2.2平方根与立方根 分层训练 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 分层设计覆盖平方根与立方根概念辨析、性质应用及拓展探究，以题载法构建从基础到创新的思维链，培养抽象能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础夯实|选择1-10、填空11-14、解答15-17|定义辨析（如算术平方根与平方根区别）、开方运算（平方/立方逆运算）|从概念生成（平方根、立方根定义）到性质归纳（正/0/负数根的个数）| |能力提优|选择18-23、填空24-26、解答27-29|方程思想（如(x-2)²=49求解）、估算策略（如√97范围判断）|性质应用（平方根互为相反数）到实际建模（面积体积计算）| |压轴拓展|30-31|程序推理（连续开平方）、新定义探究（双整根数）|跨情境迁移（逆向思维、规律探究），发展创新意识|

八年级数学 · 2.2 平方根与立方根 · 分层训练 平方根与立方根分层训练 · 夯实基础 · 能力提优 · ★压轴拓展 · 第一部分（必做） 一、选择题（共 10 题） 1．下列说法正确的是（　　） A．=±8　　B．64的平方根是±8　　C．=2　　D．−4没有立方根 2．的算术平方根是（　　） A．±　　B．　　C．　　D． 3．如图，正方形的面积为12.25 dm²，边长为x dm，则x的值为（　　） A．3　　B．3.5　　C．6.125　　D．12.25 4．如图，一个正方体的体积为216 cm³，棱长为a cm，则a的值为（　　） A．3　　B．6　　C．18　　D．36 5．若x²=81，且x<0，则x的值为（　　） A．−9　　B．9　　C．±9　　D．−81 6．一个正数的两个平方根分别为2m−1和m−5，则m的值为（　　） A．−2　　B．1　　C．2　　D．3 7．+的值是（　　） A．−1　　B．0　　C．0.5　　D．1 8．已知9.8²=96.04，9.9²=98.01，则的范围是（　　） A．9.7<<9.8　　B．9.8<<9.9　　C．9.9<<10　　D．10<<10.1 9．如图是一个数值转换程序，当输入x=625时，输出y的值为（　　） A．1　　B．2　　C．3　　D．5 10．下列说法：①0的平方根只有0；②任何正数都有两个平方根，且互为相反数；③负数没有立方根；④若一个数的立方根是−4，则这个数是−64。其中正确的有（　　） A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 二、填空题（共 5 题） 11．=________。 12．的平方根是________。 13．=________。 14．若=5，则a=________。 三、解答题（共 3 题） 15．根据平方根、算术平方根和立方根的意义完成下列问题。 （1）完成下表（没有平方根或算术平方根的填“无”）； 数 a a的平方根 a的算术平方根 a的立方根 64 0 −125 729 （2）结合表中结果，分别概括正数、0和负数的平方根与立方根的个数特点。 16．利用平方根或立方根的意义求下列方程中x的值。 （1）(x−2)²=49； （2）2(x+1)³=−16。 17．如图，一块正方形铺装板的面积为2.25 m²，一个正方体样品箱的体积为0.512 m³。 （1）分别求铺装板的边长s和样品箱的棱长a； （2）铺装板的边长比样品箱的棱长长多少米？ 第二部分（必做） 四、选择题（共 6 题） 18．已知=4，=−2，则a+b的值为（　　） A．−1　　B．0　　C．1　　D．33 19．若+(n+3)²=0，则m−n的值为（　　） A．−5　　B．−1　　C．1　　D．5 20．已知=1.6，则的值为（　　） A．0.016　　B．0.16　　C．1.6　　D．16 21．的值为（　　） A．0.004　　B．0.04　　C．0.4　　D．4 22．一个正方形的面积由49 cm²增加到121 cm²，则它的边长增加了（　　） A．2 cm　　B．4 cm　　C．6 cm　　D．72 cm 23．如图，用125个完全相同的小正方体拼成一个大正方体，则大正方体每条棱上有小正方体（　　） A．3个　　B．4个　　C．5个　　D．25个 五、填空题（共 4 题） 24．若=−3，则x=________。 25．一个正方形的面积大于50 cm²且小于65 cm²，若它的边长为整数厘米，则这个正方形的面积为________cm²。 26．已知250047是某个两位正整数的立方，且60³<250047<70³；在0～9这10个数字中，只有3的立方的个位数字是7。则=________。 六、解答题（共 3 题） 27．如图，一块正方形草坪的面积为162 m²，现要沿草坪四周安装围栏。 （1）估计草坪边长（精确到0.1 m）； （2）准备51 m长的围栏是否够用？请说明理由。 28．一个正数M的两个平方根分别为3a−2和a−6，另一个数N的立方根为a+1。 （1）求a和M的值； （2）求N的值。 29．某科技社团采用近似公式T=2研究简易摆钟，其中T表示摆动周期（s），l表示摆长（m）。 （1）当l=2.25 m时，求T；（2）若希望T=4 s，求摆长l。 第三部分（选做·附加） 30．如图，设计一个“连续开平方”程序：输入正整数x，计算它的算术平方根y；若y为整数，就令x=y并重复上述步骤；若y不是整数，就输出当前的x。 （1）输入81，写出程序运行过程和输出结果； （2）输入65536，程序共执行几次“令x=y”？最后输出什么数？ （3）若程序恰好执行3次“令x=y”后输出2，求最初输入的x。 31．定义：若一个正整数n的算术平方根和立方根都是正整数，则称n为“双整根数”。 （1）判断64和216是否为“双整根数”，并说明理由； （2）求不超过1000的所有“双整根数”；（3）求其中最大“双整根数”的算术平方根与立方根之和。 详细答案与解析 第一部分（必做） 1．答案：B 解析：表示64的算术平方根，所以=8；64的两个平方根是8和−8，即±8。=−2，且负数也有唯一的立方根。因此B正确。 2．答案：B（） 解析：因为≥0，且()²=，所以的算术平方根是。平方根才写成±。 3．答案：B（3.5） 解析：设正方形边长为x dm，则x²=12.25。边长为正数，所以x==3.5。 4．答案：B（6） 解析：设正方体棱长为a cm，则a³=216。因为6³=216，所以a==6。 5．答案：A（−9） 解析：由x²=81可知x=±9。题中又给出x<0，因此只能取x=−9。 6．答案：C（2） 解析：一个正数的两个平方根互为相反数，所以(2m−1)+(m−5)=0，解得3m−6=0，即m=2。此时两个平方根为3和−3，符合题意。 7．答案：B（0） 解析：=−0.5，=0.5，所以+=−0.5+0.5=0。 8．答案：B 解析：已知9.8²=96.04<97<98.01=9.9²，且平方根比较的是非负数，所以9.8<<9.9。 9．答案：C（3） 解析：按程序依次计算：=25，25+2=27，=3，因此输出y=3。 10．答案：C（3个） 解析：①0的平方根只有0，正确；②正数有两个互为相反数的平方根，正确；③负数有立方根，故错误；④由=−4可得a=(−4)³=−64，正确。共有3个正确说法。 11．答案：0.09 解析：0.09²=0.0081，且0.09≥0，所以=0.09。 12．答案：± 解析：()²=，(−)²=，因此的平方根是±。 13．答案：−15 解析：因为(−15)³=−3375，所以=−15。 14．答案：8 解析：由=5，得3a+1=25，所以3a=24，a=8；代入后被开方数为25，符合题意。 15．答案：（1）见解析；（2）见解析。 解析：（1）64：平方根±8，算术平方根8，立方根4；0：三者均为0；−125：没有平方根和算术平方根，立方根为−5；729：平方根±27，算术平方根27，立方根9。（2）正数有两个互为相反数的平方根，其中正的一个是算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根；任意实数都有且只有一个立方根。 16．答案：（1）x=9或x=−5；（2）x=−3。 解析：（1）(x−2)²=49，所以x−2=±7，得x=9或x=−5。（2）2(x+1)³=−16，所以(x+1)³=−8，x+1==−2，得x=−3。 17．答案：（1）s=1.5 m，a=0.8 m；（2）0.7 m。 解析：（1）正方形边长s==1.5 m；正方体棱长a==0.8 m。（2）1.5−0.8=0.7 m。 第二部分（必做） 18．答案：C（1） 解析：由=4得a−1=16，所以a=17；由=−2得b+8=−8，所以b=−16。因此a+b=17−16=1。 19．答案：D（5） 解析：≥0，(n+3)²≥0，两项之和为0，只能两项都为0。于是m−2=0，n+3=0，得m=2，n=−3，所以m−n=5。 20．答案：B（0.16） 解析：可直接检验：0.16²=0.0256，且0.16≥0，所以=0.16。 21．答案：B（0.04） 解析：0.04³=0.000064，因此=0.04。 22．答案：B（4 cm） 解析：原正方形边长为=7 cm，新正方形边长为=11 cm，所以边长增加11−7=4 cm。 23．答案：C（5个） 解析：设大正方体每条棱上有n个小正方体，则共有n³个小正方体。由n³=125，得n==5。 24．答案：−12 解析：由=−3可得2x−3=(−3)³=−27，所以2x=−24，x=−12。 25．答案：64 解析：设边长为整数n cm，则50<n²<65。因为7²=49，8²=64，9²=81，所以只有n=8符合条件，面积为8²=64 cm²。 26．答案：63 解析：由60³<250047<70³可知其立方根是60到70之间的整数；250047的个位是7，而题目已给出只有个位为3的整数立方后个位为7，因此该整数的个位是3。故=63；检验63³=250047。 27．答案：（1）约12.7 m；（2）够用。 解析：（1）设边长为x m，则x=。因为12.7²=161.29<162<162.5625=12.75²，所以12.7<x<12.75，精确到0.1 m为12.7 m。（2）周长4x<4×12.75=51 m，因此51 m长的围栏够用。 28．答案：（1）a=2，M=16；（2）N=27。 解析：（1）同一正数的两个平方根互为相反数，所以(3a−2)+(a−6)=0，得4a−8=0，a=2。此时两个平方根为4和−4，所以M=16。（2）N的立方根为a+1=3，因此N=3³=27。 29．答案：（1）3 s；（2）4 m。 解析：（1）当l=2.25时，T=2=2×1.5=3 s。（2）由4=2，得=2，因此l=2²=4 m。 第三部分（选做·附加） 30．答案：（1）81→9→3，输出3；（2）4次，输出2；（3）256。 解析：（1）=9为整数，令x=9；=3为整数，令x=3；不是整数，所以输出3。（2）65536→256→16→4→2，共执行4次“令x=y”，而不是整数，输出2。（3）从输出2逆推3次：2²=4，4²=16，16²=256，所以最初输入x=256；运行为256→16→4→2，恰好3次。 31．答案：（1）64是，216不是；（2）1，64，729；（3）36。 解析：（1）=8，=4，均为正整数，所以64是“双整根数”；=6，但不是整数，所以216不是。（2）不超过1000的完全立方数为1³，2³，…，10³，即1，8，27，64，125，216，343，512，729，1000；其中同时是完全平方数的只有1，64，729。（3）最大者为729，=27，=9，二者之和为36。 分层训练 · 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $