精品解析：福建省晋江市某校2025-2026学年九年级上学期第一次学情自测数学试题

2025-2026学年九年级数学上学期第一次阶段考 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 测试范围：华师大版九年级上册第21章二次根式+第22章一元二次方程． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 要使在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，一元一次不等式，掌握知识点是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，即被开方数必须非负，由此建立不等式求解即可． 【详解】解：要使二次根式有意义，需满足被开方数， 得． 故选D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算和二次根式的性质．注意二次根式的加减可以类比合并同类项法则，化简后只有被开方数相同才能进行合并．根据二次根式的加减运算法则和二次根式性质进行计算，判断即可． 【详解】解：A、，的被开方数不一样，不能合并，故A选项错误； B、，故B选项错误； C、，故C选项错误； D、，故D选项正确． 故选：D． 3. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将二次根式化简为最简二次根式，再看被开方数是否相同即可． 【详解】A：，与被开方数不同，不是同类二次根式； B：，与被开方数相同，是同类二次根式； C：，与被开方数不同，不是同类二次根式； D：，与被开方数不同，不是同类二次根式． 故选：B． 【点睛】本题主要考查同类二次根式，熟练掌握同类二次根式是解题的关键． 4. 若关于的一元二次方程的一个实数根为0，则等于（ ） A. 1 B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 把代入方程得到关于的方程，再解关于的方程即可． 【详解】解：把代入，得， 解得， 故选：B． 5. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解： 移项得：， 配方得：，即， ∴， 故选：D． 6. 已知是方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. 20 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系解答即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴． 故选：C 7. “双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长，如果第三个月销售量的增长率是第二个月的2倍，第三个月的销售量是第一个月的3倍，设第一月月销售量为辆，第二个月销售量的增长率为，则可列出方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据第二个月销售量的增长率为，则第三个月销售量的增长率是，由第一月月销售量为辆，第三个月的销售量是第一个月的3倍，列出方程即可． 【详解】解：设第二个月销售量的增长率为，则第三个月销售量的增长率是， 根据题意得：， 故选：D． 8. 如图，点，在数轴上表示的数分别是2，，点在数轴上，且，则点表示的数是（ ） A. 0.8 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，求出点，之间的距离，即的长，再根据题意求得的长，即可得出点对应的数． 【详解】解：∵点，在数轴上表示的数分别是2，， ∴， ∵， ∴， ∴点可以看成点向左移动， ∴点对应的数为， ∴点表示的数， 故选：D． 9. 已知为互不相等的实数，且，，则的值为（ ） A. B. 0 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，一元二次方程根与系数的关系．熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．由题意可求出，，即说明m和n可以看作方程的两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，． ∵为互不相等的实数， ∴m和n可以看作方程的两个根， ∴， ∴． 故选A． 10. 关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k．（ ） A. 若﹣1＜a＜1，则 B. 若，则0＜a＜1 C. 若﹣1＜a＜1，则 D. 若，则0＜a＜1 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的情况利用判别式求得a与b的数量关系，然后代入方程求k的值，然后结合a的取值范围和分式加减法运算法则计算求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k， ∴Δ＝（2a）2−4a（b＋1）＝0，即：4a( a−b−1)＝0， 又∵ab≠0， ∴a−b−1＝0， 即a＝b＋1， ∴ax2＋2ax＋a＝0， 解得：x1＝x2＝−1， ∴k＝−1， ∵＝， ∴当−1＜a＜0时，a−1＜0，a（a−1）＞0， 此时＞0，即； 当0＜a＜1时，a−1＜0，a（a−1）＜0， 此时＜0，即； 故A、C错误； 当时，即＞0， ＞0， 解得：a＞1或a＜0， 故B错误； 当时，即＜0， ＜0， 解得：0＜a＜1， 故D正确 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程根的情况求得a与b之间的等量关系是解题关键． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11. 比较大小：________（填“>”或“<”或“=”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的大小比较，掌握二次根式的大小比较的方法是解本题的关键． 【详解】解：∵，而， ∴， 故答案为：． 12. 一元二次方程的根是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或． 13. 为增强学生身体素质，提高学生篮球运动竞技水平，某市开展篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划赛程3天，每天安排5场比赛，设应邀请个球队参赛，由题意可列出方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设应邀请x个球队参赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场），x个球队比赛总场数为，列出一元二次方程即可，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】设应邀请x个球队参赛， 由题意得：， 故答案为：． 14. 已知，，为一个等腰三角形的三条边长，并且，满足，则此等腰三角形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0得到，则，，再分腰长为2和腰长为6两种情况，根据构成三角形的条件和三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， 当腰长为2时，则等腰三角形的三边长为， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为6时，则等腰三角形的三边长为， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意 ∴此等腰三角形的周长为； 综上所述，此等腰三角形的周长为． 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿AB以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动，则______秒时，的面积是． 【答案】2或3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设运动时间为t 秒，则，，利用三角形的面积计算公式，结合的面积是，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动时间为t 秒，则，， ∵， ∴， 整理得：， 解得：，， ∴2或3秒时，的面积是． 故答案为：2或3． 16. 设自然数m，n，，且，则__________． 【答案】16 【解析】 【分析】由已知条件可得，整理得，从而可得且，解得，再根据条件得出，求出m，n的值，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即有正整数解， ∴且， ∴且， 解得：， 又∵， ∵自然数m，n，， ∴， 解得：， ∴ 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及代数式求值，解决本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的加减运算，，，进行计算，即可． 【详解】解： ． 18. 解下列方程 （1）； （2）． 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程——直接开平方法，公式法解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）直接开平方法解一元二次方程； （2）公式法解一元二次方程． 【小问1详解】 解：， 移项，得， 开平方，得， 解得：，； 【小问2详解】 ， ，，， ， ，． 19. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】先化简分式，再代入即可得解。 【详解】解：原式， ， ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的混合运算及求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键。 20. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若、是该方程两个根，且满足，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查根与系数关系，根的判别式等知识． （1）根据，构建不等式求解； （2）利用根与系数关系构建方程求解； 解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【小问1详解】 解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ； 【小问2详解】 解：、是方程两个根， ，， ， ， 整理得：， 或， ， 不符合题意，舍去， ． 21. 如图1，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． （1）如果要围成面积为36平方米的花圃，的长是多少米？ （2）如图2，如果在平行于墙面的篱笆上开两道1米宽的门，如果要围成面积为55平方米的花圃，的长时多少？ 【答案】（1）的长是米 （2）的长是米或米 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，利用长方形的面积运算方法列出方程是解题的关键． （1）设的长为米，则的长为米，根据长方形的面积=长宽列出方程运算即可； （2）设的长为米，则的长为米，根据长方形的面积=长宽列出方程运算即可． 【小问1详解】 解：设的长为米，则的长为米， 根据题意得：， 解得，， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， ∴的长是6米； 【小问2详解】 设的长为米，则的长为米， 根据题意得：， 解得，， 当时，，符合题意， 当m＝6时，，符合题意， ∴的长是米或米． 22. 