2.2 算术平方根的非负性、估算算术平方根的取值范围、与算术平方根有关的规律探索题专项训练 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦算术平方根核心考点，构建"概念理解-性质应用-规律探究"三阶训练体系，通过区域真题典例培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |算术平方根的非负性|4例+4变式|结合代数求值、三角形边长等综合应用|以非负性概念为基础，通过方程思想解决多情境问题| |估算算术平方根的取值范围|3例+3变式|取值范围判断、数轴表示、近似计算|基于平方数性质，运用夹逼法实现数与形的转化| |与算术平方根有关的规律探索题|3例+3变式|等式归纳、计算应用、拓展证明|从特殊等式观察到一般规律抽象，发展数学表达与创新意识|

算术平方根的非负性、估算算术平方根的取值范围、与算术平方根有关的规律探索题专项训练 算术平方根的非负性、估算算术平方根的取值范围、与算术平方根有关的规律探索题专项训练 考点目录 算术平方根的非负性 估算算术平方根的取值范围 与算术平方根有关的规律探索题 考点一 算术平方根的非负性 例1．（26-27八年级上·四川达州·开学考试）已知，则（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据绝对值、算术平方根的非负性即可解出、的值，再把、的值代入，计算即可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 例2．（26-27八年级上·内蒙古巴彦淖尔·开学考试）若，则 的值为（     ） A． B．1 C．5 D． 【答案】A 【分析】根据算术平方根与平方的非负性，两非负式之和为0则两式分别为0，进而求出a,b的值． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 例3．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）若，则的值为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】利用非负数的性质求出与的值，然后计算的值即可． 【详解】解：， ∵，， ∴，且， ∴，， ∴． 例4．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）若x，y为实数，且，则的值是_________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质求出x、y的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式1．（25-26八年级下·河北保定·期末）已知，，是一个三角形的三条边，且满足，则这个三角形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用绝对值、平方数、算术平方根的非负性求出三角形三边长，再根据勾股定理逆定理判断三角形形状，最后计算三角形面积． 【详解】解：∵，且，，， ∴ ，，， 解得，，， ∵，即， ∴该三角形是直角三角形，和为直角边， ∴三角形面积． 变式2．（25-26八年级下·辽宁营口·期末）若实数，满足，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据二次根式有意义的条件得，则， 代入，得， ． 变式3．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）若一直角三角形的两边长x，y满足，则此三角形第三边的边长为（     ） A． B．3或 C．3或 D．或 【答案】D 【分析】先利用非负数的性质求出x和y的值，再分两种情况结合勾股定理计算第三边，需要考虑已知两边均为直角边，或较长边为斜边两种情况． 【详解】解：∵，，且 ∴，， 解得， 分两种情况计算第三边： (1)当，都为直角边时，第三边为斜边，由勾股定理得： 第三边长， (2)当为斜边，为直角边时，第三边为另一条直角边，由勾股定理得： 第三边长， ∴此三角形第三边的边长为或． 变式4．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）已知实数和满足，则的值为__________． 【答案】 【分析】利用算术平方根的非负性，先求出的取值，再代入等式求出的值，最后代入所求式子计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 即， 解得， 将代入，得． 考点二 估算算术平方根的取值范围 例1．（26-27八年级上·黑龙江绥化·开学考试）估计的值（     ） A．在1到2之间 B．在2到3之间 C．在3到4之间 D．在4到5之间 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 例2．（26-27八年级上·河南周口·开学考试）估算的值在（     ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．12和13之间 【答案】C 【分析】找到与11相邻的两个完全平方数，确定的取值范围，进而推导的范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 例3．（2026·湖南娄底·模拟预测）公元3世纪，我国古代数学家就能利用近似公式得到无理数的近似值，例如：化为，再由近似公式得到，若利用此公式计算的近似值时，取正整数，且取尽可能大的正整数，则___________． 【答案】 【分析】将整理为的形式，根据要求确定和的值，代入给定近似公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴中，，． ∴． 变式1．（25-26八年级上·广东茂名·阶段检测）如图，数轴上被手掌遮挡住的数可能是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察数轴确定被遮挡数的取值范围． 【详解】解：由图可知，被手掌遮挡住的数在2与3之间． ， 该数应满足， A．，不合题意， B．，不合题意， C．，符合题意， D．，不合题意． 变式2．（25-26七年级下·云南昭通·期末）已知整数满足：，参考下表数据，判断的值为（    ） 43 44 45 46 1849 1936 2025 2116 A．46 B．45 C．44 D．43 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵整数满足， ∴． 变式3．（2026·河北邯郸·三模）用边长是的正方形地砖，铺设面积是的正方形平整地面．首先用整块地砖铺设，且保证地砖边缘与正方形地面的边缘平行，当不能铺进完整地砖时，需要把多余的部分裁掉，每块地砖裁掉部分不再使用．若铺满这个地面且所用地砖最少（地砖之间的缝隙忽略不计），则被裁掉的部分面积之和是________． 【答案】 【分析】根据正方形的面积求得边长，根据，得出覆盖这个地面且所用地砖最少就需要块，进而求得被裁掉的部分面积之和． 【详解】解：∵地面的面积是， ∴其边长是．而， 覆盖这个地面且所用地砖最少就需要块，则需要的地砖的面积为． ∴被裁掉的部分面积之和是． 考点三 与算术平方根有关的规律探索题 例1．（25-26八年级上·湖北荆门·阶段检测）在《实数》的复习课上，张老师鼓励学生对下面一个问题展开探究活动， 【观察思考】仔细观察下列等式特征，探索规律， 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… (1)【规律发现】_____； (2)用含字母n的式子表示第n个等式：______（且n为整数）； (3)【规律应用】计算：______； (4)若符合上述规律，则x的值为______． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据发现的规律即可求解； （2）根据发现的规律即可用代数式表示； （3）根据规律计算出每个因数，再相乘即可； （4）根据规律计算出等式左边的结果，可求得n的值，即可求得x的值． 【详解】（1）解：； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ……， 第n个等式：； （3）解： ； （4）解：∵， ∴， 即， 解得， ∴． 例2．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）观察下列各式： ； ； ； ． 请你根据上面四个等式提供的信息，解答下列问题： (1)_____________________________； (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式：___________________； (3)利用上述规律计算：； (4)求：． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】（1）根据已知等式的规律可得结论； （2）根据已知等式的规律可得结论； （3）先将化为，再根据已知等式的规律可得答案； （4）运用进行计算即可． 【详解】（1）解：， （2）解：； ； ； ． …… ； （3）解： ． （4）解： ． 例3．（25-26八年级下·广西南宁·期中）观察下列各式： ；； 请观察以上三个等式提供的信息解答下列问题： (1)猜想：__________； (2)归纳：根据猜想写一个用n（n表示正整数）表示的等式 ___________； (3)应用计算： (4)拓展应用：化简下列式子 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据题干中的等式即可得出答案； （2）由已知等式总结规律即可； （3）将原式变形后利用所得规律即可得出答案； （4）原式利用所得规律化简后计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：由已知等式得； （3）解： ； （4）解： ． 变式1．（25-26八年级下·福建福州·期中）先观察下列等式： ①； ②； ③． 解答下列问题： (1)根据上面等式提供的信息，猜想出第④个式子是：______； (2)化简下列式子：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据规律写出第④个式子即可求解； （2）根据规律化简每项，再相加即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：原式 变式2．（25-26八年级上·福建三明·期末）阅读以下材料，解决以下问题： ①和为相邻两个整数，则有：； ②和为相邻两个整数，则有：； ③和为相邻两个整数，则有：．… (1)若的值和的值为两个相邻整数，则．则______． (2)猜想并证明结论： 结论：若的值和的值为相邻的两个整数，其中，则有______． 证明：∵的值和的值为相邻的两个整数，可设______， ∴…… 请补全小明的证明过程． (3)若的值和的值为相差3的两个整数，求m的值． 【答案】(1) (2) 解：结论： 证明：∵的值和的值为相邻的两个整数，可设， ∴两边同时平方，得， ∴， ∴． (3) 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，解决本题的关键是读懂题意找到规律并建立等式求解． （1）根据运算求解即可． （2）由的值和的值为相邻的两个整数，设，两边同时平方整理化简即可． （3）根据相差3可建立等式，再两边同时平方求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，则， 可得，解得 （2）略 （3）解：依题意，得， ∴两边同时平方，得， ∴， ∴， ∴． 变式3．（25-26八年级上·福建漳州·阶段检测）【实践与探究】 计算：（1） ______， ______， ______， ______． 【归纳与应用】 （2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与a有怎样的关系？请用数学式子描述出来； （3）利用你总结的规律，计算： ①若，则______；②______． 【答案】（1）3，0.5，0，6；（2）；（3）①，② 【分析】本题考查了算术平方根的定义，实数的绝对值，规律的探索及规律的应用；正确掌握算术平方根的定义是关键． （1）直接计算算术平方根即可； （2）根据（1）中的计算即可得到规律，并可用字母表示出来； （3）①直接利用总结出的规律计算即可； ②直接利用总结出的规律计算即可． 【详解】（1）解：，，，； （2）解：规律：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值； 用数学式子表示为：； （3）解：①当时，， ∴； 故答案为：； ②； 故答案为：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $算术平方根的非负性、估算算术平方根的取值范围、与算术平方根有关的规律探索题专项训练 算术平方根的非负性、估算算术平方根的取值范围、与算术平方根有关的规律探索题专项训练 考点目录 算术平方根的非负性 估算算术平方根的取值范围 与算术平方根有关的规律探索题 考点一 算术平方根的非负性 例1．（26-27八年级上·四川达州·开学考试）已知，则（     ） A．1 B． C．2 D． 例2．（26-27八年级上·内蒙古巴彦淖尔·开学考试）若，则 的值为（     ） A． B．1 C．5 D． 例3．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）若，则的值为（     ） A． B． C． D．无法确定 例4．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）若x，y为实数，且，则的值是_________． 变式1．（25-26八年级下·河北保定·期末）已知，，是一个三角形的三条边，且满足，则这个三角形的面积是（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·辽宁营口·期末）若实数，满足，，则的值为（     ） A． B． C． D． 变式3．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）若一直角三角形的两边长x，y满足，则此三角形第三边的边长为（     ） A． B．3或 C．3或 D．或 变式4．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）已知实数和满足，则的值为__________． 考点二 估算算术平方根的取值范围 例1．（26-27八年级上·黑龙江绥化·开学考试）估计的值（     ） A．在1到2之间 B．在2到3之间 C．在3到4之间 D．在4到5之间 例2．（26-27八年级上·河南周口·开学考试）估算的值在（     ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．12和13之间 例3．（2026·湖南娄底·模拟预测）公元3世纪，我国古代数学家就能利用近似公式得到无理数的近似值，例如：化为，再由近似公式得到，若利用此公式计算的近似值时，取正整数，且取尽可能大的正整数，则___________． 变式1．（25-26八年级上·广东茂名·阶段检测）如图，数轴上被手掌遮挡住的数可能是（） A． B． C． D． 变式2．（25-26七年级下·云南昭通·期末）已知整数满足：，参考下表数据，判断的值为（    ） 43 44 45 46 1849 1936 2025 2116 A．46 B．45 C．44 D．43 变式3．（2026·河北邯郸·三模）用边长是的正方形地砖，铺设面积是的正方形平整地面．首先用整块地砖铺设，且保证地砖边缘与正方形地面的边缘平行，当不能铺进完整地砖时，需要把多余的部分裁掉，每块地砖裁掉部分不再使用．若铺满这个地面且所用地砖最少（地砖之间的缝隙忽略不计），则被裁掉的部分面积之和是________． 考点三 与算术平方根有关的规律探索题 例1．（25-26八年级上·湖北荆门·阶段检测）在《实数》的复习课上，张老师鼓励学生对下面一个问题展开探究活动， 【观察思考】仔细观察下列等式特征，探索规律， 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… (1)【规律发现】_____； (2)用含字母n的式子表示第n个等式：______（且n为整数）； (3)【规律应用】计算：______； (4)若符合上述规律，则x的值为______． 例2．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）观察下列各式： ； ； ； ． 请你根据上面四个等式提供的信息，解答下列问题： (1)_____________________________； (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式：___________________； (3)利用上述规律计算：； (4)求：． 例3．（25-26八年级下·广西南宁·期中）观察下列各式： ；； 请观察以上三个等式提供的信息解答下列问题： (1)猜想：__________； (2)归纳：根据猜想写一个用n（n表示正整数）表示的等式 ___________； (3)应用计算： (4)拓展应用：化简下列式子 变式1．（25-26八年级下·福建福州·期中）先观察下列等式： ①； ②； ③． 解答下列问题： (1)根据上面等式提供的信息，猜想出第④个式子是：______； (2)化简下列式子：． 变式2．（25-26八年级上·福建三明·期末）阅读以下材料，解决以下问题： ①和为相邻两个整数，则有：； ②和为相邻两个整数，则有：； ③和为相邻两个整数，则有：．… (1)若的值和的值为两个相邻整数，则．则______． (2)猜想并证明结论： 结论：若的值和的值为相邻的两个整数，其中，则有______． 证明：∵的值和的值为相邻的两个整数，可设______， ∴…… 请补全小明的证明过程． (3)若的值和的值为相差3的两个整数，求m的值． 变式3．（25-26八年级上·福建漳州·阶段检测）【实践与探究】 计算：（1） ______， ______， ______， ______． 【归纳与应用】 （2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与a有怎样的关系？请用数学式子描述出来； （3）利用你总结的规律，计算： ①若，则______；②______． 2 学科网（北京）股份有限公司 $