25.2.3因式分解法（导学案）2026-2027学年人教版数学九年级上册

人教版数学九年级上册 第二十五章 一元二次方程 25.2.3因式分解法（导学案） 一、学习目标 1.会选择合适的方法进行因式分解，并解一元二次方程。 2.在探究因式分解法解方程的过程中体会转化、降次的数学思想。 学习重点： 运用因式分解法解一元二次方程。 学习难点： 运用因式分解法解一元二次方程。 二、学习过程 （一）复习引入 1.一元二次方程根的判别式： 式子 可以判别一元二次方程的根的情况，因此把它叫作一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用希腊字母“ ”表示. 由上可知，对于方程ax2+bx+c=0 (a≠0)， 当Δ>0时，方程有 的实数根； 当Δ=0时，方程有 的实数根； 当Δ<0时，方程 实数根. 2.一元二次方程的求根公式： 当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的实数根可写为 的形式，这个式子叫作一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式. 3. 用哪种方法解下列方程比较合适？ (1) (x−2)2=4； (2) x2+4x=5； (3) x2+x=1； （二）合作探究 问题 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s后的离地高度(单位：m)约为10x−5x2.根据上述规律，物体经过多少秒落回地面? 分析 设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0 m，即 . 将方程的左边分解因式，得 . 所以 . 因此，方程10x−5x2=0的两个根是 . 对于这两个根，x1=0表示物体抛离地面的时刻，即在0 s时物体被抛出，此刻物体的高度是0 m；而x2=2表示物体在抛离地面2 s时落回地面. 追问 你认为哪种解法更简单？ 思考 解方程10x−5x2=0时，二次方程是如何降为一次的? 因式分解法： 在上述解法中，由10x−5x2=0到x=0或10−5x=0的过程，不是用开平方降次，而是先 ，使方程化为 的形式，再使 ，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 思考 归纳因式分解法解一元二次方程的步骤： 一移 将方程化为 的形式； 二分 将方程左边 ； 三化 至少有一个因式为 ，得到两个一元一次方程； 四解 两个一元一次方程的解就是原方程的解． 思考 学习了配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次方程的方法后，你能说说它们各自的特点吗? （三）典例分析x2−x−56=0 例4 解下列方程： (1)x(x−2)+x−2=0； (2)5x2−2x− =x2−2x+· 中考演练（2026山东）若关于x的一元二次方程(x−2)(x−m)=0的一个根是10，则另一个根是 ． 学习笔记 中考演练（2026江苏连云港）解方程 x(x−1)=8x−8． （四）巩固练习 1. 直接说出下列方程的根. (1) x(x+2)=0； (2) (x−2)(x+1)=0； (3) (3y+6)(2y−4)=0； (4) (x−5)2=0. 2. 小明同学解方程：2(x−2)=(x−2)2的过程如下： 小明：两边同除以(x−2)，得2=x−2， 第一步 则 x=4． 第二步 你认为小明的解法是否正确？若不正确，从第____步开始出现错误；并写出你的解答过程． 分析 (x−2)可能为0，等式两边不能同时除以值可能为0的式子，直接除以(x−2)会漏掉 这个根． 3. 解下列方程： (1) x2+x=0； (2) x2−2x=0； (3) 3x2−6x=−3； (4) 4x2−81=0； (5) 3x(2x+1)=4x+2； (6) (x−4)2=(5−2x)2. 4. 如图，把小圆形场地的半径增加5 m，得到大圆形场地，大圆形场地与小圆形场地的面积比为9:4.求小圆形场地的半径. （五）当堂检测 1. 方程(x+1)(x−1)=0的根是 ． 方程 x(x+4)=0 的根是 ． 方程(3−x)(x−3)=0的根是 ． 方程2(x+3)(x+4)=0的根是 ． 2. 已知方程x2−9x+14=0的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 3. 若实数k、b是一元二次方程(x+3)(x−1)=0的两个根，且k<b，则一次函数y=kx+b的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4. 用因式分解法解方程： (1) 5x2=6x； (2) (m+1)2=4(m+1)； 5. 用合适的方法解方程： (1) x2−6x+8=0； (2) x2−2x+1=25； （六）课堂小结 （七）布置作业 A组题：习题25.2：第6题. B组题：习题25.2：第9题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $人教版数学九年级上册 第二十五章 一元二次方程 25.2.3因式分解法（导学案） 一、学习目标 1.会选择合适的方法进行因式分解，并解一元二次方程。 2.在探究因式分解法解方程的过程中体会转化、降次的数学思想。 学习重点： 运用因式分解法解一元二次方程。 学习难点： 运用因式分解法解一元二次方程。 二、学习过程 （一）复习引入 1.一元二次方程根的判别式： 式子b24ac可以判别一元二次方程的根的情况，因此把它叫作一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用希腊字母“ Δ ”表示. 由上可知，对于方程ax2+bx+c=0 (a≠0)， 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根； 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ<0时，方程无实数根. 2.一元二次方程的求根公式： 当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的实数根可写为 x= 的形式，这个式子叫作一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式. 3. 用哪种方法解下列方程比较合适？ (1) (x−2)2=4； 直接开平方法 (2) x2+4x=5； 配方法 (3) x2+x=1； 公式法 （二）合作探究 问题 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s后的离地高度(单位：m)约为10x−5x2.根据上述规律，物体经过多少秒落回地面? 分析 设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0 m，即 10x−5x2=0 . 将方程的左边分解因式，得 x(10−5x)=0 . 所以 x=0或10−5x=0 . 因此，方程10x−5x2=0的两个根是 x1=0，x2=2 . 对于这两个根，x1=0表示物体抛离地面的时刻，即在0 s时物体被抛出，此刻物体的高度是0 m；而x2=2表示物体在抛离地面2 s时落回地面. 追问 你认为哪种解法更简单？ 思考 解方程10x−5x2=0时，二次方程是如何降为一次的? 因式分解法： 在上述解法中，由10x−5x2=0到x=0或10−5x=0的过程，不是用开平方降次，而是先分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 思考 归纳因式分解法解一元二次方程的步骤： 一移 将方程化为等号一边为0的形式； 二分 将方程左边因式分解； 三化 至少有一个因式为零，得到两个一元一次方程； 四解 两个一元一次方程的解就是原方程的解． 思考 学习了配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次方程的方法后，你能说说它们各自的特点吗? （三）典例分析x2−x−56=0 例4 解下列方程： (1)x(x−2)+x−2=0； (2)5x2−2x− =x2−2x+· 解：(1)左边分解因式，得 (x−2)(x+1)=0. 于是 x−2=0或x+1=0， 即 x1=2，x2=−1. (2)移项、合并同类项，得 4x2−1=0. 左边分解因式，得 (2x+1)(2x−1)=0. 于是 2x+1=0或2x−1=0, 即 x1=− ，x2=. 中考演练（2026山东）若关于x的一元二次方程(x−2)(x−m)=0的一个根是10，则另一个根是 2 ． 分析 (x−2)(x−m)=0 ， x−2=0 或 x−m=0， 解得 x1=2，x2=m， ∵方程的一个根是10， ∴m=10， ∴方程的另一个根为2． 中考演练（2026江苏连云港）解方程 x(x−1)=8x−8． 解： x(x−1)=8x−8， x(x−1)−8(x−1)=0， (x−8)(x−1)=0， x−8=0或x−1=0， ∴x1=8，x2=1． （四）巩固练习 1. 直接说出下列方程的根. (1) x(x+2)=0； (1) x1=0，x2=−2； (2) (x−2)(x+1)=0； (2) x1=2，x2=−1 ； (3) (3y+6)(2y−4)=0； (3) y1=−2，y2=2； (4) (x−5)2=0. (4) x1=x2=5. 2. 小明同学解方程：2(x−2)=(x−2)2的过程如下： 小明：两边同除以(x−2)，得2=x−2， 第一步 则 x=4． 第二步 你认为小明的解法是否正确？若不正确，从第____步开始出现错误；并写出你的解答过程． 分析 (x−2)可能为0，等式两边不能同时除以值可能为0的式子，直接除以(x−2)会漏掉x=2这个根． 解：小明的解法不正确，从第一步开始出错． 正确解答过程如下： 2(x−2)=(x−2)2， 移项，得 2(x−2)−(x−2)2=0， 提取公因式，得 (x−2)(2−x+2)=0， 整理得 (x−2)(4−x)=0， 则 x−2=0 或 4−x=0， 解得 x1=2，x2=4． 3. 解下列方程： (1) x2+x=0； (2) x2−2x=0； (3) 3x2−6x=−3； (4) 4x2−81=0； (5) 3x(2x+1)=4x+2； (6) (x−4)2=(5−2x)2. 快速核对答案 4. 如图，把小圆形场地的半径增加5 m，得到大圆形场地，大圆形场地与小圆形场地的面积比为9:4.求小圆形场地的半径. 解：设小圆形场地的半径为r， 根据题意得 4π(r+5)2=9πr2. 变形得 4(r+5)2−9r2=0. 因式分解得 (2r+10+3r)(2r+10−3r)=0. 所以 5r+10=0或10−r=0. 所以 r1=−2(舍去)，r2=10. 答：小圆形场地的半径为10 m. （五）当堂检测 1. 方程(x+1)(x−1)=0的根是 x1=−1，x2=1 ． 方程 x(x+4)=0 的根是 x1=0，x2=−4 ． 方程(3−x)(x−3)=0的根是 x1=x2=3 ． 方程2(x+3)(x+4)=0的根是 x1=−3，x2=−4 ． 2. 已知方程x2−9x+14=0的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（   D  ） A．4 B．5 C．6 D．7 3. 若实数k、b是一元二次方程(x+3)(x−1)=0的两个根，且k<b，则一次函数y=kx+b的图象不经过（ C   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4. 用因式分解法解方程： (1) 5x2=6x； (2) (m+1)2=4(m+1)； 解：(1) 5x2=6x， 5x2−6x=0， x(5x−6)=0， x=0或5x−6=0， x1=0，x2=； (2) (m+1)2=4(m+1)， (m+1)2−4(m+1)=0， (m+1)(m−3)=0， m+1=0或m−3=0， m1=−1，m2=3． 5. 用合适的方法解方程： (1) x2−6x+8=0； (2) x2−2x+1=25； 解：(1) (x−2)(x−4)=0， x−2=0或x−4=0， x1=2，x2=4； (2) (x−1)2=25， x−1=±5， x−1=5或x−1=−5， x1=6，x2=−4. （六）课堂小结 （七）布置作业 A组题：习题25.2：第6题. B组题：习题25.2：第9题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $