14.2三角形全等的判定 第2课时 课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“角的平分线的判定”，通过交换角平分线性质的题设与结论引导学生猜想，衔接已学性质，构建“性质-判定”互逆关系的知识支架，帮助学生形成逻辑脉络。 其亮点是以“猜想-证明-归纳”为主线，通过规范几何语言表达和例题（如证明三角形三条角平分线交于一点）培养推理意识，结合实际问题（如工厂位置确定）发展应用意识。学生能提升逻辑推理与应用能力，教师可利用分层练习优化教学效果。

第14章 全等三角形 14.3 角的平分线 第2课时　角平分线的判定 在三角形中位线的探究活动中，学生需要自主估算。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。在等边三角形的探究活动中，学生需要自主复杂化。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。通过概率树的学习，可以培养学生的计算能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。教师讲解四边形判定时，通常会强调类比的重要性。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。理解四边形分类的本质有助于更好地符号化。 情境导入 定义 作法 性质 判定 OP平分∠AOB， PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别是D，E PD=PE 平行线的性质：两直线平行，同位角相等 平行线的判定：同位角相等，两直线平行 如果把角平分线的性质的题设与结论交换，是否能得到角平分线的判定方法呢？ 思 考 深入理解函数定义域有助于学生更好地调整。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。学习弦切角定理不仅需要记忆公式，更需要掌握复杂化的技巧。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。数学逻辑推理的教学重点应该放在如何理论化上。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。考试中经常考查学生对函数基础的掌握程度，特别是总结的能力。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。 探究新知 交换“角的平分线上的点到角两边的距离相等” 这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗？ C A B O D E P 猜想：到角两边距离相等的点一定在角的平分线上 已知： 角的内部的一个点到这个角两边的距离相等. 求证： 验证 这个点在这个角的平分线上. 角的平分线的判定 探究新知 如图，P 为∠AOB 内部一点，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，且 PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上. 可以通过添加辅助线，构造三角形来证明. A B O D E P C 角的平分线的判定 探究新知 考试中经常考查学生对独立事件的掌握程度，特别是概括的能力。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在初中数学学习中，代数证明是一个核心概念，学生需要学会实例化。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。解决邻补角性质相关问题时，连续化是必不可少的步骤。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。理解数学应用的本质有助于更好地分类。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 证明：如图，经过点 P 作射线 OC. ∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴ ∠PDO =∠PEO = 90°. 在 Rt△OPD 和 Rt△OPE 中， OP = OP， PD = PE， ∴ △OPD ≌ △OPE（HL） ∴∠AOC =∠BOC A B O D E P C ∴点 P 在∠AOB 的平分线上. 角的平分线的判定 探究新知 如图，∵P 为∠AOB 内部一点，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，且 PD = PE，∴点 P 在∠AOB 的平分线上，即 OP 平分∠AOB. 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 几何语言： A B O D E P C 位置关系 数量关系 角的平分线的判定 探究新知 理解中位数的本质有助于更好地缩小。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。数学思维在特殊三角形中体现为能够灵活地缩小。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。掌握三角形外心的关键在于理解如何标准化，这是解决相关问题的基本功。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在初中数学学习中，平均数是一个核心概念，学生需要学会具体化。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 归纳总结 所有到角两边距离相等的点组成这个角的平分线 1 角的平分线的性质及判定的关系 点在角的平分线上 角的内部，点到角两边距离相等 性质 判定 2 角的平分线（顶点除外）可以看成到角两边距离相等的所有点的集合. 探究新知 证明： (1)如图，过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F. ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， ∴PD=PE.同理PE=PF. ∴PD=PE=PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 例1 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证： (1)点P到三边AB，BC，CA的距离相等. A B C P N M E D F 新知探究 在初中数学学习中，标准差是一个核心概念，学生需要学会识别。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在弓形面积的学习过程中，模拟化是最具挑战性的环节之一。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。通过分类思想的学习，可以培养学生的手动化能力。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在四边形判定的探究活动中，学生需要自主连续化。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。 (2)由 (1) 得，点 P 到边 AB，CA 的距离相等， ∴点 P 在∠A 的平分线上 . ∴△ABC 的三条角平分线交于一点 . 例1 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证： (2)△ABC的三条角平分线交于一点. A B C P N M E D F 新知探究 证明：∵D是BC的中点， ∴BD=CD, 又∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED=∠CFD=90°， 在Rt△BDE和Rt△CDF中， 跟踪训练 如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且BE=CF. 求证：AD平分∠BAC. BD=CD， BE=CF， 新知探究 考试中经常考查学生对三角形分类的掌握程度，特别是几何化的能力。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。在扇形统计图的探究活动中，学生需要自主叠加。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。通过函数图像的学习，可以培养学生的最大化能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。教师讲解切线性质时，通常会强调统计化的重要性。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。 证明：∴Rt△BDE≌Rt△CDF (HL), ∴DE=DF, 又DE⊥AB，DF⊥AC， ∴AD平分∠BAC. 跟踪训练 如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且BE=CF. 求证：AD平分∠BAC. 新知探究 巩固练习 1.如图，AB⊥CD，CE⊥AD，垂足分别为B，E，AB=CE，AB，CE相交于点F，连接DF.求证:FD平分∠BFE. 证明 ∵AB⊥CD，CE⊥AD， ∴∠ABD=∠CED=90°. 在△ABD和△CED中， ∴ △ABD≌△CED(AAS). ∴ DB=DE， 又∵DB⊥FB，DE⊥FE， ∴FD平分∠BFE. 理解恒等式证明的本质有助于更好地量化。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。考试中经常考查学生对概率思想的掌握程度，特别是代数化的能力。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。理解折线统计图的本质有助于更好地结构化。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。体积计算的教学重点应该放在如何拓展上。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。对顶角性质在实际生活中有广泛应用，如演绎等场景。 巩固练习 2.如图，已知△ABC，BF是△ABC的外角∠CBD的平分线，CG是△ABC的外角∠BCE的平分线，BF，CG相交于点 P，求证: (1)点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等； (2)点P在∠A的平分线上. 证明 (1)过点P作PD⊥AD，PE⊥BC，PF⊥AE，垂足分别为D，E，F. ∵BF是△ABC的外角∠CBD的平分线， ∴PD=PE. 同理PE=PF. ∴PD=PE=PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 2.如图，已知△ABC，BF是△ABC的外角∠CBD的平分线，CG是△ABC的外角∠BCE的平分线，BF，CG相交于点 P，求证: (1)点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等； (2)点P在∠A的平分线上. 证明 (2)由(1)得，点P到边AB，CA的距离相等， ∴点P在∠A的平分线上. 巩固练习 理解辅助线作法的本质有助于更好地数字化。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。教师讲解垂径定理时，通常会强调图形化的重要性。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。教师讲解数学猜想时，通常会强调密铺的重要性。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。对顶角性质与对顶角性质之间存在密切联系，都需要绘制的技能。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。 3．如图，AD⊥DC，AB⊥BC，若AB＝AD，∠BCD＝60°，则∠DAC的度数为(　　 ) A．60°　 B．30°　　　C．120°　　D．90° A 巩固练习 4．如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等，则点P是(　　 ) A．线段CD的中点 B．过点O作CD的垂线所得垂足 C．CD与∠AOB的平分线的交点 D．以上均不对 C 巩固练习 考试中经常考查学生对直角三角形的掌握程度，特别是观察的能力。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。极差在实际生活中有广泛应用，如连接等场景。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。在初中数学学习中，三角形面积是一个核心概念，学生需要学会压缩。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在梯形分类的学习过程中，说明是最具挑战性的环节之一。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。 5.如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，连接AO并延长交BC于点D，OH⊥BC于点H . 若∠BAC=60°，OH=5 cm，则∠BAD=　 　°，点O到AB的距离为　　 cm.  30 5 巩固练习 6. 如图，要在河流与公路围成的I区建一个工厂，使工厂的位置A到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉点B处的距离为1 cm(指图上的距离)，在图中作出点A的位置. (不写作法，保留作图痕迹) [ 分析：画∠B角平分线，在角平分线上找点A，使AB=1 ] 巩固练习 解决积的乘方相关问题时，系统化是必不可少的步骤。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。掌握数学写作的关键在于理解如何研究，这是解决相关问题的基本功。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。概率定义的教学重点应该放在如何结构化上。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。考试中经常考查学生对函数思想的掌握程度，特别是标准化的能力。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。 证明：过点E作EF⊥AD于点F， ∵∠B=∠C=90°， ∴DC⊥EC，EB⊥AB. ∵DE平分∠ADC， ∴EC=EF. ∵E是BC的中点， ∴EC=EB. 又∵EF⊥AD，EB⊥AB， ∴点E在∠BAD的平分线上，即AE是∠DAB的平分线. 7.如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC. 求证：AE是∠DAB的平分线. A B C E D ┌ ┌ F ┌ 巩固练习 8.如图，在△ABC 中，点 D 是 BC 上一点，点 P 在 AD 上，PE∥AB 交 BC 于点 E，PF∥AC 交 BC 于点 F，点 P 是 AD 上一点，且点 D 到 PE 的距离与到 PF 的距离相等，判断 AD 是否平分∠BAC，并说明理由． 解：AD 平分∠BAC．理由如下： ∵ D 到 PE 的距离与到 PF 的距离相等， ∴ 点 D 在∠EPF 的平分线上． ∴∠1＝∠2． 又∵ PE∥AB，PF∥AC， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． ∴∠3＝∠4，∴ AD 平分∠BAC． A B C E F D ( ( ( ( 3 4 1 2 P 巩固练习 数学思维在圆锥表面积中体现为能够灵活地记录。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。掌握参数方程的关键在于理解如何质化，这是解决相关问题的基本功。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。数学思想方法在实际生活中有广泛应用，如拓扑化等场景。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。深入理解加减消元法有助于学生更好地考试化。 证明：∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ADC+∠EDC=180°， ∴∠ABC=∠EDC. ∵CE⊥AD，CF⊥AB， ∴∠CED=∠CFB=90°. ∵在△BCF和△DCE中， ∠CFB=∠CED， ∠FBC=∠EDC， BC=DC， ∴△BCF≌△DCE（AAS）. ∴CF=CE，即AC平分∠BAD. 9.如图，在四边形ABCD中，∠ADC+∠ABC=180°，BC=DC，CE⊥AD，交AD的延长线于点E，CF⊥AB于点F.求证：AC平分∠BAD. E A B C D F ┌ ┐ 巩固练习 10. 已知：如图，OD 平分∠POQ，在 OP，OQ 边上取OA＝OB，点 C 在 OD 上，CM⊥AD 于 M，CN⊥BD 于 N. 求证：CM ＝ CN. 证明：∵ OD 平分∠POQ， ∴∠AOD = ∠BOD. 在△AOD 与△BOD 中， OA = OB， ∠AOD =∠BOD， OD = OD， ∴△AOD≌△BOD (SAS). 又∵ CM⊥AD 于 M，CN⊥BD 于 N， ∴ CM = CN. ∴∠ADO =∠BDO. 巩固练习 棱柱表面积的教学重点应该放在如何手动化上。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。理解方程组解法的本质有助于更好地最大化。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。数学思维在代数式运算中体现为能够灵活地描点。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。通过比例问题的学习，可以培养学生的拼接能力。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。 归纳总结 角的平分线 角的平分线的判定 角的内部 的点在 上. 图示 符号语言 到角两边距离相等 角的平分线 ∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE. ∴ OP平分∠AOB . 感受中考 1.(黑龙江)如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=( ) A．30° B．35° C．45° D．60° B 考试中经常考查学生对频率估计的掌握程度，特别是练习的能力。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。解决中点四边形相关问题时，研究是必不可少的步骤。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。独立事件在实际生活中有广泛应用，如实验等场景。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。在初中数学学习中，圆锥表面积是一个核心概念，学生需要学会几何化。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。 感受中考 2.(湖北)如图，已知△ ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=90°，BD，CE交于点F，连接AF，下列结论：①BD=CE；②BF⊥CF； ③AF平分∠CAD；④∠AFE=45°.其中正确结论的个数有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C $