第三十章直线和圆的位置关系暑假预习讲义2026-2027学年人教版八升九数学

第三十章直线和圆的位置关系 九上暑假预习讲义 学习目标 1.理解直线与圆的三种位置关系（相离、相切、相交），能通过公共点个数及圆心到直线的距离与半径的大小关系进行准确判定. 2.掌握切线的判定定理和性质定理，能熟练运用定理证明直线与圆相切，并能利用切线性质解决相关计算问题. 3.理解切线长定理，能运用切线长定理进行线段和角度的计算与证明. 4.理解三角形的内切圆及内心的概念，掌握内心是角平分线交点的性质，能利用面积法求内切圆半径. 5.了解圆外切四边形的性质，能运用圆外切四边形的性质进行简单的计算. 知识点一、直线与圆的位置关系 设的半径为，圆心到直线的距离为，则： 1.相离：直线与圆没有公共点，. 2.相切：直线与圆有且只有一个公共点（切点），，这条直线叫做圆的切线. 3.相交：直线与圆有两个公共点，，这条直线叫做圆的割线，两个公共点间的线段叫做弦. 位置关系 图形 公共点个数 公共点名称 直线名称 d与r的关系 相离 0 无 无 d>r 相切 1 切点 切线 d=r 相交 2 交点 割线 d<r 注意：判断直线与圆的位置关系有两种方法：①根据公共点个数判断（定义法）；②根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断. 【例1】已知的半径为，圆心到直线的距离分别为下列数值，判断直线与的位置关系： （1）；（2）；（3）. 【变式1】在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，为半径作圆，判断该圆与轴和轴的位置关系. 知识点二、切线的性质定理 定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 符号语言：如图，直线是的切线，为切点，是半径，则. 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 记忆口诀：“见切点，连半径，得垂直.”——遇到切线问题时，连接切点和圆心所在的半径，是常用辅助线. 【例2】如图，是的切线，为切点，交于点.若，，求的长. 【变式2】如图，PA与⊙O相切于点A，连接PO并延长交⊙O于点B，连接AB．若∠B＝24°，求∠P的度数. 知识点三、切线的判定定理 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 判定方法： （1）定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线. （2）数量法（d=r）：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线. （3）判定定理法：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线. 几何语言： ∵OA是的半径，OA⊥l， ∴直线l是的切线. 证明切线的两种常用思路： （1）有公共点：连半径，证垂直（已知直线与圆有公共点，连结圆心和该点后证明连线与直线垂直）. （2）无公共点：作垂直，证等于半径（过圆心向直线作垂线，证明垂线段等于半径）. 【例3】如图，直线AB经过⊙O上的点C，且AC＝BC，∠OAB＝40°，∠AOB＝100°． 求证：直线AB是⊙O的切线． 【例4】如图，为等腰三角形，，是底边的中点，与相切于点.求证：是的切线. 【变式3】如图，AE是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，F为的中点，过F点作直线AD的垂线于点C，交AE延长线于点B． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若CD＝1，，求⊙O的半径． 知识点四、切线长定理 切线长定义：过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长. 切线长定理：过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等，并且圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 几何语言：如图，、分别切于、两点，则： （1）； （2）平分，即； 【例5】如图，、分别切于、两点，，，求的半径及的周长. 【变式4】如图，、是的切线，、为切点，是的直径，°，求的度数. 知识点五、三角形的内切圆 定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做圆的外切三角形. 内心：三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，它是三角形三条角平分线的交点. 内心的性质： 1.内心到三角形三边的距离相等，且等于内切圆的半径. 2.内心一定在三角形内部. 三角形面积与内切圆半径的关系： ，其中、、为三角形三边长，为内切圆半径. 直角三角形内切圆半径：（、为直角边，为斜边）. 【例6】已知的三边长分别为，，. （1）判断的形状； （2）求内切圆的半径. 【变式5】如图，点是的内心，，求的度数. 知识点六、圆外切四边形 定义：四边形的四条边都与同一个圆相切，这个四边形叫做圆外切四边形，这个圆叫做四边形的内切圆. 性质：圆外切四边形两组对边之和相等. 几何语言： ∵四边形的各边分别与相切于点、、、， ∴. 【例7】如图，四边形是的外切四边形，已知，，，求的长. 【变式6】如图，已知四边形是的外切四边形，其周长为，，求各边的长. 知识点七、正多边形和圆 把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心， 外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距 . 核心直角三角形： 半径、边心距、半边长构成直角三角形，是计算的桥梁. 正多边形的面积 【例8】已知 的半径 ，求其内接正六边形的边长、边心距和面积.(结果保留根号) 【变式7】如图， 的内接正方形 ，对角线 ，求 的半径、正方形的边长及边心距. 综合测评 1．如图，∠ABC＝30°，点O为射线BC上一点，BO＝8，如果⊙O是以点O为圆心，半径为3的圆，那么⊙O与直线BA的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 2．下列四个命题中，真命题的个数是（　　） ①经过半径外端的直线是圆的切线； ②垂直于半径的直线是圆的切线； ③与圆有唯一公共点的直线是圆的切线； ④圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线. A.1　　 B.2　　 C.3　　 D.4 3．一个正多边形的每个外角都是60°，则这个多边形是（　　） A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正十二边形 4．四边形是的外切四边形，，，，则的长为（　　） A.　　 B.　 　 C.　　 D. 5．已知的半径，点到圆心的距离，过点作的两条切线，则两条切线长的和为（　　） A.　　 B.　　 C.　　 D. 6．如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则它的内切圆⊙O的半径是（　　） A．1 B．2 C．2.5 D．5 7．如图，⊙O是△ABC的内切圆，⊙O的切线DE与AB、AC分别交于点D、E，若△ABC的周长为7，△ADE的周长为3，则BC边的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心，若∠BOC＝140°，则∠BIC的度数为（　　） A．125° B．130° C．135° D．140° 二、填空题 9．若⊙O的半径为5，圆心O到直线AB的距离为2，则直线AB与⊙O的位置关系是　　 ．（填“相交”、“相切”或“相离”） 10．如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB，则直线AB和⊙O的位置关系是　 　．（填“相交”、“相切”或“相离”） 11．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上的一点（点P不与点C重合），则∠CPD的度数为　 　． 12．如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点B为圆心、AB的长为半径作弧AC，则的长度为　 　． 13．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，C是上一点，过点C画⊙O的切线，分别交PA，PB于点D，E，PA＝12cm，则△PDE的周长是　 　 cm． 14．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C在⊙O上．若∠ACB＝72°，则∠P为　 　． 15．如图，在△ABC中，点O是△ABC的内心，∠A＝48°，∠BOC＝　 ． 16．如图，对角线为6cm和8cm的菱形ABCD的内切圆的半径是　 ． 17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，BC＝4cm，以点C为圆心，4cm为半径画⊙C，请判断BD与⊙C的位置关系，并说明理由． 18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，若以C为圆心，r为半径画⊙C，请根据下列条件，求半径r的值或取值范围． （1）⊙C与斜边AB有1个公共交点； （2）⊙C与斜边AB有2个公共交点； （3）⊙C与斜边AB没有公共交点． 19．直线CD切半圆O于点C，AD⊥CD于点D，AD交半圆O于点E． 求证：AC平分∠DAB． 20．如图，A，B是⊙O上两点，C为OB延长线上一点，且AB＝BC＝OB．求证：直线AC与⊙O相切． 21．如图，有一个亭子，它的地基是边长为4m的正六边形，求这个正六边形地基的面积 （计算结果保留根号）． 22．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的两点，且，过点C作⊙O的切线与AB的延长线交于点E，连接AC，OD．若∠ACE＝115°，OB＝6，求扇形BOD（即阴影部分）的面积（结果保留π）． 23．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，点D是△ABC的内心，连接AD并延长交⊙O于点E，过点E作EF∥BC，交AB的延长线于点F． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）连接CE，若⊙O的半径为2，∠AEC＝30°，求阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）． 24．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F． （1）点O是△ABC的　 　 心； （2）如图1，若AB＝9，BC＝14，CA＝13．设AF＝x，求BF的值； （3）如图2，若∠B＝90°，AB，BC，CA的长分别是a，b，c，求⊙O半径（用含a，b，c的式子表示）． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 答案与解析 【例1】 解：（1），直线与相交，有2个公共点. （2），直线与相切，有1个公共点. （3），直线与相离，无公共点. 【变式1】 解：点 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 . 圆的半径 . 圆心到 轴的距离 ， 该圆与 轴 相切. 圆心到 轴的距离 ， 该圆与 轴 相交. 【例2】 解：连接. 是的切线，为切点， ，即. 在中，，， （角所对直角边等于斜边的一半）. . 【变式2】 解：连接OA， ∵PA与⊙O相切于点A， ∴PA⊥OA， ∴∠OAP＝90°， ∵连接PO并延长交⊙O于点B，且∠B＝24°， ∴∠AOP＝2∠B＝48°， ∴∠P＝90°﹣∠AOP＝42°， 【例3】 证明：连接OC， ∵∠OAB＝40°，∠AOB＝100°， ∴∠B＝180°﹣∠AOB﹣∠A＝180°﹣100°﹣40°＝40°， ∴∠A＝∠B， ∴AO＝OB， ∵AC＝BC， ∴OC⊥AB， ∵OC是⊙O的半径， ∴线AB是⊙O的切线． 【例4】 证明：连接，过点作于点. ，是的中点， 平分（等腰三角形"三线合一"）. 与相切于点，，且. 又，（角平分线上的点到角两边的距离相等）. 是的半径，且. 是的切线. 【变式3】 （1）证明：连接AF、OF，则OF＝OA， ∴∠OFA＝∠EAF， ∵F为的中点， ∴， ∴∠DAF＝∠EAF， ∴∠OFA＝∠DAF， ∴OF∥AD， ∵BC经过点F，且BC⊥AD交AD的延长线于点C，交AE的延长线于点B， ∴∠OFB＝∠C＝90°， ∵OF是⊙O的半径，且BC⊥OF于点F， ∴BC是⊙O的切线． （2）解：作OH⊥AC于点H，则∠OHA＝∠OHC＝90°，AH＝DH， ∵∠OFC＝∠C＝∠OHC＝90°， ∴四边形OFCH是矩形， ∴CH＝OF＝OA，OH＝CF＝， ∵CD＝1， ∴AH＝DH＝CH﹣CD＝OA﹣1， ∵AH2+OH2＝OA2， ∴（OA﹣1）2+（）2＝OA2， 解得OA＝2， ∴⊙O的半径长为2． 【例5】 解：连接、. 、是的切线， ，，. ，是等边三角形. . 在中，，， ，即的半径为. . 的周长为. 【变式4】 解：连接 、. 、 是 的切线， ， 平分 . 是直径，. ，. （同弧所对的圆心角是圆周角的 倍）. ， 在四边形 中， . 【例6】 解：（1）， 是直角三角形，. （2）方法一（面积法）：， ， ，解得. 方法二（直角三角形公式）：. 内切圆的半径为. 【变式5】 解：点是的内心， 平分，平分. ，. 在中，. . 在中，. 【例7】 解：四边形是的外切四边形， （圆外切四边形两组对边之和相等）. ，解得. 【变式6】 解：设 ，，. 四边形 是 的外切四边形， ，即 ， . 又 周长为 ， ， . ，，，. 【例8】 解： 边长：正六边形边长 . 边心距：中心角 ， 周长： ， 面积：. 【变式7】 解： 正方形对角线 ，. 边长 . 边心距 . 综合测评 1．解：过点 作 于点 . 在 中，，， . 的半径 ，， 与直线 相离. 答案：A 2．解：① 错误——经过半径外端且垂直于半径的直线才是切线； ② 错误——垂直于半径且经过半径外端的直线才是切线； ③ 正确——切线的定义； ④ 正确——切线的判定方法（数量法）. 真命题有 2 个. 答案：B 3．解：正多边形的外角和为 ，每个外角为 ， 边数 ，为正六边形. 答案：C 4．解：由圆外切四边形性质，， ，. 答案：A 5．解：连接切点与圆心，设切点为 ，则 . 在 中，，， . 由切线长定理，两条切线长相等，均为 ， 两条切线长的和为 . 答案：B 6．解：设△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、F、E，连接OE、OF， ∵∠C＝90°，BC＝4，AC＝3， ∴AB＝＝＝5， ∵AE＝AD，BF＝BD，CE＝CF， ∴CE+CF＝2CE＝AC+BC﹣（AE+BF）＝AC+BC﹣（AD+BD）＝AC+BC﹣AB＝3+4﹣5＝2， ∴CE＝1， ∵∠OEC＝∠OFC＝∠C＝90°， ∴四边形OECF是矩形， ∵OE＝OF， ∴四边形OECF是正方形， ∴OE＝CE＝1， ∴⊙O的半径是1， 故选：A． 7．解：设⊙O与AB、BC、AC分别相切于点R、P、Q，线段DE与⊙O相切于点F， ∵DR＝DF，EQ＝EF， ∴DR+EQ＝DF+EF＝DE， ∵△ADE的周长为3， ∴AR+AQ＝AD+DR+EQ+AE＝AD+DE+AE＝3， ∵BR＝BP，CQ＝CP， ∴BR+CQ＝BP+CP＝BC， ∵△ABC的周长为7， ∴AB+BC+AC＝AR+BR+BC+CQ+AQ＝3+2BC＝7， ∴BC＝2， 故选：B． 8．解：∵点O为△ABC的外心，∠BOC＝140°， ∴， ∴∠ACB+∠ABC＝180°﹣∠A＝110°， ∵点I为△ABC的内心， ∴， ∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）＝125°， 故选：A． 9．解：∵⊙O的半径r＝5，圆心O到直线AB的距离d＝2， ∴d＜r， ∴直线AB与⊙O的位置关系是相交． 故答案为：相交． 10．解：如图，直线AB经过⊙O上的点C，连接OC，则OC为圆的半径， ∵OA＝OB，CA＝CB， ∴OC⊥AB， ∵OC为圆的半径， ∴直线AB和⊙O的位置关系是相切． 故答案为：相切． 11．解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形， ∴∠COD＝＝72°， ∴∠CPD＝∠COD＝36°， 12．解：∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴AB＝BC＝6，∠ABC＝＝120°， ∴的长为＝4π． 13．解：过点C画⊙O的切线，分别交PA，PB于点D，E，由题意可得： ∴PA＝PB＝12， 同理可得：DA＝DC，EB＝EC， ∴△PDE的周长＝PD+DE+PE ＝PD+DC+EC+PE ＝PD+DA+EB+PE ＝PA+PB＝24（cm）． 故答案为：24． 14．解：如图，连接OA、OB， 由圆周角定理得：∠AOB＝2∠ACB＝2×72°＝144°， ∵PA，PB是⊙O的切线， ∴PA⊥OA，PB⊥OB， ∴∠P＝180°﹣∠AOB＝180°﹣144°＝36°， 故答案为：36． 15．解：∵O是△ABC的内心， ∴OB，OC分别平分∠ABC，∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣48°）＝66°， ∴∠BOC＝180°﹣66°＝114°． 故答案为：114． 16．解：如图，连接AC、BD交于点O，设菱形ABCD与圆相切于点E，连接OE， 则OE⊥AB， ∵四边形ABCD是对角线为6cm和8cm的菱形， ∴AC⊥BD，OA＝AC＝3cm，OB＝BD＝4cm， 由勾股定理得：AB＝＝＝5（cm）， S△AOB＝OA•OB＝AB•OE， ∴OE＝＝（cm）， 故答案为：cm． 17．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴AB＝2BC＝8cm， ∴AC＝＝4cm， 由面积公式得AC•BC＝AB•CD， ∴CD＝＝2cm， ∴CD＝2cm＜4cm， ∴圆与BD的位置关系是相交． 18．解：（1）如图，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB＝＝5， ∴CD＝＝2.4． 当圆与AB相切时，即r＝CD＝2.4； 当点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，此时AC＜r≤BC，即3＜r≤4． ∴3＜r≤4或r＝2.4； （2）∵BC＞AC， ∴以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB有两个交点，则圆的半径应大于CD，小于或等于AC， ∴r的取值范围是2.4＜R≤3； （3）∵⊙C与斜边AB没有公共交点， ∴r＜CD或点B在⊙C的内部， ∴0＜r＜2.4或r＞4． 19．证明：∵直线CD切半圆O于点C， ∴OC⊥CD， ∵AD⊥CD， ∴AD∥OC， ∴∠DAC＝∠ACO， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠ACO， ∴∠DAC＝∠ACO，即AC平分∠DAB； 20．证明：∵AB＝OB， ∵OB＝AO， ∴AB＝OB＝AO， ∴△ABO是等边三角形， ∴∠O＝∠OAB＝∠OBA＝60°， ∵AB＝BC， ∴∠C＝∠BAC， ∵∠ABO＝∠C+∠BAC＝60°， ∴∠BAC＝30°， ∴∠CAO＝∠CAB+∠OAB＝90°， ∴OA⊥AC，且OA是半径， ∴直线AC与⊙O相切． 21．解：如图，连接OA，OB，过点O作OM⊥AB于点M， ∵正六边形ABCDEF的中心为O， ∴∠AOB＝＝60°，OA＝OB， ∴△AOB是正三角形， ∵OM⊥AB， ∴∠AOM＝∠AOB＝30°，OA＝AB＝4m，AM＝BM＝2m， ∴OM＝＝2（m）， ∴S正六边形ABCDEF＝6S△AOB ＝6××4×2 ＝24（m2）． 故答案为：24． 22．解：连接OC， ∵AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的两点， ∴OC＝OA， ∵过点C作⊙O的切线与AB的延长线交于点E， ∴CE⊥OC， ∴∠OCE＝90°， ∵∠ACE＝115°， ∴∠A＝∠OCA＝∠ACE﹣∠OCE＝115°﹣90°＝25°， ∴∠BOC＝2∠A＝2×25°＝50°， ∵， ∴∠BOD＝∠BOC＝50°， ∵OB＝6， ∴s扇形BOD＝＝5π， ∴扇形BOD的面积是5π． 23．（1）证明：连接OE交BC于点H， ∵点D是△ABC的内心，连接AD并延长交⊙O于点E， ∴AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAE， ∴， ∴OE⊥BC， ∵EF∥BC，交AB的延长线于点F， ∴∠OEF＝∠OHB＝90°， ∵OE是⊙O的半径，且EF⊥OE， ∴EF是⊙O的切线． （2）解：∵EF∥BC，∠ABC＝∠AEC，且∠AEC＝30°， ∴∠F＝∠ABC＝∠AEC＝30°， ∵∠OEF＝90°，⊙O的半径为2， ∴∠EOB＝90°﹣∠F＝60°，OE＝2， ∴OF＝2OE＝4， ∴EF＝＝＝2， ∴S阴影＝S△FOE﹣S扇形BOE＝×2×2﹣＝2﹣， ∴阴影部分的面积是2﹣． 24．解：（1）∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F， ∴点O是△ABC的内心， 故答案为：内； （2）∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，AB＝9，BC＝14，CA＝13， ∴AE＝AF，BF＝BD，CE＝CD， 设AF＝x，则AE＝AF＝x， ∴BD＝BF＝AB﹣AF＝9﹣x，CD＝CE＝AC﹣AE＝13﹣x， ∴BC＝BD+CD＝9﹣x+13﹣x＝14， 解得：x＝4， ∴BF＝9﹣x＝5； （3）如图2，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，连接OD，OE，OF， ∴AE＝AF，BF＝BD，CE＝CD，∠OFB＝∠ODB＝90°， 设⊙O半径为r，则OD＝OF＝r， ∵∠B＝∠OFB＝∠ODB＝90°， ∴四边形ODBF为矩形， 又∵OD＝OF， ∴四边形ODBF为正方形， ∴BD＝BF＝r， ∴AE＝AF＝a﹣r，CE＝CD＝b﹣r， ∴AC＝AE+CE＝a﹣r+b﹣r＝c， ∴a+b﹣2r＝c， 解得：． 故答案为：． 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $