2.1 认识实数 新课预习 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 以实数概念为核心，通过辨析、性质应用、数形结合构建从概念到应用的逻辑体系，强化无理数识别、实数与数轴对应等方法，培养抽象能力与几何直观。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选1-4题|无理数定义判断（无限不循环小数）|从实数分类（有理数/无理数）到概念辨析，建立数系扩展认知| |性质应用|单选5-7题/填空11-14题|绝对值/相反数性质、大小比较法则|由概念到性质，形成实数运算基础能力| |数形结合|单选8/10题/解答16/19题|勾股定理构建无理数与数轴对应|连接代数与几何，体现几何直观与空间观念|

2.1 认识实数 新课预习2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．下列各数中是无理数的是（     ） A． B． C． D． 2．的绝对值是（   ） A． B． C． D． 3．有下列说法：①无理数是无限小数，无限小数是无理数；②无理数包括正无理数、和负无理数；③带根号的数都是无理数；④无理数是含有根号且被开方数不能被开尽的数；⑤是一个分数．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．圆周率日（）是一年一度的庆祝圆周率的节日，由圆周率最常用的近似值3.14而来，时间被定在3月14日．那么圆周率是（    ） A．分数 B．负数 C．有理数 D．无理数 5．在实数2，0，，中，最小的数是（    ） A．2 B．0 C． D． 6．下列实数中，大于3且小于4的无理数是（    ） A． B．3.5 C． D． 7．实数的相反数是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在数轴上表示实数的点可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 9．已知是无理数，但是有理数，则下列各式中是有理数的是（   ） A． B． C． D． 10．如图，已知，则点在数轴上所表示的数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如果为两个连续的正整数，则___________； 12．将下列各数进行分类（填序号即可）： ，，，，，，（每个“”之间依次多一个“”）． 正整数：_______；分数：_______；无理数：_______． 13．已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：______． 14．写出一个有理数 ___，写出一个无理数 ___，其中是实数的有 ___． 15．如图，在数轴上点A表示原点，点C表示的数是， 且．以点A为圆心、长为半径画弧，交数轴原点左边于点 D，则点D表示的数是___________． 三、解答题 16．在数轴上作出到原点的距离等于的点． 17．把，，0，，，填在相应的集合内： (1)有理数集合｛ ……｝ (2)无理数集合｛ ……｝ (3)正实数集合｛ ……｝ (4)负实数集合｛ ……｝ 18．阅读材料：，求，的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)若，则________，________； (2)已知，求的值； (3)已知的三边长，，，且满足，求的周长． 19．勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．若设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则满足． (1)若直角三角形两条直角边均为1，则斜边长为__________；若直角三角形有两条边分别是3和4，则第三条边长为__________． (2)请你以直角板和圆规为工具，在数轴上找到表示数字的点P． 20．阅读材料： 小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数a和b比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则．上面的规律，反过来也成立．课上，通过与老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的． 参考小明发现的规律，解决问题： (1)比较大小：________；（填“<”、“=”或“>”） (2)已知，且，若，，试比较A和B的大小． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A D D A A B B C 1．【答案】B 【知识点】无理数 【分析】根据无理数的定义逐项判断即可． 【详解】解：∵有理数包括整数、分数、有限小数和无限循环小数， ∵是分数，是整数，是有限小数，即选项A、C、D均为有理数； ∵是无限不循环小数． ∴选项B是无理数． 2．【答案】B 【知识点】实数的性质 【分析】本题考查了实数的性质，根据绝对值的定义，负数的绝对值是其相反数求解即可． 【详解】解： 故选B． 3．【答案】A 【知识点】实数概念理解 【分析】根据无理数、分数的概念判断． 【详解】解：无限不循环小数是无理数， 错误． 是有理数， 错误． 是有理数， 错误． 也是无理数，不含根号， 错误． 是一个无理数，不是分数， 错误． 故选：． 【点睛】本题考查实数的概念，掌握无理数是无限不循环小数是求解本题的关键． 4．【答案】D 【知识点】实数的分类 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键．实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数分为正无理数和负无理数．实数还可以分为正实数、零和负实数，正实数分为正有理数和正无理数，负实数分为负有理数和负无理数．据此求解即可． 【详解】解：圆周率是无理数． 故选D． 5．【答案】D 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】解：， ∴所给的实数中，最小的数是， 故选：D． 6．【答案】A 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的定义，解题的关键是熟知有理数和无理数的定义．本题需先明确无理数的定义，再逐一判断各选项是否满足“大于3且小于4”的条件． 【详解】解：∵无理数是无限不循环小数， 又∵，，满足大于3且小于4的无理数要求， ∵3.5是有限小数，属于有理数，不符合无理数条件， ∵，不满足小于4的条件， ∵是负数，小于3，不满足大于3的条件， ∴符合要求的是选项A， 故选：A 7．【答案】A 【知识点】相反数的定义、实数概念理解 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义，一个数的相反数是与其相加等于零的数，判断即可． 【详解】解：实数的相反数是其符号取反后的结果，原数为，其相反数为， 选项中只有A项为，B项为原数本身，C、D项涉及倒数，与相反数无关， 故选：A． 8．【答案】B 【知识点】实数与数轴 【分析】根据无理数的取值范围判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 在数轴上表示实数的点可能是点B． 9．【答案】B 【知识点】无理数、计算多项式乘多项式、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查多项式的运算，多项式乘多项式．由已知条件展开 得到 为有理数，从而 为有理数，据此求解即可．理解有理数加或减有理数结果为有理数是解题的关键． 【详解】解：∵ 为有理数， ∴ 为有理数（有理数加有理数仍为有理数）， A、不确定是不是有理数，故A不符合题意； B、是有理数，故B符合题意； C、不确定是不是有理数，故C不符合题意； D、不确定是不是有理数，故D不符合题意． 故选：B． 10．【答案】C 【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题主要考查实数与数轴，数轴上两点间距离，勾股定理，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键．由题意可得，，，点表示的数为，点表示的数为，进而得到，根据勾股定理求出，结合点所表示的数及、间距离可得点所表示的数． 【详解】解：由题意可得，，，点表示的数为，点表示的数为， ， ， ， 点在数轴上所表示的数为， 故选：C． 11．【答案】3 【知识点】无理数的大小估算 【分析】先估算出的取值范围，再推得的取值范围，根据，是连续正整数确定，的值，代入计算即可． 【详解】解： ，即 ∴ ，且为两个连续的正整数 ， ． 12．【答案】 【知识点】实数的分类 【分析】本题考查了实数的分类，掌握相关概念是解题的关键，正整数是大于零的整数；分数包括有限小数和无限循环小数；无理数是无限不循环小数．根据实数的分类即可解答． 【详解】解：是正整数； 是开方开不尽的数，属于无理数； 是整数，不是正整数； 是有限小数，是分数； ，是正整数； 是分数； （每个“”之间依次多一个“”）是无限不循环小数，属于无理数， 故答案为：正整数：；分数：；无理数：． 13．【答案】 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、实数与数轴 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴． 14．【答案】 2（答案不唯一）， π（答案不唯一）， 2，π（答案不唯一）． 【知识点】有理数的定义、无理数、实数概念理解 【分析】实数分为有理数和无理数，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此解答即可． 【详解】解：一个有理数是2，一个无理数是π，其中是实数的有2、π（答案不唯一）． 故答案为：2（答案不唯一），π（答案不唯一），2、π（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了实数的定义，无理数的定义，有理数的定义，掌握以上定义是解题的关键． 15．【答案】 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】先根据题意，用勾股定理计算出的长度，利用圆的半径相等得到，即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，， ， ， 则点表示的数是． 16．【答案】 如图，点，即为所求作， 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题考查利用勾股定理在数轴上作无理数，先作如图以原点为顶点的正方形，由勾股定理得，再以为圆心，长为半径作弧，交数轴于点，，即可得． 【详解】解：理由：先作如图以原点为顶点的正方形， 由勾股定理得， 再以为圆心，长为半径作弧，交数轴于点，， 则． 17．【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【知识点】有理数的定义、无理数、实数的分类 【分析】有理数包括整数和分数(有限小数、无限循环小数)；无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含的数等；正实数是大于0的实数；负实数是小于0的实数，0既不是正实数也不是负实数． （1）筛选出所有整数和分数，即可得到有理数集合； （2）筛选出所有无限不循环的数，即可得到无理数集合； （3）筛选出所有大于0的实数，即可得到正实数集合； （4）筛选出所有小于0的实数，即可得到负实数集合． 【详解】（1）解：∵有理数是整数和分数的统称，是整数，是整数，是分数，它们都符合有理数的定义， ∴有理数集合． （2）解：∵无理数是无限不循环小数，是开方开不尽的无限不循环小数，是无理数的相反数，也属于无限不循环小数， ∴无理数集合． （3）解：∵正实数是大于0的实数，，， ∴正实数集合． （4）解：∵负实数是小于0的实数，，， ∴负实数集合． 18．【答案】(1)2，0 (2)25 (3)12或 【知识点】实数的性质、通过对完全平方公式变形求值、用勾股定理解三角形 【分析】（1）变形为，仿照题干方法计算即可． （2）变形为，仿照题干方法计算即可． （3）变形为，仿照题干方法计算得到a=3，b=4，分c最大边和直角边两种情形计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴m=2，n=0， 故答案为：2，0． （2）∵， ∴， ∴x=y，y= -5， ∴xy=（-5）×（-5）=25． （3）∵， ∴， ∴a=3，b=4， 当c最大时，c=， 此时三角形的周长为：3+4+5=12； 当b最大时，c=， 此时三角形的周长为：3+4+=7+； 故的周长12或． 【点睛】本题考查了实数的非负性，勾股定理，熟练掌握实数的非负性，勾股定理是解题的关键． 19．【答案】(1)，或 (2) 【知识点】实数与数轴、用勾股定理解三角形、勾股定理与无理数 【分析】（1）根据勾股定理进行计算，即可求解； （2）过原点作数轴的垂线，截取线段 ，连接，以为圆心为半径在点的右侧作弧，交数轴于点，则点表示的数为． 【详解】（1）解：直角三角形两条直角边均为1，则斜边长为； 直角三角形有两条边分别是3和4， 当4直角边时，则第三条边长为， 当4斜边时，则第三条边长为， （2）略 20．【答案】(1) (2) 【知识点】实数的大小比较、整式的加减运算 【分析】（1）两数作差，根据可求； （2）根据，且，求得，两式作差进而求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $