第23章 解直角三角形 章末训练 2026-2027学年沪科版数学九年级上册

**基本信息** 章末训练分层覆盖三角函数定义、几何应用及实际问题建模，梯度从单一知识点到综合实践，适配单元复习，强化运算能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|三角函数定义、特殊角计算|直接考查sin/cos/tan定义（如选择1、5），夯实概念理解| |中档|几何图形综合|结合矩形、正方形（如选择9、填空12），发展几何直观| |提升|实际情境建模|水库大坝、设备调试（解答21、22），培养问题解决能力|

第23章解直角三角形章末训练2026-2027学年 沪科版九年级上册 一、选择题 1．如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，则sinA的值是（　　） A． B． C． D． 2.已知中，为的对边，为的对边，若与已知，则下列各式正确的是（  ） A． B． C． D． 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，下列四个选项，正确的是（　　） A． B． C． D． 4．的结果是（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝5，那么cosA的值是（　　） A． B． C． D． 6.的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知tanA＝，若将△ABC各边都扩大5倍，则tanA的值为（　　） A． B． C．5 D． 8.已知，则一元二次方程解的情况是（    ） A．有两个相同的实数根 B．有两个不同的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 9.如图，在矩形中，是对角线，，垂足为，连接．若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 10.图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的弧AP与弧BQ的长都为12π，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（　　） A．72cm B． C． D．82cm 二、填空题 11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝26，，那么BC＝　 　． 12.已知正方形中，，点E为直线上一点，，连接．则的值为 ． 13.在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 14.如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则sin∠ABC的值为 ． 15.如图，在中，，点D是的中点，连接，过点D作交于点E，若，，则的长为 ．    16．如图，某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝高为10米，迎水坡CD的坡度为1：2.4，那么该水库迎水坡CD的长度为　 　 米． 三、解答题 17.计算： （1）2cos30°﹣tan60°+sin45°cos45°； （2）（﹣1）2027+2sin45°﹣cos30°+sin60°+tan260°． 18.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且a＝3，c＝5，求sinA和sinB的值． 19．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，sinC＝，AC＝8，BD平分∠CBA交AC边于点D．求： （1）线段AB的长； （2）tan∠DBA的值． 20.如图，在中，，，点D是延长线上一点，．    (1)求点A到的距离； (2)求的值． 21．如图，高层大楼前面建有一层地上车库，车库的对面有一幢低层楼房．某校数学实践活动小组想要测量高层大楼的高度，他们在楼房的窗户口点处测得车库地面边缘点的俯角为，测得大楼顶端D的仰角为．已知，车库长度（点B，F，C在同一水平直线上，参考数据：，，，结果精确到） 22．如图1，某款线上教学设备由底座、支撑臂、连杆、悬臂和安装在D处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图．已知支撑臂，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角来提高拍摄效果，悬臂端点C到桌面l的距离约为． (1)的长度为多少？ (2)已知摄像头点D到桌面l的距离为时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：） 学科网（北京）股份有限公司 $第23章解直角三角形章末训练2026-2027学年 沪科版九年级上册 一、选择题 1.如图，在△ABC中，AC-5,BC=12,AB=13,则s1nA的值是() B C 6 5 12 12 A.13 B.12 C. D.5 【答案】C 2.已知Rt△ABC中，∠C=90°，b为∠B的对边，a为∠A的对边，若b与∠A已知，则 下列各式正确的是() A.a=bsin∠AB.a=bcos∠AC.a=btan∠AD.a=b÷tan∠A 【答案】C 3.在Rt△ABC中，∠C-90°，AB-5,AC=4,下列四个选项，正确的是() tam-号 tanA-3 sinB-5 A. B. D.cosB= 【答案】C. 4.(sin45+tan60°sin60°的结果是( ) A.1 B.2 C.3 D.0 【答案】B 5.在Rt△ABC中，∠C-90°，AC-2,BC=5,那么cosA的值是() 529 2N29 5 A.29 B.29 C. D. 25 【答案】B. 6.sin55°、cos55°、tan55°的大小关系是( A.tan55°<cos55°<sin55o B.cos55°<tan55°<sin55o C.sin55°<cos55°<tan550 D.cos55°<sin55°<tan55o 【答案】D 7.在Rt△ABC中，∠C-90°，已知tanA=2,若将△ABC各边都扩大5倍，则tanA的值 为() 1 A.2 B.10 C.5 D. 2 【答案】D 8.已知sin30=a+1 则一元二次方程x+aX+2=0解的情况是( a ) A.有两个相同的实数根 B.有两个不同的实数根 C.没有实数根 D.无法判断 【答案】C 9.如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD,垂足为E,连接CE.若 ∠ADB=30°，则cos∠DEC的值为() D E B 3 3 97 A. 2 B. C. 2V7 7 D.2 【答案】C 10.图1是一个地铁站入口的双翼闸机.如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B 之间的距离为10cm,双翼的弧AP与弧BQ的长都为12π，且与闸机侧立面夹角∠PCA= ∠BDQ=30°，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为() D 闸机箱 闸机箱 图1 图2 A.72cm B.723+10cm C.722+10cm D.82cm 【答案】D 二、填空题 5 11.在Rt△ABC中，∠C-90°，AB=26, tanA= 12,那么B0=一 【答案】10. 12.已知正方形ABCD中，AB=3,点E为直线BC上一点，BE=2EC,连接AE.则 sin∠DAE的值为 /5.3V13 【答案】 或13 13.在 中， △ABC 2 △BC是 三角形. 【答案】等腰直角 14.如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则s1n∠ABC的值为 【答案】5 15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，连接CD,过点D作 DE1CD交BC于点B若anA=手BE=7,则DE的长为 D B 【答案】15 16.如图，某水库大坝的横断面是梯形ABCD,坝高为10米，迎水坡CD的坡度为1：2.4， 那么该水库迎水坡CD的长度为米. A D B 【答案】26. 三、解答题 17.计算： (1)2cos30°-tan60°+sin45°cos45°： (2) (-1)02+2sin45°-cos30°+sin60°+tan60°. √3 22 【答案】解：(1)原式=2×2-√3+2×2 =√3.√3+2 =2 233 (2)原式=-1+2×2-2+2+（√3） =-1+W2+3 =24√2. 18.在Rt△ABC中，∠C=90°，abc分别是∠A∠B、∠C的对边，且a=3,c=5,求 sinA和sinB的值， 【答案】解：根据勾股定理可得：在Rt△ABC中，a+6=c, 又，a=3,c=5, .=c2-君=16， ∴.b=4, a 3 b4 .'sinA=c=5,sinB=c=5. 3 19.如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，sinC-5,AC=8,BD平分∠CBA交AC边于点 D.求： (1)线段AB的长： (2)tan∠DBA的值 ○ B 【答案】解：(1)在Rt△ABC中，∠CAB=90°， AB 3 ..sinc=BC=5,BC-AB=AC, ∴.可设AB=3k,则BC=5k, ,AC=8, .(5k)2-(3k)2=82, ∴.=2（负值舍去）， ∴.AB=3X2=6: (2)过D点作DE⊥BC于E,设AD=x,则CD=8-x. E ,BD平分∠CBA交AC边于点D,∠CAB-90°， ∴DB-AD=x 在Rt△BDE与Rt△BDA中， BD=BD DE=DA. ∴.Rt△BDE≌Rt△BDA(HL), ∴.BE=A=6, ∴.CB=BC-BB=5X2-6=4. 在Rt△CDB中， ,∠C8D-90°， ∴.DB+CE=CD, .+4=(8-)3, 解得x=3, ∴AD=3, AD 31 ∴.tan∠DBA=AB=6=2 20如图，在△ABC中，BC=2,tanB=号点D是BC延长线上一点，am∠ACD= 4 D (1)求点A到BD的距离： (2)求sinA的值， 25 【答案】()32 【详解】(1)解：作AE⊥BD于点E, 设AE=3x, 在Rt△ABE中，∠AEB=90°， .tan B=AE_1 BE 2' ∴.BE=2AE=6x, 在Rt△ACE中，∠AEC=90°， m∠sc2器是 :CE=号AE=4X 3 .BC=BE-CE, 2=6x-4x, x=1, .AE=3; 即点A到BD的距离为3： (2)作CF⊥AB于点E F B ED 由(1)可得BE=2AE=6X=6,CE=4X=4, 在Rt△ABE中，AB=VAE2+BE=32+62=3V5, 在Rt△ACE中，AC=√AE2+CE2=32+42=5, Sm3BC~AE=号AB-CP, x2×3=x35CF, :.2 2 C5, 在Rt△ACF中，∠AFC=90°， 5 则sin∠BAC-C 5 AC 21.如图，高层大楼CD前面建有一层地上车库，车库的对面有一幢低层楼房AB.某校数 学实践活动小组想要测量高层大楼CD的高度，他们在楼房AB的窗户口点E处测得车库地 面边缘点F的俯角为20°，测得大楼CD项端D的仰角为60°，已知BE=6m,车库长度 CF=15m(点B,R,C在同一水平直线上，参考数据：cos20°≈0.94，tan20°≈0.36， √3≈1.73，结果精确到0.1) D C 【答案】高层大楼CD的高度约为60.8m 【详解】解：过点E作EH⊥CD于点：则四边形BCHE是矩形， 由题意得： CH=BE=6m,EH=BC,∠DEH=60°，∠FEH=20°.EH∥BC. ∴.∠BFE=∠FEH=20°， BE 在Rt△BEF中，∠EBF=90°，tan∠EFB= BF .BFs BE≈6=50 tan20°0.363， CF=15, EH=BC=BF+CF=95 , 在Rt△DEH中， :∠DHE=90,an∠DEH=Dg EH .DH-EH-tan6095x53 .DC=DH+CH-DH+BE-953 6≈60.8m 答：高层大楼CD的高度约为60.8m 22.如图1，某款线上教学设备由底座、支撑臂AB、连杆BC、悬臂CD和安装在D处的 摄像头组成.如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图.己知支撑臂 AB⊥L,AB=18cm,CD=44cm,固定∠ABC=148°，可通过调试悬臂CD与连杆BC的夹角 来提高拍摄效果，悬臂端点C到桌面1的距离约为52cm. B 图1 图2 (1)BC的长度为多少？ (2)已知摄像头点D到桌面1的距离为30Cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂CD与连杆BC 的夹角∠BCD的度数约为多少？（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60） 【答案】(1)40cm(2)28 【详解】(1)解：过点C作CE⊥I,垂足为E,过点B作BF⊥CE,垂足为F, D F A E ∠EAB=∠AEF=∠BFE=90°， ∴四边形ABFE是矩形， ∴.∠ABF=90°，AB=EF=18cm,CE=52cm, ∴.CF=CE-EF=34(cm), ∠ABC=148° ∴.∠CBF=∠ABC-∠ABF=58° 在R△Cr中，C-站-0(E米) “BC的长度约为40厘米： (2)过点D作DG⊥CE,垂足为G, 7C D∠2---- G B F d A E 由题意得：EG=30cm,AB∥CE, ∠BCE=180°-∠ABC=32°， .CE=52cm :CG=CE-EG=52-30=22(厘米)， 在Rt△CDG中，CD=44cm, ÷cos∠DCG=CG-221 CD442' ∴.∠DCG=60° .∠DCB=∠DCG-∠BCE=28° ∴此时悬臂CD与连杆BC的夹角∠BCD的度数约为28°