精品解析：湖北省武汉市第六中学2025-2026学年高二上学期第三次月考数学试题

武汉六中2025~2026学年度高二上学期第3次月考 数学试题 命题教师：刘洁 审题教师：涂中华 考试时长：120分钟 试卷满分：150分 一、单选题 1. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】抛物线的开口向左，且，由此可得抛物线的准线方程． 【详解】解：抛物线的开口向左，且， 抛物线的准线方程是 故选：． 2. 双曲线上一点到它的一个焦点的距离为4，那么点到另一个焦点的距离为（ ） A. 2 B. 6 C. 2或6 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的定义求出点到另一个焦点的距离，再结合双曲线的性质舍去不符合条件的值. 【详解】对于双曲线，，，， 设双曲线的两个焦点为，，不妨设点到的距离为， 已知，由双曲线定义，即，解得或， 在双曲线中，双曲线上的点到焦点的距离存在最小值，这个最小值为， ， 这就说明双曲线上的点到焦点的距离不可能为，所以舍去， 因此，即点到另一个焦点的距离等于. 故选：B. 3. 已知等差数列满足，则（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差中项的性质可得，再由即可求. 【详解】由， 若的公差为，则. 故选：B 4. 算法统宗是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔九层，红光点点倍加增，共灯五百一十一”，其意大致为：有一栋九层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有盏灯，则该塔中间一层有（ ）盏灯. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意转化为等比数列基本量的计算问题. 【详解】由条件可知，每层的红灯数构成等比数列，设最上面一层的红灯数为，公比，， 则，得， 中间一层的红灯数为. 故选：C 5. 下列命题正确的是 （ ） A. 平均变化率: 就是图象上两点 连线的斜率 B. 函数的导数越小， 函数的变化越慢， 函数的图象就越 “平缓” C. 若某质点运动的位移 (单位: 米) 与时间 (单位: 秒) 之间的函数关系为 ，则该质点在 秒时的瞬时速度为 米/秒 D. 已知函数 在 上可导，若 ，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，物理意义，定义，即可判断选项. 【详解】A.根据平均变化率的定义，对于函数，在区间上的平均变化率，从几何意义上讲，就是函数图象上两点连线的斜率，故A正确； B.导数的几何意义是函数在某一点处的切线的斜率，反映函数的变化快慢，应该是函数的导数的绝对值越小，说明函数在某点处切线斜率的绝对值越小，即函数的变化越慢，函数的图象就越平缓，故B错误； C.，，所以该质点在秒时的瞬时速度为米/秒，故C错误； D.已知函数在上可导，若， 即，所以，故D错误. 故选：A 6. 已知抛物线的焦点为，其通径长为8，动直线过点且与抛物线交于两点，的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据通径长求出，可得，设，直线的方程为，与抛物线方程联立，得到，根据抛物线的定义可得，利用基本不等式即可求解. 【详解】因为抛物线的通径长为8， 所以，解得， 所以抛物线，焦点. 设，直线的方程为, 联立方程组，可得， , 则,， 所以 ， 当且仅当时等号成立, 所以的最小值为. 故选:D. 7. 已知双曲线，若直线交双曲线右支于A，B两点，则双曲线的虚轴长的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】联立双曲线与直线方程，根据根的判别式及韦达定理得到不等式，求出，得到虚轴长的取值范围. 【详解】联立与可得 ，设， 需满足， 由于直线恒过双曲线右顶点，故是方程的一个根， 另一根为，要使直线与右支有两个不同交点，需， 由韦达定理知，可得，由得， 又，解得，所以虚轴长. 故选：B 8. 已知数列各项为正，，，记，，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由可得出，可推导出、，由此可得出，，并推导出，由此可得出合适的选项. 【详解】，且，，则，，依次类推， 由可得，， ，且， ，所以，数列为单调递增数列， ，，，所以，， ， ， 所以，，. 故选：C. 【点睛】本题考查数列递推公式的应用，根据题中条件推导出、是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 二、多选题 9. 已知抛物线的焦点，，为抛物线上的两个动点，为线段的中点，，则（ ） A. B. 若，则点到准线的距离为4 C. 的最小值为4 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据焦点求出；对于B ，C，由抛物线的定义可判断；对于D延长交准线于点，由抛物线的定义得出为的中位线，设，再利用相似关系即可求出. 【详解】对于A，因为抛物线的焦点，所以，得，故A正确； 对于B ，分别过点作准线的垂线，垂足为， 则由抛物线的定义可知， 因为为线段的中点，所以点到准线的距离为，故B错误； 对于C，因为， 则当三点共线时，有最小值，故C正确； 延长交准线于点，由以及抛物线定义可知，， 则为的中位线， 设，则，， 由相似关系可知，，则，得，故，故D正确. 故选：ACD 10. 已知函数，，则（ ） A. 曲线在点处的切线斜率为1 B. 曲线上的点到直线的距离的最小值为 C. 当时，曲线与有且只有一条公切线 D. 曲线与可能存在两条公切线 【答案】AC 【解析】 【分析】由导数的几何意义判断A，根据曲线的切线与直线平行，根据平行线间的距离判断B，设公切线与两曲线的切点坐标，分别利用导数及两点求切线斜率建立方程，转化为，根据讨论的解的情况判断CD. 【详解】由题意得，则， 所以曲线在点处的切线斜率为1，A正确. 因为曲线在点处的切线与直线平行， 所以曲线上的点到直线的距离的最小值为，B错误； ，设曲线，曲线的切点分别为，， 则，得.当时，有唯一解， 所以曲线与有且只有一条公切线，当时，无解， 曲线与没有公切线，C正确，D错误． 故选：AC 11. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若数列为等差数列，，，则时，最大 C. 若数列满足，，则 D. 若，则数列的前项和小于 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用与的关系即可求解，对于B，利用等差数列的前项和公式求解即可；对于C，求出数列是周期为3即可求解；对于D，利用裂项相消即可求解. 【详解】对于A，当时，,解得：， 当时，， 化简可得：， 所以, 则是首项为,公比为的等比数列，所以， 即,故A正确； 对于B，在等差数列中，,则, ,由于,则, 所以等差数列的公差小于，则, 则时，最大，故B正确； 对于C，数列满足，，则,,, 所以数列是周期为3的数列， 计算一个周期内的乘积：，,,故, 所以,故C不正确； 对于D，由题可得：, 所以数列的前项和, 即,由于,则， 即数列的前项和小于，故D正确； 故选：ABD 三、填空题 12. 数列中，，，则通项______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出通项公式. 【详解】数列中，由，得，而， 因此数列是首项为，公比为3的等比数列，则， 所以. 故答案为： 13. 已知函数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据，令，得，进而求值即可. 【详解】函数， 则，所以， 所以， 则， ， 所以. 故答案为： 14. 已知点是双曲线上的动点，是其左、右焦点，是坐标原点，若存在四个点满足，则此双曲线的离心率取值范围______． 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线焦半径公式得到结合存在四个点满足 得到，进而可求解. 【详解】双曲线的左准线方程为，设，在右支上， 由双曲线的第二定义可知，得， 再由，得， 即在右支， 同理可得：在左支， 又， ，， 即， 又， 即， 即存在四个点满足， 所以，由于，所以，即， 故答案为：． 四、解答题 15. 已知函数. （1）求在点处的切线方程； （2）已知过点，，可以作函数的两条切线，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用导数求切线斜率，然后由点斜式可得切线方程； （2）设切点坐标为，表示出切线方程，根据切线过点得关于的一元二次方程，由方程有两个不相等的实根求解即可. 【小问1详解】 ，因为，， 所以切点为，且切线斜率， 所以切线方程为， 得. 【小问2详解】 设切点坐标为，因为， 所以切线的斜率， 所以切线方程是， 因为切线过点， 所以，即， 因为过点可以作曲线的两条切线， 所以方程有两个不同的根， 所以， 解得或. 16. 已知点 到点 和 的距离之差的绝对值等于 为坐标原点， （1）求点 的轨迹及轨迹方程； （2）若过点 的直线 与点 的轨迹交于 两点， 的面积为 ，求直线 的方程. 【答案】（1）双曲线， （2） 【解析】 【分析】（1）根据距离公式列出等式，化简后可得到轨迹方程. （2）先设出直线的方程,分斜率存在与不存在讨论，斜率不存在时不符合条件舍去，直线斜率存在时，与双曲线方程联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理求出和，再根据弦长公式求出，根据点到直线距离公式求出原点到直线的距离，由三角形面积公式求出直线斜率，从而得到直线方程. 【小问1详解】 设点 到 和 的距离分别为 和 ,根据题意： 两点 、 的距离为4,而 ,符合双曲线的定义,因此轨迹为双曲线， ,得 ； ,得 ； ， 双曲线的标准方程为:， 【小问2详解】 当斜率不存在时，直线与曲线没有交点，不满足题意. 当斜率存在时，设直线的方程为， 联立，得. 展开整理得， ， 设，，由韦达定理（），. 根据弦长公式 先求 . 所以. 原点到直线的距离. 已知. 即. 化简得. 两边平方整理得，即. 得，因为，所以，. 也满足. 所以直线的方程为. 17. 如图，在直三棱柱中，，，点分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在一点，使得点在平面内？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 证明：连接，因为在直三棱柱中，四边形是平行四边形，点为的中点. 所以点为的中点， 又因为点为的中点， 所以， 又平面，平面 所以平面 （2） （3）存在； 【解析】 【分析】（1）连接，证明点为的中点即可证明，再根据线面平行判定定理即可证明； （2）结合题意，过作平面，以为原点，分别为轴的正方向，利用坐标法求解即可； （3）设，则，利用点满足即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，为中点，所以，且， 过作平面，以为原点，分别为轴的正方向， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 设直线与平面所成角为， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为 【小问3详解】 设，则，， 由在平面内可知，即，解得， 所以存在点，当时，点在平面内. 18. 在数列，且满足；在数列中，记数列的前n项和为，满足. （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，得出数列为等差数列，求得，再由时，，两式相减求得，得到为等比数列，求得，即可求解. （2）由（1）得到，结合乘公比错位相减法求和，即可求解； （3）根据题意，转化为对任意恒成立，设，根据，分为偶数和为奇数，两种情况讨论，列出不等式，即可求解. 【小问1详解】 解：由数列，且满足，可得， 即，所以数列是以，公差为的等差数列， 所以，所以， 又由数列的前n项和为，满足， 当时，，可得， 当时，， 两式相减，可得，即，所以， 即，可得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以. 【小问2详解】 解：由（1）知：且，所以， 则， 可得， 两式相减，可得 ， 所以. 【小问3详解】 解：由不等式，可得 即对任意恒成立， 设，可得， 当时，可得； 当时，，即，即， 当为偶数时，可得，解得； 当为奇数时，可得，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 19. 设抛物线的焦点为，点，过的直线交于两点．当直线垂直于轴时，． （1）求的方程； （2）设直线与的另一个交点分别为，记直线的斜率为，求的值； （3）记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当直线垂直于轴时，求得，根据，结合抛物线的定义，求得，即可求解； （2）设，设直线，直线，联立方程组，求得和，化简得到，再由抛物线的几何性质，得到，即可求解； （3）当直线的斜率不存在时，求得；当的斜率存在时，得到，且，求得，结合基本不等式，求得当时，取得最大值，进而求得直线的方程. 【小问1详解】 解：当直线垂直于轴时，由点点，可得， 因为，由抛物线的定义，可得，解得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 解：设， 设直线的方程为，直线的方程为， 联立方程组，整理得，可得， 联立方程组，整理得，可得， 又由直线的斜率为， 且直线的斜率为， 所以， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，解得，则； 当直线的斜率存在时，直线的方程为， 联立方程组，整理得，可得，则， 综上可得，的值为. 【小问3详解】 解：设， 当直线的斜率不存在时，由对称性可知，直线的斜率也不存在， 此时，则； 当直线的斜率存在时，由（2）知：， 则，且， 所以与的正负相同，所以， 所以当最大时，取得最大值， 又由， 要使得取得最大值，显然， 由时，，当且仅当时，等号成立， 所以，此时取得最大值， 又由的方程为，即， 由（2）知：，，且， 可得，则，， 所以直线的方程为，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武汉六中2025~2026学年度高二上学期第3次月考 数学试题 命题教师：刘洁 审题教师：涂中华 考试时长：120分钟 试卷满分：150分 一、单选题 1. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线上一点到它的一个焦点的距离为4，那么点到另一个焦点的距离为（ ） A. 2 B. 6 C. 2或6 D. 4 3. 已知等差数列满足，则（ ） A. B. 3 C. D. 6 4. 算法统宗是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔九层，红光点点倍加增，共灯五百一十一”，其意大致为：有一栋九层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有盏灯，则该塔中间一层有（ ）盏灯. A. B. C. D. 5. 下列命题正确的是 （ ） A. 平均变化率: 就是图象上两点 连线的斜率 B. 函数的导数越小， 函数的变化越慢， 函数的图象就越 “平缓” C. 若某质点运动的位移 (单位: 米) 与时间 (单位: 秒) 之间的函数关系为 ，则该质点在 秒时的瞬时速度为 米/秒 D. 已知函数 在 上可导，若 ，则 6. 已知抛物线的焦点为，其通径长为8，动直线过点且与抛物线交于两点，的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线，若直线交双曲线右支于A，B两点，则双曲线的虚轴长的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列各项为正，，，记，，则 A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知抛物线的焦点，，为抛物线上的两个动点，为线段的中点，，则（ ） A. B. 若，则点到准线的距离为4 C. 的最小值为4 D. 若，则 10. 已知函数，，则（ ） A. 曲线在点处的切线斜率为1 B. 曲线上的点到直线的距离的最小值为 C. 当时，曲线与有且只有一条公切线 D. 曲线与可能存在两条公切线 11. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若数列为等差数列，，，则时，最大 C. 若数列满足，，则 D. 若，则数列的前项和小于 三、填空题 12. 数列中，，，则通项______． 13. 已知函数，则__________. 14. 已知点是双曲线上的动点，是其左、右焦点，是坐标原点，若存在四个点满足，则此双曲线的离心率取值范围______． 四、解答题 15. 已知函数. （1）求在点处的切线方程； （2）已知过点，，可以作函数的两条切线，求实数的取值范围. 16. 已知点 到点 和 的距离之差的绝对值等于 为坐标原点， （1）求点 的轨迹及轨迹方程； （2）若过点 的直线 与点 的轨迹交于 两点， 的面积为 ，求直线 的方程. 17. 如图，在直三棱柱中，，，点分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在一点，使得点在平面内？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 18. 在数列，且满足；在数列中，记数列的前n项和为，满足. （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 19. 设抛物线的焦点为，点，过的直线交于两点．当直线垂直于轴时，． （1）求的方程； （2）设直线与的另一个交点分别为，记直线的斜率为，求的值； （3）记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $