第2章实数—— 算一个数的平方根或算术平方根、算一个数的立方根、无理数整数部分的相关计算专项训练-2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦实数核心概念，以平方根、算术平方根、立方根及无理数整数部分计算为递进模块，通过例题与变式构建从概念辨析到综合应用的训练体系，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |算一个数的平方根或算术平方根|8题（4例+4变式）|定义辨析、符号判断、简单方程应用|从平方根与算术平方根的概念区分，到符号表示与计算，逐步渗透非负性应用| |算一个数的立方根|8题（4例+4变式）|直接计算、符号性质、简单方程求解|基于立方根定义，强化符号唯一性，结合开立方与立方的互逆关系| |无理数整数部分的相关计算|8题（4例+4变式）|估算、整数与小数部分分离、综合求值|通过无理数范围估算确定整数部分，衔接平方根/立方根性质，体现数感与抽象能力|

算一个数的平方根或算术数平方根、算一个数的立方根、无理数整数部分的相关计算专项训练 算一个数的平方根或算术平方根、算一个数的立方根、无理数整数部分的相关计算专项训练 考点目录 算一个数的平方根或算术平方根 算一个数的立方根 无理数整数部分的相关计算 考点一 算一个数的平方根或算术平方根 例1．（25-26七年级下·安徽六安·期末）4的平方根为（     ） A． B． C．2 D． 例2．（25-26八年级上·山东东营·开学考试）下列说法中，不正确的是（     ） A．是的立方根 B．的平方根和立方根都是 C．的算术平方根是 D．的算术平方根和立方根都是它本身 例3．（25-26八年级上·广东湛江·期中）4的平方根是________；的算术平方根是________． 例4．（25-26八年级上·重庆·期中）实数、满足，则的平方根是________． 变式1．（25-26八年级上·河南郑州·阶段检测）下列说法中，不正确的是（     ） A．3是的算术平方根 B．与互为相反数 C． D．平方根是 变式2．（25-26八年级上·吉林·阶段检测）下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 变式3．（25-26八年级上·天津南开·期中）如果与互为相反数，那么的平方根是________． 变式4．（2026·江苏徐州·三模）的平方根是_________． 考点二 算一个数的立方根 例1．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）若，则的值为（     ） A． B． C． D． 例2．（2026·山东东营·模拟预测）64的平方根的立方根（     ） A．2 B． C． D．都不对 例3．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）若，则__________． 例4．（25-26八年级上·西藏林芝·期中）是______的立方根，的平方根是______． 变式1．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）若，，则（     ） A．13.33 B．28.72 C．133.3 D．287.2 变式2．（2026·四川绵阳·二模）若，则x等于（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 变式3．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）化简：_______． 变式4．（25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）的绝对值是________． 考点三 无理数整数部分的相关计算 例1．（25-26八年级下·江苏苏州·开学考试）已知的平方根是；的立方根为；c是的整数部分．求的值（     ） A． B．3 C．8 D． 例2．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）已知的算术平方根是3，y是的整数部分，则的值为（     ） A．11 B．9 C．7 D．5 例3．（25-26八年级上·广西南宁·期中）若的整数部分是a，的整数部分是b，则的值为________． 例4．（25-26八年级上·重庆巫山·期中）对于实数a，我们规定，用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，．我们可以对一个数连续求根整数，如对连续两次求根整数：，．若对连续求两次根整数后的结果为，则满足条件的整数的最大值为_____． 变式1．（25-26八年级上·重庆·期中）已知，则整数的值（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式2．（25-26八年级上·四川绵阳·阶段检测）已知满足等式，是的小数部分，则的值为（   ） A． B． C．1 D．3 变式3．（25-26八年级上·广东惠州·期中）若的整数部分为a，小数部分为b，求的值为______． 变式4．（25-26八年级上·四川南充·期中）已知x，y满足等式 是的小数部分，则的值为__________ 2 学科网（北京）股份有限公司 $算一个数的平方根或算术平方根、算一个数的立方根、无理数整数部分的相关计算专项训练 算一个数的平方根或算术平方根、算一个数的立方根、无理数整数部分的相关计算专项训练 考点目录 算一个数的平方根或算术平方根 算一个数的立方根 无理数整数部分的相关计算 考点一 算一个数的平方根或算术平方根 例1．（25-26七年级下·安徽六安·期末）4的平方根为（     ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴的平方根为． 例2．（25-26八年级上·山东东营·开学考试）下列说法中，不正确的是（     ） A．是的立方根 B．的平方根和立方根都是 C．的算术平方根是 D．的算术平方根和立方根都是它本身 【答案】C 【分析】分别根据立方根的定义，平方根以及算术平方根的定义逐一判断即可． 【详解】解：、是的立方根，说法正确，故此选项不符合题意； B、的平方根和立方根都是，说法正确，故此选项不符合题意； C、，负数没有平方根，故原说法错误，故此选项符合题意； D、1的算术平方根是1,1的立方根是1，∴的算术平方根和立方根都是它本身，说法正确，故此选项不符合题意． 例3．（25-26八年级上·广东湛江·期中）4的平方根是________；的算术平方根是________． 【答案】 2 【详解】解：计算的平方根，得； 先化简，得，再计算的算术平方根，得． 例4．（25-26八年级上·重庆·期中）实数、满足，则的平方根是________． 【答案】 【分析】根据绝对值和算术平方根的非负数性质得出，，进而求出的平方根即可． 【详解】解：∵实数、满足，，， ∴，且， 解得：，， ∴， ∴的平方根是． 