第十三章 三角形中的边角关系，命题与证明 单元测试卷 2026-2027学年沪科版八年级数学上册

**基本信息** 本单元卷聚焦三角形边角关系与命题证明，通过多样化题型覆盖核心知识点，注重几何直观与推理能力培养，适配初中数学第十三章单元复习，助力夯实基础与提升综合应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|三角形中线/外心/高线性质、直角三角形判定、命题真假判断|结合图形辨析（如第2题直角三角形计数），考查空间观念| |填空题|6/18|角平分线与高综合计算、外角性质、假命题反例（如第13题c值）、折叠问题|突出抽象能力，需分类讨论（如第15题折叠后角度计算）| |解答题|8/72|等腰三角形周长分类、角平分线与方程组结合、辅助线作图证明（如第24题三角形内角和）|强调推理能力，设计分层任务（基础计算与证明探究结合）|

第十三章三角形中的边角关系，命题与证明单元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．下列说法不正确的是（    ）． A．三角形的中线在三角形的内部 B．三角形的外心不一定在三角形的外部 C．三角形的高线在三角形的内部 D．三角形角平分线交点到三边距离相等 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，是基础题，熟记概念以及在三角形中的位置是解题的关键． 根据三角形的中线，角平分线和高线的定义以及在三角形的位置对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、三角形的中线在三角形的内部正确，故本选项不符合题意； B、三角形的外心不一定在三角形的外部正确，故本选项不符合题意； C、只有锐角三角形的三条高在三角形的内部，故本选项符合题意； D、三角形角平分线交点到三边距离相等正确，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．如图，中，，D是延长线上一点，于F，交于E，图中有（    ）个直角三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据垂直的定义找出图中的直角，进而确定直角三角形的个数． 【详解】解：， 是直角三角形， 是延长线上一点， ， 是直角三角形， ， ， 和都是直角三角形， 综上所述，图中的直角三角形有、、、，共个． 3．在中，，，则为（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】先利用三角形内角和得到的度数，结合已知的的度数求出两个角的度数，再根据角的大小判断三角形类型． 【详解】解：∵ 在中，，， ∴ ， 又∵ ， 将两式相加得， ∴ ， ∴ ， ∵ 三个内角，，，均小于， ∴ 是锐角三角形． 4．等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】分腰长为、腰长为两种情况讨论，结合三角形三边关系排除不成立的情况后计算周长． 【详解】解：等腰三角形的两边长分别为和， 分两种情况讨论： ①当腰长为时，三边长为，，， ， 不能构成三角形； ②当腰长为时，三边长为，，， ， 能构成三角形，周长为． 5．如图，在中，，，是的角平分线，点在上，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和求出，由角平分线求出，最后由平行线的性质即可求出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 6．若满足下列某个条件，则它不是直角三角形的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形内角和为，计算各选项的内角，判断是否存在角，即可得到答案． 【详解】解：根据三角形内角和定理，，逐个判断： A、，代入得， ，是直角三角形，不符合题意； B、，变形得，代入得， ，是直角三角形，不符合题意； C、， 设，，，则，解得， ，是直角三角形，不符合题意； D、， 设，则，代入得，解得， ，，没有角，不是直角三角形，符合题意． 7．下列命题中，真命题是（     ） A．立方根等于本身的数只有0 B．若，则 C．实数与数轴上的点一一对应 D．若，则 【答案】C 【分析】根据立方根概念，不等式性质，实数与数轴的对应关系，只需逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】解：对选项A：，，， 立方根等于本身的数有，A是假命题； 对选项B：， ，B是假命题； 对选项C：根据实数的基本性质，实数与数轴上的点一一对应，C是真命题； 对选项D：举反例，，满足，但， D是假命题． 8．如图．在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形中线的性质可判断A选项； 根据角平分线平分角、同角的余角相等，以及对顶角相等可判断B选项；利用等面积法可判断C选项；先说明，，即，即可判断D选项． 【详解】解：A．∵是的中线， ∴， ∴ (等底等高的两个三角形面积相等)，故A正确，不符合题意； B．∵是角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即B选项正确； C．∵， ∴，解得：，即C选项正确； D．∵， ∴， ∵， ∴，即，故D选项，错误，符合题意． 9．已知，如图所示，在中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据中线等分三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴． 10．有下列说法，不正确的有（　　）个． ①相等的角是对顶角； ②两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； ④任何数的零次幂都等于1； ⑤二次三项式是完全平方式，则； ⑥中，，则此三角形为直角三角形． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据对顶角的性质、同位角的性质、平行线判定、零次幂定义、完全平方公式、三角形内角和定理逐个判断正误即可． 【详解】解：① 对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，例如两平行线的内错角相等，但不是对顶角，故①错误； ② 只有两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等，题干缺少“平行”条件，故②错误； ③ 根据平行线的判定，在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故③正确； ④ 的零次幂没有意义，只有非零数的零次幂等于，故④错误； ⑤ 若是完全平方式，根据完全平方公式，可得，因此，解得或，不是，故⑤错误； ⑥ 设，由三角形内角和为得，解得，最大角，因此三角形是锐角三角形，不是直角三角形，故⑥错误． 综上，不正确的说法共个． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．如图，已知是的角平分线，是的高，，，________． 【答案】 【分析】由直角三角形两个锐角互余得出，，得到，由角平分线的定义得出，最后由三角形内角和定理即可得出． 【详解】解：∵是的高，，， ∴，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 12．如图，在中，，平分的外角交的延长线于点D，若，则的度数为______________． 【答案】95 【分析】由角平分线的定义可得，由三角形外角的定义及性质可得，最后再由三角形内角和定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵平分的外角交的延长线于点D，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 13．如果能说明命题“若，则”是一个假命题，那么c的值可以是______ ． 【答案】（答案不唯一，任意负数均可） 【分析】要说明该命题是假命题，只需举出满足但不满足的反例，当为负数时，原命题结论不成立。 【详解】解：， ，不满足原命题的结论， 因此任取一个负数作为即可，如． 14．已知中，，如果按角分类，那么是______ 三角形． 【答案】钝角 【分析】由题意得 ， ，由三角形内角和定理得，则，可知是钝角三角形． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 是钝角三角形． 15．如图，在三角形纸片中，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点处，折痕为．则___________． 【答案】/度 【分析】根据折叠的性质得出，从而得到对应角相等，结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴． 由折叠的性质可知，，． ∴在中，． 16．如图，在中，，分别是的高线和角平分线，已知，，则______． 【答案】30 【分析】根据三角形高和角平分线的性质得到、，进而利用三角形内角和定理得到，再得到，据此求出的度数，进而求出的度数． 【详解】解：，分别是的高线和角平分线， 、， ， ， ， 在中，， ， ， ， ． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．结合等腰三角形相关知识，解决以下问题： (1)等腰三角形一边等于6，另一边等于4， 则它的周长为 ． (2)等腰三角形一边等于6，另一边等于3， 则它的周长为 ． 【答案】(1)14或16 (2)15 【分析】（1）分两种情况，根据等腰三角形的定义并结合三角形三边关系计算即可得出结果； （2）分两种情况，根据等腰三角形的定义并结合三角形三边关系计算即可得出结果． 【详解】（1）解：当底边为，腰长为时，此时三边分别为，，，满足三角形三边关系，此时周长为； 当底边为，腰长为时，此时三边分别为，，，满足三角形三边关系，此时周长为； 综上所述，它的周长为14或16； （2）解：当底边为，腰长为时，此时三边分别为，，，满足三角形三边关系，此时周长为； 当底边为，腰长为时，此时三边分别为，，，不满足三角形三边关系，不符合题意； 综上所述，它的周长为15． 