第十五章轴对称图形与等腰三角形单元测试卷 2026-2027学年沪科版数学八年级上册

**基本信息** 2026-2027学年八上数学沪科版第十五章单元卷，120分钟150分，覆盖轴对称、等腰三角形等核心知识，通过基础辨析、综合推理、动态探究梯度设计，培养几何直观与推理能力，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|轴对称与中心对称图形、等腰三角形性质|结合图形辨析，夯实基础概念| |填空题|4/20|角平分线性质、中垂线性质、等边三角形最值|小综合应用，提升空间观念| |解答题|9/90|全等证明（16题）、动态等腰直角三角形（22题）、作图与计算（18题）|分层设计，综合考查推理能力与创新意识，贴合中考命题趋势|

2026-2027学年八上数学沪科版第十五章轴对称图形与等腰三角形单元测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 满分：150分 ） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，和关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（    ） A．直线、的交点不一定在上 B．是等腰三角形 C．和与面积相等 D．垂直平分 3．如图，在中，，是边的中点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，点在一块直角三角板上，其中，于点，于点，连接．若，则的度数是（    ） A．10° B．15° C．20° D．30° 5．如图，是等腰直角三角形，，由它三条中位线所组成的一定是（     ） A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 6．已知等腰三角形的一个顶角为，则这个等腰三角形的底角为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，点在边上，且，若，则的长为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 8．如图，在四边形中，，，边上的点与点B关于对角线对称，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．已知等腰三角形的周长为，以一腰为边作等边三角形，其周长为，则等腰三角形的底边长是（     ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，把折叠，使落在上，点与上的点重合，展开后，折痕交于点，连结、．下列结论：①图中有4对全等三角形；②若将沿折叠，则点不一定落在上；③；④，上述结论中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．如图，中，，，平分，若的面积为6，则的面积为______． 12．如图，中，，的中垂线交于E，交于点D，若，，则的周长为________________； 13．如图，在等边三角形中，，点在边上，当线段的值最小时，的长为___________． 14．如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的选项有________（填序号）． 三.（本题共16分） 15．在平面直角坐标系中，的顶点坐标，，． (1)在图中作出关于y轴对称的图形； (2)在y轴上找一个点P，使得的周长最小，在图中标出点P的位置； (3)求的面积． 16．如图， 点B、C、D在同一直线上， 和 都是等边三角形，连接、，分别交于点F、G． (1)求证：； (2)求的度数． 四.（本题共16分） 17．如图，在等边中，点、在边、上，且，连接、交于点． (1)求证：； (2)过点A作，求线段与的数量关系． 18．如图，已知在中，，请用直尺和圆规完成以下作图： (1)过点C作于点D； (2)在上求作一点E，使得点E到的距离等于的长．(保留作图痕迹，不写作法) 五．（本题共20分） 19．如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 20．如图，在中，点在边上，，过点作交于点． (1)若，求的度数； (2)若点是的中点，求证：． 六.（本题共12分） 21．如图，在中，，的平分线交于点，过点作的垂线交于点，交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的长． 七.（本题共12分） 22．已知和都是等腰直角三角形，是直线上的一动点(点不与点重合)，连接． (1)如图①，当点在边上时，求证：； (2)如图②，当点在边的延长线上时，直接写出之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系； (3)如图③，当点在边的反向延长线上时，直接写出之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系． 八.（本题共14分） 23．【积累经验】我们在第十四章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图①，在中，，线段经过点，且与垂直并相交于点，与垂直并相交于点．求证：．”这个问题时，只要证明即可得到解决． （1）请写出证明过程： 【类比应用】（2）如图②，在平面直角坐标系中，为轴上一点，，，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标； 【拓展提升】（3）如图③，在平面直角坐标系中，点，点均在小正方形网格格点上，以为一边构造等腰直角，请直接写出第一象限内满足条件的所有点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年八上数学沪科版第十五章轴对称图形与等腰三角形单元测试卷》 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A B A A A A B C 1．D 【详解】解：A选项，五角星是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B选项，太极图不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； C选项，奥运五环是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D选项，该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意． 2．A 【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的判定，掌握轴对称的性质是解题的关键． 由轴对称的性质及等腰三角形的判定，即可逐步分析求解． 【详解】解：和关于直线对称， 线段和线段关于直线对称， 直线和直线关于直线对称，且直线和直线不平行， 直线和直线的交点一定在上，A选项错误，符合题意； 和关于直线对称，点A与点为对应点， 直线垂直平分， ， 是等腰三角形，B、D选项正确，不符合题意； 和关于直线对称， ， 和面积相等，C选项正确，不符合题意； 故选：A． 3．A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵，是边的中点， ∴，即， ∵， ∴． 故选：A 4．B 【分析】本题考查了角平分线的判定，掌握到角两边距离相等的点在角的平分线上，角平分线将角分成相等的两部分是解题的关键． 根据到角两边距离相等的点在角平分线上，判断平分，再结合的度数求出的度数． 【详解】解：，，， 是的平分线． ， ． 故选：B． 5．A 【分析】利用等腰直角三角形性质，中位线的性质，两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等推导即可． 【详解】解：是等腰直角三角形，， ， 、、是的中位线， ，，，， ，， ， 是等腰直角三角形． 6．A 【分析】根据等腰三角形的特征以及三角形内角和为进行作答即可． 【详解】解：∵等腰三角形的两个底角相等， ∴底角为， 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和为，难度较小． 7．A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，准确作出辅助线求出与是解题的关键． 过点作于，根据等腰三角形三线合一的性质得出，由含30度角的直角三角形的性质求出，那么． 【详解】解：如图，过点作于， 又，， ， 在直角中，，， ， ， ． 故选：B． 8．A 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，垂直平分线的性质，三线合一，直角三角形两锐角互余．连接，，过A作于E，依据，，即可得出，再根据直角三角形两锐角互余，即可求解． 【详解】解：如图，连接，，过作于，如图所示： 边上的点与点B关于对角线对称， 垂直平分， ， ， ， ， 又， ， ， 又， ， 故选：A． 9．B 【分析】先根据等边三角形的性质求出等腰三角形的腰长，再结合等腰三角形的周长计算底边长，最后验证三角形三边关系即可得到结果． 【详解】解：∵等边三角形周长为，且等边三角形三边相等， ∴等边三角形的边长为，即等腰三角形的腰长为， ∵等腰三角形周长为， ∴等腰三角形的底边长为， 又∵，满足三角形三边关系， 因此等腰三角形底边长为． 10．C 【分析】由等腰直角三角形的性质可得，，由折叠的性质可得，，，利用全等三角形的判定和性质依次判断可求解． 【详解】解：，，， ，， 把折叠，使落在上，点与上的点重合， ， ，，， 在和中， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， 图中共有4对全等三角形，故①正确； ， ， ， ， 将沿折叠，则点一定落在上，故②错误；，， ， ，故③正确； 连接， ， ， ， ， ， ， ，故④正确． 11．10 【分析】本题考查了角平分线性质，三角形的面积，作辅助线利用角平分线的性质求出两个三角形的高线是解题的关键．过点D作于G，作于H，利用角平分线性质可得，再利用三角形面积可得，再根据计算，即可求得答案． 【详解】解：如图，过点D作于G，作于H， ∵平分， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：10． 12．14 【分析】先根据勾股定理求出的长，再由线段垂直平分线的性质得出，即，再由即可求出答案． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴，即， ∴的周长． 13．3 【分析】本题考查了等边三角形的性质，垂线段最短，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 由垂线段最短可得当时，的值最小，由等边三角形的性质可求解． 【详解】解：点在边上， 当时，的值最小， 又是等边三角形， ， 故答案为：3． 14．①②④ 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、根据面积等式证明线段相等、角平分线的判定、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 先由证明，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，得，可判断①正确； 设交于点，因为，所以，可判断②正确； 作于点，于点，由得，则，即可证明平分，可判断④正确； 假设，则，所以，由，，得，即可推导出，得，与已知条件相矛盾，可判断③错误，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 故①正确； 设交于点， ∴， 故②正确； 作于点I，于点J，如下图： ∵， ∴， ∴， ∴点在的平分线上， ∴平分， 故④正确； 假设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，与已知条件相矛盾， ∴， 故③错误， ∴①②④这3个结论正确， 故答案为：①②④． 15．(1) 如图所示，即为所求； (2) 如图所示，点P即为所求； (3)4 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，轴对称最短路径问题，网格中求三角形面积： （1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据轴对称的性质，连接，交y轴于点P，点P即为所求； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：； 16．(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质． （1）根据等边三角形得到，继而得到，然后证明，即可得到； （2）由全等三角形得到，而，再由三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴． 17．(1) 证明：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴． (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质和全等三角形的判定即可证明； （2）利用全等三角形的性质得到，推出，结合即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了尺规作图，作垂线，作角平分线，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）以点C为圆心，适当长度为半径画弧交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于长度为半径画弧交点，连接，与交于一点，此时，即可作答． （2）理解点E在上且点E到的距离等于的长，即要求点在的角平分线上，故的角平分线上与的交点即为点E，所以运用圆规和直尺作出的角平分线，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，如图所示： （2）解：依题意，点E如图所示． 19．(1)证明：连接， ∵的垂直平分线交于点E， ∴， ∵， ∴， ∵D为线段的中点， ∴； (2) 【分析】（1）连接，利用线段垂直平分线的性质证得，再根据等腰三角形的三线合一性质即可求证结论； （2）由三角形的内角和可得，进而得到． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 20．(1) (2) 证明：如图，连接． ，点是的中点， ，， ． ， ， ， ， ． 【分析】本题考查等腰三角形性质，三角形内角和定理等． （1）根据题意可得，继而得到，再利用等腰三角形性质即可得到，再利用三角形内角和定理即可得到本题答案； （2）连接，利用等腰三角形性质得到，然后得到，然后得到，继而得到本题答案． 【详解】（1）解：，， ， ， ， 在中，， ， ， ； （2）解：略． 21．(1) 证明：， ， 又平分， ， 又在和中 ， ， ， 为等腰三角形； (2)5 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解答本题的关键． （1）由垂直的定义得到，由角平分线的定义得到，根据三角形的内角和得到，得到，于是得到结论； （2）连接，根据等腰三角形的性质得到垂直平分，得到，由等腰三角形的性质得到，等量代换得到，于是进一步得到，利用即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）如图，连接， 平分， 垂直平分， ， ， ， ， 又， ， 又中，， ， ， ． ． 22．(1) 证明：和都是等腰直角三角形， ，，， ， ， ， ， ； (2)， (3)， 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；本题解题的关键是利用等腰直角三角形的性质证明，再结合全等三角形的性质推导线段关系与位置关系． （1）证明，可得，即可推出； （2）证，利用全等三角形的性质即可证明； （3）同（1）得，则，，得，再证即可． 【详解】（1）略 （2）猜想，，理由如下： ， ， ， 又，， ， ， ， ， ， ； （3），，理由如下： 如图③所示： 同（1）得：， ，， ， ， ， 又是等腰直角三角形， ， ， ． 23． （1）证明：，， ， ， ， ， ， 在与中， ， ∴， ∴，； （2）； （3）或或； 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质：（1）根据，得到，从而得到，根据得到，从而得到，结合即可得到即可得到证明；（2）过点C作x轴平行线交y轴于点D，过点A作于E，同（1）证明即可得到答案；（3）根据全等两直角三角形拼凑，分直角边斜边两类直接作图即可得到答案； 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，过点C作x轴平行线交y轴于点D，过点A作于E， ， 同（1）理可得， ， ∴， ∴，， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∵轴，，， ∴， ∴点的坐标为； （3）解：根据模型可得， 当以为直角边，B为连接点，如图所示， ， 当以为直角边，A为连接点，如图所示， ， 当以为斜边，如图所示， ， ∴点C为：或或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $