25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 导学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过“知识链接”回顾韦达定理公式、方程系数识别及完全平方变形，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生掌握定理内容及前提条件。 资料以“自主探究—合作交流—当堂检测”为主线，设计梯度化例题与变式训练，助力学生运用定理求代数式值、解决含参问题，培养抽象能力、推理能力与模型意识，提升数学思维与应用能力。

第二十五章　一元二次方程　25.2 解一元二次方程（第8课时）——一元二次方程的根与系数的关系 【学习目标】 ① 掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：若 a＋bx＋c＝0（a≠0） 的两根为 ，，则 ＋＝－，＝（前提 Δ≥0）； ② 能运用根与系数的关系求两根和、两根积，及形如 ＋、＋、（－、（＋a）（＋a） 等代数式的值； ③ 会结合根的判别式，解决含参方程（求参数取值范围、求参数值）问题。 【学习重难点】 重点：根与系数的关系及其直接应用（求两根和/积、求代数式的值）。 难点：含参问题中与判别式 Δ 的综合（先保证有实根，再结合韦达列方程求参数并检验）。 【知识链接】（旧知回顾） 1. 一元二次方程 a＋bx＋c＝0（a≠0） 的两根满足：＋＝________，＝________（前提条件：Δ≥0）。 2. 已知方程 2－4x－1＝0，则 a＝________，b＝________，c＝________；＋＝________，＝________。 3. 完全平方变形：＋＝（a＋b－________；（a－b＝（a＋b－________。 【自主探究】 探究1　利用 ＋＝－，＝ 求两根和与两根积 【例1】求下列方程两个根 ， 的和与积： (1) 3＋2＝1－4x： 　　解：化为一般式 3＋________+________＝0， 　　∴ ＋＝________，＝________。 (2) 7－5＝x＋8： 　　解：化为一般式 7－________-________＝0， 　　∴ ＋＝________，＝________。 【变式1】 (1) 若方程 ＋3x－1＝0 两根为 ，，则 ＋－＝________。 (2) 若矩形的长和宽分别是方程 3－12x＋10＝0 的两个根，求周长和面积： 　　解：设长为 a、宽为 b，则 a＋b＝________，ab＝________， 　　周长＝2(a＋b)＝________，面积＝ab＝________。 探究2　利用根与系数的关系求代数式的值 【例2】已知方程 2－4x－3＝0 两根为 ，，求： (1) ＋； 　　解：＋＝________，＝________， 　　＋＝（＋－2＝________²－2×________＝________。 (2) ＋； 　　解：原式＝＝＝________÷________＝________。 【变式2】已知方程 ＋3x－2＝0 两根为 ，，求： (1) （－； 　　解：＋＝________，＝________， 　　（－＝（＋－4＝________²－4×________＝________。 (2) （＋3）（＋3）； 　　解：原式＝＋3（＋）＋9＝________＋3×________＋9＝________。 探究3　根与系数的关系和根的判别式的综合 【例3】已知关于 x 的一元二次方程 －4x＋m＋1＝0 有两个实数根。 (1) 求 m 的取值范围； 　　解：Δ＝(－4)²－4×1×(m＋1)＝________－4m－4≥0，解得 m≤________。 (2) 若该方程两根 ， 满足 ＋＝2，求 m 的值。 　　解：＋＝________，＝________， 　　∵ ＋＝2，∴ ________＝2×________，解得 m＝________（经检验成立）。 【变式3】关于 x 的一元二次方程 ＋（2k＋1）x＋－1＝0 有两个不相等的实数根 ，。 (1) 求 k 的取值范围； 　　解：Δ＝(2k＋1)²－4(k²－1)＝________＋4k＋1－4k²＋4＝________＞0，解得 k＞________。 (2) 当 ＝3 时，求 k 的值。 　　解：＝－1＝3，解得 k＝±________；又 k＞________，∴ k＝________。 【合作交流】（典型例题，先独立完成后师生共研） 例A：已知关于 x 的方程 ＋2x－1＝0 有两个实数根 ，，判断“＋＝6”是否正确。 　　第一步：＋＝________，＝________； 　　第二步：＋＝（＋－2＝________²－2×________＝________。结论：________。 　 例B：已知 α，β 满足 α＋β＝3，且 αβ＝2，写出一个以 α，β 为两根的一元二次方程。 　　解：方程可写为 －（α＋β）x＋αβ＝0，即 －________x＋________＝0。 　 【当堂检测】 1. 已知关于 x 的方程 ＋2x－1＝0 有两个实数根 ，，则下列等式正确的是（　　） 　　A. ＋＝2　　B. ＝－2　　C. ＝　　D. ＋＝6 2. 已知 α，β 满足 α＋β＝3，且 αβ＝2，写出一个以 α，β 为两根的一元二次方程：________。 3. 已知一元二次方程 －4x－c＝0 的一个根为 2＋，则另一个根为________，c＝________。 4. 已知关于 x 的一元二次方程 ＋3x＋k－2＝0 有实数根。 　　(1) 求 k 的取值范围； 　　(2) 设方程的两个实数根分别为 ，，若 （＋1）（＋1）＝－1，求 k 的值。 【学习小结】 1. 一元二次方程 a＋bx＋c＝0（a≠0），若两根为 ，，则 ＋＝________，＝________（前提 Δ≥0）。 2. 常用变形：＋＝（＋－________；（－＝（＋－________；＋＝（分母为________）；（＋a）（＋a）＝＋________(x_1+x_2)+a^2。 3. 含参问题：先由 ________（判别式）保证方程有实根确定参数范围，再结合韦达定理列方程求参数，最后________。 【拓展延伸】 思考：若 ， 是方程 ＋px＋q＝0 的两根，试用 p，q 表示 ＋（提示：＋＝（＋－3（＋））。 【参考答案与解析】 （以下为重点模块参考答案，供教师备课与学生自纠使用；前面各模块作答区不含答案） 一、知识链接 1. －；。 2. 2；－4；－1；2；－。 3. 2ab；4ab。 二、自主探究 探究1 例1　(1) 4x，1；＋＝－，＝。 　　　　　 (2) x，13；＋＝，＝－。 　　 变式1　(1) －2（＋＝－3，＝－1，∴ －3－(－1)＝－2）。 　　　　　 (2) a＋b＝4，ab＝；周长＝8，面积＝。 探究2 例2　(1) ＋＝2，＝－；2²－2×(－)＝4＋3＝7。 　　　　　 (2) ＝－。 　　 变式2　(1) ＋＝－3，＝－2；(－3)²－4×(－2)＝9＋8＝17。 　　　　　 (2) －2＋3×（－3）＋9＝－2。 探究3 例3　(1) Δ＝16－4m－4＝12－4m≥0，解得 m≤3。 　　　　　 (2) ＋＝4，＝m＋1；4＝2(m＋1)，解得 m＝1。 　　 变式3　(1) Δ＝4k²＋4k＋1－4k²＋4＝4k＋5＞0，解得 k＞－。 　　　　　 (2) k＝±2；又 k＞－，∴ k＝2。 三、合作交流 例A：第一步 ＋＝－2，＝－1； 　　第二步 (－2)²－2×(－1)＝4＋2＝6，结论：正确（选 D）。 例B：－3x＋2＝0（答案不唯一，形如 －3x＋2＝0 即可）。 四、当堂检测 1. D 2. 例如 －3x＋2＝0（答案不唯一）。 3. 另一根为 2－，c＝－1。（两根和＝4，故另一根＝4－(2＋√3)＝2－√3；两根积＝－c＝(2＋√3)(2－√3)＝1，∴ c＝－1） 4. (1) Δ＝3²－4(k－2)≥0 ⇒ 9－4k＋8≥0 ⇒ k≤； 　 (2) ＋＝－3，＝k－2；由 (x₁＋1)(x₂＋1)＝－1 得 ＋（＋）＋1＝－1， 　　即 (k－2)＋(－3)＋1＝－1，解得 k＝3。 五、学习小结 1. －；；Δ。 2. 2x₁x₂；4x₁x₂；x₁x₂；a。 3. Δ≥0（判别式）；检验取舍。 六、拓展延伸（开放题，鼓励自主探究，略） 学科网（北京）股份有限公司 $