专题30.1.1 直线与圆的位置关系（高效培优讲义）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦初中数学“直线与圆的位置关系”核心知识点，以点与圆的位置关系为基础，通过圆心到直线距离d与半径r的数量关系判定直线与圆的相交、相切、相离，再延伸至圆与圆的五种位置关系判定，构建从点到线再到圆的递进知识支架。 资料含直线与圆的位置关系知识框架图辅助几何直观，强调动态平移中的分类讨论培养推理意识，即学即练与题型分类结合提升应用能力。分层练习适配不同学生，课中助教师高效授课，课后助学生查漏补缺，落实数学核心素养。

专题30.1.1 直线与圆的位置关系 教学目标 1.掌握直线与圆、圆与圆的位置关系并能够熟练的判断。 2.理解两圆相离、相切、相交等概念，掌握圆心距d与半径r₁、r₂的等量关系并灵活应用。 3.体会动态平移中的分类讨论思想，解决相切临界及参数取值范围问题。 教学重难点 1.重点 (1) 直线与圆、圆与圆的位置关系判定及对应的数量条件； (2) 动直线、动圆在平移过程中的相切临界情况分析。 2.难点 (1) 结合坐标系、几何图形进行逆向求半径或距离的灵活应用； (2) 动态平移相切过程中，对“外切”与“内切”两种情况的准确分类。 知识点01 直线和圆的位置关系 1.回顾：点和圆的三种位置关系 由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有 (1)点P在圆内 (2)点P在圆上 (3)点P在圆外 2.直线和圆的位置关系 由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系。 下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径。 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么 (1)直线l和O相交 ； (2)直线l和O相切 ； (3)直线l和O相离 ； 这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定。 【即学即练】 1．点在半径为的内，则的长度不可能是（ ） A． B． C． D． 2．如图，在的正方形网格中，点，，，均在格点上，一条圆弧经过，，三点，那么点与这条圆弧所在圆的位置关系是（ ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．在圆内或圆上 3．已知及其所在平面内的直线l，P为直线l上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线l的表述不正确的是（ ） A．直线l可能经过圆心O B．直线l可能与相交 C．直线l可能与相切 D．直线l可能与相离 4．如图，，P为边上的一点，且，若以P为圆心，r为半径的圆与射线只有一个公共点，则半径r的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 5．已知：的半径为，圆心到直线的距离为，将直线沿垂直于的方向平移，使与相切，则平移的距离是（ ） A． B．或 C．或 D．或 6．由于连日暴雨导致某路段积水，有一辆卡车驶入该积水路段．如图所示，已知这辆卡车的车轮外直径（包含轮胎厚度）为，车轮入水部分的弧长约为其周长的，试计算该路段积水深度（假设路面水平）． 知识点02 圆和圆的位置关系 1.圆与圆的五种位置关系的定义 ①两圆外离：两个圆没有公共点，且 时，叫做这两个圆外离。 ②两圆外切：两个圆 ，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的 时，叫做这两个圆外切，这个唯一的公共点叫做切点。 ③两圆相交：两个圆有 时，叫做这两圆相交。 ④两圆内切：两个圆 ，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的 时，叫做这两个圆内切；这个唯一的公共点叫做切点。 ⑤两圆内含：两个圆 ，且一个圆上的点都在另一个圆的 时，叫做这两个圆内含。 2.两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系 设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，两圆心O1O2的距离为d，则： ①两圆外离 ②两圆外切 ③两圆相交 ④两圆内切 ⑤两圆内含 【注意】： (1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交； (2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点； (3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合。 【即学即练】 7．已知的半径为，的半径为，且，则与位置关系是（ ） A．内含 B．相交 C．相切 D．相离 8．如图，两圆与直线相切，定圆的半径是，动圆的半径是．动圆在直线上移动，当两圆相切时，，两点的距离等于（ ） A．或 B． C． D． 9．已知两圆的半径长之比为，且当两圆内切时的圆心距为9厘米，那么当两圆的圆心距增大到18厘米时，这两圆的位置关系是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．不确定 10．如果外切的两圆和的半径分别为和，那么半径为，与和都相切的圆有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 11．已知分别是的半径，d是两圆的圆心距，当时，两圆（ ） A．外切 B．内切 C．外离或内含 D．相交 12．若两圆的半径分别为和，圆心距为2，那么这两圆的位置关系是（ ） A．内切 B．外切 C．相交 D．内含 题型01 判定直线与圆的位置关系 【典例1】已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【典例2】三个半径均为的圆与直线l的位置关系如图所示，若点P在其中的某个圆上，且点P到直线l的距离为，则这个圆可以是__________ ． （1）考查方向：考查利用点到直线的距离d与圆的半径r的大小关系，直接判定直线与圆的相交、相切、相离三种位置关系。 （2）核心方法：熟练运用判定法则：d<r相交，d=r相切，d>r相离。解题时需注意正确提取圆心坐标并计算其到直线的距离d。 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，的圆心为坐标原点，半径为，若直线与相交，则的取值范围为（ ） A． B． C． D．或 【中考链接】已知平面内有和点，，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为（ ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 题型02 已知直线与圆的位置关系求半径的取值范围 【典例1】如图，直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（ ） A． B． C． D． （1）考查方向：考查直线与圆位置关系的逆向应用。已知直线与圆的相交、相离等位置关系，反求半径r的范围，或结合函数图像求参数的临界值。 （2）核心方法：紧扣“d与r对比”的判定法则。将位置关系转化为关于r的一元一次不等式，注意相切是相交与相离的临界状态（此时d=r）。 【变式1】如图，在中，，，．以点C为圆心，r为半径作圆．若与斜边所在直线有且只有一个公共点，则r的值为（ ） A． B．3 C．4 D．5 【中考链接】已知一次函数的图像经过第一、二、四象限，以坐标原点O为圆心、r为半径作．若对于符合条件的任意实数k，一次函数的图像与总有两个公共点，则r的最小值为______． 题型03 已知位置关系求圆心到直线的距离 【典例1】如图，已知 的半径为6，点 到矩形某条边的距离为8，则这条边可以是（ ） A． B． C． D． （1）考查方向：考查圆与几何图形（如三角形、矩形、坐标系）结合时，根据图形中线段与圆的位置关系，利用已知条件反推圆心到某条直线的距离。 （2）核心方法：通常需结合图形特征（如垂径定理、勾股定理）或构造直角三角形进行求解。在几何图形中，需分清线段与圆是相交、相切还是相离，以此确定距离是小于、等于还是大于半径。 【变式1】如图，平面直角坐标系中，经过三点，点D 是上的一动点．当点 D 到弦的距离最大时，点D 的坐标是（ ） A． B． C． D． 【变式2】以点为圆心，为半径画圆，与坐标轴恰好有三个公共点，则的值为__________． 【中考链接】如图，在边长为3的菱形中，，是边上的一点，且，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接．则长度的最小值是_____． 题型04 判定圆与圆的位置关系 【典例1】已知两圆没有公共点，则这两圆的位置关系是（ ） A．外离 B．内含 C．外离或内含 D．内切或外切 （1）考查方向：考查根据两圆的圆心距d与两圆半径R、r的和差关系，判定两圆外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系，或反向求半径、圆心距的取值范围。 （2）核心方法：外切时d=R+r，内切时d=∣R−r∣，相交时∣R−r∣<d<R+r。注意两个圆相切时，两圆的连心线必过切点，常结合此性质与勾股定理综合运用。同时要注意区分与“点与圆”、“直线与圆”的位置关系判定逻辑，避免混淆。 【变式1】如图，已知在矩形中，，如果分别以A、C为圆心的两圆相切，且点在内，点在外，的半径的取值范围是（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式2】如图，在中，，如果以点为圆心的与以边为直径的外切，那么的半径长是___________． 【中考链接】在锐角三角形中，，，的外接圆为，且半径为5，边中点为，如果以为圆心的圆与相交，那么的半径可以为（ ） A．2 B．5 C．8 D．9 题型05 动直线的相切问题 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆心坐标是，将沿轴正方向平移，使与轴相切，则平移的距离为（ ） A．1 B．1或5 C．3 D．5 （1）考查方向：考查圆心在射线上或坐标轴上平移，使得动圆恰好与某条定直线（或定圆）相切的临界问题，需计算圆心平移的距离或运动时间。 （2）核心方法：“化动为静，分类讨论”。核心要领是：找临界状态（即画出动圆刚好与目标相切的清晰图形）。动圆与定直线相切时，圆心到直线的距离等于半径；动圆与定圆相切时，圆心距等于两半径之和或差。最后根据平移方向分类讨论，不漏解。 【变式1】如图，，圆心在边上的的半径为，．若在上向点移动，当与相切时，圆心移动的距离为________． 【中考链接】如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向以个单位/秒的速度平移，使与y轴相切，则平移的时间为___________秒． 题型06 动直线的相切问题 【典例1】已知的半径为，点O到直线l的距离为，把直线l向上平移______，才能使l与相切？ （1）考查方向：考查直线保持平行平移，使其与定圆恰好相切时的极值问题，求解直线平移的具体距离或参数的取值范围。 （2）核心方法：抓住“平移前后直线平行”的特性。已知圆心到原直线的距离为d₀，圆的半径为r。若平移后直线与圆相切，则平移后圆心到直线的新距离必等于r。据此可求得平移距离为∣r−d₀∣或r+d₀。解题过程中结合图形，仔细分析直线朝哪个方向平移才能与圆相切，进行准确的分类讨论。 【变式1】已知是以坐标原点为圆心，半径为1，函数与交于点、，点在轴上运动，过点且与平行的直线与有公共点，则的范围是______. 【中考链接】如图，已知正方形ABCD中，两动点M和N分别从顶点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，再连接PC，若，则PC长的最小值为_________． A组·基础过关 1．已知的半径为4，若点在内，则点到圆心的距离可能为（ ） A．4 B． C．5 D．7 2．若的半径为5，圆心O到直线的距离为2，则直线与的位置关系是________．（填“相交”、“相切”或“相离”） 3．已知点坐标为，如果半径为的与轴无公共点，与轴有公共点，那么的取值范围是_________． 4．已知与直线没有公共点，若的半径为5，则圆心到直线的距离可以是（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 5．如图，直线、相交于点，，的半径为，且，如果以的速度沿由向的方向移动，则___________秒时与直线相切． 6．如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（　　） A．1 B．1或2 C．3 D．1或3 7．如图，以坐标原点为圆心，2为半径作圆，直线与相交，则的取值范围是______． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在以点为圆心，半径为的圆上运动，且满足，则的最大值为____________． 9．如图，在中，，，为边上一点，，，的半径为1，当所在直线与相切、相离时，分别求出的取值范围． 10．【阅读】两汉文化看徐州，小军在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到： 玉璧、玉环等器物为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，如图1，雷纹玉环就是徐州一个古代的玉环文物；其主视图就是一个标准的圆环，其中大圆称为外圆、小圆称为内圆（类似于图2、3、4）． 【作图】 （1）图2是一个圆环，请在图2中，仅用无刻度直尺作出圆环内两条相等的线段，并用字母表示出来； （2）图3是一个圆环，请用无刻度的直尺和圆规在图3中找出该圆环的中心； 【探究】 （3）如图4是内圆半径、外圆半径的圆环；点A是内圆上的任意一点，如果以A为圆心、一定长度m为半径画圆，与该圆环的内圆与外圆共有k个交点．请直接写出k的值以及对应m的范围． B组·能力提升 11．中，，，，以点C为圆心，以2为半径画圆，则直线与的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 12．如图所示，在中，，，，以为圆心，为半径的圆与边有公共点，则的取值范围为（　　） A． B．或 C． D． 13．如图，在平面直角坐标系中，的圆心是，半径为2，函数的图象被截得的弦的长为，则a的值是（ ） A． B． C． D． 14．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（0，－6），⊙P的半径为2，⊙P沿y轴以2个单位长度/s的速度向正方向运动，当⊙P与x轴相切时⊙P运动的时间为（ ） A．2s B．3s C．2s或4s D．3s或4s 15．以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆．若直线与相交，则b的取值范围是（ ） A． B． C． D． C组·拓展延伸 16．在平面直角坐标系中，已知的圆心在直线上，给出下列三个结论： ①同时与轴和轴相切的有2个； ②若经过原点，则的面积的最小值为； ③若经过点，则点一定在外． 其中正确结论的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 17．以点为圆心，r为半径画圆，与坐标轴恰好有三个交点，则r应满足（ ） A．或 B． C． D． 18．如图，的圆心的坐标为，半径为1，直线的表达式为，是直线上的动点，是上的动点，则的最小值是（　　　） A． B． C． D． 19．如图，在中，，，，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 20．如图，为线段上一动点，分别以点，为圆心，的长为半径作圆，两圆的一个交点为，以为直角边，在边左侧构造，其中，为的中点，连接，．若，则的最小值为（ ） A． B． C．4 D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题30.1.1 直线与圆的位置关系 教学目标 1.掌握直线与圆、圆与圆的位置关系并能够熟练的判断。 2.理解两圆相离、相切、相交等概念，掌握圆心距d与半径r₁、r₂的等量关系并灵活应用。 3.体会动态平移中的分类讨论思想，解决相切临界及参数取值范围问题。 教学重难点 1.重点 (1) 直线与圆、圆与圆的位置关系判定及对应的数量条件； (2) 动直线、动圆在平移过程中的相切临界情况分析。 2.难点 (1) 结合坐标系、几何图形进行逆向求半径或距离的灵活应用； (2) 动态平移相切过程中，对“外切”与“内切”两种情况的准确分类。 知识点01 直线和圆的位置关系 1.回顾：点和圆的三种位置关系 由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有 (1)点P在圆内 (2)点P在圆上 (3)点P在圆外 2.直线和圆的位置关系 由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系。 下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径。 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么 (1)直线l和O相交； (2)直线l和O相切； (3)直线l和O相离； 这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定。 【即学即练】 1．点在半径为的内，则的长度不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了点与圆的位置关系，熟知当该点在圆内时，半径大于点到圆心的距离是解题的关键．根据点与圆的位置关系即可作答． 【详解】解：点在内，的半径为， ， 只有不符合题意， 故选：B． 2．如图，在的正方形网格中，点，，，均在格点上，一条圆弧经过，，三点，那么点与这条圆弧所在圆的位置关系是（ ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．在圆内或圆上 【答案】A 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，先确定圆心的位置，再求出圆的半径，进而根据点到圆心的距离和圆的半径的大小关系进行判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵圆心到三点距离相等， ∴圆心在线段的垂直平分线上， 如图，线段和的垂直平分线相交于点，点即为圆心， ∴圆的半径， ∵， ∴点在圆内， 故选：． 3．已知及其所在平面内的直线l，P为直线l上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线l的表述不正确的是（ ） A．直线l可能经过圆心O B．直线l可能与相交 C．直线l可能与相切 D．直线l可能与相离 【答案】D 【分析】根据垂线段最短得到圆心到直线的距离范围，再结合直线与圆位置关系的判定即可得出结论 【详解】解：设的半径为，圆心到直线的距离为， 由题意得，为上一点，， ∵点到直线的距离，垂线段最短， ∴，即， ∵直线与圆相离的判定条件为， ∴不可能大于， ∴直线不可能与相离． 4．如图，，P为边上的一点，且，若以P为圆心，r为半径的圆与射线只有一个公共点，则半径r的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分两种情况考虑即可． 【详解】解：如图，过点P作于点C，则， 即当时，此时与射线只有一个公共点； 如图，当时，则与射线只有一个公共点，此时; 综上，当或时，与射线只有一个公共点． 5．已知：的半径为，圆心到直线的距离为，将直线沿垂直于的方向平移，使与相切，则平移的距离是（ ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系以及平移的性质，是基础知识要熟练掌握． 根据直线和圆相切的数量关系，可得点O到l的距离为，可向上或向下平移，使l与相切，即可得出答案． 【详解】解：如图，当直线l经过点B时，， 当直线l平移至直线，且切点为点A时，此时； 当l移动到，且切点为点C时，则； 综上所述，与相切时，平移的距离是或． 故选D． 6．由于连日暴雨导致某路段积水，有一辆卡车驶入该积水路段．如图所示，已知这辆卡车的车轮外直径（包含轮胎厚度）为，车轮入水部分的弧长约为其周长的，试计算该路段积水深度（假设路面水平）． 【答案】30cm 【分析】本题考查了圆的切线的性质，弧长公式，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是正确理解题意． 设车轮与地面相切于点，连接与交于点，则垂直于路面，连接．设，先求出，然后得到，再根据直角三角形的性质得到，则． 【详解】解：设车轮与地面相切于点，连接与交于点，则垂直于路面，连接． 设，   弧等于周长的，即， ， 且， 因为路面平行于水面，所以垂直于水面， 是的平分线， ， ， ， 在中，， ， 积水深度． 知识点02 圆和圆的位置关系 1.圆与圆的五种位置关系的定义 ①两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离。 ②两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切，这个唯一的公共点叫做切点。 ③两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交。 ④两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切；这个唯一的公共点叫做切点。 ⑤两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含。 2.两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系 设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，两圆心O1O2的距离为d，则： ①两圆外离 d＞r1+r2 ②两圆外切 d=r1+r2 ③两圆相交 r1-r2＜d＜r1+r2 (r1≥r2) ④两圆内切 d=r1-r2 (r1＞r2) ⑤两圆内含 d＜r1-r2 (r1＞r2) 【注意】： (1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交； (2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点； (3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合。 【即学即练】 7．已知的半径为，的半径为，且，则与位置关系是（ ） A．内含 B．相交 C．相切 D．相离 【答案】A 【分析】本题根据两圆位置关系的判定方法，比较圆心距与两圆半径差的大小，即可得出结论，若两圆半径分别为，（），圆心距为，当时，两圆内含． 【详解】解：设的半径，的半径，两圆圆心距， ， ， 与的位置关系是内含． 8．如图，两圆与直线相切，定圆的半径是，动圆的半径是．动圆在直线上移动，当两圆相切时，，两点的距离等于（ ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两圆相切的性质，分两圆外切和两圆内切两种情况讨论，利用圆心距等于两半径之和或之差求解． 【详解】解：设圆 的半径为 ，圆 的半径为 ，则 ，． 两圆相切， 分两圆外切和两圆内切两种情况： 当两圆外切时，如图1，圆心距 ； 当两圆内切时，如图2，圆心距 ． 综上所述，， 两点的距离等于或． 9．已知两圆的半径长之比为，且当两圆内切时的圆心距为9厘米，那么当两圆的圆心距增大到18厘米时，这两圆的位置关系是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．不确定 【答案】C 【分析】本题先根据半径比设参数，利用两圆内切的性质求出两圆半径，再比较圆心距与两圆半径和、差的大小，判断两圆位置关系，用到两圆位置关系与圆心距、半径的关系知识点． 【详解】解：由于两圆的半径长之比为， 设两圆半径分别为 厘米， 厘米，其中 ， 当两圆内切时，圆心距等于两圆半径的差，且内切时圆心距为 9 厘米， ， 解得， 厘米、厘米， 厘米、厘米， 圆心距为厘米，满足， 此时两圆位置关系为相交． 10．如果外切的两圆和的半径分别为和，那么半径为，与和都相切的圆有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解：如图所示： 和和都外切的圆，可以画两个； 和内切，外切的圆可以画一个； 和内切，外切的圆可以画一个； 和，都内切的圆可以画一个，共个． 11．已知分别是的半径，d是两圆的圆心距，当时，两圆（ ） A．外切 B．内切 C．外离或内含 D．相交 【答案】A 【分析】本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是熟记两圆位置关系与圆心距d，两圆半径的数量关系间的联系． 根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径的数量关系间的联系，即可得到答案． 【详解】解：， 相切，即两圆外切． 故选：A． 12．若两圆的半径分别为和，圆心距为2，那么这两圆的位置关系是（ ） A．内切 B．外切 C．相交 D．内含 【答案】A 【分析】本题考查圆与圆的位置关系．设两圆的圆心距为P，半径为R和r，则它们的位置如下：外离，则；外切，则；相交，则；内切，则；内含，则．据此即可判断求解． 【详解】解：根据题意，圆心距， ∴两圆内切．故选：A． 题型01 判定直线与圆的位置关系 【典例1】已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】设的半径为，圆心到直线的距离为，直线与圆的位置关系：①当时，直线与相交；②当时，直线与相切；③当时，直线与相离；据此解答即可． 【详解】解：∵的半径为，圆心到直线的距离为，且， ∴直线与的位置关系是相交． 【典例2】三个半径均为的圆与直线l的位置关系如图所示，若点P在其中的某个圆上，且点P到直线l的距离为，则这个圆可以是__________ ． 【答案】或 【分析】根据直线与圆的位置关系可进行求解． 【详解】解：∵三个圆的半径均为6，点P到直线l的距离为8， 若点P在上，则点P到直线l的距离； 若点P在或上，则点P到直线l的距离可以为8． （1）考查方向：考查利用点到直线的距离d与圆的半径r的大小关系，直接判定直线与圆的相交、相切、相离三种位置关系。 （2）核心方法：熟练运用判定法则：d<r相交，d=r相切，d>r相离。解题时需注意正确提取圆心坐标并计算其到直线的距离d。 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，的圆心为坐标原点，半径为，若直线与相交，则的取值范围为（ ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、解直角三角形，关键是求出圆心到直线的距离； 求出直线与圆相切时的值，即可得出结论． 【详解】解：如图，设直线与相切，且与轴交点为，与轴交点为，过O点作于，则C为切点， 当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，直线切于点， ∴， ∵， ∴， 即， ∴若直线与相交，则. 故选：B．      【中考链接】已知平面内有和点，，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为（ ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【答案】D 【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断． 【详解】解：∵⊙O的半径为2cm，线段OA=3cm，线段OB=2cm， 即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径， ∴点A在⊙O外．点B在⊙O上， ∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切， 故选：D． 题型02 已知直线与圆的位置关系求半径的取值范围 【典例1】如图，直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题的关键是通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．根据直线与圆相交、相切、相离的定义判定．直线l与半径r的相交，且点O到直线l的距离，即可得到问题的选项． 【详解】解：∵直线l与半径r的相交，且点O到直线l的距离为6， ∴，故选：A． （1）考查方向：考查直线与圆位置关系的逆向应用。已知直线与圆的相交、相离等位置关系，反求半径r的范围，或结合函数图像求参数的临界值。 （2）核心方法：紧扣“d与r对比”的判定法则。将位置关系转化为关于r的一元一次不等式，注意相切是相交与相离的临界状态（此时d=r）。 【变式1】如图，在中，，，．以点C为圆心，r为半径作圆．若与斜边所在直线有且只有一个公共点，则r的值为（ ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】首先由勾股定理求，再用面积法求出到的距离，然后根据切线的判定定理回答即可． 【详解】解：在中，，，． ， 过点作于点， ， ， 与斜边所在直线有且只有一个公共点， 与相切，． 【中考链接】已知一次函数的图像经过第一、二、四象限，以坐标原点O为圆心、r为半径作．若对于符合条件的任意实数k，一次函数的图像与总有两个公共点，则r的最小值为______． 【答案】2 【分析】由的图像经过第一、二、四象限，可知，由过定点，可知当圆经过时，由于直线呈下降趋势，因此必然与圆有另一个交点，进而可得r的最小值是2． 【详解】解：∵的图像经过第一、二、四象限， ∴，随的增大而减小， ∵过定点， ∴当圆经过时，由于直线呈下降趋势，因此必然与圆有另一个交点， ∴r的临界点是2， ∴r的最小值是2，故答案为：2． 题型03 已知位置关系求圆心到直线的距离 【典例1】如图，已知 的半径为6，点 到矩形某条边的距离为8，则这条边可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握直线与圆的位置关系：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，若直线与圆相交；若．直线与圆相切；若直线与圆相离．过点作于E，作于F，作于G，作于H，由图可知：、与圆相交，与圆相离，与圆相切，则，，，，即可求解． 【详解】解：过点作于E，作于F，作于G，作于H， 由图可知：、与圆相交，与圆相离，与圆相切， 又∵的半径为6， ∴，，，， ∵点 到矩形某条边的距离为8，且， ∴点 到矩形某条边的距离为8，这条边可以是， 故选：C． （1）考查方向：考查圆与几何图形（如三角形、矩形、坐标系）结合时，根据图形中线段与圆的位置关系，利用已知条件反推圆心到某条直线的距离。 （2）核心方法：通常需结合图形特征（如垂径定理、勾股定理）或构造直角三角形进行求解。在几何图形中，需分清线段与圆是相交、相切还是相离，以此确定距离是小于、等于还是大于半径。 【变式1】如图，平面直角坐标系中，经过三点，点D 是上的一动点．当点 D 到弦的距离最大时，点D 的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点P作于点E，作于点F，延长交于点D，此时 点 D 到弦的距离最大，利用垂径定理，勾股定理计算即可． 本题考查了直线与圆的位置关系，矩形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，熟练掌握直线与圆的位置关系，勾股定理，垂径定理是解题的关键． 【详解】解：∵点, ∴, 过点P作于点E，作于点F，延长交于点D，此时点 D 到弦的距离最大， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴点 D 到弦的距离最大为， ∴点D的坐标为， 故选A． ． 【变式2】以点为圆心，为半径画圆，与坐标轴恰好有三个公共点，则的值为__________． 【答案】或 【分析】作轴，连结，根据勾股定理计算出，然后根据直线与圆的位置关系即可得到满足条件的的取值为且 ． 【详解】作轴，连结，如图， ∵点的坐标为， ∴，， ∴ ， ∵以点为圆心，为半径的圆与坐标轴恰好有三个公共点， ∴过点或者与轴相切， ∴ 或． 故答案为或． 【中考链接】如图，在边长为3的菱形中，，是边上的一点，且，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接．则长度的最小值是_____． 【答案】 【分析】过点M作MH⊥CD，由勾股定理可求MC的长，由题意可得点A'在以M为圆心，AM为半径的圆上，则当点A'在线段MC上时，A'C长度有最小值． 【详解】解：过点作交延长线于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ ∵将沿所在直线翻折得到， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， ∴当点在线段上时，长度有最小值 ∴长度的最小值 故答案为 题型04 判定圆与圆的位置关系 【典例1】已知两圆没有公共点，则这两圆的位置关系是（   ） A．外离 B．内含 C．外离或内含 D．内切或外切 【答案】C 【分析】本题考查了圆与圆的位置关系，根据外离或内含是两个圆没有公共点，由此即可得解，熟练掌握圆与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：若两圆没有公共点，则这两圆的位置关系是外离或内含， 故选：C ． （1）考查方向：考查根据两圆的圆心距d与两圆半径R、r的和差关系，判定两圆外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系，或反向求半径、圆心距的取值范围。 （2）核心方法：外切时d=R+r，内切时d=∣R−r∣，相交时∣R−r∣<d<R+r。注意两个圆相切时，两圆的连心线必过切点，常结合此性质与勾股定理综合运用。同时要注意区分与“点与圆”、“直线与圆”的位置关系判定逻辑，避免混淆。 【变式1】如图，已知在矩形中，，如果分别以A、C为圆心的两圆相切，且点在内，点在外，的半径的取值范围是（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题考查了点和圆的位置关系，两圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质等知识，熟练掌握两圆的位置关系是解题的关键．首先求出的半径的取值范围为，再根据两圆的圆心距是10，分内切和外切两种情况进一步即可求出答案． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形，， ∴， ∵点在内，点在外， ∴的半径的取值范围为， 当分别以A、C为圆心的两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和，是，即， ∴， 解得， 当分别以A、C为圆心的两圆内切时，圆心距等于两圆半径之差，是，即， ∴， ∴， 综上可知，的半径的取值范围是或， 故选：C． 【变式2】如图，在中，，如果以点为圆心的与以边为直径的外切，那么的半径长是___________． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆与圆的位置关系和勾股定理，明确两圆相切时，两圆的圆心连线过切点是解题的关键．连接，由与外切，则经过切点，利用勾股定理求得，然后利用勾股定理求得，进一步即可求得结果． 【详解】解：如图，连接， 与外切， 经过切点， 在中，，，， ， 为的直径， ， ， ， ， 的半径长是； 故答案为：． 【中考链接】在锐角三角形中，，，的外接圆为，且半径为5，边中点为，如果以为圆心的圆与相交，那么的半径可以为（ ） A．2 B．5 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，两圆相交的条件等知识，掌握两圆相交的条件是关键；根据题意，等腰的外接圆半径为5，由等腰三角形的性质、勾股定理求得；当与相交时，圆心距需满足条件，代入数值求解r的范围，进而确定选项． 【详解】解：如图，连接并延长交于点E， ∵，D为中点， ∴，； ∵锐角三角形中，， ∴外接圆心O在上， 连接，由勾股定理得：；      设以D为圆心的圆的半径为，相交应满足：， 即，解得：； 在此范围的半径只有选项B； 故选：B． 题型05 动直线的相切问题 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆心坐标是，将沿轴正方向平移，使与轴相切，则平移的距离为（ ） A．1 B．1或5 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径，注意分类讨论． 分圆心在轴的左侧和轴的右侧两种情况，根据半径等于圆心到直线的距离写出答案即可． 【详解】解：当位于轴的左侧且与轴相切时，此时圆心到轴的距离是，的坐标为，所以平移的距离为； 当位于轴的右侧且与轴相切时，此时圆心到轴的距离是，的坐标为，所以平移的距离为． 故选：B． （1）考查方向：考查圆心在射线上或坐标轴上平移，使得动圆恰好与某条定直线（或定圆）相切的临界问题，需计算圆心平移的距离或运动时间。 （2）核心方法：“化动为静，分类讨论”。核心要领是：找临界状态（即画出动圆刚好与目标相切的清晰图形）。动圆与定直线相切时，圆心到直线的距离等于半径；动圆与定圆相切时，圆心距等于两半径之和或差。最后根据平移方向分类讨论，不漏解。 【变式1】如图，，圆心在边上的的半径为，．若在上向点移动，当与相切时，圆心移动的距离为________． 【答案】 【分析】此题重点考查平移的性质、切线的性质定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 当移动到与相切时，设圆心为，切点为，由，，，得，最后求解即可． 【详解】解：当移动到与相切时，设圆心为，切点为，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴圆心移动的距离为． 故答案为：． 【中考链接】如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向以个单位/秒的速度平移，使与y轴相切，则平移的时间为___________秒． 【答案】2或10 【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可． 【详解】解：当位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1； ∴(秒)； 当位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5． ∴(秒)； 故答案为：2或10 题型06 动直线的相切问题 【典例1】已知的半径为，点O到直线l的距离为，把直线l向上平移______，才能使l与相切？ 【答案】2或 【分析】本题考查圆的切线，掌握相关知识是解决问题的关键．直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，据此解答即可． 【详解】解：根据题意得，或， 把直线l向上平移或才能使l与相切； 故答案为：2或 （1）考查方向：考查直线保持平行平移，使其与定圆恰好相切时的极值问题，求解直线平移的具体距离或参数的取值范围。 （2）核心方法：抓住“平移前后直线平行”的特性。已知圆心到原直线的距离为d₀，圆的半径为r。若平移后直线与圆相切，则平移后圆心到直线的新距离必等于r。据此可求得平移距离为∣r−d₀∣或r+d₀。解题过程中结合图形，仔细分析直线朝哪个方向平移才能与圆相切，进行准确的分类讨论。 【变式1】已知是以坐标原点为圆心，半径为1，函数与交于点、，点在轴上运动，过点且与平行的直线与有公共点，则的范围是______. 【答案】，且x≠0 【分析】由题意得有两个极值点，过点P与⊙O相切时，取得极值，作出切线求解即可. 【详解】将OA平移至P1D的位置，使P1D与圆相切，连接OD如下图所示： 由题意得， 故可得，即的极大值为， 同理当点P在y轴左边时也有一个极值点P2，此时取得极小值 综上可得的范围为：，且x≠0 故填：，且x≠0 【中考链接】如图，已知正方形ABCD中，两动点M和N分别从顶点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，再连接PC，若，则PC长的最小值为_________． 【答案】 【分析】先证明，得出，证出，得出点P在以AB为直径的圆上运动，运动路径一条弧，连接OC交圆O于P，此时PC最小，，由勾股定理求出，得出即可． 【详解】解：由题意得：， ∵四边形ABCD是正方形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，运动路径一条弧，是这个圆的，如图所示： 连接OC交圆O于P，此时PC最小， ， ， 由勾股定理得：， ； 故答案为：． A组·基础过关 1．已知的半径为4，若点在内，则点到圆心的距离可能为（ ） A．4 B． C．5 D．7 【答案】B 【分析】利用点在圆内的性质：点到圆心的距离小于圆的半径，判断各选项即可． 【详解】解：∵点P在⊙O内，⊙O的半径为4， ∴点P到圆心O的距离d满足； A选项，不符合要求； B选项，即，符合要求； C选项，不符合要求； D选项，不符合要求． 2．若的半径为5，圆心O到直线的距离为2，则直线与的位置关系是________．（填“相交”、“相切”或“相离”） 【答案】相交 【分析】本题考查直线和圆的位置关系．设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和相交⇔，②直线l和相切⇔，③直线l和相离⇔．据此判断即可． 【详解】解：∵的半径为5，圆心到直线的距离为2， ∴, ∴直线与圆相交， 故答案为：相交． 3．已知点坐标为，如果半径为的与轴无公共点，与轴有公共点，那么的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系；根据圆与坐标轴的位置关系，利用圆心到直线的距离与半径的关系列不等式求解． 【详解】解：圆心到x轴的距离为， 由于圆与x轴无公共点， 故圆心到x轴的距离大于半径，即； 圆心到y轴的距离为1，由于圆与y轴有公共点， 故圆心到y轴的距离小于或等于半径，即； 因此，r的取值范围是． 故答案为：． 4．已知与直线没有公共点，若的半径为5，则圆心到直线的距离可以是（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】圆与直线的位置关系由圆心到直线的距离和圆半径的大小关系决定：当时，圆与直线相离，无公共点；当时，圆与直线相切，有一个公共点；当时，圆与直线相交，有两个公共点． 【详解】解：∵与直线没有公共点， ∴与直线相离， 已知的半径， ∴圆心到直线的距离， 观察选项，只有选项A中的6满足， 故选：A． 5．如图，直线、相交于点，，的半径为，且，如果以的速度沿由向的方向移动，则___________秒时与直线相切． 【答案】2或6 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系：直线与圆有三种位置关系（相切、相交、相离）．也考查了切线的性质和直角三角形的性质．分类讨论：当点在 点左侧，与相切时，过作于，根据切线的性质得到，再利用得到，则的圆心在直线上向右移动了后与相切，即可得到移动所用的时间；当点在 点右侧，与相切，同前面一样易得到此时移动所用的时间． 【详解】解：当点在 点左侧，与相切时，过作于，如图， ， ， ， 的圆心在直线上向右移动了后与相切， 移动所用的时间（秒）； 当点在 点右侧，与相切，如图， 同理，得的圆心在直线上向右移动了后与相切， 移动所用的时间（秒）． 故答案为：2或6． 6．如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（　　） A．1 B．1或2 C．3 D．1或3 【答案】D 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，通过垂径定理把求线段的长的问题转化为解直角三角形的问题是关键．作于点，由垂径定理即可求得的长，根据勾股定理即可求得的长，再分点向上平移与向下平移两种情况进行讨论即可． 【详解】解：连接，作于点，由垂径定理得： ， 在直角中，由勾股定理得：， 即， ， 的半径是2． 将向上平移，当与轴相切时，平移的距离； 将向下平移，当与轴相切时，平移的距离． 故选：D 7．如图，以坐标原点为圆心，2为半径作圆，直线与相交，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查直线与圆的交点问题，求出相切时的b的值是解题的关键． 分别求出直线与圆相切，且直线经过一，二，四象限时的b的值和直线与圆相切，且直线经过二，三，四象限时b的值，即可确定出b的取值范围． 【详解】解：如图，直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，， ∴； 当时，， 解得 ∴； ∴， ∴为的等腰直角三角形， 当直线与相切时，切点为点， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 同理，当直线经过二、三、四象限时， ∴的取值范围是， 故答案为：． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在以点为圆心，半径为的圆上运动，且满足，则的最大值为____________． 【答案】11 【分析】本题考查了圆的基本性质以及圆与圆之间的关系，能够找准两个圆之间的位置关系是解题关键； 先根据直径所对的圆周角为直角确定好在以为直径，为圆心的圆上运动，此时直径为，半径为，再通过两个圆的位置关系即可求解． 【详解】解：如图，找中点，连接， ∵，， ∴的中点， ∵， ∴在以为直径，为圆心的圆上运动，此时直径为，半径为， ∴为和的交点， 当和内切时，m有最大值， 则的半径为：， ∵， ∴， ∴此时的半径为：， ∴的最大值为11． 故答案为：11． 9．如图，在中，，，为边上一点，，，的半径为1，当所在直线与相切、相离时，分别求出的取值范围． 【答案】当所在直线与相切时，；当所在直线与相离时， 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、含30度的直角三角形，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键． 过点作于点，则，根据三角形内角和定理可得，则有，由题意得，再分所在直线与相切或相离两种情况讨论，即可求出的取值范围． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∵，， ∴， ∴在中，， ∵为边上一点，， ∴， ∵的半径为1， ∴当所在直线与相切时，则，即，解得； 当所在直线与相离时，则，即，解得， ∴； ∴综上所述，当所在直线与相切时，；当所在直线与相离时，． 10．【阅读】两汉文化看徐州，小军在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到： 玉璧、玉环等器物为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，如图1，雷纹玉环就是徐州一个古代的玉环文物；其主视图就是一个标准的圆环，其中大圆称为外圆、小圆称为内圆（类似于图2、3、4）． 【作图】 （1）图2是一个圆环，请在图2中，仅用无刻度直尺作出圆环内两条相等的线段，并用字母表示出来； （2）图3是一个圆环，请用无刻度的直尺和圆规在图3中找出该圆环的中心； 【探究】 （3）如图4是内圆半径、外圆半径的圆环；点A是内圆上的任意一点，如果以A为圆心、一定长度m为半径画圆，与该圆环的内圆与外圆共有k个交点．请直接写出k的值以及对应m的范围． 【答案】 （1）如图所示：， （2）如图，点即为所求， （3）当时，． 当时，． 当时，． 【分析】本题考查了圆的性质、垂径定理、圆与圆的关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据圆的性质作图即可； （2）根据“垂径定理”作图 （3）根据圆与圆的关系求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）作弦、的垂直平分线的交点，点即为所求， （3）如图： 由图可得：当时，． 当时，． 当时，． B组·能力提升 11．中，，，，以点C为圆心，以2为半径画圆，则直线与的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，通过计算圆心C到直线的距离，与半径比较判断位置关系． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴边上的高为， 即圆心到直线的距离是， ∵， ∴直线与相离， 故选：A． 12．如图所示，在中，，，，以为圆心，为半径的圆与边有公共点，则的取值范围为（　　） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理以及直角三角形的性质，作于，由勾股定理求出，由三角形的面积求出，由可得以为圆心，或为半径所作的圆与斜边只有一个公共点；若与斜边有公共点，即可得出的取值范围，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：作于，如图： ， 的面积 即圆心到的距离 ∴以为圆心，或为半径所作的圆与斜边只有一个公共点， ∴若与斜边有公共点，则的取值范围是：， 故选：D． 13．如图，在平面直角坐标系中，的圆心是，半径为2，函数的图象被截得的弦的长为，则a的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于，过点作轴于，交于，连接．分别求出、，相加即可． 【详解】解：过点作于，过点作轴于，交于，连接． ，，半径为2， ，， 根据勾股定理得：， 点在直线上， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 的圆心是， ． 故选：C． 14．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（0，－6），⊙P的半径为2，⊙P沿y轴以2个单位长度/s的速度向正方向运动，当⊙P与x轴相切时⊙P运动的时间为（ ） A．2s B．3s C．2s或4s D．3s或4s 【答案】C 【分析】平移分在x轴的下方和x轴的上方两种情况写出答案即可． 【详解】解：当⊙P位于x轴的下方且与x轴相切时，平移的距离为2s； 当⊙P位于x轴的上方且与x轴相切时，平移的距离为4s． 故选C． 15．以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆．若直线与相交，则b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线与⊙O相切时b的值，即可求出b的取值范围． 【详解】解：当直线与圆相切，且函数图象经过一、二、四象限时，如图： 在中， 令时，，则与y轴的交点是， 当时，，则与x轴的交点是， 则，即是等腰直角三角形． 连接圆心和切点，则， 则．即； 同理，当直线与圆相切，且函数图象经过二、三、四象限时，． 则若直线与相交时，的取值范围是． 故选：． C组·拓展延伸 16．在平面直角坐标系中，已知的圆心在直线上，给出下列三个结论： ①同时与轴和轴相切的有2个； ②若经过原点，则的面积的最小值为； ③若经过点，则点一定在外． 其中正确结论的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系的应用，掌握圆和直线的位置关系是解题的关键． 结论①需找圆心在直线上且与两轴相切的圆，由相切时到、轴距离相等列出方程求解即可；结论②求圆过原点时面积最小值，由两点距离公式得出半径的表达式，求半径最小值即可得出面积最小值；结论③判断点是否在圆外，通过比较距离的平方即可． 【详解】解：∵圆心在直线上，设圆心为，则， ①圆与轴和轴相切， ∴ ， 若，代入得，解得，，圆心，半径4； 若，代入得，解得，，圆心，半径； ∴有个这样的圆，故①正确； ②圆过原点，半径， 令，最小值在时，， ∴，面积最小值为，故②错误； ③圆过点，半径， 点到圆心距离， ∵， ∴， ， ∵， ∴点在圆外，故③正确； ∴正确结论个数为， 故选C． 17．以点为圆心，r为半径画圆，与坐标轴恰好有三个交点，则r应满足（ ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用是解题的关键． 由题意可得与轴相切或过原点，然后分别分析求解即可求得答案． 【详解】解：以点为圆心，为半径画圆，与坐标轴恰好有三个交点， 与轴相切或过原点． 如图①，当与轴相切时，； 如图②，当过原点时，． 综上所述，应满足或． 故选：A． 18．如图，的圆心的坐标为，半径为1，直线的表达式为，是直线上的动点，是上的动点，则的最小值是（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出点到直线的距离即可求得的最小值． 【详解】解：过点作直线，交圆于点，此时的值最小，连接、，作于，于， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， 设，，则， ∵，， ∴，， 解得：， ∵的半径为1， ∴， 故选：A． 19．如图，在中，，，，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作垂足为P交⊙O于F，此时垂线段OP最短，PF最小值为，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，根据图形与圆的性质即可求解. 【详解】如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作垂足为P交⊙O于F， 此时垂线段OP最短，PF最小值为， ∵，， ∴ ∵， ∴ ∵点O是AB的三等分点， ∴，， ∴， ∵⊙O与AC相切于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴MN最小值为， 如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长， MN最大值， , ∴MN长的最大值与最小值的和是6． 故选B． 20．如图，为线段上一动点，分别以点，为圆心，的长为半径作圆，两圆的一个交点为，以为直角边，在边左侧构造，其中，为的中点，连接，．若，则的最小值为（ ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查圆的半径性质、等边三角形判定与性质、直角三角形斜边中线定理、线段垂直平分线判定、垂线段最短原理，以及含角直角三角形的性质．先由圆的半径相等推出为等边三角形，得到；再利用直角三角形斜边中线定理，结合线段垂直平分线判定，确定点在的平分线上运动；最后根据“垂线段最短”，找到垂直于时的最小值，结合含角直角三角形的性质，算出最小值为． 【详解】解：如图，连接，，过点作， 分别以点，为圆心，的长为半径作圆，两圆的一个交点为， ， 是等边三角形， ， 为的斜边的中点， ， 为的边的垂直平分线， ，即点在的平分线上运动， 根据从直线外的一点到直线的垂线段是所有连接该点与直线的线段中最短的，则当点与点重合时，有最小值，此时． 故选：C． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $