4.2 角 课时作业 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

**基本信息** 初中数学七年级上册第四章“角”同步练，以A/B/C三层设计实现从基础巩固到创新探究的递进，适配新授课知识内化与能力发展需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|角的概念、度量、余补角等单一知识点|选择/填空/解答题结合，强化运算能力与抽象能力，如度分秒换算、简单角平分线计算| |B组|角的和差、分类讨论、钟面角综合应用|含动态位置分析（射线内外侧），培养推理意识与几何直观，如多射线组成角的计数| |C组|角平分线性质、补余角关系模型构建|探究定值问题（如补角与余角差），发展创新意识与模型观念，如动态角中不变量证明|

第四章 基本平面图形　2 角 北师大版　七年级上册　课时作业（含知识点·答案·解析） 班级：　　　　　姓名：　　　　　得分：　　　　　用时：　　　分钟 一、知识点梳理 知识点 1　角的概念与表示 角有两种定义方式： ① 静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边； ② 动态定义：角也可以看作一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形。 角的四种表示方法： 表示方法 使用条件与写法 三个大写字母 任何角都能用，顶点字母必须写在中间，如 一个大写字母 只有当顶点处只有一个角时才能用，如 数字 在顶点处标上数字，如 、 希腊字母 在顶点处标上希腊字母，如 、 易错提醒：当一个顶点处有两个或两个以上的角时，绝对不能只用顶点的一个字母表示角，否则会产生歧义。 知识点 2　角的度量单位及换算 角的度量单位是度、分、秒，它们之间是 60 进制： ，；反过来 ，。 换算方法：高级单位化低级单位用乘法（乘 60），低级单位化高级单位用除法（除以 60）。 例如：；。 度分秒的加减运算要“同名数相加减，满 60 进 1，不够减时借 1 当 60”。 例如：；。 知识点 3　角的分类 名称 范围（设角为 ） 锐角 直角 钝角 平角 （两边成一条直线） 周角 （一条射线旋转一周） 注意：平角不是一条直线，周角不是一条射线，它们都是角；把角按度数从小到大排列为：锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角。 知识点 4　角的比较与角的平分线 比较两个角的大小有两种方法：度量法（用量角器量出度数比较）和叠合法（把两个角的顶点及一边重合，看另一边的位置）。 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 若 是 的平分线，则 ，。 类似地，把一个角分成三个相等的角的两条射线叫做这个角的三等分线。 知识点 5　角的和与差 如图，若射线 在 的内部，则 ，。 这与线段的和差完全类似，是解决角的计算问题的基础。 易错提醒：当题目只说“射线 在 所在的平面内”而没有说明在角的内部时，必须分“内部”与“外部”两种情况讨论。 知识点 6　余角与补角 如果两个角的和等于 ，那么这两个角互为余角，简称互余； 如果两个角的和等于 ，那么这两个角互为补角，简称互补。 若 的度数为 ，则它的余角为 ，它的补角为 。 重要性质： ① 同角（或等角）的余角相等；② 同角（或等角）的补角相等。 易错提醒：互余、互补是两个角之间的数量关系，与它们的位置无关；一个角的补角不一定是钝角（当原角是钝角时，其补角是锐角）。 知识点 7　钟面角与方位角 钟面角：钟面被 12 个大格平分， 每个大格是 ，每个小格是 ； 分针每分钟转 ，时针每分钟转 。 方位角：以正北或正南方向为基准，说成“北偏东（西）多少度”“南偏东（西）多少度”。 “东北方向”就是北偏东 ；“西南方向”就是南偏西 。 【典型例题】 例 1　计算：。 解：， 。 点拨：先算括号内，注意“分”满 60 要向“度”进位；被减数的分不够减时，从度借 1 化成 60 分。 例 2　， 是 内的一条射线，， 平分 ，求 的度数。 解：因为 ，， 所以 。 因为 平分 ， 所以 。 所以 。 例 3　一个角的余角比这个角的 大 ，求这个角的度数。 解：设这个角为 度，则它的余角为 度。 由题意得 ， ，，。 答：这个角的度数为 。 二、基础达标（A 组） （一）选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1．下列说法正确的是（　　） A．两条射线组成的图形叫做角　　B．平角就是一条直线　　C．角的大小与边画出的长短无关　　D．周角就是一条射线 2． 等于（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3．计算 的结果是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 4．一个角的补角是它的 3 倍，则这个角的度数是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 5．下午 2 时整，时针与分针所成的角（小于平角的角）的度数是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 6．已知 ，则 的余角与补角的度数之和是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 7． 是 的平分线， 是 的平分线，若 ，则 的度数是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 8．如图所示，射线 表示的方向是（　　） A．北偏东 　　B．北偏东 　　C．南偏东 　　D．东偏北 （第 8 题图） （二）填空题（每小题 3 分，共 24 分） 9．　　　　　，　　　　　，　　　　　。 10．　　　　　（用度表示），　　　　　（用度、分表示）。 11．计算：　　　　　。 12． 的补角是 的 5 倍，则 　　　　　。 13．钟面上 3 时 30 分时，时针与分针所成的锐角是　　　　　度。 14．若 与 互余， 与 互余，则 与 的关系是　　　　　，依据是　　　　　　　　。 15．如图，从点 出发有四条射线 、、、，则以 为顶点的角共有　　　　　个。 16．一个角的度数是 ，则它的余角是　　　　　，补角是　　　　　，补角比余角大　　　　　。 （第 15 题图） （三）解答题（共 34 分） 17．（8 分）计算： （1）；　（2）； （3）；　　　　（4）。 18．（6 分）如图，， 是 内的一条射线，。 （1）求 的度数； （2）若 平分 ，求 的度数。 19．（6 分）一个角的余角比这个角的补角的 少 ，求这个角的度数。 20．（7 分）点 是直线 上一点， 是从点 出发的一条射线，。 （1）求 的度数； （2） 与 有什么关系？ （3）若 平分 ，求 的度数。 21．（7 分）如图，某轮船在 处，灯塔 在它的北偏东 方向，小岛 在它的南偏西 方向。 （1）在图中指出表示北偏东 与南偏西 的角； （2）求 的度数； （3）若轮船沿正东方向航行，求它的航行方向与 所成角的度数。 三、能力提升（B 组） 22．（4 分）时钟在 4 时 20 分时，时针与分针所成的角的度数是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 23．（4 分）若 与 互补， 与 互余，则 的度数是（　　） A．　　B．　　C．　　D．无法确定 24．（5 分）若一个角的补角等于这个角的余角的 4 倍，则这个角的度数是　　　　　。 25．（5 分）从点 出发引 5 条射线，可以组成　　　　　个小于平角的角；若引 条射线，可以组成　　　　　个角。 26．（8 分）如图，，， 平分 ， 平分 。 （1）当射线 在 的内部时，求 的度数； （2）当射线 在 的外部（ 的另一侧）时，求 的度数； （3）由（1）（2）你发现 与 有什么关系？ 27．（8 分）已知 ， 是 的平分线， 是从点 出发的另一条射线，且 。 （1）当 在 的内部时，求 的度数； （2）当 在 的外部时，求 的度数； （3）本题为什么必须分类讨论？ 28．（8 分）钟面问题探究： （1）分针每分钟转多少度？时针每分钟转多少度？ （2）从 3 时整开始，经过 分钟后，分针与时针所成角（小于平角）的度数如何用含 的代数式表示（设 ）？ （3）3 时几分时，时针与分针重合？ 四、拓展探究（C 组） 29．（10 分）如图， 为直线 上一点，， 平分 ， 平分 。 （1）求 的度数； （2）求 与 的度数； （3）求 的度数； （4）若 （），其他条件不变，求 的度数，并说明它是否随 变化。 30．（10 分）阅读与探究： 定义：若两个角的和等于 ，则称这两个角互为余角；若两个角的和等于 ，则称这两个角互为补角。 （1）已知 ，求 的余角和补角； （2）已知一个角的补角比它的余角的 3 倍小 ，求这个角； （3）设一个角为 （），用含 的代数式表示“这个角的补角与余角的差”，并说明这个差是否为定值。 五、参考答案与解析 一、选择题 1．C　2．B　3．B　4．B　5．C　6．C　7．B　8．B 1．C　角是有公共端点的两条射线组成的图形，A 漏掉“公共端点”；平角是角不是直线，B 错；周角是角不是射线，D 错；角的大小由两边张开的程度决定，与边的长短无关，C 正确。 2．B　，，故 。 3．B　，，故结果为 。 4．B　设这个角为 ，则 ，，。 5．C　2 时整时针与分针相差 2 个大格，。 6．C　 的余角为 ，补角为 ，两者之和为 。 7．B　。 8．B　由图可知 与正北方向所成的角为 ，且偏向东侧，故为北偏东 。 二、填空题 9．；；。　解析：。 10．；。　解析：；。 11．。　解析：，。 12．。　解析：设 ，则 ，。 13．。　解析：3 时 30 分时分针指向 6，时针在 3 与 4 之间且过了一半，时针与 6 相差 。 14．相等；同角的余角相等。 15．。　解析：从一点出发的 4 条射线，每两条组成一个角，共 个。 16．；；。　解析：，与 无关。 三、解答题 17．解：（1）。 （2）。 （3）。 （4）。 18．解：（1）。 （2）因为 平分 ，所以 ， 所以 。 19．解：设这个角为 度， 则 ， ， ，， ，。 答：这个角的度数为 。 20．解：（1）因为 、、 在同一条直线上，所以 ， 。 （2），所以它们互为补角。 （3）因为 平分 ，所以 ， 所以 。 21．解：（1）图中北方向射线与 所夹的角即北偏东 ；南方向射线与 所夹的角即南偏西 。 （2）记正北、正西方向的射线分别为 、。 由 在北偏东 得 ； 由 在南偏西 得 ； 又因为正北与正西方向互相垂直，所以 。 所以 。 （3）正东方向与正北方向成 ，而 与正北成 ， 所以正东方向与 所成的角为 。 四、能力提升 22．A　解析：4 时 20 分时，分针指向 4（即 位置），时针在 4 与 5 之间，转过 ，两针相差 。 23．A　解析：，，。 24．。　解析：设这个角为 ，则 ，，，。 25．；。　解析：每两条射线组成一个角，共 个。 26．解：（1）当 在 内部时，， ，， 所以 。 （2）当 在 外部时，， ，， 所以 。 （3）两种情况下都有 ，即 只与 有关，与 的大小无关。 27．解：（1）因为 平分 ，所以 。 当 在 内部时，。 （2）当 在 外部时，。 （3）因为题目只给出 ，没有指明射线 的位置， 可能在 内，也可能在 外，所以必须分类讨论，否则会漏解。 28．解：（1）分针每分钟转 ；时针每分钟转 。 （2）3 时整时两针相差 ，此后分针每分钟比时针多转 ， 所以经过 分钟后所成的角为 度（ 时该式为正）。 （3）令 ，得 ， 即 3 时 分（约 3 时 16 分 22 秒）时两针重合。 五、拓展探究 29．解：（1）因为 、、 共线，所以 。 （2）因为 平分 ，所以 ； 因为 平分 ，所以 。 （3）。 （4）当 时，， ，， 所以 。 可见 恒等于 ，不随 的变化而变化。 30．解：（1） 的余角 ； 的补角 。 （2）设这个角为 度，则 ， ，，，。 答：这个角为 。 （3）补角与余角的差为 （度）。 所以这个差恒等于 ，是一个定值，与 的取值无关。 ——本课时作业结束—— 学科网（北京）股份有限公司 $