变式1．（25-26八年级上·河南郑州·阶段检测）下列说法中，不正确的是（     ） A．3是的算术平方根 B．与互为相反数 C． D．平方根是 【答案】C 【分析】根据平方根与算术平方根的定义，逐一判断各选项即可得到错误说法. 【详解】解：对选项A，，9的算术平方根为3，A说法正确，不符合题意. 对选项B，，与互为相反数，B说法正确，不符合题意. 对选项C，表示24的算术平方根，算术平方根为非负数，，C说法错误，符合题意. 对选项D，，9的平方根为，D说法正确，不符合题意. 变式2．（25-26八年级上·吉林·阶段检测）下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先排除被开方数为负的无意义选项，再根据平方根、算术平方根的定义判断其余选项． 【详解】解：A、，故A正确； B、，故B错误； C、的被开方数小于0，无意义，故C错误； D、，故D错误． 变式3．（25-26八年级上·天津南开·期中）如果与互为相反数，那么的平方根是________． 【答案】 【详解】解：与互为相反数， ， 又，，且，， ∴，， ，， 解得，， ， ∵的平方根为， ∴的平方根是． 变式4．（2026·江苏徐州·三模）的平方根是_________． 【答案】 【分析】根据平方根的定义，若，则是的平方根． 【详解】解：将带分数化为假分数 ∵， ∴的平方根是． 考点二 算一个数的立方根 例1．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先需要找到哪个数的立方等于，计算结果即可． 【详解】解：， ， ． 例2．（2026·山东东营·模拟预测）64的平方根的立方根（     ） A．2 B． C． D．都不对 【答案】C 【详解】解：∵， ∴64的平方根为， ∵，， ∴的立方根为． 例3．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）若，则__________． 【答案】5 【详解】解： 解得． 例4．（25-26八年级上·西藏林芝·期中）是______的立方根，的平方根是______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴是的立方根， ∵， 又∵的平方根为， ∴的平方根为． 变式1．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）若，，则（     ） A．13.33 B．28.72 C．133.3 D．287.2 【答案】A 【分析】本题考查立方根的运算性质，将待求被开方数变形为已知立方根的数与的乘积，再利用立方根性质计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 又∵ ，， ∴ ． 变式2．（2026·四川绵阳·二模）若，则x等于（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【详解】解： ． 变式3．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）化简：_______． 【答案】 【详解】解： ． 变式4．（25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）的绝对值是________． 【答案】 【分析】先根据立方根的定义计算出的值，再根据绝对值的性质计算最终结果． 【详解】解：，则． 考点三 无理数整数部分的相关计算 例1．（25-26八年级下·江苏苏州·开学考试）已知的平方根是；的立方根为；c是的整数部分．求的值（     ） A． B．3 C．8 D． 【答案】A 【详解】解：∵的平方根是， ∴，解得 ； ∵的立方根是， ∴，解得 ； ∵， ∴， ∴的整数部分， ∴. 例2．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）已知的算术平方根是3，y是的整数部分，则的值为（     ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】A 【分析】先根据算术平方根的定义求出，再通过估算无理数的大小得到，最后计算得到结果． 【详解】解：∵的算术平方根是， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵y是的整数部分， ∴， ∴． 例3．（25-26八年级上·广西南宁·期中）若的整数部分是a，的整数部分是b，则的值为________． 【答案】 5 【分析】先估算出的取值范围，再分别求出和的整数部分和，最后代入计算的值即可． 【详解】解：，， ， ∴，， 的整数部分，的整数部分， 则． 例4．（25-26八年级上·重庆巫山·期中）对于实数a，我们规定，用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，．我们可以对一个数连续求根整数，如对连续两次求根整数：，．若对连续求两次根整数后的结果为，则满足条件的整数的最大值为_____． 【答案】 【分析】根据根整数的定义，首先求出根整数为的最大整数为，再求出根整数为的最大整数，即为所求的的最大值． 【详解】解：，， 根整数为的最大整数是， ，， 根整数为的最大整数是， 连续求两次根整数后的结果为的最大整数为． 变式1．（25-26八年级上·重庆·期中）已知，则整数的值（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】先找到与相邻的两个完全平方数，即可确定的范围，进而得到整数的值． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 即 ， 又∵ ，且为整数， ∴ ． 变式2．（25-26八年级上·四川绵阳·阶段检测）已知满足等式，是的小数部分，则的值为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性可知，，得到x、y，然后根据，得到m，再代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∵，即，是的小数部分， ∴的整数部分为2，即， ∴． 变式3．（25-26八年级上·广东惠州·期中）若的整数部分为a，小数部分为b，求的值为______． 【答案】/ 【分析】先估算得到的整数部分和小数部分，再代入式子计算即可． 【详解】解：， ， ． ． 变式4．（25-26八年级上·四川南充·期中）已知x，y满足等式 是的小数部分，则的值为__________ 【答案】 【分析】利用算术平方根的非负性与绝对值的非负性求出，的值，估算的取值范围得到的值，代入代数式计算即可得到结果． 【详解】解：，，且， ，， 解得，， 是的小数部分，且， ， 将，，代入得： ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $