周周练04 2.1～2.2认识实数、平方根、算术平方根（数学新教材北师大版八年级上册）

**基本信息** 聚焦实数概念与运算，通过几何直观（如数轴表示无理数）、实际应用（风筝高度计算）和规律探究（格点问题），分层考查抽象能力、运算能力与模型意识，适配八年级周测巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/20|无理数识别、平方根概念、实数比较|第4题表格数据分析，培养推理意识| |填空题|6/18|相反数、无理数小数部分、电流公式应用|第13题结合物理情境，体现模型意识| |解答题|8/64|实数分类、格点作图、规律探究|第24题数轴表示无理数，发展抽象能力与创新意识|

2026-2027学年八年级上学期数学周周测04 2.1～2.2认识实数、平方根、算术平方根 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列实数中，属于无理数的是（     ） A．0 B． C． D． 2．下列说法中正确的是（     ） A．数轴上的点与实数一一对应 B．任何数都有平方根 C．无限小数是无理数 D．的平方根是 3．在实数，，0，1中，最小的是（     ） A． B． C．0 D．1 4．观察表中数据信息，下列结论正确的是（     ） 12 … 144 … A． B． C． D． 5．化简的结果为(     ) A． B． C． D． 6．如果在数轴上的点到原点的距离是，那么表示点的实数为（   ） A． B． C． D．5 7．估计的值在（     ） A．5到6之间 B．6到7之间 C．7到8之间 D．8到9之间 8．下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 9．已知；；；；；按此规律，若（，为正整数），则的值为（     ） A． B． C． D． 10．如图，，且与之间的距离为，是上一点， ①过点作于点，以点为圆心、的长为半径画弧交于点； ②过点作于点，以点为圆心、的长为半径画弧交于点； ③过点作于点，以点为圆心、的长为半径画弧交于点；… 按照以上操作，则的长为（     ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．实数的相反数是______． 12．如图，以1个单位长度为直径的圆从原点开始，沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点．点对应的数是无理数，则这个无理数的小数部分为________． 13．电流通过导线时，会产生热量，满足，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A，且），R为导线电阻（单位：），t为通电时间（单位：s）．当导线电阻为，通电时间为时，所产生的热量是，这时的电流是______A． 14．已知，，且，则的值为________． 15．若为正整数，且满足，则的值为______． 16．如图，把纸沿长边对折可得到纸，把纸沿长边对折可得到纸，把纸对折可得到纸……，所有的A型纸张的长宽之比是一个定值，这个定值是_______． 三、解答题：本题共8小题,第17~18题6分，第19~20题每题7分，第21~22题8分，第23~24题10分，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知下列9个数．①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨（两个2之间依次增加1个0）．请把这些数对应的编号，填入合适的集合中． (1)有理数集合：（        ……） (2)无理数集合：（        ……） (3)负实数集合：（        ……） 18．解答下列问题 (1)已知、满足，求的算术平方根； (2)如果一个正数的两个平方根分别是和，求的值． 19．综合实践课上，爱动手的小聪同学想把两个面积为的小正方形分别沿一条对角线裁剪开后拼成一个如图所示的大正方形，并沿大正方形的四边镶上一根铁丝将其固定． (1)求这根铁丝长度最少为多少厘米？ (2)现有一个长、宽之比为，且面积为的长方形，在（1）的条件下，用这根铁丝沿长方形的边去围这个长方形，这根铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 20．风筝起源于中国，是古代劳动人民发明的一种通信工具，后来演变为一项民俗娱乐活动．小明买了一个风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度． (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 21．如图是三个的正方形方格，每个正方形的顶点叫做格点，线段的两个端点就是格点． (1)线段的长度为________； (2)请在图中找到所有满足条件的格点，连接，使得； (3)在（2）的基础上，连接，计算的面积． 22．阅读材料：，求，的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)若，则________，________； (2)已知，求的值； (3)已知的三边长，，，且满足，求的周长． 23．【数学溯源】《几何原本》作为古希腊经典数学著作，以平面图形面积解释代数恒等式是其核心思想之一，通过数形结合可以直观理解乘法公式． 【提出问题】 (1)观察下列图形，找出可以推出的代数公式（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）： 公式①：；公式②：； 公式③：；公式④：． 图1对应公式__________，图3对应公式__________； 【解决问题】 (2)利用所学的乘法公式，解决以下问题：已知，，则的值为__________； 【能力拓展】 (3)如图5，在六边形中，对角线和相交于点G，当四边形和四边形都为正方形时，若，正方形和正方形的面积和为42，则图中阴影部分的面积为__________（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是）． 24．综合与实践：小谦在学完“无理数”后非常兴奋，想自己动手探索“如何在数轴上表示无理数”，于是按照课堂学习的过程，开展了下面的探索： 探索“如何在数轴上表示无理数” 工具准备：两张边长为1个单位长度的正方形卡纸；若干张白纸，铅笔，记号笔，剪刀，圆规等． 操作一：如图1，把两张边长为1个单位长度的正方形卡纸分别沿对角线裁开后拼成一个边长为的大正方形． (1)大正方形的面积为______；小正方形的对角线长为______． 操作二：如图2，在白纸上画出数轴，将边长为1个单位长度的正方形卡纸如图放置，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与坐标轴分别交于点，点． (2)点表示的数为______；点表示的数为______． 操作三：在上面数轴上用记号笔标出点的位置，表示数2的点记为，原点记为点，然后将数轴的正半轴剪下，得到如图3的“纸条”． (3)______；______； (4)如图4，将“纸条”沿着点对折，则点的对应点表示的数为______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期数学周周测04 2.1～2.2认识实数、平方根、算术平方根 时间：45分钟 分值：60分 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列实数中，属于无理数的是（     ） A．0 B． C． D． 2．下列说法中正确的是（     ） A．数轴上的点与实数一一对应 B．任何数都有平方根 C．无限小数是无理数 D．的平方根是 3．在实数，，0，1中，最小的是（     ） A． B． C．0 D．1 4．观察表中数据信息，下列结论正确的是（     ） 12 … 144 … A． B． C． D． 5．化简的结果为(     ) A． B． C． D． 6．如果在数轴上的点到原点的距离是，那么表示点的实数为（   ） A． B． C． D．5 7．估计的值在（     ） A．5到6之间 B．6到7之间 C．7到8之间 D．8到9之间 8．下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 9．已知；；；；；按此规律，若（，为正整数），则的值为（     ） A． B． C． D． 10．如图，，且与之间的距离为，是上一点， ①过点作于点，以点为圆心、的长为半径画弧交于点； ②过点作于点，以点为圆心、的长为半径画弧交于点； ③过点作于点，以点为圆心、的长为半径画弧交于点；… 按照以上操作，则的长为（     ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．实数的相反数是______． 12．如图，以1个单位长度为直径的圆从原点开始，沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点．点对应的数是无理数，则这个无理数的小数部分为________． 13．电流通过导线时，会产生热量，满足，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A，且），R为导线电阻（单位：），t为通电时间（单位：s）．当导线电阻为，通电时间为时，所产生的热量是，这时的电流是______A． 14．已知，，且，则的值为________． 15．若为正整数，且满足，则的值为______． 16．如图，把纸沿长边对折可得到纸，把纸沿长边对折可得到纸，把纸对折可得到纸……，所有的A型纸张的长宽之比是一个定值，这个定值是_______． 三、解答题：本题共2小题,第17题10分，第18题12分，共22分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解答下列问题 (1)已知、满足，求的算术平方根； (2)如果一个正数的两个平方根分别是和，求的值． 18．综合与实践：小谦在学完“无理数”后非常兴奋，想自己动手探索“如何在数轴上表示无理数”，于是按照课堂学习的过程，开展了下面的探索： 探索“如何在数轴上表示无理数” 工具准备：两张边长为1个单位长度的正方形卡纸；若干张白纸，铅笔，记号笔，剪刀，圆规等． 操作一：如图1，把两张边长为1个单位长度的正方形卡纸分别沿对角线裁开后拼成一个边长为的大正方形． (1)大正方形的面积为______；小正方形的对角线长为______． 操作二：如图2，在白纸上画出数轴，将边长为1个单位长度的正方形卡纸如图放置，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与坐标轴分别交于点，点． (2)点表示的数为______；点表示的数为______． 操作三：在上面数轴上用记号笔标出点的位置，表示数2的点记为，原点记为点，然后将数轴的正半轴剪下，得到如图3的“纸条”． (3)______；______； (4)如图4，将“纸条”沿着点对折，则点的对应点表示的数为______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期数学周周测04 2.1～2.2认识实数、平方根、算术平方根 时间：45分钟 分值：60分 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列实数中，属于无理数的是（     ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】首先明确无理数的定义，即无限不循环小数，先回忆有理数的范畴：整数和分数统称为有理数．逐一判断各选项所属的数的类型，如果是整数或者可以表示为两个整数的比值的分数，那么属于有理数，否则为无理数．针对带根号的选项，判断被开方数是否是完全平方数，若被开方数开方开不尽，那么对应的数是无理数． 【详解】解：A、是整数，属于有理数． B、是分数，属于有理数． C、开方开不尽，属于无理数． D、是整数，属于有理数． 2．下列说法中正确的是（     ） A．数轴上的点与实数一一对应 B．任何数都有平方根 C．无限小数是无理数 D．的平方根是 【答案】A 【分析】根据实数与数轴的关系，平方根的意义，无理数的定义解答即可． 【详解】解：A．数轴上的点与实数一一对应，说法正确； B．负数没有平方根，说法错误； C．无限不循环小数是无理数，无限循环小数是有理数，说法错误； D．，的平方根是，即的平方根是，说法错误． 3．在实数，，0，1中，最小的是（     ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【详解】解：， ， ， 、， ， ， 最小的是． 4．观察表中数据信息，下列结论正确的是（     ） 12 … 144 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方与开平方的互逆关系，结合表格中给出的的值验证各选项． 【详解】解：由表格可知：，，，， ，，， A、C、D选项错误； ， ，故B选项正确． 5．化简的结果为(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 6．如果在数轴上的点到原点的距离是，那么表示点的实数为（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据数轴上点到原点的距离等于该点所表示实数的绝对值． 本题考查数轴上距离与绝对值的性质，掌握基本概念是解题关键． 【详解】解：∵点A到原点的距离是， ∴， ∴． 故选：C． 7．估计的值在（     ） A．5到6之间 B．6到7之间 C．7到8之间 D．8到9之间 【答案】D 【分析】通过比较77与相邻完全平方数的大小，估算的范围． 【详解】解：∵，，， ∴． 8．下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】解：选项A中，选项B中，选项C中，三组数均相等，不互为相反数． 选项D中，与互为相反数． 9．已知；；；；；按此规律，若（，为正整数），则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先观察已知等式总结a和b的变化规律，再求出的值，代入式子计算即可． 【详解】解：观察已知等式可得规律：对于正整数，有， 对比，可得，， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．如图，，且与之间的距离为，是上一点， ①过点作于点，以点为圆心、的长为半径画弧交于点； ②过点作于点，以点为圆心、的长为半径画弧交于点； ③过点作于点，以点为圆心、的长为半径画弧交于点；… 按照以上操作，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理计算出、、，找到规律，根据规律写出的长度． 【详解】解：由题意可知， ， 由作图可知， ， ， 由作图可知， ， ， ， ． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．实数的相反数是______． 【答案】 【详解】解：的相反数为：． 12．如图，以1个单位长度为直径的圆从原点开始，沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点．点对应的数是无理数，则这个无理数的小数部分为________． 【答案】 【分析】利用圆的周长公式计算滚动距离，确定点表示的实数，再根据无理数小数部分的定义（原数减去整数部分）进行计算即可． 【详解】 解： 圆的直径为 ， 圆的周长为， 圆从原点开始沿数轴向右滚动一周， 点对应的数为 ， ， 的整数部分为， 这个无理数的小数部分为． 13．电流通过导线时，会产生热量，满足，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A，且），R为导线电阻（单位：），t为通电时间（单位：s）．当导线电阻为，通电时间为时，所产生的热量是，这时的电流是______A． 【答案】 【分析】将已知的，，代入公式，变形后结合计算出即可. 【详解】解：把，，代入公式，得， 整理得，即， ∵， ∴. 14．已知，，且，则的值为________． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质得到的值，再结合确定的取值，最后计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ，即； ∵ ，， ∴ ． ∵ ，， ∴ ； ∴ ． 15．若为正整数，且满足，则的值为______． 【答案】 【分析】先估算出的取值范围，进而得到的取值范围，结合条件即可求出的值． 【详解】解：， ， 不等式两边同进减去2，得， 为正整数，且满足， ． 16．如图，把纸沿长边对折可得到纸，把纸沿长边对折可得到纸，把纸对折可得到纸……，所有的A型纸张的长宽之比是一个定值，这个定值是_______． 【答案】 【分析】设长方形的长边为，宽边为，且长宽之比是，根据题意，得长方形的长边为，宽边为，且长宽之比是，根据所有的A型纸张的长宽之比是一个定值，建立等式，求解即可． 【详解】解：设长方形的长边为，宽边为，且长宽之比是，根据题意，得长方形的长边为，宽边为，且长宽之比是， 根据题意，得所有的A型纸张的长宽之比是一个定值， 故， 整理得， 解得，边长不能为负，故舍去， 故， 故． 三、解答题：本题共2小题,第17题10分，第18题12分，共22分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解答下列问题 (1)已知、满足，求的算术平方根； (2)如果一个正数的两个平方根分别是和，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据算术平方根和绝对值都是非负数，列出方程组求出、的值，从而求出的算术平方根； （2）根据一个正数的两个平方根互为相反数，据此求出的值，再根据平方根的定义计算的值． 【详解】（1）解：， ， 解得：， ， 的算术平方根为； （2）解：一个正数的两个平方根分别是和， ， 整理得：， 解得：， ． 18．综合与实践：小谦在学完“无理数”后非常兴奋，想自己动手探索“如何在数轴上表示无理数”，于是按照课堂学习的过程，开展了下面的探索： 探索“如何在数轴上表示无理数” 工具准备：两张边长为1个单位长度的正方形卡纸；若干张白纸，铅笔，记号笔，剪刀，圆规等． 操作一：如图1，把两张边长为1个单位长度的正方形卡纸分别沿对角线裁开后拼成一个边长为的大正方形． (1)大正方形的面积为______；小正方形的对角线长为______． 操作二：如图2，在白纸上画出数轴，将边长为1个单位长度的正方形卡纸如图放置，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与坐标轴分别交于点，点． (2)点表示的数为______；点表示的数为______． 操作三：在上面数轴上用记号笔标出点的位置，表示数2的点记为，原点记为点，然后将数轴的正半轴剪下，得到如图3的“纸条”． (3)______；______； (4)如图4，将“纸条”沿着点对折，则点的对应点表示的数为______． 【答案】(1)2，； (2)，； (3)，； (4)． 【分析】（1）两个边长为1的小正方形面积和等于大正方形面积；由勾股定理求小正方形对角线； （2）圆半径为，原点右侧A为正数、左侧B为负数； （3）是圆的半径；用计算； （4）折叠后是、中点，利用中点公式求对应的数． 【详解】（1）解：小正方形面积：，两个小正方形总面积，因此拼成的大正方形面积为． 小正方形边长为，由勾股定理，对角线长． （2）解：圆半径等于小正方形对角线长． 点在原点右侧，故表示的数为； 点在原点左侧，故表示的数为． （3）解：是圆的半径，因此； 表示数字，即， ． （4）解：纸条沿对折，说明是线段的中点． ， 则点表示的数为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期数学周周测04 2.1～2.2认识实数、平方根、算术平方根 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列实数中，属于无理数的是（     ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】首先明确无理数的定义，即无限不循环小数，先回忆有理数的范畴：整数和分数统称为有理数．逐一判断各选项所属的数的类型，如果是整数或者可以表示为两个整数的比值的分数，那么属于有理数，否则为无理数．针对带根号的选项，判断被开方数是否是完全平方数，若被开方数开方开不尽，那么对应的数是无理数． 【详解】解：A、是整数，属于有理数． B、是分数，属于有理数． C、开方开不尽，属于无理数． D、是整数，属于有理数． 2．下列说法中正确的是（     ） A．数轴上的点与实数一一对应 B．任何数都有平方根 C．无限小数是无理数 D．的平方根是 【答案】A 【分析】根据实数与数轴的关系，平方根的意义，无理数的定义解答即可． 【详解】解：A．数轴上的点与实数一一对应，说法正确； B．负数没有平方根，说法错误； C．无限不循环小数是无理数，无限循环小数是有理数，说法错误； D．，的平方根是，即的平方根是，说法错误． 3．在实数，，0，1中，最小的是（     ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【详解】解：， ， ， 、， ， ， 最小的是． 4．观察表中数据信息，下列结论正确的是（     ） 12 … 144 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方与开平方的互逆关系，结合表格中给出的的值验证各选项． 【详解】解：由表格可知：，，，， ，，， A、C、D选项错误； ， ，故B选项正确． 5．化简的结果为(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 6．如果在数轴上的点到原点的距离是，那么表示点的实数为（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据数轴上点到原点的距离等于该点所表示实数的绝对值． 本题考查数轴上距离与绝对值的性质，掌握基本概念是解题关键． 【详解】解：∵点A到原点的距离是， ∴， ∴． 故选：C． 7．估计的值在（     ） A．5到6之间 B．6到7之间 C．7到8之间 D．8到9之间 【答案】D 【分析】通过比较77与相邻完全平方数的大小，估算的范围． 【详解】解：∵，，， ∴． 8．下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】解：选项A中，选项B中，选项C中，三组数均相等，不互为相反数． 选项D中，与互为相反数． 9．已知；；；；；按此规律，若（，为正整数），则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先观察已知等式总结a和b的变化规律，再求出的值，代入式子计算即可． 【详解】解：观察已知等式可得规律：对于正整数，有， 对比，可得，， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．如图，，且与之间的距离为，是上一点， ①过点作于点，以点为圆心、的长为半径画弧交于点； ②过点作于点，以点为圆心、的长为半径画弧交于点； ③过点作于点，以点为圆心、的长为半径画弧交于点；… 按照以上操作，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理计算出、、，找到规律，根据规律写出的长度． 【详解】解：由题意可知， ， 由作图可知， ， ， 由作图可知， ， ， ， ． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．实数的相反数是______． 【答案】 【详解】解：的相反数为：． 12．如图，以1个单位长度为直径的圆从原点开始，沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点．点对应的数是无理数，则这个无理数的小数部分为________． 【答案】 【分析】利用圆的周长公式计算滚动距离，确定点表示的实数，再根据无理数小数部分的定义（原数减去整数部分）进行计算即可． 【详解】 解： 圆的直径为 ， 圆的周长为， 圆从原点开始沿数轴向右滚动一周， 点对应的数为 ， ， 的整数部分为， 这个无理数的小数部分为． 13．电流通过导线时，会产生热量，满足，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A，且），R为导线电阻（单位：），t为通电时间（单位：s）．当导线电阻为，通电时间为时，所产生的热量是，这时的电流是______A． 【答案】 【分析】将已知的，，代入公式，变形后结合计算出即可. 【详解】解：把，，代入公式，得， 整理得，即， ∵， ∴. 14．已知，，且，则的值为________． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质得到的值，再结合确定的取值，最后计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ，即； ∵ ，， ∴ ． ∵ ，， ∴ ； ∴ ． 15．若为正整数，且满足，则的值为______． 【答案】 【分析】先估算出的取值范围，进而得到的取值范围，结合条件即可求出的值． 【详解】解：， ， 不等式两边同进减去2，得， 为正整数，且满足， ． 16．如图，把纸沿长边对折可得到纸，把纸沿长边对折可得到纸，把纸对折可得到纸……，所有的A型纸张的长宽之比是一个定值，这个定值是_______． 【答案】 【分析】设长方形的长边为，宽边为，且长宽之比是，根据题意，得长方形的长边为，宽边为，且长宽之比是，根据所有的A型纸张的长宽之比是一个定值，建立等式，求解即可． 【详解】解：设长方形的长边为，宽边为，且长宽之比是，根据题意，得长方形的长边为，宽边为，且长宽之比是， 根据题意，得所有的A型纸张的长宽之比是一个定值， 故， 整理得， 解得，边长不能为负，故舍去， 故， 故． 三、解答题：本题共8小题,第17~18题6分，第19~20题每题7分，第21~22题8分，第23~24题10分，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知下列9个数．①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨（两个2之间依次增加1个0）．请把这些数对应的编号，填入合适的集合中． (1)有理数集合：（        ……） (2)无理数集合：（        ……） (3)负实数集合：（        ……） 【答案】(1)①③④⑤⑥ (2)②⑦⑧⑨ (3)②⑤⑦⑧ 【分析】本题考查了有理数，无理数和实数的定义，解题的关键是掌握无限不循环小数的无理数，有理数和无理数统称为实数． （1）根据有理数的定义，即可解答； （2）根据无理数的定义，即可解答； （3）根据实数和负数的定义，即可解答． 【详解】（1）解：，， 有理数集合：①③④⑤⑥， 故答案为： ①③④⑤⑥； （2）解：无理数集合：②⑦⑧⑨， 故答案为：②⑦⑧⑨； （3）解：负实数集合：②⑤⑦⑧， 故答案为：②⑤⑦⑧． 18．解答下列问题 (1)已知、满足，求的算术平方根； (2)如果一个正数的两个平方根分别是和，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据算术平方根和绝对值都是非负数，列出方程组求出、的值，从而求出的算术平方根； （2）根据一个正数的两个平方根互为相反数，据此求出的值，再根据平方根的定义计算的值． 【详解】（1）解：， ， 解得：， ， 的算术平方根为； （2）解：一个正数的两个平方根分别是和， ， 整理得：， 解得：， ． 19．综合实践课上，爱动手的小聪同学想把两个面积为的小正方形分别沿一条对角线裁剪开后拼成一个如图所示的大正方形，并沿大正方形的四边镶上一根铁丝将其固定． (1)求这根铁丝长度最少为多少厘米？ (2)现有一个长、宽之比为，且面积为的长方形，在（1）的条件下，用这根铁丝沿长方形的边去围这个长方形，这根铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 【答案】(1)80 (2)铁丝够用． 理由：设长方形纸片的长为，宽为，长方形的周长为． 依题意得：， 解得：， ， ， 长方形的周长为， ， ， 用这根的铁丝沿长方形的边去围这个长方形，铁丝够用． 【分析】本题考查了图形的剪拼、正方形的面积、算术平方根的实际应用等知识． （1）根据题意得到大正方形面积，然后求出边长即可解决问题； （2）设长方形纸片的长为，宽为，根据面积为可得，则长方形的周长为，再根据可得，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得大正方形的面积为， 设大正方形的边长为， 则， ∴（舍去负值）， ∴大正方形的边长为． ∴这根铁丝长度最少为． （2）略 20．风筝起源于中国，是古代劳动人民发明的一种通信工具，后来演变为一项民俗娱乐活动．小明买了一个风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度． (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 【答案】(1) (2)解：不能成功，说明如下： 如图所示，延长至点，连接，使得， ． 在中，由勾股定理得． ，余线仅剩， ∴风筝线的总长度为， ∵， ∴， ∴不能成功． 【分析】（1）过点作于点，则四边形是矩形，可得，，在中，根据勾股定理求出 的长即可求解； （2）延长至点，连接，使得，利用勾股定理求出的长，再与风筝线的总长度比较即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ∴， 由题意得，， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，由勾股定理得， ， 答：风筝离地面的垂直高度为． （2）略 21．如图是三个的正方形方格，每个正方形的顶点叫做格点，线段的两个端点就是格点． (1)线段的长度为________； (2)请在图中找到所有满足条件的格点，连接，使得； (3)在（2）的基础上，连接，计算的面积． 【答案】(1) (2)解：如图，即为所求 (3)或 【分析】（1）利用勾股定理计算即可； （2）取格点，结合勾股定理满足即可； （3）连接，再利用割补法求解三角形的面积即可． 【详解】（1）解：． （2）略 （3）解：如图，连接， ∴； ． 22．阅读材料：，求，的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)若，则________，________； (2)已知，求的值； (3)已知的三边长，，，且满足，求的周长． 【答案】(1)2，0 (2)25 (3)12或 【分析】（1）变形为，仿照题干方法计算即可． （2）变形为，仿照题干方法计算即可． （3）变形为，仿照题干方法计算得到a=3，b=4，分c最大边和直角边两种情形计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴m=2，n=0， 故答案为：2，0． （2）∵， ∴， ∴x=y，y= -5， ∴xy=（-5）×（-5）=25． （3）∵， ∴， ∴a=3，b=4， 当c最大时，c=， 此时三角形的周长为：3+4+5=12； 当b最大时，c=， 此时三角形的周长为：3+4+=7+； 故的周长12或． 【点睛】本题考查了实数的非负性，勾股定理，熟练掌握实数的非负性，勾股定理是解题的关键． 23．【数学溯源】《几何原本》作为古希腊经典数学著作，以平面图形面积解释代数恒等式是其核心思想之一，通过数形结合可以直观理解乘法公式． 【提出问题】 (1)观察下列图形，找出可以推出的代数公式（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）： 公式①：；公式②：； 公式③：；公式④：． 图1对应公式__________，图3对应公式__________； 【解决问题】 (2)利用所学的乘法公式，解决以下问题：已知，，则的值为__________； 【能力拓展】 (3)如图5，在六边形中，对角线和相交于点G，当四边形和四边形都为正方形时，若，正方形和正方形的面积和为42，则图中阴影部分的面积为__________（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是）． 【答案】(1)①，④ (2) (3)29 【分析】（1）根据长方形的面积得出公式； （2）利用完全平方公式以及平方根的定义进行求解； （3）设正方形和正方形的边长分别为，利用完全平方公式进行求解． 【详解】（1）解：图1对应公式，图3对应公式； （2）解：∵， ∴； （3）解：设正方形和正方形的边长分别为， 则，， 图中阴影部分面积为， 由得， ， 解得， ∴图中阴影部分的面积为29． 24．综合与实践：小谦在学完“无理数”后非常兴奋，想自己动手探索“如何在数轴上表示无理数”，于是按照课堂学习的过程，开展了下面的探索： 探索“如何在数轴上表示无理数” 工具准备：两张边长为1个单位长度的正方形卡纸；若干张白纸，铅笔，记号笔，剪刀，圆规等． 操作一：如图1，把两张边长为1个单位长度的正方形卡纸分别沿对角线裁开后拼成一个边长为的大正方形． (1)大正方形的面积为______；小正方形的对角线长为______． 操作二：如图2，在白纸上画出数轴，将边长为1个单位长度的正方形卡纸如图放置，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与坐标轴分别交于点，点． (2)点表示的数为______；点表示的数为______． 操作三：在上面数轴上用记号笔标出点的位置，表示数2的点记为，原点记为点，然后将数轴的正半轴剪下，得到如图3的“纸条”． (3)______；______； (4)如图4，将“纸条”沿着点对折，则点的对应点表示的数为______． 【答案】(1)2，； (2)，； (3)，； (4)． 【分析】（1）两个边长为1的小正方形面积和等于大正方形面积；由勾股定理求小正方形对角线； （2）圆半径为，原点右侧A为正数、左侧B为负数； （3）是圆的半径；用计算； （4）折叠后是、中点，利用中点公式求对应的数． 【详解】（1）解：小正方形面积：，两个小正方形总面积，因此拼成的大正方形面积为． 小正方形边长为，由勾股定理，对角线长． （2）解：圆半径等于小正方形对角线长． 点在原点右侧，故表示的数为； 点在原点左侧，故表示的数为． （3）解：是圆的半径，因此； 表示数字，即， ． （4）解：纸条沿对折，说明是线段的中点． ， 则点表示的数为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $