第2章 实数的概念与分类、无理数的大小估算与比较大小、无理数与勾股定理专项训练 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 以“概念辨析-估算应用-综合探究”为逻辑主线，精选多地区阶段检测与期末试题，系统覆盖实数核心考点，强化几何直观与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |实数的概念与分类|3例+3变式|无理数识别、正有理数判断、性质推断|从概念内涵（无理数定义）到外延（分类与性质）| |无理数的大小估算与比较大小|4例+5变式|数值估算、数轴定位、大小比较|基于平方数特征的估算方法，结合数轴直观表达| |无理数与勾股定理|3例+3变式|构造无理数、数轴表示、实际应用、材料探究|勾股定理为工具，实现无理数的几何化表示与实际问题解决|

实数的概念与分类、无理数的大小估算与比较大小、无理数与勾股定理专项训练 实数的概念与分类、无理数的大小估算与比较大小、无理数与勾股定理专项训练 考点目录 实数的概念与分类 无理数的大小估算与比较大小 无理数与勾股定理 考点一 实数的概念与分类 例1．（25-26八年级上·江西赣州·阶段检测）下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】无限不循环小数是无理数，为判断提供依据．逐一分析每个选项对应的数的类型：因为整数和分数统称为有理数，所以先判断选项是否属于整数或分数范畴．针对含开方运算的选项，判断被开方数是否为完全平方数，如果被开方数不是完全平方数，那么开方结果是无限不循环小数，属于无理数． 【详解】解：我们把无限不循环小数叫做无理数，而整数和分数都属于有理数： 选项A的0是整数，属于有理数； 选项B的是负整数，属于有理数； 选项C的是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数； 选项D的是分数，属于有理数． 例2．（25-26七年级下·陕西西安·期末）下列四个选项中，是负无理数的是（     ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A．是正无理数，不满足负数要求，排除； 选项B．既不是正数也不是负数，且是有理数，排除； 选项C．，且是无限不循环小数，属于无理数，因此是负无理数，符合要求； 选项D．是负有理数，不是无理数，排除． 例3．（25-26八年级上·北京昌平·阶段检测）有下面四个推断： ①两个无理数的和一定是无理数； ②两个无理数的积一定是无理数； ③一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； ④一个有理数与一个无理数的积一定是无理数． 上述推断中，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】通过举反例和反证法逐个判断四个推断的正误即可得到结果． 【详解】① 推断“两个无理数的和一定是无理数”，取无理数和，，是有理数，因此①错误； ② 推断“两个无理数的积一定是无理数”，取无理数和，，是有理数，因此②错误； ③ 推断“一个有理数与一个无理数的和一定是无理数”，设是有理数，是无理数，假设为有理数，可得， ∵ 两个有理数的差仍为有理数， ∴ 为有理数，与是无理数矛盾，因此③正确； ④ 推断“一个有理数与一个无理数的积一定是无理数”，取有理数和无理数，，是有理数，因此④错误； 综上，正确的推断只有个． 变式1．（25-26八年级上·安徽宣城·阶段检测）在实数，，，，，，，中，正有理数的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，， ，是正整数，属于正有理数； 是正分数，属于正有理数； ，是正无限循环小数，属于正有理数； 既不是正数，也不是负数，不属于正有理数； 是负数，不属于正有理数； 是无理数，不属于正有理数； 综上，正有理数共有5个． 变式2．（25-26七年级下·贵州安顺·期末）在下列实数中，属于无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，均为有理数， ∴选项A、C、D不符合题意； ∵是无理数， ∴选项B符合题意． 变式3．（25-26八年级上·山东日照·阶段检测）下列说法中：①实数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③无限小数都是无理数；④两个无理数的和仍是无理数．其中正确的是（     ） A．① B．②③ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查实数相关概念，根据实数与数轴的对应关系，有理数、无理数的定义与性质，逐项分析判断即可求解． 【详解】解： ① 实数和数轴上的点一一对应，符合实数的性质，故①正确； ② 不带根号的数不一定是有理数，例如不带根号，但属于无理数，故②错误； ③ 无限小数不都是无理数，其中无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数是无理数，故③错误； ④ 两个无理数的和不一定是无理数，例如，和为有理数，故④错误； 综上只有①正确． 考点二 无理数的大小估算与比较大小 例1．（25-26八年级下·重庆荣昌·期末）若为正整数，且满足，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】找到与相邻的完全平方数，估算的取值范围，结合已知不等式确定的值． 【详解】解：∵，，且， ∴，即， ∵为正整数且， ∴． 例2．（25-26八年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，若数轴上的点，，，分别表示数，，，，则表示数的点应在（     ） A．点与点之间 B．点与点之间 C．点与点之间 D．点与点之间 【答案】C 【详解】解：， ， ， ， 表示数的点应在点与点之间． 例3．（25-26七年级下·内蒙古通辽·期末）若为正整数，且满足，的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查无理数大小的估算，有理数的乘方计算，确定所在的整数范围是解题关键，通过比较相邻完全平方数得到的范围，进而求出的值，再计算即可． 【详解】解：，， ， ，且为正整数， ， 则． 例4．（25-26八年级上·陕西商洛·期中）比较大小：______1．（填“”或“”） 【答案】 【分析】通过变形将问题转化为比较和的大小，利用算术平方根的性质估算即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 变式1．（25-26七年级下·广东广州·期末）估算无理数在哪两个数之间，其中最精确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平方后比较大小的方法，逐步缩小的范围，得到最精确的区间即可． 【详解】解：∵ ，，，， ∴ ， 观察四个选项，选项C符合题意． 变式2．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，数轴上表示的点落在（     ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】B 【分析】根据，结合数轴求解即可； 【详解】解：， ， 根据数轴的意义，得落在段②； 变式3．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期末）《九章算术》是现存最早、最完整的数学专著，全书共九章，因此得名，其第四章《少广章》中提出了世界上最早的开平方法即“开方术”，“开方术”能先估算出平方根的整数部分．利用“开方术”可以判断介于两个相邻的整数之间，这两个相邻的整数是（     ） A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6 【答案】C 【分析】找到与19相邻的两个完全平方数，根据算术平方根的性质即可判断的范围． 【详解】解：∵ ，，且 ， ∴ ，即 ， ∴ 介于和之间． 变式4．（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）估计在哪两个整数之间（     ） A．24与25 B．3与4 C．4与5 D．5与6 【答案】D 【分析】先估算的取值范围，再根据不等式性质得到的范围，即可得到结果． 【详解】解： ，即 不等式三边同时加1，得 因此在和之间， 故选D． 变式5．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）中国汉字中的字体结构讲究平衡与比例，许多字体的笔画分布接近黄金分割，如“永”字的整体宽度与高度的比例接近黄金分割比．已知黄金分割比为，则____．（填“＞”，“＜”或“＝”） 【答案】 【分析】通过估算无理数的近似值，得到黄金分割比的取值范围，再与比较大小即可． 【详解】解： ， ． ∴． ∴． 又 ，且 ， ． 考点三 无理数与勾股定理 例1．（25-26八年级上·河南郑州·阶段检测）解决下列问题： (1)写出两个无理数，使它们的差为，并写出具体算式； (2)如图2，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是 ； (3)有理数a、b、c在数轴上的位置如图1所示，试化简：． 【答案】(1)两个无理数分别是和， (2) (3)0 【分析】（1）根据无理数的定义写出一个无理数，然后写出另一个无理数等于其加5的和即可； （2）先利用勾股定理求出正方形对角线长，再根据数轴上两点之间的距离求解即可． （3）根据数轴上各点的位置，可以判断出，，即，，，由此进行化简即可； 【详解】（1）解：两个无理数分别是和， ∴． （2）解：正方形的对角线长， ∵以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧， 且点A在原点的左侧， ∴点A表示的数为：． （3）解：根据数轴可知∶，， ∴，，， ∴ 例2．（25-26八年级下·陕西商洛·期末）我们知道，实数和数轴上的点是一一对应的，因此，实数都可以在数轴上找到相应的位置． (1)如图①，一个直角三角形的直角边落在数轴上，点与数轴原点重合，，，，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的实数是 ； (2)在图②中，作出实数所在的位置．（保留必要的作图痕迹） 【答案】(1) (2)如图，点表示的实数为． 构造直角如图所示，直角边落在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，，则，， 由勾股定理得， 以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则， ∴点表示的实数为． 【分析】（1）根据勾股定理求出，得到，即可解答； （2）以实数为圆心，半径长作弧与数轴的交点即为表示的实数为，通过构造直角三角形得到半径长即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 由作图，可知， ∵点与数轴原点重合， ∴点表示的实数是； （2）略 例3．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）为测量河的宽度（垂直河岸），在地面上取参考点H，测得米，米，米，已知米，（M、P、N在同一直线上），求河宽（结果保留根号）． 【答案】这条河的宽度为米 【分析】根据勾股定理的逆定理，确定，再利用勾股定理解答即可． 【详解】解：米，米，米， ， 为直角三角形，且， 在中，米，米， 米， 米， 即这条河的宽度为米． 变式1．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如何在数轴上找到表示无理数的点？部分无理数可通过构造直角三角形，运用勾股定理的知识来解决．请阅读并完成下列问题： (1)如图，过数轴上表示的点，作数轴的垂线，并截取长度为的线段，连接，以点为圆心，以为半径画弧，与数轴正半轴交于点，请直接写出点表示的数． (2)如图，请参照（1）的作法，在数轴上找到表示的点．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1) (2)如图，点即为所求． 【分析】（1）利用勾股定理求出，即可得出答案． （2）过数轴上表示的点，作数轴的垂线，并截取长度为的线段，连接，以点为圆心，以为半径画弧，与数轴正半轴交于点． 【详解】（1）解：∵点表示的数是， ∴， ∵，， ∴， ∵以点为圆心，以为半径画弧，与数轴正半轴交于点， ∴， ∴点表示的数为． （2）解：∵，，， ∴， ∴点即为所求． 变式2．（25-26八年级上·福建福州·期中）阅读下列材料，回答问题． 材 料 1 数形结合是重要的数学思想．将边长为1的两个小正方形按如图1所示的方法进行剪拼成一个大的正方形，小正方形的对角线的长就是大正方形的边长．（选自课本P42页） 材 料 2 实数与数轴上的点一一对应．如图2，正方形的边长为1个单位长度，以原点为圆心，以正方形的对角线长为半径画弧，与数轴分别交于点，，则点对应的数为，点对应的数为．（选自课本P54页） (1)材料中，数是___________；点与之间的距离为___________； 类比探究： (2)由以上材料，小连同学受到启发，若把长为2、宽为1的两个长方形沿对角线剪开（对角线的长记为），得到四个形状大小一样的直角三角形，然后将它们拼成如图3所示的大正方形，中间恰好形成一个边长为的小正方形，求出的值； (3)若要得到无理数，可选择长与宽均为正整数的两个适当的长方形，参照图3的剪拼方法得到一个中间小正方形边长为的大正方形．请在图4的正方形网格图中用实线画出这个拼接成的大正方形和小正方形，且该大正方形一条边与数轴重合，小正方形的一个顶点与原点重合，并用圆规在数轴上画出表示的点．（保留作图痕迹，并标注点） 【答案】(1)； (2)的值为 (3) 中间小正方形边长为的大正方形和点为所求： 【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案；②根据即可求出答案； （2）根据面积列方程并解方程即可； （3）根据网格的特点和勾股定理作图即可． 【详解】（1）解：①∵,点对应的数为， ∴； ②∵ ∴点与之间的距离为． （2）根据题意可列方程：    解得（取正数） 所以的值为 （3）略 变式3．（25-26八年级上·上海·期末）阅读以下素材并解决问题： “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式 的最小值． 分析：和 是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上，向右平移直角使点B和E重合（图1），这时，，问题就变成“点 B 在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． (1)代数式的最小值是_____． (2)根据上述信息，求代数式的最小值． (3)已知正数满足，结合上述问题的方法，求的值． 【答案】(1)41 (2) (3) 【分析】（1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可； （3）先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可． 【详解】（1）解：如图2，根据题意得：，， ， ∴的最小值是41； （2）解：如图，，， 设，则， ∴， ∴的最小值是； （3）解：构造于，如图所示： 设，则， ， ， ， ， ， ∴方程的解是． 2 学科网（北京）股份有限公司 $实数的概念与分类、无理数的大小估算与比较大小、无理数与勾股定理专项训练 实数的概念与分类、无理数的大小估算与比较大小、无理数与勾股定理专项训练 考点目录 实数的概念与分类 无理数的大小估算与比较大小 无理数与勾股定理 考点一 实数的概念与分类 例1．（25-26八年级上·江西赣州·阶段检测）下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26七年级下·陕西西安·期末）下列四个选项中，是负无理数的是（     ） A． B．0 C． D． 例3．（25-26八年级上·北京昌平·阶段检测）有下面四个推断： ①两个无理数的和一定是无理数； ②两个无理数的积一定是无理数； ③一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； ④一个有理数与一个无理数的积一定是无理数． 上述推断中，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1．（25-26八年级上·安徽宣城·阶段检测）在实数，，，，，，，中，正有理数的个数是（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26七年级下·贵州安顺·期末）在下列实数中，属于无理数的是（     ） A． B． C． D． 变式3．（25-26八年级上·山东日照·阶段检测）下列说法中：①实数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③无限小数都是无理数；④两个无理数的和仍是无理数．其中正确的是（     ） A．① B．②③ C．①②③ D．①③④ 考点二 无理数的大小估算与比较大小 例1．（25-26八年级下·重庆荣昌·期末）若为正整数，且满足，则的值为（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，若数轴上的点，，，分别表示数，，，，则表示数的点应在（     ） A．点与点之间 B．点与点之间 C．点与点之间 D．点与点之间 例3．（25-26七年级下·内蒙古通辽·期末）若为正整数，且满足，的值是_____． 例4．（25-26八年级上·陕西商洛·期中）比较大小：______1．（填“”或“”） 变式1．（25-26七年级下·广东广州·期末）估算无理数在哪两个数之间，其中最精确的是（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，数轴上表示的点落在（     ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 变式3．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期末）《九章算术》是现存最早、最完整的数学专著，全书共九章，因此得名，其第四章《少广章》中提出了世界上最早的开平方法即“开方术”，“开方术”能先估算出平方根的整数部分．利用“开方术”可以判断介于两个相邻的整数之间，这两个相邻的整数是（     ） A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6 变式4．（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）估计在哪两个整数之间（     ） A．24与25 B．3与4 C．4与5 D．5与6 变式5．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）中国汉字中的字体结构讲究平衡与比例，许多字体的笔画分布接近黄金分割，如“永”字的整体宽度与高度的比例接近黄金分割比．已知黄金分割比为，则____．（填“＞”，“＜”或“＝”） 考点三 无理数与勾股定理 例1．（25-26八年级上·河南郑州·阶段检测）解决下列问题： (1)写出两个无理数，使它们的差为，并写出具体算式； (2)如图2，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是 ； (3)有理数a、b、c在数轴上的位置如图1所示，试化简：． 例2．（25-26八年级下·陕西商洛·期末）我们知道，实数和数轴上的点是一一对应的，因此，实数都可以在数轴上找到相应的位置． (1)如图①，一个直角三角形的直角边落在数轴上，点与数轴原点重合，，，，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的实数是 ； (2)在图②中，作出实数所在的位置．（保留必要的作图痕迹） 例3．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）为测量河的宽度（垂直河岸），在地面上取参考点H，测得米，米，米，已知米，（M、P、N在同一直线上），求河宽（结果保留根号）． 变式1．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如何在数轴上找到表示无理数的点？部分无理数可通过构造直角三角形，运用勾股定理的知识来解决．请阅读并完成下列问题： (1)如图，过数轴上表示的点，作数轴的垂线，并截取长度为的线段，连接，以点为圆心，以为半径画弧，与数轴正半轴交于点，请直接写出点表示的数． (2)如图，请参照（1）的作法，在数轴上找到表示的点．（保留作图痕迹，不写作法） 变式2．（25-26八年级上·福建福州·期中）阅读下列材料，回答问题． 材料1 数形结合是重要的数学思想．将边长为1的两个小正方形按如图1所示的方法进行剪拼成一个大的正方形，小正方形的对角线的长就是大正方形的边长．（选自课本P42页） 材料2 实数与数轴上的点一一对应．如图2，正方形的边长为1个单位长度，以原点为圆心，以正方形的对角线长为半径画弧，与数轴分别交于点，，则点对应的数为，点对应的数为．（选自课本P54页） (1)材料中，数是___________；点与之间的距离为___________； 类比探究： (2)由以上材料，小连同学受到启发，若把长为2、宽为1的两个长方形沿对角线剪开（对角线的长记为），得到四个形状大小一样的直角三角形，然后将它们拼成如图3所示的大正方形，中间恰好形成一个边长为的小正方形，求出的值； (3)若要得到无理数，可选择长与宽均为正整数的两个适当的长方形，参照图3的剪拼方法得到一个中间小正方形边长为的大正方形．请在图4的正方形网格图中用实线画出这个拼接成的大正方形和小正方形，且该大正方形一条边与数轴重合，小正方形的一个顶点与原点重合，并用圆规在数轴上画出表示的点．（保留作图痕迹，并标注点） 变式3．（25-26八年级上·上海·期末）阅读以下素材并解决问题： “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式 的最小值． 分析：和 是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上，向右平移直角使点B和E重合（图1），这时，，问题就变成“点 B 在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． (1)代数式的最小值是_____． (2)根据上述信息，求代数式的最小值． (3)已知正数满足，结合上述问题的方法，求的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $