择题共54分） 一、选择题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ） A. B. C. D. 3. （ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 4 5. 已知函数则的最小值是（ ） A. B. C. 0 D. 1 6. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 7. 若，则角可以为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的图象如图所示，则方程的解的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 11. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 12. （ ） A. B. C. D. 1 13. 北京中轴线纵贯北京老城中心，北起钟鼓楼，南至永定门，途经多处著名景点，展现了中国传统都城规划理念及“中”“和”哲学思想的深刻内涵．为传播北京中轴线文化，某社会实践活动小组准备从北京中轴线上的万宁桥、景山、故宫和天安门4个景点中随机选取2个景点做策划方案，则选取的2个景点包含故宫的概率是（ ） A. B. C. D. 14. 已知向量满足，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 15. 空气质量指数（简称AQI）反映了空气质量的状况，空气质量等级划分如下： AQI AQI AQI 空气质量等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 下图是某校科学兴趣小组根据10月8日至27日测得的AQI绘制的折线图： 根据上述信息，下列结论中正确的是（ ） A. 10月8日至27日的空气质量等级为优的天数为10 B. 10月8日至27日的AQI的极差小于150 C. 10月8日至27日的AQI的中位数是17日的AQI D. 10月8日至27日的AQI逐渐增大 16. 在中，，则（ ） A. B. C. 4 D. 6 17. 如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 10 18. 某市居民自来水水价实行阶梯水价制度，用水销售价格表如下： 阶梯 户年用水量 水价（元/立方米） 第一阶梯 0-180（含） 5 第二阶梯 181~260（含） 7 第三阶梯 260以上 9 根据上述信息，下列结论中正确的是（ ） A. 若某户居民自来水年用水量为，则该户自来水年缴费为770元 B. 若某户居民自来水年用水量为，则该户自来水年缴费为950元 C. 若某户居民自来水年缴费为700元，则该户自来水年用水量在至之间 D. 若某户居民自来水年缴费为970元，则该户自来水年用水量在至之间 第二部分（非选择题共46分） 二、填空题共3小题，每小题4分，共12分. 19. 若，则的定义域为__________. 20. 甲、乙两名射击运动员在一次射击测试中各射靶5次，每次命中的环数如下： 甲 8 6 8 6 7 乙 5 8 9 3 10 则甲运动员命中环数的平均数是______；记甲、乙两名运动员命中环数的方差分别是和，则______.（填“>”，“=或“<”） 21. 如图是由六个边长为1的正六边形组成的蜂巢图形，其中正六边形的顶点称为“晶格点”，若四个不同的点均为“晶格点”，两点的位置如图所示， 给出下列三个结论： ①； ②的最大值为25； ③的最大值为． 其中所有正确结论的序号是______. 三、解答题共4小题，共34分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 22. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求的最大值，并写出取得最大值时的一个值. 23. 阅读下面题目及其解答过程.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，分别是的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 解： （1）在中，分别是的中点， 所以_____①_______. 又_____②_____，平面， 所以平面. （2）因为在中，是的中点，所以_____③______. 因为底面为正方形，所以. 因为平面， 所以_________④_________. 又因为. 所以___________⑤___________. 又平面， 所以___________⑥___________. 又因为， 所以平面. 空格序号 选项 答案 ① A. B. ② A.平面 B.平面 ③ A. B. ④ A. B. ⑤ A.平面 B.平面 ⑥ A. B. 24. 已知函数. （1）求证：是奇函数； （2）当时，求的最小值. 25. 给定正整数，按照一定顺序排列的向量记为向量序列，其中. 给出两个性质： ①，且中的向量互不相等； ②已知向量集合.记.对于中的任意两个向量，“” 的充要条件是“”. （1）当时，分别判断向量序列是否满足性质①；（结论无需证明） （2）（）当时，写出一个同时满足性质①和性质②的向量序列； （）当时，若向量不同时在向量序列中，且同时满足性质①和性质②，求证：的个数为偶数. 2025年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试 数学试卷 考生须知 1.考生要认真填写考场号和座位序号. 2.本试卷共6页：分为两部分：第一部分为选择题，共54分；第二部分为非选择题，共46分. 3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分必须用2B铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答. 4.考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回. 第一部分（选择题共54分） 一、选择题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】B 【11题答案】 【答案】C 【12题答案】 【答案】B 【13题答案】 【答案】C 【14题答案】 【答案】A 【15题答案】 【答案】A 【16题答案】 【答案】B 【17题答案】 【答案】B 【18题答案】 【答案】D 第二部分（非选择题共46分） 二、填空题共3小题，每小题4分，共12分. 【19题答案】 【答案】 【20题答案】 【答案】 ①. 7 ②. ＜ 【21题答案】 【答案】①②③ 三、解答题共4小题，共34分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 【22题答案】 【答案】（1） （2）2，0（答案不唯一） 【23题答案】 【答案】（1）①A，②A （2）③A，④A，⑤B，⑥B 【24题答案】 【答案】（1）证明： 因的定义域为. 对于任意，都有，且， 故是奇函数. （2）4 【25题答案】 【答案】（1）不满足性质①，满足性质① （2）（）.（答案不唯一） （）设向量序列. 因为满足性质②，所以或. 由性质①且可得， 根据已知条件，存在正整数，使得. 当时，可为或， 因为向量不同时在向量序列中， 所以，则末向量或， 所以或. 当时，可为或， 因为向量不同时在向量序列中， 所以，则末向量或， 所以或. 故当，且向量不同时在向量序列中使，向量序列成对出现. 综上，任何满足条件的序列，在其第一个坐标为4的向量确定后（为或），都有两种方式延伸至终点. 因此，所有满足条件的序列总数是所有可能的前缀路径（截止到第一个坐标为4的向量）数量的两倍，故总数为偶数.” 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $