第十三章《三角形中的边角关系、命题与证明》单元基础卷 2026-2027学年沪科版数学八年级上册

**基本信息** 沪科版八年级上册第十三章《三角形中的边角关系、命题与证明》单元基础卷，覆盖三角形定义、三边关系、命题证明等核心知识，通过基础题与创新题型结合，培养抽象能力、推理意识和应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|三角形定义（1题）、三边关系（3题）、命题判断（7题）|基础概念与图形结合，如含30°三角板与直尺位置关系（4题）| |填空题|4/16|命题改写（13题）、原逆命题真假（14题）|注重逻辑表达，如“三个内角相等的三角形是等边三角形”改写（13题）| |解答题|7/68|角平分线性质（19题）、新定义应用（22题“好运三角形”）|分层设计，基础题如三角形内角计算（18题），创新题如“优雅三角形”探究（23题），体现推理与应用意识|

第十三章《三角形中的边角关系、命题与证明》单元基础卷 2026-2027学年沪科版数学八年级上册 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分. 1．下列由三条线段组成的图形是三角形的是（　　） A． B． C． D． 2．等腰三角形一条边的边长为，它的另两条边的边长是关于的一元二次方程的两个根，则的值是（　　） A．或 B． C．或 D． 3．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．1，1，3 C．3，3，3 D．3，4，8 4．如图，将一个直尺和一个含角的直角三角板（）放在一起，使直尺的一边与直角三角板的斜边重合，直尺的另一边与直角三角板的两直角边交于两点，则（　　） A． B． C． D． 5．能把一个任意三角形分成面积相等的两部分的是三角形的（　　） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．边的中垂线 6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，DE⊥AB，垂足为E，则△ABD的BD边上的高是(　　) A．AD B．DE C．AC D．BC 7．下列语句中，是定义的是（　　） A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线 C．对顶角相等 D．同角的余角相等 8．下列句子中，属于命题的是（　　） A．垂线段最短 B．作一个角等于已知角 C．将16开平方 D．负数小于正数吗？ 9．要说明命题“若a>b，则|a|>|b|”是假命题，能举的一个反例是 (　　) A．a=3，b=2 B．a=-1，b=-2 C．a=4，b=-1 D．a=1，b=0 10．下列命题中，是真命题的是（　　） A．同旁内角互补 B．两直线被第三条直线所截，截得的内错角相等 C．三角形的外角大于三角形的内角 D．对顶角相等 11．如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，∠A=80°，∠B=60°，那么∠BDC=(　　) A．80° B．90° C．100° D．110° 12．用一只平底锅煎饼，每次只能放两只饼，煎熟一只饼需要2分钟（正反两面各需1分钟），那么煎熟3只饼至少需要_____分钟．（　　） A．4 B．3 C．5 D．6 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.只要求填出最后结果. 13．把命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果…，那么…”的形式为　 　． 14．已知下列命题：①若>1，则a>b；②若a+b=0，则|a|=|b|；③等边三角形的三个内角都相等；④底角相等的两个等腰三角形全等；⑤直角三角形的两锐角互余.其中原命题与逆命题均为真命题的是　 　.(只填写序号) 15．如图，直线a∥b，则∠A＝　 　度． 16．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝45°，AD是△ABC的一条角平分线，则∠ADB＝　 　． 三、解答题：本大题共7小题，共68分. 17．如图，在平面直角坐标系中，已知点 （1）写出点B和点C的坐标； （2）画出将向右平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度后得到的； （3）求出的面积． 18．在下面的空白处，分别填入“锐角”“钝角”或“直角”： （1）如果三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是　 　三角形； （2）如果三角形的一个内角等于另外两个内角之和，那么这个三角形是　 　三角形； （3）如果三角形的两个内角都小于40，那么这个三角形是　 　三角形。 19．如图，AD 是△ABC 的高，AE，BF 是△ABC 的角平分线，且 （1）求∠BAD 的度数； （2）若∠AFB=70°，求∠DAE 的度数. 20． 如图， CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线， 且 CE 交 BA 的延长线于点E. 求证∠BAC=∠B+2∠E. 21．如图，在中，，，是的角平分线，于点E． （1）求的度数； （2）求的度数． 22．【定义】若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”例如，三边为，，的三角形是“好运三角形”． （1）【概念运用】在中，，，若为“好运三角形”，求的长； （2）【变式运用】已知的周长为，，若的长为偶数，试判断是否为“好运三角形”． 23．阅读材料： 在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“优雅三角形”，其中称为“优雅角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是，这个三角形就是“优雅三角形”，其中“优雅角”的度数为；反之，若一个三角形是“优雅三角形”，则这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍． （1）一个“优雅三角形”的一个内角为，若“优雅角”为锐角，则这个“优雅角”的度数为　 　； （2）如图，，在射线上取一点A，过点A作，交于点B，以A为端点画射线，交线段于点C（点C不与点O，B重合），得到一个以为“优雅角”的“优雅角三角形”，求的度数． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 【分析】根据在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形，即可求解. 2．【答案】D 【解析】【解答】解：当其他两条边中有一个为时，将代入原方程， 得： 解得： 将代入原方程，得： 解得， ，，不能组成三角形，不符合题意舍去； 当为底时，则其他两边相等，即 此时： 解得： 将代入原方程，得： 解得： ，，能够组成三角形，符合题意， 故的值为 故选：． 【分析】结合等腰三角形边的分类讨论(腰或底)与一元二次方程根的情况(判别式，代入求解)当其他两条边中有一个为时，将代入原方程求出，然后解方程和三角形三边关系讨论即可，当为底时，则其他两边相等，即，求出，然后解方程和三角形三边关系讨论即可. 3．【答案】C 【解析】【解答】解：A、∵， ∴长度为1，2，3的三条线段不能组成三角形，不符合题意； B、∵， ∴长度为1，1，3的三条线段不能组成三角形，不符合题意； C、∵， ∴长度为3，3，3的三条线段能组成三角形，符合题意； D、∵， ∴长度为3，4，8的三条线段不能组成三角形，不符合题意； 故选：C． 【分析】根据三角形三边关系即可求出答案. 4．【答案】A 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∵ ∴， ， . 故选：A． 【分析】根据平行线的性质可得，再根据三角形的内角和可得，最后根据补角的性质即可得出答案. 5．【答案】B 【解析】【解答】解：三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形， 所以，能把一个任意三角形分成面积相等的两部分的是三角形的中线. 故答案为：B. 【分析】中线把三角形分成等底等高的两个三角形，故两个三角形的面积相等. 6．【答案】C 【解析】【解答】解：经过三角形一个顶点，向它的对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高． ∵BEAB于E， ∴DE是ABD的边AB上的高线， ∵ACBD于C， ∴AC是ABD的BD边上的高线． 故选：C 【分析】 本题考查三角形高的定义，准确根据高线的定义找出对应边的高即可. 7．【答案】B 【解析】【解答】解：A．两点确定一条直线是性质不是定义，故A不符合题意； B．在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线是定义，故B符合题意； C．对顶角相等是性质，不是定义，故C不符合题意； D．同角的余角相等是性质，不是定义，故D不符合题意． 故选：B． 【分析】根据课本中的定义与性质、公理的异同等对每个选项逐一判断求解即可。 8．【答案】A 【解析】【解答】解：A、是命题，故本选项符合题意； B、不是命题，故本选项不符合题意； C、不是命题，故本选项不符合题意； D、不是命题，故本选项不符合题意； 故答案为：A. 【分析】根据命题的定义逐一判断即可. 9．【答案】B 【解析】【解答】解：A、a=3，b=2，满足a＞b，且满足|a|＞|b|，不能作为反例，故错误； B、a=-1，b=-2，满足a＞b，但不满足|a|＞|b|，∴a=-1，b=-2能作为证明原命题是假命题的反例， C、a=4，b=-1，满足a＞b，且满足|a|＞|b|，不能作为反例，故错误； D、a=1，b=0；满足a＞b，且满足|a|＞|b|，不能作为反例，故错误； 故答案为：B . 【分析】根据反例满足条件但不能得到结论逐项判断即可． 10．【答案】D 【解析】【解答】解：A、在两直线平行的情况下，同旁内角互补，若两直线不平行，同旁内角不互补，所以“同旁内角互补”这个命题缺少“两直线平行”的前提，所以原命题是假命题，不符合题意； B、必须是“两平行直线”被第三条直线所截，截得的内错角相等，所以“两直线被第三条直线所截，截得的内错角相等 "这个命题缺少”两平行直线“的前提，所以原命题是假命题，不符合题意； C、准确表述应是三角形的外角大于与其不相邻的内角，所以原命题是假命题，不符合题意； D、对顶角相等，原命题是真命题，符合题意； 故答案为：D． 【分析】依据平行线性质，三角形外角性质以及对顶角的定义可分别判断各个命题的真假，即可得出答案。 11．【答案】C 【解析】【解答】解：∵CD是 的平分线， (平分线的定义)， ， 故答案为：C. 【分析】根据角平分线的性质先求出的度数，再根据三角形内角与外角的关系求出的度数. 12．【答案】B 【解析】【解答】解：∵若先把两只饼煎至熟，势必在煎第三只饼时，锅中只有一只饼而造成浪费， ∴应先往锅中放入两只饼，先煎熟一面后拿出一只，再放入另一只，当再煎熟一面时把熟的一只拿出来，再放入早拿出的那只，使两只饼同时熟， ∴煎熟3只饼至少需要3分钟． 故答案为：B． 【分析】若先把两只饼煎熟，则在煎第三张饼时，锅中只有一只饼而造成浪费，所以应把两只饼的两面错开煎，进而求解即可． 13．【答案】如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形. 【解析】【解答】解：因为“三个内角都相等的三角形是等边三角形”中“三个内角都相等的三角形”是条件，“等边三角形”是结论，则可得如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形. 【分析】本题考查命题与定理的相关知识点，解题的关键是掌握如果…，那么…写法的要求，如果是条件，那么是结论，即可得到答案. 14．【答案】③⑤ 【解析】【解答】解：①若 则a>b，∵当a=-4，b=-2时， 此时a<b，所以此命题为假命题；它的逆命题为若a>b，则 ∵当a=a=2， b=-2时， 此时 此时a>b，∴所以此逆命题为假命题； ②若a+b=0，则 ，此命题为真命题；它的逆命题为若 则a+b=0，∵当|a| 时，则a+b=0或a=b，∴此逆命题为假命题； ③等边三角形的三个内角都相等，此命题为真命题；它的逆命题为三个内角相等的三角形为等边三角形，此逆命题为真命题； ④底角相等的两个等腰三角形全等，∵底边不一定相等，∴此命题为假命题；它的逆命题为全等的两个等腰三角形的底角相等，此逆命题为真命题； ⑤直角三角形的两锐角互余，此命题为真命题；它的逆命题为两锐角互余的三角形是直角三角形，此逆命题为真命题. 故答案为：③⑤. 【分析】先判断原命题的真假，再写出原命题的逆命题，然后根据不等式的性质、绝对值的意义、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的判定与性质对个选项进行判断. 15．【答案】39 【解析】【解答】解：∵直线a∥b ∴B=70° ∴∠A=∠B-∠ADB=39° 故答案为：39 【分析】根据直线平行性质可得∠B=70°，再根据三角形外角性质即可求出答案. 16．【答案】105° 【解析】【解答】解：∵AD是△ABC的一条角平分线，∠BAC＝60°， ∴∠BAD=30°， ∴∠ADB=180°-30°-45°=105°． 故答案为：105°． 【分析】先利用角平分线的定义可得∠BAD=30°，再利用三角形的内角和求出∠ADB的度数即可. 17．【答案】（1）解∶，； （2）解∶如图，即为所求， （3）解∶的面积 为：． 【解析】【分析】（1）根据点B和点C再坐标系中的位置，结合点的位置坐标求法，即可得到答案； （2）根据 右平移5个单位长度，再向上平移4个单位，利用平移变换的性质，分别作出A，B，C的对应点，，，顺次连接，即可得到答案； （3）根据矩形和三角形的面积公式，利用矩形的面积减去周围的三个三角形面积，列出算式，解析计算，即可得到答案． 18．