中秋期间，某商场以每盒元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为元时，每天可售出盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价元，那么商场每天就可以多售出盒． （1）设售价每盒下降元，则每天能售出______盒（用含的代数式表示）； （2）当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到元； （3）该商场每天所获得的利润是否能达到元？请说明理由． 【答案】（1） （2）当月饼每盒售价为元或元时，每天的销售利润恰好能达到元 （3）不能，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式，理解题意、正确列出代数式和一元二次方程是解题的关键． （1）根据“当每盒月饼售价为元时，每天可售出盒，如果每盒月饼降价元，那么商场每天就可以多售出盒”，列出代数式即可； （2）设售价每盒下降元，每天的销售利润为元，则列出方程，求解即可； （3）设售价每盒下降元，该商场每天所获得的利润是元，则列出方程，整理为，计算得出，判断即可． 【小问1详解】 解：∵当每盒月饼售价为元时，每天可售出盒，如果每盒月饼降价元，那么商场每天就可以多售出盒， ∴售价每盒下降元，则每天能售出盒， 故答案为： ； 【小问2详解】 解：设售价每盒下降元，每天的销售利润为元， 由题意得：， 解得：，， （元）， （元）， 答：当月饼每盒售价为元或元时，每天的销售利润恰好能达到元； 【小问3详解】 解：不能，理由如下， 设售价每盒下降元，该商场每天所获得的利润是元， 由题意得：， 整理得：， ， ∴方程无解， ∴该商场每天所获得的利润不能达到元． 23. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程有两个实数根； （2）若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵ ． ∴该方程有两个实数根． （2） 解：存在整数，使得该方程的两个实数根均为正整数，理由如下： 由求根公式，得：， 即，， ∵为整数，且该方程的两个实数根均为正整数， ∴必为正整数， ∴或， 即当或时，该方程的两个实数根均为正整数． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程的解法，利用一元二次方程的根的判别式判断方程的根的情况是解题的关键． （1）根据根的判别式解答即可；． （2）首先求出一元二次方程的两根，一根为1，一根为，只需要求出是正整数时m的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”． （1）判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由； ①； ②； （2）已知关于的方程（是常数）是“差1方程”，求的值； （3）若关于的方程（，是常数，）是“差1方程”，设，求的最大值． 【答案】（1）①不是“差1方程”，理由见解析；②是“差1方程”，理由见解析 （2）或 （3）时，的最大值为9 【解析】 【分析】（1）根据解一元二次方程的方法解出已知方程的解，再比较两根的差是否为1，从而确定方程是否为“差1方程”； （2）先解方程求得其根，再根据新定义列出的方程，注意有两种情况； （3）根据新定义得方程的大根与小根的差为1，列出与的关系式，再由，得与的关系，从而得出最后结果． 【小问1详解】 解：①解方程得：， 或， ， 不是“差1方程”； ②解：∵ ∴，， ∴， ， 是“差1方程”； 【小问2详解】 解：方程得：， 或， 方程是常数）是“差1方程”， 或， 或； 【小问3详解】 解：由题可得： ∴解方程得， 关于的方程、是常数，是“差1方程”， ， ， ， ， ， 时，的最大值为9． 【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“差1方程”的定义． 25. 阅读理解： 材料1：对于一个关于x的二次三项式（a≠0），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小川同学还想到了其他的方法：比如先令（a≠0），然后移项可得：，再利用一元二次方程根的判别式来确定y的取值范围，请仔细阅读下面的例子： 例：求的取值范围； 解：令 ∴ ∴Δ＝4﹣4×（5﹣y）≥0 ∴y≥4 ∴． 材料2：在学习完一元二次方程的解法后，爱思考的小川同学又想到仿造一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题，他的具体做法如下： 若关于x的一元二次方程（a＞0）有两个不相等的实数根 则关于x的一元二次不等式（a＞0）的解集为：或 则关于x的一元二次不等式（a＞0）的解集为： 请根据上述材料，解答下列问题： （1）若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为﹣6，则a＝　　； （2）求出代数式的取值范围； （3）若关于x的代数式（其中m、n为常数且m≠0）的最小值为﹣4，最大值为7，请求出满足条件的m、n的值． 【答案】（1）a＝6或a＝﹣6 （2）y或y≥﹣2 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据材料一设，化为x的一元二次方程用△≥0得y的范围，再列出a的方程求解； （2）设y＝，变形之后用△≥0求解，再根据材料二得到结论； （3）用△≥0得到代数式值的不等式，已知代数式值的最大、最小值，实质是已知和这个不等式对应的方程的二根，代入便可以求解． 【小问1详解】 解：设，变形为， ∵△≥0， ∴可得， 而由已知y≥﹣6，故3﹣＝﹣6， ∴a＝6或a＝﹣6． 【小问2详解】 设y＝，变形为， ∵△≥0， ∴，化简得， 先求出的二根， ∴根据材料二得y或y≥﹣2． 【小问3详解】 设y＝，变形得， ∵△≥0， ∴， 整理得， 由已知可得﹣4≤y≤7， 根据材料二知的二根是， 代入整理得， 解得或． 【点睛】本题难度较大，主要考查阅读能力，能灵活运用阅读材料，涉及方程、不等式解的关系和一元二次方程根的判别式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次阶段考 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 测试范围：华师大版九年级上册第21章二次根式+第22章一元二次方程． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 要使在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的一元二次方程的一个实数根为0，则等于（ ） A. 1 B. C. D. 0 5. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. 20 D. 25 7. “双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长，如果第三个月销售量的增长率是第二个月的2倍，第三个月的销售量是第一个月的3倍，设第一月月销售量为辆，第二个月销售量的增长率为，则可列出方程是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点，在数轴上表示的数分别是2，，点在数轴上，且，则点表示的数是（ ） A. 0.8 B. C. D. 9. 已知为互不相等的实数，且，，则的值为（ ） A. B. 0 C. D. 2 10. 关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k．（ ） A. 若﹣1＜a＜1，则 B. 若，则0＜a＜1 C. 若﹣1＜a＜1，则 D. 若，则0＜a＜1 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11. 比较大小：________（填“>”或“<”或“=”）． 12. 一元二次方程的根是______． 13. 为增强学生身体素质，提高学生篮球运动竞技水平，某市开展篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划赛程3天，每天安排5场比赛，设应邀请个球队参赛，由题意可列出方程为________． 14. 已知，，为一个等腰三角形的三条边长，并且，满足，则此等腰三角形的周长为______． 15. 如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿AB以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动，则______秒时，的面积是． 16. 设自然数m，n，，且，则__________． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解下列方程 （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：，其中 20. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若、是该方程两个根，且满足，求m的值． 21. 如图1，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． （1）如果要围成面积为36平方米的花圃，的长是多少米？ （2）如图2，如果在平行于墙面的篱笆上开两道1米宽的门，如果要围成面积为55平方米的花圃，的长时多少？ 22. 中秋期间，某商场以每盒元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为元时，每天可售出盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价元，那么商场每天就可以多售出盒． （1）设售价每盒下降元，则每天能售出______盒（用含的代数式表示）； （2）当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到元； （3）该商场每天所获得的利润是否能达到元？请说明理由． 23. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程有两个实数根； （2）若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 24. 如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”． （1）判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由； ①； ②； （2）已知关于的方程（是常数）是“差1方程”，求的值； （3）若关于的方程（，是常数，）是“差1方程”，设，求的最大值． 25. 阅读理解： 材料1：对于一个关于x的二次三项式（a≠0），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小川同学还想到了其他的方法：比如先令（a≠0），然后移项可得：，再利用一元二次方程根的判别式来确定y的取值范围，请仔细阅读下面的例子： 例：求的取值范围； 解：令 ∴ ∴Δ＝4﹣4×（5﹣y）≥0 ∴y≥4 ∴． 材料2：在学习完一元二次方程的解法后，爱思考的小川同学又想到仿造一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题，他的具体做法如下： 若关于x的一元二次方程（a＞0）有两个不相等的实数根 则关于x的一元二次不等式（a＞0）的解集为：或 则关于x的一元二次不等式（a＞0）的解集为： 请根据上述材料，解答下列问题： （1）若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为﹣6，则a＝　　； （2）求出代数式的取值范围； （3）若关于x的代数式（其中m、n为常数且m≠0）的最小值为﹣4，最大值为7，请求出满足条件的m、n的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $