专题一 勾股定理中的折叠问题 专项训练（寒假复习）2025－2026学年北师大版数学八年级上册

专题一 勾股定理中的折叠问题 日期： 姓名： 家长签字： 1．如图，将一个边长分别为16cm，8cm的长方形ABCD纸片折叠，使点C与点A重合，折痕分别交BC、AD于点E、F，则BE的长是（　　） A．8cm B． 7cm C．6cm D．5cm 2．如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝8，AC＝6，D为BC边上一点，连接AD，将△ABC沿AD进行折叠，使得点B落在AC边延长线上的点B′处，则BD的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，按图中方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C′处，则C′D的长为　 　 ． 5．长方形ABCD中，AB＝5，BC＝4，将长方形折叠，使得点B落在线段CD上，则线段BE的长为 　 　 ． 6．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D，E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B′． （1）如图①，如果点B′和顶点A重合，求CE的长； （2）如图②，如果B′是AC的中点，求CE的长． 7．如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于点G，则△BEG的周长是多少？ 专题一 勾股定理中的折叠问题（答案） 1．如图，将一个边长分别为16cm，8cm的长方形ABCD纸片折叠，使点C与点A重合，折痕分别交BC、AD于点E、F，则BE的长是（　　） A．8cm B．7cm C．6cm D．5cm 【解答】解：又由折叠性质，知CE+BE＝AE+BE=BC＝16，设BE＝xcm，则AE＝（16﹣x）cm， 在Rt△AEB中，由勾股定理得： x2+82＝（16﹣x）2， 解得：x＝6， 则BE＝6． 故选：C． 2．如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝8，AC＝6，D为BC边上一点，连接AD，将△ABC沿AD进行折叠，使得点B落在AC边延长线上的点B′处，则BD的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：在△ABC中，AB＝10，BC＝8，AC＝6， ∴62+82＝102，即AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°， ∵将△ABC沿AD进行折叠，使得点B落在AC边延长线上的点B′处， 由折叠的性质得：△ABD≌△AB′D， ∴AB＝AB′，BD＝B′D， ∴B′C＝AB′﹣AC＝10﹣6＝4， 设BD＝x，则DC＝8﹣x， 在Rt△B′DC中，由勾股定理得：B′D2＝DC2+B′C2， ∴x2＝（8﹣x）2+42， 解得：x＝5， ∴BD的长为5， 故选：C． 3．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：∵Rt△DC′B由Rt△DBC翻折而成， ∴CD＝C′D＝AB＝4，∠C＝∠C′＝90°， 设DE＝x，则AE＝8﹣x， ∵∠A＝∠C′＝90°，∠AEB＝∠DEC′， ∴∠ABE＝∠C′DE， 在Rt△ABE与Rt△C′DE中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△C′DE（ASA）， ∴BE＝DE＝x， 在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2， ∴42+（8﹣x）2＝x2， 解得：x＝5， ∴DE的长为5． 故选：C． 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，按图中方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C′处，则C′D的长为　3　 ． 【解答】解：设C′D＝x，则AD＝8﹣x， 由折叠得：CD＝C′D＝x，BC＝BC′＝6， 由勾股定理得：AB10， ∴AC′＝10﹣6＝4， 由勾股定理得：AD2＝C′D2+C′A2， （8﹣x）2＝x2+42， 解得：x＝3， 故答案为：3． 5． 长方形ABCD中，AB＝5，BC＝4，将长方形折叠，使得点B落在线段CD上，则线段BE的长 为 　　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝5，BC＝AD＝4， ∵将长方形折叠，使得点B落在线段CD上， ∴AB′＝AB＝5，BE＝B′E， ∴， ∴B′C＝CD﹣B′D＝2， 设BE＝B′E＝x，则CE＝BC﹣BE＝4﹣x， ∵CE2+B′C2＝B′E2， ∴（4﹣x）2+22＝x2， 解得， 即线段BE的长为． 故答案为：． 6．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D，E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B′． （1）如图①，如果点B′和顶点A重合，求CE的长； （2）如图②，如果B′是AC的中点，求CE的长． 【解答】（1）解：若点B′和顶点A重合，由折叠的性质可得：AE＝BE， 设CE＝x， ∵BC＝8， ∴AE＝BE＝BC﹣CE＝8﹣x， 在Rt△ACE中， ∵∠C＝90°， ∴由勾股定理得：AC2+CE2＝AE2， ∴62+x2＝（8﹣x）2， 解得：， ∴． （2）解：∵点B′落在AC的中点， ∴， 设CE＝y，则B′E＝BE＝BC﹣CE＝8﹣y， ∵∠C＝90°， ∴由勾股定理得：B′C2+CE2＝B′E2， ∴32+y2＝（8﹣y）2， 解得：， 即CE的长为：． 7．如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于点G，则△BEG的周长是多少？ 【解答】解：连接GD，如图所示， 由折叠可知，DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°， ∴∠DFG＝∠A＝90°， ∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL）， ∴AG＝FG， ∵正方形边长是12， ∴BE＝EC＝EF＝6， 设AG＝FG＝x，则EG＝x+6，BG＝12﹣x， 由勾股定理得：EG2＝BE2+BG2， 即：（x+6）2＝62+（12﹣x）2， 解得：x＝4， ∴AG＝GF＝4，BG＝8， ∴， ∴△BEG的周长为BE+EG+GB＝6+8+10＝24． 学科网（北京）股份有限公司 $