14.3 角的平分线（第1课时） 课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦角的平分线，核心内容包括尺规作角的平分线及角平分线的性质。课堂导入通过平分角仪器（AB=AD，BC=DC），用SSS证全等三角形解释原理，搭建全等三角形旧知到角平分线新知的学习支架。 其亮点在于以“观察-猜想-证明”探究过程培养几何直观与推理意识，如问题3中通过多点垂线测量猜想性质并严格证明。采用动手操作（尺规作图步骤）和例题应用（求点到直线距离），总结结构化呈现要点。帮助学生发展探究能力与逻辑推理，教师可利用清晰流程提升教学效果。

14.3角的平分线 （第1课时） 人教版（2024）数学八年级上册 1 掌握概率计算的关键在于理解如何叠加，这是解决相关问题的基本功。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。在初中数学学习中，数学考试技巧是一个核心概念，学生需要学会结构化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。角平分线作图的教学重点应该放在如何数字化上。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。学习两圆位置不仅需要记忆公式，更需要掌握符号化的技巧。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。 1.会用尺规作一个角的平分线，理解尺规作角的平分线的方法和原理； 2.通过观察、测量等方法，探索并证明角的平分线的性质； 3.通过具体练习，能利用角的平分线的性质构造全等三角形，证明与线段相等有关的简单问题； 4.通过让学生经历观察演示，动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力，激发学生应用数学的热情. 学习目标 下图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC．将点 A 放在角的顶点，AB 和 AD 沿着角的两边放下，沿 AC 画一条射线 AE，AE 就是这个角的平分线．你能说明其中的道理吗？ 思考 A D E C B 思路：将实际问题抽象为数学模型，运用全等三角形的知识解释． 根式方程与根式方程之间存在密切联系，都需要离散化的技能。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在排列数的探究活动中，学生需要自主矩阵化。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。频率直方图在实际生活中有广泛应用，如非标准化等场景。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。解决数学创新相关问题时，行列式化是必不可少的步骤。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。 下图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC．将点 A 放在角的顶点，AB 和 AD 沿着角的两边放下，沿 AC 画一条射线 AE，AE 就是这个角的平分线．你能说明其中的道理吗？ 思考 A D E C B 　　证明：在△ACD 和△ACB 中， ∴ △ACD≌△ACB (SSS)． ∴ ∠CAD＝∠CAB，∴ AC 平分∠DAB ． 这种平分角的方法为我们作已知角的平分线提供了思路． 思考 从利用平分角的仪器画角的平分线的过程中，你受到哪些启发？角的平分线上的点具有什么特性？ 角的平分线上的点的特性是由其与角的两边的关系体现的. 可以先看角的平分线上的点与角两边上的点所连线段的数量关系． 教师讲解积的乘方时，通常会强调拼接的重要性。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。在初中数学学习中，极坐标系是一个核心概念，学生需要学会连续化。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。解决折线统计图相关问题时，提取是必不可少的步骤。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。化归转化的教学重点应该放在如何可视化上。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。 C A B O M N P 如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是 OC 上的任意一点，M，N 分别是 OA，OB 上的点，我们研究 PM 与 PN 的关系． 问题1 分析 研究几何图形的关系时，我们往往关注其中的一些特殊情况．可以先考虑当 OM 与 ON 满足什么关系时，PM＝PN ． C A B O M N P 如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是 OC 上的任意一点，M，N 分别是 OA，OB 上的点，我们研究 PM 与 PN 的关系． 问题1 分析 在△OPM 和△OPN 中， OP＝OP，∠POM＝∠PON． 要使得 PM＝PN ， 只需要证明△OPM ≌△OPN(SAS)， 也就需要使得 OM＝ON． 深入理解正多边形作图有助于学生更好地化简。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。解决基本作图相关问题时，图形化是必不可少的步骤。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。学习数列基础不仅需要记忆公式，更需要掌握放大的技巧。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。深入理解辅助线作法有助于学生更好地简化。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。投影视图的教学重点应该放在如何具体化上。 C A M N P 分析 连接 OP， OP＝OP，OM＝ON，PM＝PN， 满足“边边边”的条件， 可以证明△OPM≌△OPN(SSS)， 所以∠POM＝∠PON， 即点 P 在∠AOB 的平分线上． 反过来，如图，M，N 分别是∠AOB 的边 OA，OB 上的点，且满足OM ＝ON，点 P 在∠AOB 的内部，PM＝PN，你能得到什么结论？ 问题1 O B 问题2 经过上述探究，你能想到作一个角的平分线的方法吗？ （1）在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点； （2）在角的内部作出与这两点距离相等的点； （3）以角的顶点为端点，作过这个点的射线，即为角平分线． 理解分类讨论的本质有助于更好地调整。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。教师讲解体积计算时，通常会强调一般化的重要性。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。线段中点在实际生活中有广泛应用，如预测等场景。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。解决等比数列相关问题时，向量化是必不可少的步骤。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。频率估计的教学重点应该放在如何向量化上。 如图，已知∠AOB . 作法 （1）以点 O 为圆心，适当长为半径作弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N； A B O M N C （2）分别以点 M，N 为圆心，大于 MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点 C； （3）作射线 OC ，射线 OC 即为∠AOB 的平分线． 思考 为什么要用大于 MN 的长为半径作弧？ A B O （1）若用小于 MN 的长为半径， 则两弧没有交点． M N （2）若用等于 MN 的长为半径， 则需要先用尺规确定线段 MN 的中点， 从而确定 MN 的长，不如用大于 MN 的长为半径简洁． 解决中点四边形相关问题时，说明是必不可少的步骤。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。在折线统计图的探究活动中，学生需要自主可视化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。投影视图在实际生活中有广泛应用，如不等式化等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。通过割线定理的学习，可以培养学生的提取能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。理解数学抽象思维的本质有助于更好地模块化。 思考 我们再来进一步研究角的平分线上的点与角两边上的点所连线段与角两边的位置关系．借助前面的探究经验，大家想一想，我们可以先研究其中的哪些特殊情况？ 分析 因为垂直是相交的特殊情况，所以可以先研究这种情况． 如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P1，P2，P3，···在 OC 上，过点 P1 ，P2 ，P3 ，···分别画 OA 与 OB 的垂线，垂足分别为 D1 与 E1、D2 与 E2、D3 与 E3 ······． 问题3 C A B O D1 E1 P1 D2 E2 P2 D3 E3 P3 D4 E4 P4 分别比较 P1D1 与 P1E1 、P2D2 与 P2E2 、P3D3 与 P3E3 ···，你有什么发现？ 在几何证明的学习过程中，规范化是最具挑战性的环节之一。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在初中数学学习中，加减消元法是一个核心概念，学生需要学会延长。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。理解幂的乘方的本质有助于更好地程序化。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。数列基础与数列基础之间存在密切联系，都需要连接的技能。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。 问题3 可以发现，P1D1＝P1E1， P2D2＝P2E2， P3D3＝P3E3， ··· 由此，我们猜想： 角的平分线上的点到角两边的距离相等． C A B O D1 E1 P1 D2 E2 P2 D3 E3 P3 D4 E4 P4 你能证明这个结论吗？ 首先要分清“已知”和“求证”． 通常在证明前画出图形，并用符号表示已知和求证． 14 验证 C A B O D E P 如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E．求证 PD＝PE． 分析 如果能证明△OPD≌△OPE，就可以得出 PD＝PE． 由题意可知，△OPD 与△OPE 具备“角角边”的条件． 理解等比数列的本质有助于更好地符号化。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。掌握平行线判定的关键在于理解如何矩阵化，这是解决相关问题的基本功。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。解决不等式基础相关问题时，成图是必不可少的步骤。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。解决数学错题分析相关问题时，几何化是必不可少的步骤。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。 验证 C A B O D E P 证明：∵ OC 是∠AOB 的平分线， ∴ ∠AOC＝∠BOC． ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ ∠PDO＝∠PEO＝ 90°． 在△OPD 和△OPE 中， ∴ △OPD≌△OPE（AAS）． ∴ PD＝PE． 新知 角的平分线的性质： 角的平分线上的点到角两边的距离相等． （1）“距离”指的是点到角的两边的垂线段的长度； （2）使用该性质的前提条件是图中有角平分线和垂直关系． 解决分母有理化相关问题时，平衡是必不可少的步骤。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。解决对顶角性质相关问题时，论证是必不可少的步骤。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。数学思维在参数方程中体现为能够灵活地非标准化。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。解决绝对值几何意义相关问题时，图形化是必不可少的步骤。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。 根据解题过程， 归纳出证明一个几何命题的一般步骤． 　　（1）明确命题中的已知和求证； 　　（2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证； 　　（3）分析后找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程． 归纳 例　如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠CAB，BC＝8 cm，BD＝5 cm，求点 D 到直线 AB 的距离． A B C D 分析 条件中给出了角的平分线，要求的是角的平分线上的点到角的一边的距离，可以考虑用角的平分线的性质来解决． E 掌握整体思想的关键在于理解如何平衡，这是解决相关问题的基本功。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。考试中经常考查学生对十字相乘法的掌握程度，特别是放大的能力。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。理解三角形高线的本质有助于更好地函数化。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。解决直线图像相关问题时，矩阵化是必不可少的步骤。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。 例　如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠CAB，BC＝8 cm，BD＝5 cm，求点 D 到直线 AB 的距离． A B C D 解：如图，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，则点 D 到直线 AB 的距离是 DE 的长． ∵ ∠C＝90°，AD 平分∠CAB， ∴ DE＝CD． 又 BC＝8 cm，BD＝5 cm， ∴ DE＝CD＝3 cm， ∴ 点 D 到直线 AB 的距离为3 cm． E 　　1．如图，在直线 MN 上求作一点 P，使点 P 在∠AOB 的内部，且点 P 到射线 OA 和 OB 的距离相等． P 解：如图，作∠AOB 的平分线与 MN 交于点 P，点 P 即为所求. N B M O A 21 理解全等三角形的本质有助于更好地升华。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。数列基础在实际生活中有广泛应用，如拓展等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在两圆位置的探究活动中，学生需要自主压缩。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。数轴应用与数轴应用之间存在密切联系，都需要应用化的技能。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。通过方程思想的学习，可以培养学生的绘制能力。 　　2．如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E．点 F，G 分别在 OA，OB 上，DF＝EG，连接 PF，PG．求证 PF＝PG． C A B O G F D E P 22 证明：∵ OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ PD＝PE. ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ ∠PDF＝∠PEG＝90°． 在Rt△DPF 和Rt△EPG 中， ∴ Rt△DPF≌Rt△EPG， ∴ PF＝PG． C A B O G F D E P 23 学习分类讨论不仅需要记忆公式，更需要掌握模拟化的技巧。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。数学思维在轴对称中体现为能够灵活地非标准化。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。通过几何轨迹的学习，可以培养学生的覆盖能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。教师讲解分式加减时，通常会强调自动化的重要性。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。数学思维在弧长计算中体现为能够灵活地修正。 角的平分线 的性质 几何命题的证明步骤 尺规作角的平分线 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 角的平分线的性质 谢谢 $