【答案】（1）锐角 （2）直角 （3）钝角 【解析】【解答】解：(1)因为三角形三个内角都相等，且三角形内角和为180°， 所以三个角都为60°， 即：三角形为锐角三角形． 故答案为：锐角 (2)设三角形三个角为∠A、∠B、∠C， 且∠A+∠B=∠C， 又因为∠A+∠B+∠C=180°， 所以∠A+∠B=∠C=90°， 所以三角形为直角三角形． 故答案为：直角 (3)设三角形三个角为∠A、∠B、∠C， 且∠A＜40°，∠B＜40°， 即：∠A+∠B＜80°． 因为三角形内角和为180°， 所以∠C＞180°-80°， 即：∠C＞100°． 所以三角形为钝角三角形． 故答案为：钝角 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出每个角的度数，再根据锐角三角形的定义即可求解； （2）根据题意设三角形三个角为∠A、∠B、∠C，则∠A+∠B=∠C，进而即可得到∠A+∠B=∠C=90°，根据直角三角形的定义即可求解； （3）设三角形三个角为∠A、∠B、∠C，则∠A＜40°，∠B＜40°，即∠A+∠B＜80，再根据三角形内角和定理得到∠C＞100°，进而根据钝角三角形的定义即可求解。 19．【答案】（1）解：由题意可知 ∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB=90°， （2）解：由题意可知 ∵AE 平分∠BAC， ∴∠BAE=40°， 【解析】【分析】（1）根据角平分线定义可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案. （2）根据角之间的关系可得∠C，根据三角形内角和定理可得∠BAC，再根据角平分线定义可得∠BAE=40°，再根据角之间的关系即可求出答案. 20．【答案】证明：在△ABC中，外角∠ACD是∠BAC和∠B的和，即： ∠ACD = ∠BAC + ∠B ∵CE平分∠ACD，故： ∴∠ACE = ∠ECD =∠ACD = ( ∠BAC + ∠B ) 在△ACE中，∠BAC是其外角，即： ∠BAC = ∠E + ∠ACE ∴∠BAC = ∠E + ( ∠BAC + ∠B ) 将方程整理： ∠ B C −∠BAC = ∠ E +∠ B ∠ BAC = ∠E +∠B 两边乘以2： ∠BAC = 2∠ E + ∠ B 即：∠BAC = ∠B + 2 ∠E 【解析】【分析】 通过三角形外角的性质得到∠ACD = ∠BAC + ∠B，∠BAC = ∠E + ∠ACE，利用角平分线性质建立角度关系，最终通过方程变形完成证明，解答即可. 21．【答案】（1） 解：在中，，， ∴． ∵是的角平分线， ∴； （2）解：∵，又， ∴， ∴． 【解析】【分析】本题以三角形中的角平分线和垂线为背景，考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、垂直的定义以及直角三角形两锐角互余的性质。 （1）在△ABC中，已知两个内角的度数，利用三角形内角和为180°可求出∠BAC的度数，再根据AD是角平分线，即可得到∠BAD的度数。 （2）由BE⊥AD可知△ABE为直角三角形，结合已求出的∠BAD，利用直角三角形两锐角互余求出∠ABE，最后用已知的∠ABC减去∠ABE，即可得出∠EBD的度数。 （1）解：在中，，， ∴． ∵是的角平分线， ∴； （2）解：∵ ，又， ∴， ∴． 22．【答案】（1）解：，，即， 为“好运三角形”， 为偶数， ； （2）设为偶数，则， 解得， 为偶数， ． ， 又， 是“好运三角形” 【解析】【分析】本题考查三角形的三边关系． （1）先根据三边关系可列出不等式，解不等式可求出的范围，再根据新定义，可得AC为偶数，据此可求出的长； （2）设为偶数，则，根据三角形的三边关系可列出不等式组，解不等式组可求出的取值范围，根据的长为偶数，可求出的长，利用线段的运算可求出的长，再根据新定义可判断为“好运三角形 ． （1）解：， ，即， 为“好运三角形”， 为偶数， ； （2）设为偶数，则， 解得， 为偶数， ． ， 又， 是“好运三角形”． 23．【答案】（1） （2）解：交于点， ， ∵点在线段上 ∴ ∵， ∴， ∵是以为优雅角的“优雅三角形”， ∴，则， ∴的度数为． 【解析】【解答】（1）解：一个“优雅三角形”的一个内角为，另两个角之和为：， “优雅角”为锐角，根据“优雅三角形”的定义得：， 故答案为：. 【分析】（1）利用“优雅三角形”的定义及三角形的内角和及角的运算分析求解即可； （2）根据是以为优雅角的“优雅三角形”，可得，则，再利用角的运算求出的度数为即可． （1）解：一个“优雅三角形”的一个内角为，另两个角之和为：， “优雅角”为锐角，根据“优雅三角形”的定义得：， 故答案为：； （2）解：交于点， ， ∵点在线段上 ∴ ∵， ∴， ∵是以为优雅角的“优雅三角形”， ∴，则， ∴的度数为． 学科网（北京）股份有限公司 $