专题06 实数及二次根式70道计算题专项训练（10大题型）-2026-2027学年北师大八年级数学上册

**基本信息** 聚焦实数及二次根式核心运算，以10大题型系统覆盖概念应用、运算技巧及规律探索，70道题构建从基础到综合的训练体系，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平方根/立方根运算|14题|概念辨析与方程求解|从定义到应用，建立数的开方运算逻辑| |二次根式运算|28题|乘除、加减及混合运算|遵循“化简—运算—合并”步骤，强化运算法则| |化简求值/分母有理化|14题|代数式化简与条件代入|体现符号意识，衔接代数变形能力| |新定义/估算/规律探索|14题|情境迁移与逻辑推理|从具体计算到抽象建模，发展应用意识|

第06讲 实数及二次根式70道计算题专项训练（10大题型） 题型一 平方根、平方根方程运算 题型二 立方根、立方根方程运算 题型三 二次根式的乘除法 题型四 二次根式的加减法 题型五 已知字母的值化简求值 题型六 分母有理化 题型七 实数的混合运算 题型八 实数的新定义运算 题型九 无理数的估算 题型十 平方根、立方根的规律探索题 【经典计算题一 平方根、平方根方程运算】 1．（26-27八年级上·全国·课后作业）将下列各数开平方： (1)49； (2)． 2．（26-27八年级·上海·期中）化简： (1)； (2)； (3)． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．（24-25七年级下·黑龙江·阶段检测）已知，求的算术平方根． 5．（25-26七年级下·河南新乡·期中）已知与 互为相反数，求的平方根． 6．（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）已知某正数的两个不同平方根分别是和，的算术平方根为1．求的值． 7．（25-26八年级上·广东佛山·阶段检测）已知的平方根是，的立方根是， (1)求和的值； (2)求的算术平方根． 【经典计算题二 立方根、立方根方程运算】 8．（26-27八年级上·全国·课后作业）求下列各数的立方根： (1)； (2)； (3)． 9．（25-26七年级下·陕西商洛·期中）求下列各式中的的值： (1)； (2)． 10．（25-26七年级下·山东临沂·期中）已知，求的立方根． 11．（25-26七年级下·河北沧州·期中）按要求完成下列各小题． (1)计算：； (2)已知，，且，求的平方根． 12．（25-26七年级下·广西玉林·期中）已知的平方根是，的立方根是． (1)求，的值． (2)求的平方根． 13．（25-26八年级上·辽宁丹东·期中）若的算术平方根是3，的立方根是2． (1)求的值； (2)求的平方根． 14．（25-26八年级上·广东佛山·期中）已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为． (1)求出a，b的值； (2)求的平方根和的立方根． 【经典计算题三 二次根式的乘除法】 15．（25-26八年级下·湖北咸宁·期中）计算：． 16．（25-26八年级下·北京·阶段检测）计算：． 17．（25-26八年级上·上海·期末）计算：． 18．（25-26八年级上·上海·期中）计算：． 19．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)． 20．（25-26八年级下·天津河东·阶段检测）计算： (1)； (2)． 21．（25-26八年级下·福建厦门·期中）计算 (1)； (2)． 【经典计算题四 二次根式的加减法】 22．（25-26八年级下·广西柳州·期中）计算：． 23．（25-26七年级下·北京丰台·期末）计算：． 24．（25-26八年级下·四川广元·期中）计算： (1)； (2)． 25．（25-26八年级下·广西玉林·期末）计算： (1)； (2)． 26．（25-26八年级下·北京·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 27．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 28．（26-27八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典计算题五 已知字母的值化简求值】 29．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知，求的值． 30．（25-26八年级下·北京西城·期中）已知，，求的值． 31．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）化简：，并求出时式子的值． 32．（25-26八年级下·河南开封·阶段检测）若x表示的整数部分，y表示它的小数部分，求的值． 33．（25-26八年级下·贵州黔东南·期中）已知，，求下列各式的值： (1) (2) 34．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）已知，，分别求下列代数式的值． (1)． (2)． 35．（25-26八年级下·北京·期中）计算： (1)； (2) (3) (4)已知：，求代数式的值． 【经典计算题六 分母有理化】 36．（25-26八年级上·上海奉贤·期末）计算：． 37．（25-26八年级上·上海杨浦·阶段检测）计算：． 38．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）已知；，求：的值 39．（25-26八年级下·浙江宁波·阶段检测）计算： (1) (2) 40．（25-26八年级下·湖北孝感·期中）已知，这种化简方法称为分母有理化． 请根据以上方法，解决如下问题：若，求的值． 41．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）分母有理化：． 以下是小明同学的解答过程： 请根据小明同学的解法，完成下面问题： (1)化简： ； (2)计算． 42．（25-26八年级上·山东青岛·阶段检测）在高中阶段，要求二次根式的最终结果中不含有根号，也就是说当分母中有无理数时要将其化为无理数，实现分母有理化． 试求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 【经典计算题七 实数的混合运算】 43．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算：．（精确到） 44．（25-26七年级下·北京密云·期末）计算：． 45．（25-26七年级下·河南南阳·期末）计算： (1)； (2) 46．（25-26七年级下·新疆阿克苏·期末）按要求完成下列各题： (1)计算：； (2)求下列式子中x的值：． 47．（26-27八年级上·湖南衡阳·期中）计算： (1)； (2)． 48．（25-26七年级下·天津津南·期末）计算： (1)； (2)． 49．（2026八年级上·河南南阳·模拟预测）计算： (1)； (2)． 【经典计算题八 实数的新定义运算】 50．（25-26七年级下·江西吉安·阶段检测）规定． (1)求； (2)若，求的值． 51．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）定义一种新运算“”，其运算方式如下：，例：．运用这种运算方法，若，求的值． 52．（25-26八年级上·安徽宿州·阶段检测）已知为实数，如果规定一种运算@，即，试根据这种运算完成下列各题． (1)求； (2)求． 53．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知a、b是有理数，定义一种新运算“⊗”，满足． (1)求的值； (2)当时，求x的值． 54．（24-25八年级上·全国·随堂练习）已知x，y为有理数，现规定一种新运算“”，满足． (1)求的值． (2)记，请猜想P与Q的数量关系，并说明理由． 55．（24-25八年级下·青海海东·期中）定义新运算：对于任意实数，都有，例如． (1)求的值； (2)求的值． 56．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段检测）阅读下列材料．让我们规定一种运算，如，再如．按照这种运算规定，请解答下列问题． (1)计算______；______；______； (2)当时，求的值（要求写出计算过程）． 【经典计算题九 无理数的估算】 57．（25-26八年级上·全国·课后作业）比较下列各组中两个数的大小： (1)和； (2)和． 58．（25-26七年级下·安徽六安·期中）先化简，再求值：，其中，为整数，． 59．（2.4估算（课前练））下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴进行交流． ≈0.066；≈96；≈60.4 60．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）不使用计算器，估计的近似值，（精确到0.01）； （2）已知的整数部分为a，小数部分为b．求的值． 61．（25-26七年级下·江西南昌·期中）任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[]=1，现对进行如下操作： ，这样对只需进行3次操作后变为1． (1)仿照以上方法计算：_____________． (2)若，写出满足题意的x的整数值______________． (3)只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是______________． 62．（25-26七年级下·安徽滁州·期中）我们规定：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数． 例如：，；，． (1)计算：______，_______． (2)若，满足题意的所有整数的和为______． (3)若，，求的平方根． 63．（25-26七年级下·上海杨浦·期中）阅读下面的文字，解答问题． 对于实数a，我们规定：用符号[a]表示不大于a的最大整数；用{a}表示a减去[a]所得的差． 例如：[]＝1，[2.2]＝2，{}＝﹣1，{2.2}＝2.2﹣2＝0.2． （1）仿照以上方法计算：[]＝　 　{5﹣}＝　 　； （2）若[]＝1，写出所有满足题意的整数x的值：　 　． （3）已知y0是一个不大于280的非负数，且满足{}＝0．我们规定：y1＝[]，y2＝[]，y3＝[]，…，以此类推，直到yn第一次等于1时停止计算．当y0是符合条件的所有数中的最大数时，此时y0＝　 　，n＝　 　． 【经典计算题十 平方根、立方根的规律探索题】 64．（24-25七年级下·湖北荆门·阶段检测）计算下列各式中x的值： (1) (2) (3) 65．（25-26七年级下·吉林白城·阶段检测）计算下列各式，将结果填在横线上． ______；______；______； ______；______；______． 你发现了什么？__________________． 请根据上述规律完成计算： ______； ______．（n为正整数） 66．（25-26七年级下·广东东莞·期中）（1）填空：__________，__________；__________，__________． （2）请按以上规律计算：①；②． （3）已知，，用含，的式子表示． 67．（25-26七年级下·广东珠海·期中）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … … (1)分析发现：被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大 倍； (2)若一块长方形纸片的面积是400cm2，长与宽之比为2：1，求这块长方形纸片的长与宽（精确到，，． 68．（25-26七年级下·宁夏吴忠·期中）阅读材料，解答问题： (1)计算下列各式：，； ______________，_______________； 通过以上计算：猜想得出（，）=_________________． (2)运用（1）中的结论进行化简： 例如：；． 请化简① ② 69．（25-26七年级下·全国·单元测试）阅读下面内容，并解答问题． 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求出它的立方根．华罗庚不假思索地给出了答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥秘． (1)请按照下面的分析试一试： ①由，，可知是______位数； ②由59319的个位上的数是9，可知的个位上的数是______； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而，，由此确定的十位上的数是______； ④因此，______． (2)求的值． 70．（25-26七年级下·安徽淮北·期中）根据下表中的数据规律，解答下列问题： a 14 196 (1)213.16的平方根是 ； (2) ， ， ； (3)的整数部分是m，求的值的平方根． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 实数及二次根式70道计算题专项训练（10大题型） 题型一 平方根、平方根方程运算 题型二 立方根、立方根方程运算 题型三 二次根式的乘除法 题型四 二次根式的加减法 题型五 已知字母的值化简求值 题型六 分母有理化 题型七 实数的混合运算 题型八 实数的新定义运算 题型九 无理数的估算 题型十 平方根、立方根的规律探索题 【经典计算题一 平方根、平方根方程运算】 1．（26-27八年级上·全国·课后作业）将下列各数开平方： (1)49； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴49开平方得； （2）解：∵， ∴开平方得． 2．（26-27八年级·上海·期中）化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)12 (3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了求算术平方根，求平方根，熟练计算是解题的关键． 依据题意，根据算术平方根和平方根的定义，逐个进行化简与计算即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 4．（24-25七年级下·黑龙江·阶段检测）已知，求的算术平方根． 【答案】3或或 【分析】本题考查了平方根、立方根的定义．如果一个数的平方等于，这个数就叫做的平方根，也叫做的二次方根．如果一个数的立方等于，那么这个数就叫做的立方根．先根据平方根、立方根的定义得到关于的一元一次方程，解方程组即可求出的值，进而得到的平方根． 【详解】解：∵， ∴，解得， ，解得， 或，解得， 或，解得， 故或8或7， 则的算术平方根为3或或． 5．（25-26七年级下·河南新乡·期中）已知与 互为相反数，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，平方根以及相反数，解一元一次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由题意得 ，求出a、b值，即可求解． 【详解】解：∵，， 则当与 互为相反数时， 只能是， 解得：， ∴， ∴其平方根为． 6．（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）已知某正数的两个不同平方根分别是和，的算术平方根为1．求的值． 【答案】 【分析】根据平方根的性质，算术平方根的定义列式求解即可． 【详解】解：某正数的两个不同平方根分别是和， 故， 解得； 的算术平方根为1， ， 解得． 故． 7．（25-26八年级上·广东佛山·阶段检测）已知的平方根是，的立方根是， (1)求和的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，； (2)的算术平方根是 【分析】本题考查了平方根、立方根及算术平方根的定义，解题的关键是根据平方根和立方根的定义列出关于、的方程，求解后再计算算术平方根． （1）根据“的平方根是”，由平方根的定义可得，解此方程求出的值；再根据“的立方根是”，由立方根的定义可得，代入的值求出的值； （2）将（1）中求得的、的值代入，计算出结果后，根据算术平方根的定义求出其算术平方根． 【详解】（1）解：∵的平方根是， ∴由平方根的定义，得， 即，解得． ∵的立方根是， ∴由立方根的定义，得， 将代入，得， 即，，，解得． ∴，； （2）由（1）知，， ∴． ∵的算术平方根是， ∴的算术平方根是． 【经典计算题二 立方根、立方根方程运算】 8．（26-27八年级上·全国·课后作业）求下列各数的立方根： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 9．（25-26七年级下·陕西商洛·期中）求下列各式中的的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 整理得， 因此； （2）解：， 开立方得， 解得． 10．（25-26七年级下·山东临沂·期中）已知，求的立方根． 【答案】 【分析】本题根据偶次方的非负性、绝对值的非负性、算术平方根的非负性可求出的值，再代入计算的值，然后根据立方根的定义即可得． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴的立方根是． 11．（25-26七年级下·河北沧州·期中）按要求完成下列各小题． (1)计算：； (2)已知，，且，求的平方根． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）根据平方根、立方根的意义分别计算每一项，再求和即可； （2）先求x，y的值，再根据条件，确定，即，再计算并求平方根． 【详解】（1）解： ， ． （2）解：∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴的平方根为． 12．（25-26七年级下·广西玉林·期中）已知的平方根是，的立方根是． (1)求，的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】（1）根据平方根以及立方根的定义解决此题； （2）先将由（1）得，代入，再求解的平方根即可． 【详解】（1）∵的平方根是， ∴，解得：， ∵的立方根是， ∴，解得：； （2）∵由（1）得，， ∴， ∴的平方根为． 13．（25-26八年级上·辽宁丹东·期中）若的算术平方根是3，的立方根是2． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查实数的性质，熟练掌握平方根、立方根的定义是解题的关键． （1）根据平方根、立方根的定义解得、，将、值代入进行计算求解即可； （2）由（1）知，将、值代入，进而计算平方根即可． 【详解】（1）解：由于的算术平方根是3，的立方根是2， 则、 解得、 ； （2）由（1）知，、， 则 ， 因此的平方根为：． 答：的平方根为． 14．（25-26八年级上·广东佛山·期中）已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为． (1)求出a，b的值； (2)求的平方根和的立方根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键： （1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，得到，求出的值，立方根的定义，得到，求出的值即可； （2）根据平方根和立方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，， ∴； （2）∵， ∴的平方根为，的立方根为． 【经典计算题三 二次根式的乘除法】 15．（25-26八年级下·湖北咸宁·期中）计算：． 【答案】 【分析】把二次根式的除法化为乘法，计算即可． 【详解】解： =． 16．（25-26八年级下·北京·阶段检测）计算：． 【答案】 24 【分析】根据二次根式的乘法和除法法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 17．（25-26八年级上·上海·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的混合运算法则计算即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 18．（25-26八年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】利用二次根式乘除运算法则，分别计算系数部分和被开方数部分，再化简即可得到结果． 【详解】解： ． 19．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先化简二次根式，再计算乘法即可； （2）先化简二次根式，再计算除法即可． 【详解】（1）解： （2）解： 20．（25-26八年级下·天津河东·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．（25-26八年级下·福建厦门·期中）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 （2）原式 【经典计算题四 二次根式的加减法】 22．（25-26八年级下·广西柳州·期中）计算：． 【答案】 【分析】先化简二次根式，根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再合并同类二次根式． 【详解】解： ． 23．（25-26七年级下·北京丰台·期末）计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式的运算法则计算． 【详解】解：原式 ． 24．（25-26八年级下·四川广元·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算．先将非最简二次根式化为最简形式，再根据二次根式的混合运算法则进行运算即可解答． 【详解】（1）解： （2） 25．（25-26八年级下·广西玉林·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 26．（25-26八年级下·北京·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)9 【详解】【小题1】      ； 【小题2】 ； 【小题3】 ． 27．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)7 (4) 【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则即可求解． （2）首先根据零次幂、负指数次幂、绝对值的运算法则求出各式的值，然后进行求和得出答案； （3）首先根据立方根、绝对值和二次根式的性质化简，然后再合并即可解答； （4）利用平方差公式和二次根式的混合运算法则即可解答； 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ； （4）解： 28．（26-27八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【经典计算题五 已知字母的值化简求值】 29．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握化简二次根式的方法是解题的关键． 先对进行分母有理化得，再利用完全平方公式化简，将的值代入所求的化简后的式子，进行计算求解即可． 【详解】解：对进行分母有理化得： 所求表达式化简得：， 由于，则 因此． 答：的值为：． 30．（25-26八年级下·北京西城·期中）已知，，求的值． 【答案】 【分析】观察所求代数式，因为其符合平方差公式的形式，所以优先考虑用平方差公式因式分解，将其转化为的形式，简化计算．根据已知的和的表达式，分别计算与的值．把计算得到的和的结果相乘，即可得到最终的代数式的值． 【详解】解：． ∵， ， ∴． 31．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）化简：，并求出时式子的值． 【答案】； 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，先根据二次根式的性质进行化简，再将代入原式即可求解，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 将代入原式得：． 32．（25-26八年级下·河南开封·阶段检测）若x表示的整数部分，y表示它的小数部分，求的值． 【答案】 1 【分析】夹逼法求出的值，再根据二次根式的运算法则，进行计算即可. 【详解】解：∵，即， ∴， ∴. 33．（25-26八年级下·贵州黔东南·期中）已知，，求下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1)1 (2)9 【分析】（1）直接代入，利用平方差公式求解； （2）先求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：， ∴ ． 34．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）已知，，分别求下列代数式的值． (1)． (2)． 【答案】(1) (2)25 【分析】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键： （1）利用平方差公式法进行因式分解，整体代入法进行计算即可； （2）利用完全平方公式进行因式分解，整体代入法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2） ． 35．（25-26八年级下·北京·期中）计算： (1)； (2) (3) (4)已知：，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，二次根式的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）先化简二次根式，再合并即可； （2）先计算二次根式的乘法运算，再合并即可； （3）先计算二次根式的乘法运算，再合并即可； （4）先把化为，再代入计算即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4）解：∵， ∴； 【经典计算题六 分母有理化】 36．（25-26八年级上·上海奉贤·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先展开完全平方项，再对分式进行分母有理化，最后合并同类项完成计算． 【详解】解：原式 ． 37．（25-26八年级上·上海杨浦·阶段检测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算，解题的关键是正确化简二次根式． 先分母有理化，化简二次根式，再进行加减计算． 【详解】解： ． 38．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）已知；，求：的值 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式混合运算，分母有理数化，根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 39．（25-26八年级下·浙江宁波·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)2 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 40．（25-26八年级下·湖北孝感·期中）已知，这种化简方法称为分母有理化． 请根据以上方法，解决如下问题：若，求的值． 【答案】1 【分析】先分母有理化求得，则，进而可得，然后代入所求代数式中求解即可． 【详解】解：， ， ， ． ． 41．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）分母有理化：． 以下是小明同学的解答过程： 请根据小明同学的解法，完成下面问题： (1)化简： ； (2)计算． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查分母有理化，准确找出分母有理化因式是解题的关键． （1）直接找出有理化因式，进而分母有理化得出答案； （2）利用已知分别化简各二次根式，进而求出答案． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 42．（25-26八年级上·山东青岛·阶段检测）在高中阶段，要求二次根式的最终结果中不含有根号，也就是说当分母中有无理数时要将其化为无理数，实现分母有理化． 试求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分母有理化： （1）根据分母有理化方法，分子分母同时乘以即可得到结论； （2）根据分母有理化方法，分子分母同时乘以，即可得到结论； （3）根据分母有理化方法，分子分母同时乘以，即可得到结论． 【详解】（1）解：； （2）解∶ ； （3）解： ． 【经典计算题七 实数的混合运算】 43．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算：．（精确到） 【答案】 【分析】利用数的开方计算，按照四舍五入保留两位小数，精确到． 【详解】解：， ， ， ． 44．（25-26七年级下·北京密云·期末）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 45．（25-26七年级下·河南南阳·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别化简各部分后计算加减． （2）展开乘法，化简绝对值后计算最终结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 46．（25-26七年级下·新疆阿克苏·期末）按要求完成下列各题： (1)计算：； (2)求下列式子中x的值：． 【答案】(1)4 (2)或 【分析】（1）先计算立方根、算术平方根，再计算加减法即可； （2）平方根的性质：若，则，据此解方程即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：， ， 或． 47．（26-27八年级上·湖南衡阳·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 48．（25-26七年级下·天津津南·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）去括号后合并同类二次根式即可得到结果； （2）先计算平方，化简绝对值，再去括号合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 49．（2026八年级上·河南南阳·模拟预测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【经典计算题八 实数的新定义运算】 50．（25-26七年级下·江西吉安·阶段检测）规定． (1)求； (2)若，求的值． 【答案】(1)243 (2)1 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，解一元一次方程，理解定义的新运算是解题的关键． （1）根据定义新运算可得，然后进行计算即可解答． （2）根据定义新运算可得，然后进行计算即可解答． 【详解】（1）因为， 所以； （2）因为， 所以，则， 解得． 51．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）定义一种新运算“”，其运算方式如下：，例：．运用这种运算方法，若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查定义新运算，解一元一次方程，先根据新定义得出，再根据，得出，最后解方程即可得出答案． 【详解】 ， 解得：． 52．（25-26八年级上·安徽宿州·阶段检测）已知为实数，如果规定一种运算@，即，试根据这种运算完成下列各题． (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义，实数的混合运算，二次根式的加减运算，熟记运算法则是解本题的关键． （1）根据规定的新的运算规则计算即可； （2）先求出的值，再计算的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴ ． 53．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知a、b是有理数，定义一种新运算“⊗”，满足． (1)求的值； (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查解一元一次方程、有理数的混合运算，能够理解新定义的运算法则是解答本题的关键． （1）根据定义的运算可得，即可得出答案． （2）根据定义的运算将化为，再解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：． （2） ， ， 移项得：， 系数化1得：． ∴x的值为2． 54．（24-25八年级上·全国·随堂练习）已知x，y为有理数，现规定一种新运算“”，满足． (1)求的值． (2)记，请猜想P与Q的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) ，理由如下： 因为， ， 所以． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，理解新运算是解题的关键． （1）利用新定义的运算法则进行计算即可； （2）利用新定义的运算法则表示出的值，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：根据题意得， ； （2）略 55．（24-25八年级下·青海海东·期中）定义新运算：对于任意实数，都有，例如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义实数运算，涉及二次根式混合运算法则等知识，读懂题意，理解新定义运算公式，代值后由二次根式混合运算求解是解决问题的关键． （1）根据新定义的实数运算，代值求解即可得到答案； （2）先计算，再根据新定义的实数运算，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ． 56．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段检测）阅读下列材料．让我们规定一种运算，如，再如．按照这种运算规定，请解答下列问题． (1)计算______；______；______； (2)当时，求的值（要求写出计算过程）． 【答案】(1)1，， (2)11 【分析】本题考查了整式的化简求值以及新定义的运算，读懂题意掌握新运算并能用其将整式进行化简是解题的关键． （1）根据新运算的定义式，代入数据求出结果即可； （2）根据新运算的定义式将原式化简为，代入即可得出结论． 【详解】（1）解： ； ； ． 故答案为：1，，； （2）解：原式 当时，原式． ∴当时，的值为11． 【经典计算题九 无理数的估算】 57．（25-26八年级上·全国·课后作业）比较下列各组中两个数的大小： (1)和； (2)和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了无理数的估算，实数的大小比较，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）整理，，则，故，即可作答． （2）整理，，则，，结合，故，即可作答． 【详解】（1）解：，， 即， ∴； （2）解：依题意，，， ∴，， ∵， ∴． 58．（25-26七年级下·安徽六安·期中）先化简，再求值：，其中，为整数，． 【答案】，0 【分析】先利用多项式乘多项式法则，再去括号合并同类项，最后代入求值． 【详解】解：原式 ． ，为整数， ． 当，时， 原式 ． 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键． 59．（2.4估算（课前练））下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴进行交流． ≈0.066；≈96；≈60.4 【答案】 解：①第一个错．因为0.0662＝0.004 356，所以估算错误． ②第二个错．因为10的立方是1 000，900比1 000小，所以900的立方根应比1 000的立方根小，即小于10，所以估算错误 ③第三个错．因为60的平方是3 600，而2 536小于3 600，所以应比60小，所以估算错误 【详解】略 60．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）不使用计算器，估计的近似值，（精确到0.01）； （2）已知的整数部分为a，小数部分为b．求的值． 【答案】（1）2.25；（2） 【分析】（1）利用平方运算即可估算的近似值； （2）根据，得a、b的值，进一步计算可得答案． 【详解】（1）， 设，则，即， ，解得， ； （2）由，得 ， ． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，解题关键是熟练掌握相关知识． 61．（25-26七年级下·江西南昌·期中）任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[]=1，现对进行如下操作： ，这样对只需进行3次操作后变为1． (1)仿照以上方法计算：_____________． (2)若，写出满足题意的x的整数值______________． (3)只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是______________． 【答案】(1)6 (2)1 (3)255 【分析】（1）估算在哪两个整数之间，即可求解； （2）根据题意即可找到满足条件的x的整数值； （3）根据题目示例即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ 故答案为：6 （2）解：∵ ∴ 故答案为：1（不唯一） （3）解：∵ ∴需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 故答案为： 【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了无理数的估算．掌握相关结论即可． 62．（25-26七年级下·安徽滁州·期中）我们规定：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数． 例如：，；，． (1)计算：______，_______． (2)若，满足题意的所有整数的和为______． (3)若，，求的平方根． 【答案】(1)；； (2)； (3)． 【分析】（1）根据题意即可解决问题； （2）由题意可得，且为整数，所以或或，进而可以解决问题； （3）根据题意可得，，所以，，得，然后根据平方根的定义即可解决问题． 【详解】（1）由题意可知：；； 故答案为：；； （2）由题意可知：，且为整数， 或或， 满足题意的所有整数的和为； 故答案为：； （3），， ，， ， ， 的平方根为． 【点睛】本题考查了估算无理数大小，解决本题的关键是掌握平方根定义． 63．（25-26七年级下·上海杨浦·期中）阅读下面的文字，解答问题． 对于实数a，我们规定：用符号[a]表示不大于a的最大整数；用{a}表示a减去[a]所得的差． 例如：[]＝1，[2.2]＝2，{}＝﹣1，{2.2}＝2.2﹣2＝0.2． （1）仿照以上方法计算：[]＝　 　{5﹣}＝　 　； （2）若[]＝1，写出所有满足题意的整数x的值：　 　． （3）已知y0是一个不大于280的非负数，且满足{}＝0．我们规定：y1＝[]，y2＝[]，y3＝[]，…，以此类推，直到yn第一次等于1时停止计算．当y0是符合条件的所有数中的最大数时，此时y0＝　 　，n＝　 　． 【答案】（1）2；3﹣；（2）1、2、3；（3）256，4 【分析】（1）依照定义进行计算即可； （2）由题可知，，则可得满足题意的整数的的值为1、2、3； （3）由，可知，是某个整数的平方，又是符合条件的所有数中最大的数，则，再依次进行计算． 【详解】解：（1）由定义可得，，， ． 故答案为：2；． （2）， ，即， 整数的值为1、2、3． 故答案为：1、2、3． （3），即， 可设，且是自然数， 是符合条件的所有数中的最大数， ， ， ， ， ， 即． 故答案为：256，4． 【点睛】本题属于新定义类问题，主要考查估算无理数大小，无理数的整数部分和小数部分，理解定义内容是解题关键． 【经典计算题十 平方根、立方根的规律探索题】 64．（24-25七年级下·湖北荆门·阶段检测）计算下列各式中x的值： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了立方根、平方根的定义及方程的解法，解题的关键是利用立方根和平方根的性质将方程转化为一元一次方程求解． （1）对等式两边开立方，得到一元一次方程求解； （2）先化简等式右边，再开平方得到两个一元一次方程求解； （3）根据立方根的唯一性，直接令被开方数相等，解一元一次方程． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴； （2）∵ ∴ ∴ 当时，解得； 当时，解得． ∴，； （3）， ∴ ∴ ∴ ∴ 65．（25-26七年级下·吉林白城·阶段检测）计算下列各式，将结果填在横线上． ______；______；______； ______；______；______． 你发现了什么？__________________． 请根据上述规律完成计算： ______； ______．（n为正整数） 【答案】；；；；；；；； 【分析】本题考查数字的变化规律，首先根据已知数据直接计算进行填空即可；利用前面所求得出数字变化规律进而得出发现的规律；最后利用规律解决问题．根据已知数据得出数字中的变与不变是解题关键． 【详解】解：；；； ；；． 发现规律：． ； ． 故答案为：；；；；；；；；． 66．（25-26七年级下·广东东莞·期中）（1）填空：__________，__________；__________，__________． （2）请按以上规律计算：①；②． （3）已知，，用含，的式子表示． 【答案】（1），，，；（2）①，；（3） 【分析】（1）根据算术平方根进行计算即可求解； （2）根据（1）的规律即可求解； （3）根据（1）的规律即可求解． 【详解】解：（1）填空：，；，， 故答案为：，，， （2）①， ②； （3）∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了求一个数是算术平方根，算术平方根规律题，找到规律是解题的关键． 67．（25-26七年级下·广东珠海·期中）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … … (1)分析发现：被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大 倍； (2)若一块长方形纸片的面积是400cm2，长与宽之比为2：1，求这块长方形纸片的长与宽（精确到，，． 【答案】(1) (2)这块长方形纸片的长为，宽为 【分析】（1）根据根号内的小数点移动规律即可求解，算术平方根的规律为，根号内的小数点移动2位，对应的结果小数移动1位，小数点的移动方向保持一致； （2）设这块长方形的纸片的宽为，则长为，根据题意列出方程，进而根据（1）的结论，即可求解． 【详解】（1）被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大倍； 故答案为：． （2）设这块长方形的纸片的宽为，则长为， ∴， 即， ∴， ∵， ∴，， 答：这块长方形纸片的长为，宽为． 【点睛】本题考查了算术平方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键． 68．（25-26七年级下·宁夏吴忠·期中）阅读材料，解答问题： (1)计算下列各式：，； ______________，_______________； 通过以上计算：猜想得出（，）=_________________． (2)运用（1）中的结论进行化简： 例如：；． 请化简① ② 【答案】(1)20，20， (2)①；② 【分析】（1）第一个式子：先计算乘法，再计算算术平方根即可得；第二个式子：先计算算术平方根，再计算乘法即可得；通过前面的计算，猜想出规律即可得； （2）①参照例子，利用（1）中的结论、以及算术平方根化简即可得； ②参照例子，利用（1）中的结论、以及算术平方根化简即可得． 【详解】（1）解：，， 通过计算可知：，， 则猜想得出， 故答案为：20，20，． （2）解：①； ②． 【点睛】本题考查了算术平方根的应用，猜想出是解题关键． 69．（25-26七年级下·全国·单元测试）阅读下面内容，并解答问题． 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求出它的立方根．华罗庚不假思索地给出了答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥秘． (1)请按照下面的分析试一试： ①由，，可知是______位数； ②由59319的个位上的数是9，可知的个位上的数是______； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而，，由此确定的十位上的数是______； ④因此，______． (2)求的值． 【答案】(1)①两；②9；③3；④39 (2) 【分析】本题考查了立方根的估算方法（利用立方数的位数特征、个位数字规律及范围界定十位数字），解题的关键是掌握“立方数的位数对应原数位数”“立方数个位数字与底数个位数字的唯一对应关系”“通过划去后三位数字确定底数十位数字的范围”这三个核心规律． （1）①通过对比（1000）和（1000000）与59319的大小，确定的位数；②根据“只有个位为9的数，其立方个位为9”确定的个位数字；③划去59319后三位得59，对比（27）和（64）的范围，确定的十位数字；④综合个位与十位数字得的结果； （2）求时，同理先判位数（对比与），再根据“个位为3的立方数对应底数个位为7”定个位，划去后三位得50，对比与定十位，最终得结果． 【详解】（1））①解：∵，，且， ∴是两位数； 故答案为：两． ②解：∵只有个位数字为9的数，其立方的个位数字为9（），且59319的个位为9， ∴的个位为9； 故答案为：9． ③解：划去59319后面三位319得59， ∵，，且， ∴的十位为3； 故答案为：3． ④解：由①知是两位数，②知其个位为9，③知其十位为3， ∴；故答案为：39． （2）解：∵，，且， ∴， ∴是两位数； ∵只有个位数字为7的数，其立方的个位数字为3（），且50653的个位为3， ∴的个位为7；划去50653后面三位653得50， ∵，，且， ∴的十位为3； 综合得． 70．（25-26七年级下·安徽淮北·期中）根据下表中的数据规律，解答下列问题： a 14 196 (1)213.16的平方根是 ； (2) ， ， ； (3)的整数部分是m，求的值的平方根． 【答案】(1) (2)；；143 (3) 【分析】本题考查的是平方根与算术平方根的含义，无理数的整数部分的含义，理解表格信息是解本题的关键； （1）根据表格信息可得，从而可得答案； （2）根据表格信息可得，再结合算术平方根的规律变化可得答案； （3）根据表格信息可得，结合算术平方根的含义可得的值，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵由表可知：， ∴ ∴的平方根是． （2）∵， ∴， ， ； （3）∵， ∴， ∵的整数部分是m， ∴， ∴， ∴的值的平方根为． 学科网（北京）股份有限公司 $