18．在中，平分交于点． (1)若，，求的度数； (2)若、恰好是方程组的两个解，（），求的取值范围． 【答案】(1) (2)的取值范围是 【分析】（1）根据三角形内角和，求出，进而由平分，得到，最后根据三角形内角和进行求解即可； （2）先求出方程组的解为，得到，，再根据三角形的三边关系进行求解即可． 【详解】（1）解：∵三角形内角和为 ∴， ∵平分， ∴ ∴． （2）解： 得， 解得 把代入②，得 ， 解得， ∴原方程组的解为， ∵， ∴，， 在中：，即 ∴． 19．如图，，． (1)证明：； (2)若，平分，直接写出的度数． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据平行线性质推出，再结合题意进行等量代换推出，进而即可证明； （2）利用角平分线定义求出，进而得到，再根据求解，即可解题． 【详解】（1）略 （2）解：平分， ， ， 结合（1）可知， ， ． 20．如图，、分别是的高和中线，若，，， (1)求的长 (2)求与的周长差 【答案】(1) (2) 【分析】根据三角形的面积公式解答即可； 利用三角形中线的定义可得，即得的周长的周长，代入已知数据即可求解． 【详解】（1）解：∵是的高，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴， ∴的周长的周长 ． 21．如图，在中，，，于点，于点，与交于点，． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)若，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意得，再结合三角形内角和定理计算即可得出结果； （2）由题意得，再结合三角形内角和定理计算即可得出结果； （3）利用等面积法计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵，，， ∴． 22．如图，已知，，平分，证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：平分， ． ， ， ； (2)证明：由（1）得， ， ， ， ． 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再结合角度的关系可得，根据内错角相等，两直线平行证明即可； （2）由平行的性质可得，进而得到，根据同位角相等，两直线平行证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 23．如图，，分别是的中线和高，平分交于点E． (1)若，，求的度数； (2)若，的面积是42，求的面积． 【答案】(1) (2)24 【分析】（1）先求出的度数，再求出的度数，然后利用三角形的内角和定理求解即可； （2）先求出的面积，再得出，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵是的中线，的面积是42， ∴， ∵的边上的高与的边上的高相等，且， ∴， 又∵， ∴， 即的面积为24． 24．学习完七年级下册第86页“三角形内角和定理”后，小华发现：不通过撕、拼的方法，而是在的顶点处，通过尺规作图添加适当辅助线，也可说明 (1)请在图中用尺规作图作出所需辅助线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据所作辅助线，完成下面的证明过程． 如图，在中，过点作直线， 根据_____________________________ 得到_________，_________， 根据平角定义，___________________________， 因此，，即． 【答案】(1)如图所示，直线即为所求 (2)如图，在中，过点作直线， 根据两直线平行，内错角相等， 得到，， 根据平角定义，． 因此，，即 【分析】（1）根据作一个角等于已知角，作出辅助线即可； （2）利用平行线的性质及平角的定义可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $第十三章三角形中的边角关系，命题与证明单元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分) 1.下列说法不正确的是()· A,三角形的中线在三角形的内部 B.三角形的外心不一定在三角形的外部 C.三角形的高线在三角形的内部 D.三角形角平分线交点到三边距离相等 2.如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是BC延长线上一点，DF⊥AB于F,DF交AC于 E,图中有()个直角三角形 B A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3.在△ABC中，∠A=52°，∠B-∠C=20°，则△ABC为() A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 4.等腰三角形的两边长分别为6和13，则它的周长为() A.32 B.25 C.25或32 D.25或19 5.如图，在△ABC中，∠A=62°，∠B=74°，CD是△ABC的角平分线，点E在AC上，且 DE∥BC,则∠EDC的度数为() A.20° B.22° C.27 D.37° 6.若△ABC满足下列某个条件，则它不是直角三角形的是(). A.∠C=∠A+∠B B.∠C=∠A-∠B C.∠A:∠B:∠C=1:2:3 D.∠A=∠B=2∠C 7.下列命题中，真命题是() 试卷第1页，共3页 A.立方根等于本身的数只有0 B.若a>2,则2-a>0 C.实数与数轴上的点一一对应 D.若a<b,则a2<b2 8.如图.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3,AC=4,BC=5,AD是高，BE是中线， CF是角平分线，CF交AD于点G,交BE于点H,给出以下结论错误的是() D A SAABE=S△BCE B.∠AFG=∠AGF C.AD=2.4 D.∠FAG=∠ACF 9.已知，如图所示，在△ABC中，点D,E,F分别为BC,AD,CE的中点，且 SAABC=8 ,则阴影部分的面积为() B D A.1 B.2 C.4 D.8 10.有下列说法，不正确的有()个. ①相等的角是对顶角： ②两条直线被第三条直线所截，同位角相等： ③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行： ④任何数的零次幂都等于1； ⑤二次三项式 4x2-(m+1)x+ 是完全平方式，则m=3 ⑥△ABC中，∠A:∠B:∠C=3:4:5,则此三角形为直角三角形. A.2 B.3 C.4 D.5 二、填空题（每题3分，共18分） 11.如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠ACE=20°，∠B=50°， 试卷第2页，共3页 ∠ADC= E 12.如图，在△ABC中，∠B=35°，AD平分△ABC的外角∠CAE交BC的延长线于点D, 若∠DAE=60°，则∠ACD的度数为 E A a b 13.如果能说明命题“若a<b则。<。”是一个假命题，那么c的值可以是一 14.己知△ABC中，∠A:∠B:∠C=3:2:6,如果按角分类，那么△ABC是 一三角形 15.如图，在三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠A=60°，沿过点B的直线折叠这个三角 形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD.则∠EDB=_ D B 16.如图，在△ABC中，AD,AE分别是△ABC的高线和角平分线，已知∠BAC=2∠B, ∠B=5LDAE,则∠C=°. DE 三、解答题（每题9分，共72分） 17.结合等腰三角形相关知识，解决以下问题： (1)等腰三角形一边等于6，另一边等于4，则它的周长为_， 试卷第3页，共3页 (2)等腰三角形一边等于6，另一边等于3，则它的周长为 18.在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D. (1)若∠A=80°，∠C=46°，求∠ADB的度数： 3x-2y=2① (2)若AD、BD恰好是方程组x+2y=14②的两个解，(BD>4AD)，求AB的取值范围。 19.如图，AB∥DE,∠BFD=∠1. A (1)证明：DF∥AC: (2)若∠1=65°，DF平分∠BDE,直接写出LC的度数. 20.如图，CD、CE分别是△ABC的高和中线，若AC=5cm,BC=12cm,AB=13cm, ∠ACB=90° (1)求CD的长 (2)求△BCE与△ACE的周长差 21.如图，在△ABC中，AB=8,BC=10,CF⊥AB于点F,AD⊥BC于点D,AD与 CF交于点E,∠B=46°. 试卷第4页，共3页 E (1)求∠BCF的度数： (2)求∠AEC的度数： (3)若AD=6,求CF的长 22.如图，己知LD=∠1，∠2+∠ABC=180°，BD平分∠ABC,证明： B (1)ADIIBC: (2)EFI∥AB 23.如图，AD,AF分别是△ABC的中线和高，CE平分∠ACD交AD于点E. A (1)若∠CED=49°，∠CAF=56°，求∠ADC的度数： (2)若DE:AE=3:4,△ABD的面积是42，求△ACE的面积， 24.学习完七年级下册第86页“三角形内角和定理”后，小华发现：不通过撕、拼的方法， 而是在△ABC的顶点A处，通过尺规作图添加适当辅助线，也可说明∠A+∠B+∠C=180° B (1)请在图中用尺规作图作出所需辅助线（保留作图痕迹，不写作法）： (②)根据所作辅助线，完成下面的证明过程. 试卷第5页，共3页 如图，在△ABC中，过点A作直线MN∥BC, 根据 得到∠B=∠ ,∠C=∠ 根据平角定义，∠ +∠BAC+∠ 因此，∠B+∠BAC+∠C=180°，即∠A+∠B+∠C=180° 试卷第6页，共3页