湖北省武昌实验中学2026-2027学年高二上学期数学第一次月考模拟试卷

**基本信息** 高二数学月考模拟卷聚焦概率、空间向量与立体几何、直线方程，通过基础题与综合题结合，如阅读材料题（第7题）考查空间平面与直线位置关系，体现数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|概率（中位数概率）、空间向量（投影向量）、直线方程（平行条件）|基础巩固，结合符号运算（如第3题投影向量）| |填空题|3/15|三角形构成、函数最值、正方体动态问题|能力提升，考查空间观念（如第14题正方体动点面积）| |解答题|5/77|概率应用（传输方案）、立体几何（面面夹角、线面角）、直线综合（定点、面积周长）|创新应用，体现逻辑推理与模型意识（如16题概率方案设计、19题立体几何取值范围）|

2026-2027学年高二数学上学期第一次月考模拟卷 （测试内容：概率、空间向量与立体几何、直线的方程） 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．已知，，且，则（　　） A． B． C． D．x＝1，y＝﹣1 2．若直线x﹣2ay+1＝0与直线（a﹣1）x+ay﹣1＝0平行，则a＝（　　） A．0 B．或0 C． D．1 3．已知空间向量（1，﹣1，2），（1，﹣2，1），则向量在向量上的投影向量是（　　） A． B．（1，﹣1，1） C． D． 4．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷8次，得到的点数分别为1，2，3，x，4，5，5，6，则这8个点数的中位数为4的概率为（　　） A． B． C． D． 5．设直线l的方程为x﹣ycosθ+2＝0，则直线l的倾斜角α的取值范围是（　　） A．[0，π] B． C． D． 6．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，侧面A1ADD1是正方形，且∠A1AB＝120°，∠DAB＝60°，AB＝2，若P是C1D与CD1的交点，则异面直线AP与DC的夹角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 7．阅读材料：数轴上，方程Ax+B＝0（A≠0）可以表示数轴上的点；平面直角坐标系xOy中，方程Ax+By+C＝0（A、B不同时为0）可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系O﹣xyz中，方程Ax+By+Cz+D＝0（A、B、C不同时为0）可以表示坐标空间内的平面．过点P（x0，y0，z0）且一个法向量为的平面α方程可表示为a（x﹣x0）+b（y﹣y0）+c（z﹣z0）＝0．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面α的方程为x﹣y+z+1＝0，直线l是两平面x﹣y+2＝0与2x﹣z+1＝0的交线，则直线l与平面α所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 8．已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为四边形，AC∩BD＝O，且OA＝OC，2OB＝OD，M为PA的中点，，若平面BMN与棱PD相交于点Q，则的值为（　　） A． B． C．4 D．5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知事件A、B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（　　） A．若A与B相互独立，则 B．若，则事件A与相互独立C．若A与B互斥，则 D．若B发生时A一定发生，则 10．直线l1的方程为x+2y﹣4＝0，若l2在x轴上的截距为，且l1⊥l2．则下列说法正确的是（　　） A．直线l1与l2的交点坐标为（2，1），直线l2在y轴上的截距是﹣3 B．已知直线l3经过l1与l2的交点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，l3的方程为2x+y﹣5＝0 C．已知动直线l3经过l1与l2的交点，当原点到l3距离最大时，（4，2）到l3距离为 D．直线L1：ax+3y+1＝0，L2：2x+（a+1）y+1＝0，若L1∥L2，则a＝﹣3或2 11．在四边形ABCD中（如图1），AB＝AD，∠ABD＝45°，BC＝BD＝CD＝2，将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A'BCD（如图2所示），使得∠A'BC＝90°，E，F，G分别为BC，A′D，A′B的中点，连接EF，CG，Q为平面BCD内一点，则（　　） A． 三棱锥A′﹣BCD的体积为 B．直线EF与CG所成的角的余弦值为 C．四面体A'BCD的外接球的表面积为8π D．若A′Q＝1，则Q点的轨迹长度为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．从长度为2，4，5，7，9的五条线段中任取三条（抽取不分先后），设事件A＝“取出的三条线段能构成一个三角形”，则事件A包含的样本点个数为 　 　 个． 13．函数的最小值为 　　 ． 14．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱AB，BB1的中点，点P在对角线CA1上运动．当△PMN的面积取得最小值时，则　 　 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）已知两直线l1：x﹣y﹣1＝0，l2：x+y﹣5＝0． （1）求经过两直线的交点，且垂直于直线3x+4y﹣5＝0的直线方程； （2）已知两点A（﹣1，1），B（0，2），点A关于直线l1的对称点为点A1，求|A1B|的值． 16．（本小题满分15分）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为p1（0＜p1＜1），收到0的概率为1﹣p1；发送1时，收到0的概率为p2（0＜p2＜1），收到1的概率为1﹣p2．现有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1，若依次收到1，1，1，则译码为1）． （1）已知． ①若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率； ②若采用单次传输方案，依次发送0，0，1，证明：事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立． （2）若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求p2的取值范围． 17．（本小题满分15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，． （1）求平面APC与平面PCD夹角的余弦值； （2）设Q为线段PC上一点（不包含端点），若直线AQ与平面PCD所成角的正弦值为，求． 18．（本小题满分17分）已知一条动直线3（m+1）x+（m﹣1）y﹣6m﹣2＝0， （1）求证：直线恒过定点，并求出定点P的坐标； （2）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在直线满足下列条件： ①△AOB的周长为12； ②△AOB的面积为6． 若存在，求出方程；若不存在，请说明理由． （3）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，当PAPB取最小值时，求直线的方程． 19．（本小题满分17分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥AB，AB⊥BC． （1）证明：AD∥平面PBC； （2）若PA⊥面ABC，且AP＝2，AB＝BC＝1，三棱锥P﹣ABC外接球的球心为O，求直线AO与平面PBC所成角正弦值； （3）若平面PAD⊥平面PBC，PD⊥PB，且AB＝BC＝1，AD＝2，求BP的取值范围． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考模拟卷 （测试内容：概率、空间向量与立体几何、直线的方程） 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．已知，，且，则（　　） A． B． C． D．x＝1，y＝﹣1 【分析】根据已知条件分别求出、的坐标，利用空间向量共线的充要条件，即可求出结果． 【解答】解：∵， ∴（1+2x，4，4﹣y），（2﹣x，3，﹣2y﹣2）， ∵， ∴，解得 故选：B． 【点评】此题考查空间向量共线的充要条件，以及运算能力，属基础题． 2．若直线x﹣2ay+1＝0与直线（a﹣1）x+ay﹣1＝0平行，则a＝（　　） A．0 B．或0 C． D．1 【分析】根据两直线平行的条件列方程求得a的值，然后检验，排除两直线重合的情况． 【解答】解：直线x﹣2ay+1＝0与直线（a﹣1）x+ay﹣1＝0平行， 则1×a﹣（﹣2a）（a﹣1）＝0，即2a2﹣a＝0，解得a＝0或． 当a＝0时，两直线方程都为x+1＝0，两直线重合，不合题意，舍去； 当时，两直线方程分别为x﹣y+1＝0和x﹣y+2＝0，此时两直线平行，符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查两直线平行的性质，属于基础题． 3．已知空间向量（1，﹣1，2），（1，﹣2，1），则向量在向量上的投影向量是（　　） A． B．（1，﹣1，1） C． D． 【分析】根据已知条件，结合空间向量的投影公式，即可求解． 【解答】解：（1，﹣1，2），（1，﹣2，1）， 则，， 故向量在向量上的投影向量是． 故选：C． 【点评】本题主要考查空间向量的投影公式，属于基础题． 4．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷8次，得到的点数分别为1，2，3，x，4，5，5，6，则这8个点数的中位数为4的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用古典概型、列举法求解． 【解答】解：将一枚质地均匀的骰子连续抛掷8次，得到的点数分别为1，2，3，x，4，5，5，6， x的可能取值为1，2，3，4，5，6，有6种情况， 这8个点数的中位数为4时，x＝4，只有1种情况， 则这8个点数的中位数为4的概率为P． 故选：D． 【点评】本题考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 5．设直线l的方程为x﹣ycosθ+2＝0，则直线l的倾斜角α的取值范围是（　　） A．[0，π] B． C． D． 【分析】分cosθ＝0，cosθ∈（0，1]，cosθ∈[﹣1，0）三种情况讨论，可得直线的斜率的范围，进而可得直线的倾斜角的范围． 【解答】解：当cosθ＝0，此时直线的斜率不存在，即直线的倾斜角为， 当cosθ∈（0，1]时，直线的斜率k1，此时直线的倾斜角α的范围为[，）， 当cosθ∈[﹣1，0）时，直线的斜率k1，此时直线的倾斜角α的范围为（，]． 综上所述：直线的倾斜角α的范围为[，]． 故选：C． 【点评】本题考查分类讨论求直线的倾斜角的范围，属于基础题． 6．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，侧面A1ADD1是正方形，且∠A1AB＝120°，∠DAB＝60°，AB＝2，若P是C1D与CD1的交点，则异面直线AP与DC的夹角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平行六面体的结构特征及向量对应线段位置关系，结合向量加法、数乘的几何意义用表示出，再应用向量数量积的运算律求即可． 【解答】解：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形DD1C1C是平行四边形， 侧面A1ADD1是正方形，又P是C1D，CD1的交点，所以P是CD1的中点， ，因为∠A1AB＝120°，∠DAB＝60°，AB＝2， 所以（）（）（2）， 所以||2（22+42+2•4•4•） [4+4+4×4+2×2×2×（）+0+4×2×2]＝7， 所以||，||＝2， •（2）•（2）•（•2+2•） （||•||cos120°+||2+2||•||cos60°） [2×2×（）+22+2×2×2]＝3， 可得cos，． 所以异面直线AP与DC的夹角的余弦值为|cos，| 故选：A． 【点评】本题考查空间向量坐标运算公式、向量数量公式、线段长等基础知识，考查运算求解能力，属中档题． 7．阅读材料：数轴上，方程Ax+B＝0（A≠0）可以表示数轴上的点；平面直角坐标系xOy中，方程Ax+By+C＝0（A、B不同时为0）可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系O﹣xyz中，方程Ax+By+Cz+D＝0（A、B、C不同时为0）可以表示坐标空间内的平面．过点P（x0，y0，z0）且一个法向量为的平面α方程可表示为a（x﹣x0）+b（y﹣y0）+c（z﹣z0）＝0．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面α的方程为x﹣y+z+1＝0，直线l是两平面x﹣y+2＝0与2x﹣z+1＝0的交线，则直线l与平面α所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 【分析】先求直线l的方向向量及平面α的法向量，再结合空间向量的数量积求直线与平面所成角的正弦值． 【解答】解：根据材料知，平面α的方程为x﹣y+z+1＝0，则平面α的法向量， 同理，与分别为平面x﹣y+2＝0与2x﹣z+1＝0的法向量， 设直线l的方向向量，则， 令x＝1得（1，1，2），设直线l与平面α所成角为θ， 则． 故选：B． 【点评】本题考查空间角的计算、法向量的计算等，属于中档题． 8．已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为四边形，AC∩BD＝O，且OA＝OC，2OB＝OD，M为PA的中点，，若平面BMN与棱PD相交于点Q，则的值为（　　） A． B． C．4 D．5 【分析】根据，结合空间共面向量的基本定理与性质求解即可． 【解答】解：如图， 因为AC∩BD＝O，且OA＝OC，2OB＝OD， 因为所以， 又， 所以， 又M为PA的中点，， 所以，， 则， 因为平面BMN与棱PD相交于点Q，所以B，M，N，Q四点共面， 所以， 解得． 故选：B． 【点评】本题主要考查空间向量基本定理，属于中档题． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 （多选）9．已知事件A、B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（　　） A．若A与B相互独立，则 B．若，则事件A与相互独立 C．若A与B互斥，则 D．若B发生时A一定发生，则 【分析】根据题意，由相互独立事件的性质分析A、B，由互斥事件的性质分析C，由概率的性质分析D，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，若A与B相互独立，P（AB）＝P（A）P（B），则P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB），A正确； 对于B，P（），若，即P（A）＝P（A）P（），即事件A与相互独立，B正确； 对于C，若A与B互斥，则P（A∪B）＝P（A）+P（B），C错误； 对于D，若B发生时A一定发生，即B⊆A，则P（AB）＝P（B），D正确． 故选：ABD． 【点评】本题考查概率的性质，涉及互斥事件、相互独立事件的性质，属于基础题． （多选）10．直线l1的方程为x+2y﹣4＝0，若l2在x轴上的截距为，且l1⊥l2．则下列说法正确的是（　　） A．直线l1与l2的交点坐标为（2，1），直线l2在y轴上的截距是﹣3 B．已知直线l3经过l1与l2的交点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，l3的方程为2x+y﹣5＝0 C．已知动直线l3经过l1与l2的交点，当原点到l3距离最大时，（4，2）到l3距离为 D．直线L1：ax+3y+1＝0，L2：2x+（a+1）y+1＝0，若L1∥L2，则a＝﹣3或2 【分析】求出直线l2方程，解出两直线交点判断A，根据截距的关系求出直线方程判断B，根据条件求出直线l3的方程，利用点到直线距离公式求解判断C，根据直线平行求出a再检验即可判断D． 【解答】解：直线l1的方程为x+2y﹣4＝0，若l2在x轴上的截距为，且l1⊥l2． 由，可知k2＝2，又l2过点， 所以直线l2的方程为，即2x﹣y﹣3＝0， 对A，联立，解得，即直线l1与l2的交点坐标为（2，1）， 由2x﹣y﹣3＝0可得y＝2x﹣3，即直线l2在y轴上的截距是﹣3，故A正确； 对B，当直线不过原点时，设直线方程为，代入点（2，1）可得， 所以直线方程为2x+y﹣5＝0， 当直线l3经过l1与l2的交点且过原点时，方程为，即x﹣2y＝0，满足题意， 综上满足条件的直线为x﹣2y＝0或2x+y﹣5＝0，故B错误； 对C，由题意过（2，1）点的动直线中，到原点距离最大的直线与原点和（2，1）连线所在直线垂直， 故所求直线的斜率为，所以直线l3为y﹣1＝﹣2（x﹣2），即2x+y﹣5＝0， 所以（4，2）到l3距离为，故C正确； 对D，因为L1∥L2，所以a（a+1）﹣6＝0，解得a＝﹣3或2， 当a＝﹣3时，直线L1：﹣3x+3y+1＝0与L2：2x﹣2y+1＝0平行， 当a＝2时，直线L1：2x+3y+1＝0与L2：2x+3y+1＝0重合，故D错误． 故选：AC． 【点评】本题主要考查直线的相关知识，考查计算能力，属于中档题． （多选）11．在四边形ABCD中（如图1），AB＝AD，∠ABD＝45°，BC＝BD＝CD＝2，将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A'BCD（如图2所示），使得∠A'BC＝90°，E，F，G分别为BC，A′D，A′B的中点，连接EF，CG，Q为平面BCD内一点，则（　　） A．三棱锥A′﹣BCD的体积为 B．直线EF与CG所成的角的余弦值为 C．四面体A'BCD的外接球的表面积为8π D．若A′Q＝1，则Q点的轨迹长度为 【分析】取BD中点O，先证BD⊥平面A′OC，再由VA′﹣BCD＝VB﹣A′OC+VD﹣A′OC计算体积，即可判断A选项； 用，，表示出，，再由向量的运算求出，夹角的余弦值即可判断B选项； 取A'C的中点M，由MA'＝MC＝MB＝MD，求出外接球半径，即可判断C选项； 作A′N⊥CO交CO延长线于N，由A′N⊥平面BCD，进而求得NQ，得出Q点的轨迹即可求得D选项． 【解答】解：对于A，如图，取BD中点O，连接A'O，CO， 易得A′O⊥BD，CO⊥BD，又A′O∩CO＝O， A'O，CO⊂平面A'OC，则BD⊥平面A'OC， 易得A'OBD＝1，OC，A'B，A'C， 则cos∠A′OC， 则sin∠A′OC， S△A′OC， 则VA′﹣BCD＝VB﹣A′OC+VD﹣A′OCSA′OC•BD，A正确； 对于B，如图所示： ， 则 22221+1， 则||， ， 则2＝（）2，||， 又（）•（）＝22， 则cos，，即直线EF与CG所成的角的余弦值为，B正确； 对于C，易得△A′BC≌△A'DC，∠A′BC＝90°，则∠A′DC＝90°，取A′C的中点M，连接MB，MD， 易得 MA'＝MC＝MB＝MD， 则四面体A'﹣BCD的外接球的半径为，则外接球表面积为4π•（）2＝6π，C错误； 对于D，作A′N⊥CO交CO延长线于N， 由A选项知，A′N⊥BD，又BD∩CO＝O， BD，CO⊂平面BCD，则A′N⊥平面BCD， 又NQ⊂平面BCD，则A'N⊥NQ，又S△A′OCOC•A'N，则A′N，又A′Q＝1， 则NQ， 即Q点的轨迹为以N为圆心，为半径的圆，则Q点的轨迹长度为π，D正确． 故选：ABD． 【点评】本题考查求三棱锥的体积，求异面直线的夹角，外接球问题，立体几何中的轨迹问题，考查学生综合能力，属于难题． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．从长度为2，4，5，7，9的五条线段中任取三条（抽取不分先后），设事件A＝“取出的三条线段能构成一个三角形”，则事件A包含的样本点个数为 　4　 个． 【分析】根据题意将事件A的基本事件一一列出即可得解． 【解答】解：长度为2，4，5，7，9的五条线段中任取三条， 则取出的三条线段可以构成一个三角形的基本事件空间是： （2，4，5），（4，5，7），（4，7，9），（5，7，9）， 所以事件A包含的样本点个数为4个． 故答案为：4． 【点评】本题考查了基本事件的个数计算，属于基础题． 13．函数的最小值为 　2　 ． 【分析】将函数最小值转化为x轴上的点到两个定点的距离之和的最小值，求出点C关于x轴的对称点的坐标，进而可得答案． 【解答】解：因为表示A（x，0）到B（1，4）与到C（5，2）的距离之和，又因为C（5，2）关于x轴的对称点C′（5，﹣2），因为|AB|+|AC|＝|AB|+|AC'|≥|BC'|2，当且仅当C'，A，B三点共线时取等号．所以f（x）的最小值为2． 故答案为：2． 【点评】本题考查三点共线时线段和最小的性质的应用，属于基础题． 14．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱AB，BB1的中点，点P在对角线CA1上运动．当△PMN的面积取得最小值时，则　　 ． 【分析】建立空间直角坐标系，设P（t，t，z），由与共线，可得t＝1﹣z，进而结合空间两点的距离公式表示出|PQ|，然后利用函数的性质求出最值即可． 【解答】解：设正方体的棱长为1，以A为原点，AB，AD，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，MN的中点，A1（0，0，1），C（1，1，0）， 则，设P（t，t，z），， 由与共线，可得，所以t＝1﹣z， 所以P（1﹣z，1﹣z，z），其中0≤z≤1， 因为， ， 所以，所以PQ⊥MN，即是动点P到直线MN的距离， 由空间两点间的距离公式可得： ， 所以当时，取得最小值， 此时P为线段CA1的中点， 由于为定值，所以当△PMN的面积取得最小值时，P为线段CA1的中点． 故答案为：． 【点评】本题主要考查空间向量在立体几何中的应用，属于基础题． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）已知两直线l1：x﹣y﹣1＝0，l2：x+y﹣5＝0． （1）求经过两直线的交点，且垂直于直线3x+4y﹣5＝0的直线方程； （2）已知两点A（﹣1，1），B（0，2），点A关于直线l1的对称点为点A1，求|A1B|的值． 【分析】（1）先联立直线方程求出两直线的交点坐标，再根据所求直线垂直于直线3x+4y﹣5＝0，求出所求直线的斜率，利用直线的点斜式方程即可求解； （2）设点A（﹣1，1）关于直线l1对称的点为A1（m，n），根据点A和A1的中点在直线l1上，且AA1⊥l1，先求出点A1的坐标，再根据两点间距离公式即可求解． 【解答】解：（1）联立，解得x＝3，y＝2， 可得两直线的交点坐标为（3，2）， 由已知可得所求直线的斜率为， 则所求直线方程为，即4x﹣3y﹣6＝0； （2）设点A（﹣1，1）关于直线l1对称的点为A1（m，n）， 则，解得，即A1（2，﹣2）， 所以． 【点评】本题考查直线方程的求法，是基础题． 16．（本小题满分15分）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为p1（0＜p1＜1），收到0的概率为1﹣p1；发送1时，收到0的概率为p2（0＜p2＜1），收到1的概率为1﹣p2．现有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1，若依次收到1，1，1，则译码为1）． （1）已知． ①若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率； ②若采用单次传输方案，依次发送0，0，1，证明：事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立． （2）若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求p2的取值范围． 【分析】（1）①记事件A为“至少收到一次0”，利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算能求出至少收到一次0的概率． ②记事件B为“第三次收到的信号为1”，事件C为“三次收到的数字之和为2”，证明P（BC）＝P（B）P（C），由此能证明事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立． （2）记事件M为“采用三次传输方案时译码为0”，事件N为“采用单次传输方案时译码为0”，根据P（M）＞P（N），能求出p2的取值范围． 【解答】解：（1）①记事件A为“至少收到一次0”， 则至少收到一次0的概率为P（A）． ②证明：记事件B为“第三次收到的信号为1”，事件C为“三次收到的数字之和为2”， 则P（B）＝1， P（C）， P（BC）， ∵P（BC）＝P（B）P（C）， ∴事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立． （2）记事件M为“采用三次传输方案时译码为0”，事件N为“采用单次传输方案时译码为0”， P（M）， P（N）＝p2， 根据题意得P（M）＞P（N）， ∴p2， ∵0＜p2＜1，∴，， 解得， ∴p2的取值范围是（）． 【点评】本题考查相互独立事件、互斥事件的概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 17．（本小题满分15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，． （1）求平面APC与平面PCD夹角的余弦值； （2）设Q为线段PC上一点（不包含端点），若直线AQ与平面PCD所成角的正弦值为，求． 【分析】（1）根据题意直线AB，AD，AP两两垂直，建立空间直角坐标系求出平面APC与平面PCD的法向量，利用夹角公式求解； （2）设，λ∈（0，1），利用线面角的坐标公式求解． 【解答】解：（1）因为PA⊥底面ABCD，AB，AD⊂底面ABCD， 则PA⊥AB，PA⊥AD， 所以直线AB，AD，AP两两垂直， 以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，D（0，4，0），， 所以，，， 设平面APC的一个法向量为， 则，有， 令，得y＝1，z＝0， 所以平面APC的一个法向量为， 同理可得平面PCD的一个法向量为， 设平面APC与平面PCD的夹角为α， 则， 故平面APC与平面PCD夹角余弦值为． （2），因为Q在线段PC上（不含端点）， 所以设，λ∈（0，1）， 故． 由（1）可知平面PCD的一个法向量， 设直线AQ与平面PCD所成角为β， 故， 解得λ＝0（舍）或，故． 【点评】本题考查向量法的应用，属于中档题． 18．（本小题满分17分）已知一条动直线3（m+1）x+（m﹣1）y﹣6m﹣2＝0， （1）求证：直线恒过定点，并求出定点P的坐标； （2）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在直线满足下列条件： ①△AOB的周长为12； ②△AOB的面积为6． 若存在，求出方程；若不存在，请说明理由． （3）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，当PAPB取最小值时，求直线的方程． 【分析】（1）整理直线方程得（3x+y﹣6）m+3x﹣y﹣2＝0．由3x+y﹣6＝0且3x﹣y﹣2＝0可求； （2）设直线的方程，满足①可得，联立可解a，b，即可得方程；若满足②，可得，同样可得方程，它们公共的方程即为所求． （3）利用直线的倾斜角表示PAPB，利用换元法，结合三角函数的性质及函数的单调性可求． 【解答】解：（1）整理直线方程得（3x+y﹣6）m+3x﹣y﹣2＝0．由3x+y﹣6＝0且3x﹣y﹣2＝0可得x，y＝2， 故直线恒过定点P（，2）， （2）设直线方程为，（a＞0，b＞0）， 若满足条件（1），则a+b12，① 又∵直线过点P（，2）， ，② 由①②可得5a2﹣32a+48＝0， 解得，或． ∴所求直线的方程为或1， 即3x+4y﹣12＝0或15x+8y﹣36＝0． 若满足条件②，则ab＝12，③ 由题意得，1，④ 由③④整理得a2﹣6a+8＝0， 解得a＝4，b＝3，或a＝2，b＝6，（舍）， ∴所求直线的方程为， 即3x+4y﹣12＝0或3x+y﹣6＝0． 综上所述：存在同时满足①②两个条件的直线方程，为3x+4y﹣12＝0， （3）由题意可知直线的倾斜角， 所以PA，PB， 所以PAPB， 令t＝cosα﹣sinα， 由可得，cos（），t， PAPB在[，﹣1）上单调递增， 当t即时，上式取得最小值4，此时直线方程为y﹣2＝﹣（x）， 化简可得，直线方程为3x+3y﹣10＝0． 【点评】本题主要考查了直线恒过定点问题，还考查了直线方程的综合应用，属于中档试题． 19．（本小题满分17分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥AB，AB⊥BC． （1）证明：AD∥平面PBC； （2）若PA⊥面ABC，且AP＝2，AB＝BC＝1，三棱锥P﹣ABC外接球的球心为O，求直线AO与平面PBC所成角正弦值； （3）若平面PAD⊥平面PBC，PD⊥PB，且AB＝BC＝1，AD＝2，求BP的取值范围． 【分析】（1）由题意可知AD∥BC，由线面平行的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，确定球心位置，然后利用线面角的坐标求法求解即可； （3）建立空间直角坐标系，分别求出平面PAD和平面PBC的法向量，利用法向量数量积为0可得b的范围，进而求解． 【解答】解：（1）证明：在平面ABCD中，因为AD⊥AB，AB⊥BC， 所以AD∥BC， 又AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC， 所以AD∥平面PBC． （2）因为PA⊥平面ABC，AB，AD⊂平面ABC， 所以PA⊥AB，PA⊥AD，又因为AD⊥AB， 以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，2）， 因为△ABC中，AB⊥BC，所以△ABC外心为AC中点， 故三棱锥P﹣ABC外接球球心O在过M且垂直于平面ABC的直线上，故设， 又因为|OP|＝|OA|，所以， 故h＝1，所以， 所以，又因为，， 设平面PBC的一个法向量为， 则，于是， 令x＝2，得y＝0，z＝1， 所以平面PBC的一个法向量为， 设直线AO与平面PBC所成角为α， 则． （3）以B为原点，以BC，BA所在直线分别为x轴，y轴，以过点B垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则A（0，1，0），C（1，0，0），D（2，1，0），设P（a，b，c）， 所以，，设平面PAD的一个法向量为， 则，于是， 令y1＝c，得x1＝0，z1＝1﹣b， 所以平面PAD的一个法向量为， 同理平面PBC的一个法向量为， 又因为平面PAD⊥平面PBC， 所以，所以b2﹣b＝﹣c2＜0，所以0＜b＜1， 又因为，，且PD⊥PB， 所以， 所以a＝0或2， 当a＝0时，， 当a＝2时，， 故． 【点评】本题考查线面平行的判定，以及向量法的应用，属于中档题 学科网（北京）股份有限公司 $