第三十章 直线与圆的位置关系(培优讲义) 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学讲义通过知识体系全景梳理表格和解题方法图表记忆法，系统构建直线与圆位置关系单元知识脉络，涵盖切线性质与判定、内切圆等核心模块，明确关键方法与易错提醒，呈现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层进阶达标自测和奥数思维提升，通过“见切线连半径”等技巧指导，结合生活优化问题实践，培养推理能力与模型观念。基础题巩固知识，奥数题拓展思维，助力分层教学，支持教师精准指导与学生自主复习。

第三十章 直线与圆的位置关系 核心素养与单元目标 1 第一部分 单元核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 2 三、奥数思维提升 2 第二部分 单元考点精讲与题型突破 3 考点一 直线与圆的位置关系 3 考点二 切线的性质与判定 5 考点三 切线长定理 8 考点四 三角形的内切圆 10 考点五 正多边形与圆 12 第三部分 综合与实践 生活中的优化问题 14 第四部分 单元易错避坑指南 15 易错点1：直线与圆位置关系漏分界情况 15 易错点2：切线判定条件不全 15 易错点3：切线性质应用不连半径 15 易错点4：混淆内心与外心 15 易错点5：正多边形中心角与内角混淆 16 易错点6：优化问题忽略自变量范围 16 第五部分 单元分层进阶达标自测 17 第六部分 达标自测精准解析 21 学科网（北京）股份有限公司 核心素养与单元目标 核心素养 几何直观、推理能力、运算能力、模型观念、应用意识。 单元目标 1. 知识技能：掌握直线与圆相离、相切、相交三种位置关系的判定方法；掌握切线的性质与判定定理、切线长定理；理解三角形内切圆的概念与性质，掌握内心的特征与相关计算；掌握正多边形与圆的关系及边长、边心距、面积等相关计算。 2. 数学思考：经历直线与圆位置关系的探究过程，体会分类讨论、转化、数形结合思想；能够通过构造辅助线解决切线、内切圆相关证明与计算，发展逻辑推理能力与几何直观。 3. 问题解决：能运用切线性质、切线长定理解决线段计算、角度计算、几何证明类培优题型；掌握切线判定、内切圆的辅助线构造方法；能建立数学模型解决生活中的距离、角度、用料等最值类优化问题。 4. 情感态度：通过“生活中的优化问题”综合实践，体会数学在工程、生活中的应用价值；提升实践探究与问题解决能力，感受几何知识的实用意义。 第一部分 单元核心方法论与知识体系构建 本单元是圆的性质的综合应用章节，在圆的基本性质、全等三角形、角平分线等知识的基础上，研究直线与圆的位置关系、切线、内切圆、正多边形与圆。本章是中考几何综合题的核心高频考点，也是高中平面几何、解析几何的重要基础。 一、知识体系全景梳理 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 直线与圆的位置关系 相离、相切、相交三种位置；位置关系判定（与比较） 距离比较法、分类讨论法 忽略相切的唯一公共点特征；混淆与的大小对应关系；漏掉的分界情况 切线的性质与判定 切线垂直于过切点的半径；经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线 半径连切点法、垂直判定法 切线判定漏掉“经过半径外端”“垂直于半径”两个条件；性质应用时不连半径辅助线 切线长定理 圆外一点引两条切线，切线长相等；圆心与该点连线平分两条切线的夹角 全等证明法、对称法 混淆切线长与弦长；忽略“圆心连线平分夹角”的结论 三角形的内切圆 内心是三条角平分线交点；内心到三边距离相等；内切圆半径与面积、周长关系 角平分线法、面积法 混淆内心与外心的位置、性质；内心坐标、半径计算错误 正多边形与圆 正多边形外接圆、内切圆；中心角、边长、边心距、面积计算 等分圆周法、分割三角形法 混淆中心角与内角；正多边形面积公式记错；忽略正多边形的对称性 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 位置关系判定法 判断直线与圆的位置关系 ①求圆心到直线的距离；②与半径比较；③确定位置 相离，相切， 切线性质应用法 切线相关角度、线段计算 ①连接圆心与切点；②得到垂直关系；③构造直角三角形求解 见切线，连半径，垂直出直角 切线判定法 证明直线是圆的切线 ①有公共点：连半径，证垂直；②无公共点：作垂直，证半径 有点连半径证垂直，无点作垂线证半径 切线长定理法 切线长、角度、周长计算 ①找圆外点；②两条切线长相等；③结合角平分线、全等求解 圆外一点引切线，切线等长角平分 内切圆计算法 内切圆半径、三角形面积、周长计算 ①内心到三边距离相等；②面积法：；③角平分线性质 面积周长内切圆，公式 正多边形计算法 正多边形边长、边心距、面积计算 ①连半径、作边心距；②构造直角三角形；③分割成等腰三角形计算 半径边心距半边长，勾股定理来帮忙 三、奥数思维提升 1. 分类讨论思想：位置不确定的多解问题 核心要点：直线与圆的位置关系、切线的位置、弦的位置不确定时，按不同情况分类讨论，做到不重不漏。 示例：直线到圆心距离不确定，分相离、相切、相交三类；圆外一点引切线，分不同方向。 2. 转化思想：切线问题转化为直角三角形 核心要点：切线问题通过连半径转化为直角三角形问题；内切圆问题转化为角平分线、面积问题；正多边形问题转化为等腰直角三角形问题。 示例：切线长、半径、圆心到圆外点的距离构成直角三角形，用勾股定理计算。 3. 模型思想：实际问题抽象几何模型 核心要点：从生活中的优化问题、工程问题中，抽象出直线与圆、切线、正多边形模型，利用几何性质解决最值问题。 示例：最短路径、最小用料、最大面积等优化问题，转化为切线、正多边形几何模型。 4. 数形结合思想：代数条件几何化，几何条件代数化 核心要点：将位置关系转化为与的数量关系；将几何图形转化为方程、不等式求解，实现数形互译。 示例：直线与圆相交，转化为d<r列不等式求参数范围，实现几何条件代数化。 5. 整体思想：组合图形整体割补 核心要点：阴影面积、组合图形问题，通过旋转、对称、割补，转化为规则图形的面积和差。 示例：正多边形阴影面积，通过旋转、对称，转化为扇形、三角形面积计算。 第二部分 单元考点精讲与题型突破 考点一 直线与圆的位置关系 典型例题1（基础型） 题目：已知的半径为，圆心到直线的距离为。 (1) 若，判断直线与的位置关系； (2) 若直线与相切，求的值； (3) 若直线与相交，求的取值范围。 解题步骤： ① 半径； ② (1) ，直线与圆相离； ③ (2) 直线与圆相切，则； ④ (3) 直线与圆相交，则，又距离非负，所以。 【答案】(1)相离；(2)；(3) 【知识点睛】 ① 考点定位：直线与圆的三种位置关系判定； ② 解题方法：圆心到直线距离与半径比较：相离，相切， 典型例题2（提高型） 题目：在平面直角坐标系中，的圆心为，半径为，直线与相切，求的值。 解题步骤： ① 圆心，半径； ② 直线，圆心到直线的距离； ③ 直线与圆相切，，即； ④ ，解得或。 【答案】 【知识点睛】 ① 考点定位：坐标系中直线与圆的位置关系； ② 解题方法：利用点到直线距离公式求，相切时列方程；绝对值方程有两个解，对应直线在圆两侧相切； ③ 易错提醒：只写一个解，漏掉另一侧切线。 典型例题3（奥数型） 题目：已知的半径为，直线上有一点，，判断直线与的位置关系。 解题步骤： ① 圆心到直线的距离为，是垂线段长度； ② 垂线段最短，所以； ③ 当时，，直线与圆相离； ④ 当不垂直时，，可能（相切），也可能（相交）； ⑤ 综上，直线与圆可能相离、相切、相交，三种位置都有可能。 【答案】三种位置都有可能 【知识点睛】 ① 考点定位：直线与圆位置关系的分类讨论； ② 解题方法：点到点的距离不是点到直线的距离；圆心到直线的距离是垂线段，小于等于点到点的距离；根据垂直与否分类讨论； ③ 易错提醒：直接把当成距离，只判断一种位置。 考点二 切线的性质与判定 典型例题1（基础型） 题目：如图，是的切线，为切点，交于点，若，，求的半径。 解题步骤： ① 连接，是的切线，为切点，，； ② 在中，，； ③ ，，即的半径为。 【答案】半径为 【知识点睛】 ① 考点定位：切线的性质； ② 解题方法：切线性质应用，见切线连半径，构造直角三角形；30°直角三角形对边是斜边一半； ③ 易错提醒：不连半径辅助线，直接用角度计算。 典型例题2（提高型） 题目：如图，是的直径，点在上，过点的切线交的延长线于点，。求证：。 解题步骤： ① 连接，是的切线，为切点，，； ② ，，； ③ 是的外角，； ④ 在中，； ⑤ 又与同对弧，； ⑥ ，。 【知识点睛】 ① 考点定位：切线性质、圆周角定理综合证明； ② 解题方法：切线问题连半径，结合圆周角、外角、等腰三角形性质推导角相等，角等边等； ③ 易错提醒：漏掉圆周角的应用，直接猜角度。 典型例题3（奥数型） 题目：如图，是的直径，是上一点，与过点的切线互相垂直，垂足为。求证：平分。 解题步骤： ① 连接，是的切线，为切点，； ② ，； ③ ； ④ ，； ⑤ ，即平分。 【知识点睛】 ① 考点定位：切线性质、角平分线证明； ② 解题方法：切线连半径，得垂直；由垂直得平行，结合等腰三角形等边对等角，推导角相等； ③ 易错提醒：不会构造辅助线，直接用全等证明。 考点三 切线长定理 典型例题1（基础型） 题目：如图，、是的切线，、为切点，，，求的长和的半径。 解题步骤： ① 、是的切线，、为切点，； ② 连接、，平分，； ③ 是切线，，； ④ 在中，，； 设，则，由勾股定理：，解得。 【答案】，半径为 【知识点睛】 ① 考点定位：切线长定理； ② 解题方法：圆外一点引两条切线，切线长相等，圆心与该点连线平分夹角；连半径构造直角三角形，用勾股定理或三角函数计算； ③ 易错提醒：混淆切线长与弦长；角度平分结论记错。 典型例题2（提高型） 题目：如图，的三边分别与相切于点、、，，，，求、、的长。 解题步骤： ① 设，，； ② 由题意得： ③ 三式相加得，； ④ 分别减各式得：，，； ⑤ 所以，，。 【答案】，， 【知识点睛】 ① 考点定位：切线长定理与三角形三边； ② 解题方法：三角形三边与内切圆相切，设三条切线长为未知数，列方程组求解；也可直接用公式：从一顶点出发的两条切线长相等； ③ 易错提醒：对应边与切线长对应错误。 典型例题3（奥数型） 题目：如图，、是的切线，、为切点，切于点，交、于、。若，求的周长。 解题步骤： ① 、、都是的切线， ，，； ② 的周长 ； ③ ，周长。 【答案】 【知识点睛】 ① 考点定位：切线长定理的整体应用； ② 解题方法：多条切线的周长问题，利用切线长相等，将周长整体转化为两条切线长的和，不需要求各段长度； ③ 易错提醒：分段计算，过程复杂出错。 考点四 三角形的内切圆 典型例题1（基础型） 题目：中，，，，求的内切圆半径。 解题步骤： ① 斜边； ② 设内切圆半径为，直角三角形内切圆半径； ③ 代入得。 【答案】 【知识点睛】 ① 考点定位：直角三角形内切圆半径； ② 解题方法：直角三角形内切圆半径；通用公式：（为周长，为内切圆半径）； ③ 易错提醒：公式记错，用成面积除以周长。 典型例题2（提高型） 题目：的内切圆与、、分别切于点、、，，，求的度数。 解题步骤： ① 是的内切圆，，，； ② 在中，，本题中，结合内心性质，平分，平分； ③ 四边形中，； ④ 。 【答案】 【知识点睛】 ① 考点定位：三角形内心的性质； ② 解题方法：内心是三条角平分线交点，到三边距离相等；切线垂直半径，四边形内角和；； ③ 易错提醒：混淆内心与外心的角度性质。 典型例题3（奥数型） 题目：的面积为，周长为，求它的内切圆半径。 解题步骤： ① 设内切圆半径为，三角形面积周长； ② 代入，周长，得； ③ 解得。 【答案】 【知识点睛】 ① 考点定位：内切圆半径的面积法公式； ② 解题方法：任意三角形内切圆半径都可以用（为周长，为半径），本质是分割为三个小三角形，面积和等于总面积； ③ 易错提醒：漏掉。 考点五 正多边形与圆 典型例题1（基础型） 题目：正六边形的外接圆半径为，求正六边形的边长、边心距和面积。 解题步骤： ① 正六边形外接圆半径等于边长，所以边长； ② 边心距； ③ 面积。 【答案】边长，边心距，面积 【知识点睛】 ① 考点定位：正六边形与圆； ② 解题方法：正六边形边长等于外接圆半径；中心角，分割为6个等边三角形；边心距是中心到边的距离； ③ 易错提醒：面积公式记错，或者边心距算错。 典型例题2（提高型） 题目：正方形的内切圆半径为，求正方形的外接圆半径和面积。 解题步骤： ① 正方形内切圆半径为，则边长为； ② 对角线长，外接圆半径为对角线一半，即； ③ 正方形面积。 【答案】外接圆半径，面积 【知识点睛】 ① 考点定位：正方形的内切圆与外接圆； ② 解题方法：正方形内切圆直径等于边长；外接圆直径等于对角线； ③ 易错提醒：混淆内切圆半径与外接圆半径。 典型例题3（奥数型） 题目：有一个边长为的正方形铁皮，剪去四个角后做成一个正八边形，求正八边形的边长。 解题步骤： ① 设正八边形的边长为，则剪去的等腰直角三角形的直角边长为； ② 等腰直角三角形斜边等于直角边的倍，即； ③ 解方程： 。 【答案】 【知识点睛】 ① 考点定位：正多边形与实际应用； ② 解题方法：正方形剪角成正八边形，剪去的是等腰直角三角形；设边长为未知数，利用边长关系列方程； ③ 易错提醒：等腰直角三角形斜边与直角边关系搞错。 第三部分 综合与实践 生活中的优化问题 活动主题 探究生活中的距离、角度、用料等最值问题，建立几何模型，优化解决方案。 活动目标 1. 能从实际问题中抽象出几何模型，运用直线与圆、正多边形等知识解决最值问题； 2. 经历“实际问题→抽象模型→求解验证”的过程，提升建模能力与问题解决能力； 3. 体会数学在生活、工程中的应用价值，激发实践创新意识。 活动过程 活动一 最短路径问题 任务1：如图，直线旁有一个圆形水池，一个人从点出发，到直线上的点处，再到圆形水池边，最短路径是多少？ 任务2：转化为“点到直线到圆”的最短路径，利用切线、垂线段模型求解。 活动二 最省用料问题 任务1：用长为的篱笆，一面靠墙，围成矩形菜园，怎样围面积最大？ 任务2：拓展：围成半圆形，面积更大还是更小？比较两种方案。 活动三 正多边形优化问题 任务1：周长相等的正三角形、正方形、正六边形、圆，哪个面积最大？ 任务2：结合生活，为什么井盖、水管做成圆形？为什么螺母做成正六边形？ 活动结论 1. 最短路径问题，常转化为垂线段、切线模型，利用“两点之间线段最短”“垂线段最短”求解； 2. 周长相等的平面图形中，圆的面积最大；边数越多，正多边形面积越接近圆； 3. 生活中的优化问题，都可以通过建立数学模型，利用几何性质求解最优方案。 第四部分 单元易错避坑指南 易错点1：直线与圆位置关系漏分界情况 错误示例：“直线与圆相交，d<r”，漏掉d≥0的前提；相切只说d=r，忽略 “有唯一公共点” 的特征。 正确分析：三种位置关系完整判定：相离d>r，相切d=r，相交0≤d<r；圆心到直线的距离d为非负数，相切是相交与相离的分界点。 修正方法：判定位置时，必须完整覆盖相离、相切、相交三种情况，明确等号分界，同时注意距离的非负性。 易错点2：切线判定条件不全 错误示例：“垂直于半径的直线是圆的切线”。 正确分析：切线判定必须同时满足两个条件：经过半径外端、垂直于这条半径；缺一不可。 修正方法：切线判定：有公共点→连半径，证垂直；无公共点→作垂直，证半径。 易错点3：切线性质应用不连半径 错误示例：切线相关计算，不连半径，直接用角度计算。 正确分析：切线性质核心是“切线垂直于过切点的半径”，必须连半径构造直角三角形。 修正方法：见切线，连半径，垂直出直角。 易错点4：混淆内心与外心 错误示例：三角形内心是三边垂直平分线交点。 正确分析：外心是三边垂直平分线交点，外接圆圆心；内心是三条角平分线交点，内切圆圆心。 修正方法：外心垂直平分线，内心角平分线；外心到顶点等距，内心到边等距。 易错点5：正多边形中心角与内角混淆 错误示例：正六边形内角。 正确分析：正六边形中心角，内角；中心角是圆心处的角，内角是多边形的角。 修正方法：中心角，内角。 易错点6：优化问题忽略自变量范围 错误示例：最值问题直接用顶点公式，不考虑自变量实际范围。 正确分析：实际优化问题，自变量有实际限制，必须先确定取值范围，再判断最值位置。 修正方法：建模先定定义域，再求最值。 第五部分 单元分层进阶达标自测 一、基础夯实篇 1. 直线与半径为的相交，圆心到直线的距离可能是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 垂直于半径的直线是圆的切线 B. 经过半径的直线是圆的切线 C. 经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线 D. 圆的切线垂直于半径 3. 圆外一点引圆的两条切线，下列结论错误的是（ ） A. 切线长相等 B. 两条切线夹角相等 C. 圆心与该点连线平分夹角 D. 切线长等于半径 4. 三角形的内心是（ ） A. 三边垂直平分线交点 B. 三条角平分线交点 C. 三条中线交点 D. 三条高的交点 5. 正八边形的中心角为（ ） A. B. C. D. 6. 直角三角形两条直角边为、，它的内切圆半径为（ ） A. B. C. D. 7. 正三角形外接圆半径为，则它的边长为________。 8. 直线与半径为的（圆心在原点）的位置关系是________。 二、能力进阶篇 9. 如图，切于点，交于，，，求的半径。 10. 如图，、切于、，，点在上，求的度数。 11. 正六边形的边心距为，求它的外接圆半径和面积。 12. 如图，是的直径，是上一点，垂直于过的切线，垂足为，，，求的度数。 13. 如图，中，，，求它的内切圆半径。 14. 正方形的外接圆半径为，求它的内切圆半径。 三、思维跃迁篇 15. 已知的半径为，直线上有一点，，求直线与的公共点个数。 16. 如图，、切于、，切于，交、于、，若的周长为，求的长。 17. 如图，中，，在上，与、都相切，，，求的半径。 18. 周长为的正六边形、正方形、圆，分别求它们的面积，并比较大小。 19.【综合实践】用长为的篱笆，一面靠墙围成矩形养鸡场，怎样围面积最大？最大面积是多少？如果围成半圆形，最大面积是多少？（结果保留） 第六部分 达标自测精准解析 一、基础夯实篇解析 1. 【答案】C 解题步骤： 直线与圆相交时，（直线过圆心）和均符合条件；本题为单选题，选最典型的答案 C。 【知识点睛】 ① 考点定位：直线与圆相交的条件； ② 解题方法：相交对应 2. 【答案】C 解题步骤： ① 选项A、B都缺少条件，错误； ② 选项C是切线判定定理，正确； ③ 选项D：切线垂直于“过切点的”半径，表述不准确，错误。 【知识点睛】 ① 考点定位：切线的判定定理； ② 解题方法：切线判定两个条件：经过半径外端、垂直于半径，缺一不可； ③ 易错提醒：判定定理条件记不全。 3. 【答案】D 解题步骤： ① 切线长定理：切线长相等，圆心连线平分夹角，A、C正确； ② 两条切线与圆心连线构成两个全等直角三角形，夹角相等，B正确； ③ 切线长不一定等于半径，D错误。 【知识点睛】 ① 考点定位：切线长定理； ② 解题方法：切线长是圆外点到切点的距离，不是半径； ③ 易错提醒：概念混淆。 4. 【答案】B 解题步骤： ① 三角形内心是三条角平分线的交点，到三边距离相等； ② 外心是三边垂直平分线交点。 【知识点睛】 ① 考点定位：内心的定义； ② 解题方法：内心角平分线，外心垂直平分线； ③ 易错提醒：内心外心混淆。 5. 【答案】A 解题步骤： ① 正八边形中心角。 【知识点睛】 ① 考点定位：正多边形中心角； ② 解题方法：中心角； ③ 易错提醒：和内角混淆。 6. 【答案】A 解题步骤： ① 斜边，直角三角形内切圆半径。 【知识点睛】 ① 考点定位：直角三角形内切圆半径； ② 解题方法：； ③ 易错提醒：公式记错。 7. 【答案】 解题步骤： ① 正三角形外接圆半径，边长。 【知识点睛】 ① 考点定位：正三角形与圆； ② 解题方法：正三角形外接圆半径与边长关系； ③ 易错提醒：公式记错。 8. 【答案】相交 解题步骤： ① 圆心在原点，到直线的距离； ② 所以直线与圆相交。 【知识点睛】 ① 考点定位：坐标系中直线与圆位置关系； ② 解题方法：点到直线距离公式，比较与； ③ 易错提醒：距离公式记错。 二、能力进阶篇解析 9. 【答案】半径为 解题步骤： ① 连接，设半径为，则，； ② 是切线，； ③ 在中，，即； ④ ，，。 【知识点睛】 ① 考点定位：切线性质、勾股定理； ② 解题方法：连半径，设未知数，勾股定理列方程； ③ 易错提醒：长度表示错误。 10. 【答案】110∘或70∘ 解题步骤： ① 连接、，、是切线，，； ② 四边形中，； ③ 点在优弧上时，； 点在劣弧上时，。 【知识点睛】 ① 考点定位：切线长定理、圆周角定理； ② 解题方法：点位置不确定，分优弧、劣弧两种情况； ③ 易错提醒：只写一种情况。 11. 【答案】外接圆半径2，面积。 解题步骤： ① 正六边形边心距，设外接圆半径为，则； ② ，解得； ③ 边长，面积。 【知识点睛】 ① 考点定位：正六边形边心距与半径； ② 解题方法：边心距、半径、半边长构成直角三角形； ③ 易错提醒：边心距与半径关系记错。 12. 【答案】60∘ 解题步骤： ① 连接，是切线，； ② ，，； ③ ，，，即平分； ④ 连接，是直径，，，，， ，也可直接由，，等边，。 【知识点睛】 ① 考点定位：切线性质、平行线、菱形判定； ② 解题方法：切线连半径，得平行，结合等腰、菱形推导； ③ 易错提醒：不会构造辅助线。 13. 【答案】3 解题步骤： ① 等腰三角形，，高，面积； ② 周长，内切圆半径。 【知识点睛】 ① 考点定位：等腰三角形内切圆半径； ② 解题方法：面积法； ③ 易错提醒：周长计算错误。 14. 【答案】。 解题步骤： ① 正方形外接圆半径为，对角线长，边长； ② 内切圆半径是边长一半，即。 【知识点睛】 ① 考点定位：正方形的内切圆与外接圆； ② 解题方法：外接圆直径=对角线，内切圆直径=边长； ③ 易错提醒：半径与直径混淆。 三、思维跃迁篇解析 15. 【答案】0个、1个或2个。 解题步骤： ① 圆心到直线的距离； ② 当时，，相离，个公共点； ③ 当时，相切，个公共点； ④ 当时，相交，个公共点。 【知识点睛】 ① 考点定位：直线与圆位置关系分类讨论； ② 解题方法：点到点距离不是点到直线距离，分垂直、不垂直讨论； ③ 易错提醒：直接判定相交。 16. 【答案】8 解题步骤： ① 由切线长定理：，，； ② 周长； ③ 周长为，，。 【知识点睛】 ① 考点定位：切线长定理整体应用； ② 解题方法：周长整体转化为两条切线长的和； ③ 易错提醒：分段计算出错。 17. 【答案】 解题步骤： 设半径，在上，，，， ，即，； 同理，； ，，，，。 【知识点睛】 ① 考点定位：切线性质、相似三角形； ② 解题方法：圆心在斜边上，作两条半径，用相似三角形列方程； ③ 易错提醒：误以为圆心在点。 18. 【答案】六边形面积，正方形面积 9，圆面积，圆面积最大 解题步骤： ① 正六边形周长，边长，面积； ② 正方形周长，边长，面积； ③ 圆周长，半径，面积； ④ 圆面积最大。 【知识点睛】 ① 考点定位：正多边形与圆的面积比较； ② 解题方法：周长相等，边数越多面积越大，圆最大； ③ 易错提醒：面积公式记错。 19. 【答案】矩形长12m、宽6m时面积最大，最大72m2；半圆形最大面积约m2 解题步骤： ① 设垂直墙的边长为，平行墙的边长为，面积； ② 当时，最大，最大； ③ 围成半圆形，半圆弧长，半径，面积。 【知识点睛】 ① 考点定位：二次函数最值、圆面积，优化问题； ② 解题方法：一面靠墙，长+2宽=篱笆长；面积函数求最值；半圆形面积更大； ③ 易错提醒：半圆周长是，不是。 1 学科网（北京）股份有限公司 $