专题01 探索勾股定理《典例全解·题型通关》（十大题型30道题）2026-2027学年八年级上册数学北师大版

**基本信息** 聚焦勾股定理十大核心应用，以30道题构建从基础计算到实际问题的递进训练体系，渗透几何直观与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解三角形|3题|已知两边求第三边|概念直接应用| |图形面积|3题|以三边为边的正方形/半圆面积|定理几何意义延伸| |平方和差|3题|求线段平方关系|代数形式转化| |证明线段关系|3题|结合垂直等条件证明|逻辑推理深化| |证明方法|3题|判断证明图形/推导恒等式|定理本源探究| |弦图计算|3题|直角三角形与正方形面积关系|经典模型应用| |构造图形|3题|折叠/古代问题构造直角三角形|建模思想培养| |旗杆高度|3题|绳长/激光测距求高度|竖直情境应用| |小鸟飞行距离|3题|两树/楼顶间最短路径|水平情境应用| |大树折断高度|3题|折断后剩余与顶端距离求原高|综合情境应用|

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题01 探索勾股定理（十大题型30道题） 目录 知识点一用勾股定理解三角形 1 知识点二以直角三角形三边为边长的图形面积 2 知识点三利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 3 知识点四利用勾股定理证明线段平方关系 4 知识点五勾股定理的证明方法 5 知识点六以弦图为背景的计算题 6 知识点七用勾股定理构造图形解决问题 7 知识点八求旗杆高度 8 知识点九求小鸟飞行距离 9 知识点十求大树折断前的高度 10 知识点一用勾股定理解三角形 1．如图，、两地的距离为，、两地的距离为，，则、两地的距离为（     ） A． B． C． D． 2．已知一直角三角形的两直角边的长分别是和，则这个三角形的周长为_______． 3．如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送（即），如图1到达的位置时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． (1)求秋千的长度； (2)当秋千静止后，如果将秋千往前推送（即），如图2求此时踏板离地的垂直高度为多少？ 知识点二以直角三角形三边为边长的图形面积 4．如图，以的三边为边长向外作正方形，三个正方形的面积分别为，，，若，，则的值为（     ） A．4 B．3 C．22 D．不能确定 5．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，，若，，则_________． 6．小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成． (1)如图①是以的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，，，请写出，，之间的数量关系：________； (2)如图②是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，斜边长为c，则．若，求值． 知识点三利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 7．在直角三角形中，斜边，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．定义：如图，点把线段分割成和三条线段，若以线段为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点．已知点是线段的勾股分割点，若，则_______． 9．问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 知识点四利用勾股定理证明线段平方关系 10．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．3，4，5 B．4，5，6 C．5，6，7 D．6，7，8 11．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，，则___________． 12．【问题提出】 （1）如图1，在中，，于点D，若，，求的长度； 【问题探究】 （2）如图2，已知，，，，求的长度； 【问题解决】 （3）如图3，是某景区的局部示意图，，是两条观景小道，该景区的规划部门计划在的上方找一点F，使得，，并沿修一条骑行小道，经测量，，D为的中点，于点E，，求骑行小道的长度． 知识点五勾股定理的证明方法 13．我国是最早了解勾股定理的国家之一．三国时代的蒋铭祖在《蒋铭祖算经》中对勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（     ）． A． B． C． D． 14．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图所示的长方形由两个这样的图形拼成，若，，则长方形的面积为________． 15．综合与实践 “勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一． 上面三幅图中均可证明勾股定理，请你选择其中一幅图来证明勾股定理，写出你的证明过程． 知识点六以弦图为背景的计算题 16．第14届数学教育大会（ICME-14）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，，，则正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 17．如图，是4个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积是81，小正方形的面积是25，若用表示直角三角形的两条直角边，请观察图案，求______． 18．如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，求空白部分的面积． (3)琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4个直角三角形剪下来紧密拼接成风车状，如图3．已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 知识点七用勾股定理构造图形解决问题 19．如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部到墙底端的距离为，则梯子的顶端距地面为（     ） A． B． C． D． 20．如图，在中，，将的一部分折叠，点落在边上的点处，折痕交于点，测得的周长为12，，则边__________． 21．《九章算术》“勾股”章中有一道题，原文是“今有户高8尺，不知广，竿不知长短．横之不出四尺，邪之适出，问户广几何?”意思是“今有门高8尺，不知其宽；有一竹竿，不知其长短．横放，竹竿比门宽长出4尺；斜放，竹竿与门的对角线恰好相等．求门的宽度是多少尺? 知识点八求旗杆高度 22．方圆同学测量旗杆的高度时发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩2米（如图1），绳子末端在地面上离旗杆底部的距离为6米（如图2），则旗杆的高度为（     ） A．8米 B．10米 C．12米 D．13米 23．如图，用激光测距仪测量一栋楼的高度．位于地面上点处的激光测距仪先将激光射向楼底端的点，仪器显示；再将激光射向楼顶端的点，仪器显示，则楼高__________． 24．如图1是小明在草地上放风筝的示意图，其中点A为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离（点C在上，且）．经测量，．如图2，风筝沿方向再竖直上升到达点E处时（即），小明放风筝的手移至点F处（点F在上），若风筝线的长度不变（即），则小明移动的距离为多少米？（整个过程中风筝线近似地看作线段） 知识点九求小鸟飞行距离 25．南昌市“盛世华彩，豫章欢歌”烟花晚会在赣江水域震撼上演．5000架无人机通过高精度集群控制技术呈现闪耀五星、千里江山图、梦想之翼等九幕动态画面．在彩排期间，小杨在平地上操控无人机，从点处起飞，先垂直爬升3米，后水平飞行4米到达点处，如图所示，则点与点之间的距离是（    ） A．5米 B．米 C．6米 D．7米 26．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行_____米． 27．如图，某校校庆时，从教学楼楼顶的处向围墙上的处拉彩旗．已知墙和教学楼的水平距离米，教学楼高米，围墙高米，问至少需要多长的彩旗带？ 知识点十求大树折断前的高度 28．如图，一棵大树在一次强台风中离地面4米处折断倒下，倒下后树的顶端位于离树根3米处的点B处，则这种大树原来的高度为（   ） A．5米 B．8米 C．7米 D．9米 29．如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面3米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部4米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有______米． 30．如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部处． (1)求旗杆从距地面多高处折断； (2)工人在修复旗杆的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？ 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题01 探索勾股定理（十大题型30道题） 目录 知识点一用勾股定理解三角形 1 知识点二以直角三角形三边为边长的图形面积 3 知识点三利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 7 知识点四利用勾股定理证明线段平方关系 9 知识点五勾股定理的证明方法 11 知识点六以弦图为背景的计算题 15 知识点七用勾股定理构造图形解决问题 17 知识点八求旗杆高度 19 知识点九求小鸟飞行距离 21 知识点十求大树折断前的高度 22 知识点一用勾股定理解三角形 1．如图，、两地的距离为，、两地的距离为，，则、两地的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得， ∵ ∴ ∴、两地的距离为． 2．已知一直角三角形的两直角边的长分别是和，则这个三角形的周长为_______． 【答案】 【分析】已知直角三角形两条直角边的长，先利用勾股定理求出斜边长，再将三边长相加得到周长． 【详解】解：设这个直角三角形的斜边长为， ∵三角形是直角三角形，两直角边长分别为和， ∴由勾股定理得 ，解得：， ∵边长为正数， ∴， ∴三角形的周长为 ． 3．如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送（即），如图1到达的位置时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． (1)求秋千的长度； (2)当秋千静止后，如果将秋千往前推送（即），如图2求此时踏板离地的垂直高度为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设秋千的长度为，在中，由勾股定理建立方程进行求解即可； （2）在中，由勾股定理得到的长，进而求出的长，即可. 【详解】（1）解：由题意知，，， ，，， ， ， ， ， ， 设秋千的长度为，则，， 在中，由勾股定理得， 即，解得， 即秋千的长度是； （2）解：在中，，， 由勾股定理得， ， ， ， ， 即此时踏板离地的垂直高度为． 知识点二以直角三角形三边为边长的图形面积 4．如图，以的三边为边长向外作正方形，三个正方形的面积分别为，，，若，，则的值为（     ） A．4 B．3 C．22 D．不能确定 【答案】A 【分析】先由正方形的面积公式将，，，分别用含、、的式子表示，再根据勾股定理得到、、之间的等式，再转化为，，之间的等式，代入数值，即可求出的值． 【详解】解：∵以的三边为边长向外作正方形，三个正方形的面积分别为，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，，若，，则_________． 【答案】 【分析】连接，根据正方形的面积公式推出，根据勾股定理可得，据此代入求值即可． 【详解】解：如图所示，连接， 由题意得，，，，， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴或（舍去）． 6．小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成． (1)如图①是以的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，，，请写出，，之间的数量关系：________； (2)如图②是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，斜边长为c，则．若，求值． 【答案】(1) (2)120 (3) 【分析】（1）根据勾股定理和圆的面积公式计算即可得到答案； （2）设，，根据题意可得，，再由勾股定理可得，从而求出，进而求得飞镖的面积； （3）根据题意表示出，，，则根据题意可推出，可求得，从而得到答案． 【详解】（1）解：由题可得：，，， ∴， ∴； （2）解：设，，则， 由题可得：， ∵， ∴ ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解， ∴飞镖状图案的面积； （3）解：由题意得，，，， ∵， ∴ ， ， ∴， ∴。 知识点三利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 7．在直角三角形中，斜边，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：∵是直角三角形，是斜边，且， ∴． 8．定义：如图，点把线段分割成和三条线段，若以线段为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点．已知点是线段的勾股分割点，若，则_______． 【答案】5或13 【分析】本题考查了新定义“勾股分割点”、勾股定理；理解新定义，熟练掌握勾股定理，进行分类讨论是解决问题的关键．分两种情况：①当为最大线段时，由勾股定理求出；②当为最大线段时，由勾股定理求出即可． 【详解】解：分两种情况： ①当为最大线段时， ∵点是线段的勾股分割点， ； ②当为最大线段时， ∵点是线段的勾股分割点， ； 综上所述：的长为5或13． 故答案为：5或13． 9．问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 【答案】（1）； （2）证明：于点， 在中，，在中，， 在中，，在中，， ， ； （3）骑行小道的长为米 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，正确灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求得的长，再求即可； （2）由勾股定理可知，，，，B，进而可证明结论； （3）利用勾股定理求得，通过，点为的中点，进行等量代换计算求得，据此即可求解． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）解：，，， ， ， ，， ， 点为的中点， ， ， 米， 骑行小道的长为米． 知识点四利用勾股定理证明线段平方关系 10．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．3，4，5 B．4，5，6 C．5，6，7 D．6，7，8 【答案】A 【分析】根据勾股数的定义，验证三个正整数是否满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，即可得到答案． 【详解】解：勾股数需满足三个正整数中，两个较小数的平方和等于最大数的平方， A选项 ∵ ∴ 这组数是勾股数，符合题意； B选项 ∵ ，， ∴ 这组数不是勾股数，不符合题意； C选项 ∵ ，， ∴ 这组数不是勾股数，不符合题意； D选项 ∵ ，， ∴ 这组数不是勾股数，不符合题意． 11．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，，则___________． 【答案】 【分析】由题意可得，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：， ∴，，，， ∴ ． 12．【问题提出】 （1）如图1，在中，，于点D，若，，求的长度； 【问题探究】 （2）如图2，已知，，，，求的长度； 【问题解决】 （3）如图3，是某景区的局部示意图，，是两条观景小道，该景区的规划部门计划在的上方找一点F，使得，，并沿修一条骑行小道，经测量，，D为的中点，于点E，，求骑行小道的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）700米 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）利用勾股定理求得斜边的长，再利用三角形面积公式求解即可； （2）利用勾股定理求得，根据计算即可求解； （3）利用勾股定理求得，通过，点为的中点，进行等量代换计算求得，据此即可求解． 【详解】解：（1），，， ， ， ； （2），，， ， ， ； （3），，， ， ， ，， ， 点D为的中点， ， ， 米， 骑行小道的长度为700米． 知识点五勾股定理的证明方法 13．我国是最早了解勾股定理的国家之一．三国时代的蒋铭祖在《蒋铭祖算经》中对勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理． 【详解】解：A、大正方形的面积为：； 也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ∴， 故A选项能证明勾股定理； B、梯形的面积为：； 也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：， ∴， ∴， 故B选项能证明勾股定理； C、大正方形的面积为：； 也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ∴， ∴， 故C选项能证明勾股定理； D、大正方形的面积为：； 也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：， ∴， ∴D选项不能证明勾股定理． 14．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图所示的长方形由两个这样的图形拼成，若，，则长方形的面积为________． 【答案】30 【分析】本题考查了勾股定理的证明，根据勾股定理，设小正方形的边长为x，在直角三角形中，再建立x的方程即可解答． 【详解】解：如图： 设小正方形的边长为x，则，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴整理得， ∴长方形的面积为： ， 故答案为：30． 15．综合与实践 “勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一． 上面三幅图中均可证明勾股定理，请你选择其中一幅图来证明勾股定理，写出你的证明过程． 【答案】解：选图1 ， ， ， ； 或选图2 ， ， ， ； 或选图3 ， ， ， ， ． 【分析】观察图形，通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，建立等量关系，化简即可． 【详解】略 知识点六以弦图为背景的计算题 16．第14届数学教育大会（ICME-14）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，，，则正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意可知：正方形的面积为． 17．如图，是4个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积是81，小正方形的面积是25，若用表示直角三角形的两条直角边，请观察图案，求______． 【答案】28 【分析】根据“大正方形面积个全等直角三角形面积小正方形面积”结合直角三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：题中图形是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案， ∵大正方形面积为81，小正方形面积为25， ∴， ∴． 18．如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，求空白部分的面积． (3)琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4个直角三角形剪下来紧密拼接成风车状，如图3．已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 【答案】(1)证明：∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为， ∴， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）根据大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为，联立等式即可求解； （2）根据空白部分的面积=边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，即可求解； （3）根据风车状图案的周长求出的长，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，进而确定出的长，求出三角形面积，即可确定出所求． 【详解】（1）略 （2）解：空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； （3）解：根据题意得：，，即， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴， ∴， ∴该风车状图案的面积． 知识点七用勾股定理构造图形解决问题 19．如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部到墙底端的距离为，则梯子的顶端距地面为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知斜边与一条直角边，利用勾股定理求解另一条直角边长度即可． 【详解】解：由题意得，，， 在中，， ， 梯子的顶端距地面为． 20．如图，在中，，将的一部分折叠，点落在边上的点处，折痕交于点，测得的周长为12，，则边__________． 【答案】6 【分析】根据折叠的性质可得，，由的周长及的长可求出的长，设，则，在中利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：∵将的一部分折叠，点落在边上的点处，折痕交于点， ， ， 的周长为12， ， ， ， ，即， 设，则，， 在中，， 由勾股定理得 ∴，解得：， ． 21．《九章算术》“勾股”章中有一道题，原文是“今有户高8尺，不知广，竿不知长短．横之不出四尺，邪之适出，问户广几何?”意思是“今有门高8尺，不知其宽；有一竹竿，不知其长短．横放，竹竿比门宽长出4尺；斜放，竹竿与门的对角线恰好相等．求门的宽度是多少尺? 【答案】门宽为尺 【分析】设尺，则尺，再利用勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：设尺，则尺， ∵在中，， ∴， 解得：， 答：门宽为尺． 知识点八求旗杆高度 22．方圆同学测量旗杆的高度时发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩2米（如图1），绳子末端在地面上离旗杆底部的距离为6米（如图2），则旗杆的高度为（     ） A．8米 B．10米 C．12米 D．13米 【答案】A 【分析】设旗杆高度为米，根据题意表示出绳子的长度，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设旗杆的高度为米， ∵绳子垂直落地后还剩2米， ∴绳子的长度为米， 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：， 解得：， ∴旗杆的高度为8米． 23．如图，用激光测距仪测量一栋楼的高度．位于地面上点处的激光测距仪先将激光射向楼底端的点，仪器显示；再将激光射向楼顶端的点，仪器显示，则楼高__________． 【答案】/22米 【分析】根据题意及图形可知 是直角三角形，已知斜边和一条直角边，利用勾股定理即可求出另一条直角边 的长度 【详解】解：由题意可知，楼垂直于地面， 则 ， 在 中， 由勾股定理得 , ， 即楼高 为． 24．如图1是小明在草地上放风筝的示意图，其中点A为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离（点C在上，且）．经测量，．如图2，风筝沿方向再竖直上升到达点E处时（即），小明放风筝的手移至点F处（点F在上），若风筝线的长度不变（即），则小明移动的距离为多少米？（整个过程中风筝线近似地看作线段） 【答案】4m 【分析】先根据勾股定理求出，进而得出，再根据勾股定理求出，然后根据得出答案． 【详解】解：在中，， ， 由题意可得，， 在中，， ． 答：小明移动的距离为4m． 知识点九求小鸟飞行距离 25．南昌市“盛世华彩，豫章欢歌”烟花晚会在赣江水域震撼上演．5000架无人机通过高精度集群控制技术呈现闪耀五星、千里江山图、梦想之翼等九幕动态画面．在彩排期间，小杨在平地上操控无人机，从点处起飞，先垂直爬升3米，后水平飞行4米到达点处，如图所示，则点与点之间的距离是（    ） A．5米 B．米 C．6米 D．7米 【答案】A 【详解】解：根据题意得，点与点之间的距离是（米）． 26．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行_____米． 【答案】 10 【分析】先求出两棵树的高度差，再结合两树的水平距离构造直角三角形，最后用勾股定理求出树梢间的直线距离，即小鸟飞行的最短距离． 【详解】解：两棵树的高度差为（米） 两树水平距离为8米，根据勾股定理，小鸟飞行的最短距离为: （米）. 故答案为：10． 27．如图，某校校庆时，从教学楼楼顶的处向围墙上的处拉彩旗．已知墙和教学楼的水平距离米，教学楼高米，围墙高米，问至少需要多长的彩旗带？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 过作于，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，过作于， 则四边形是长方形， ，， ， 在中，， ， 答：至少需要的彩旗带． 知识点十求大树折断前的高度 28．如图，一棵大树在一次强台风中离地面4米处折断倒下，倒下后树的顶端位于离树根3米处的点B处，则这种大树原来的高度为（   ） A．5米 B．8米 C．7米 D．9米 【答案】D 【分析】根据题意构建直角三角形，利用勾股定理求出折断部分的长度，再加上未折断部分的高度即可得出大树原来的高度． 【详解】解：设大树折断处为点，树根为点，树顶落地点为点， 大树离地面米处折断， 米， 树的顶端位于离树根米处的点处， 米， 在中，，由勾股定理得：（米）， 大树原来的高度为：（米）． 29．如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面3米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部4米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有______米． 【答案】8 【分析】根据勾股定理，计算，再根据旗杆高度为计算即可． 【详解】如图： 由题意得：，，， ∴， ∴（米） 答：这根旗杆被吹断裂前至少有8米． 30．如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部处． (1)求旗杆从距地面多高处折断； (2)工人在修复旗杆的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？ 【答案】(1) (2)周围范围内有被砸伤的风险 【分析】（1）利用勾股定理建立方程即可； （2）先画出图形，再求解，再利用勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：由题意知， ， 在中，， ， ， ，， 故旗杆在距地面处折断． （2）解：如图，点距地面， ， ， 在中，， 距离旗杆底部周围范围内有被砸伤的风险． 学科网（北京）股份有限公司 $