第23章 解直角三角形（单元分层自测·培优冲刺卷）数学新教材沪科版九年级上册

**基本信息** 本卷为九年级上册数学第23章解直角三角形单元培优卷，以无人机测量、古塔高度等真实情境设计梯度问题，覆盖锐角三角函数及应用，适配单元复习，提升数学眼光与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|坡度计算、格点三角函数、特殊角范围|基础巩固，结合网格几何直观| |填空题|4/20|斜坡高度、三角形高的三角函数、角平分线综合|能力提升，融合四边形性质| |解答题|9/90|无人机测量（19题）、古塔高度（20题）、无障碍坡道设计（22题）|创新应用，真实情境模型构建，如22题项目课题体现数学语言表达现实世界|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第23章解直角三角形 培优冲刺 (考试时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求 题号 2 3 x 5 6 7 10 答案 C A B B 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 1.g12.81B.98号 60 14.①②④ 三、解答题（本题共9小题，共90分。其中：1518每题8分，19-20题每题10分，21-22 题每题12分，23题14分) 15.【详解】解：原式=2-1+1-2 =0 16.【详解】解：AD⊥BC,∠ADC=90° .AD=9,DC=5 ...AC=AD2+DC2=106 E为AC的中点，DE=BC=4C, ∴.∠EDC=∠C, ∴sin∠EDc=sinc=4D-=9_9W1o6 4C106106. 17.【详解】(1)解：作CM⊥AB于点M,DN⊥AB于点N, :.∠CMN=∠CMA=∠DNM=∠DWB=90°， 答案第1页，共2页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CD‖AB ∴.∠CMN=∠MCD=∠DNM=∠CDN=90°， 四边形CDNM为矩形， .CD=MN,CM=DN. 在Rt△BND中，∠DBN=37°，∠BND=90°，BD=11km, .sin37°= DN BD· .DN=BD×sin37°≈11×0.6=6.6≈7km, .'CM=DN =7km 答：点C到直线AB的距离为7km (2)解：在Rt△BND中，∠DBN=37°，∠BND=90°，BD=1Ikm, Cos37°=B BN=cos37°×BD=11×0.8=8.8≈9km, D 由(1)可得，CM=DN=7km,CD=MN, .∠CAM=45° .CM AM =7km. :AC=VCM+AM=V2CM≈1.4x7=9.8≈10km .EF=CD, .EF=MN .现在从乡镇A到乡镇B比原来少走的路程为： AC+CD+BD-(AM+MN+BN） =AC+CD+BD-AM-MN-BN AC+BD-AM-BN =10+11-7-9 =5km. 18.【详解】(1) 答案第2页，共2页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2 M F (3) 19.【详解】解：延长BA交QD于点E,延长PC交BE于点F,如图： 由题意得：PG=BF=80m,OC=EF=20m,PC=60m,QE=CF,BE⊥QD,PF⊥BE, 设QE=CF=xm ∴PF=PC+CF=(x+60)m 在RteAPF中，∠APF=17°， .AF=PF.tanl7°≈0.3x+60)m, 在Rt△AQE中，∠AQE=45°， ∴.AE=QE.tan45°=x(m), AF +EF=AE, .0.3(x+60)+20=x, 解得：x≈54.29， AE=54.29m, .AB=BF+EF-AE=80+20-54.29≈45.7(m), 答：塔AB的高度约为45.7m, 20.【详解】解：由题意可知，四边形OBDF、OCEF、ECBD都是矩形. 答案第3页，共2页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'LAFE=90,BD=CE=OF=1.5m,BC=DE=30m 在RtAEF中， :tan∠AEF=AF EF, AF EF= AF AF tan∠AEF-tan63.4o≈ 2 :在Rt△ADF中，an∠ADF=A5 DE AF AF AF DF=- ≈1.45AF tan∠4DF tan34.6°0.69 9 DF=DE+EF, .1.45AF-0.5AF=30,解得：AF≈31.58m .0A=AF+0F≈31.58+1.5=33.08≈33.1m. 答：甘州木塔OA的高度约为33.lm 21.【详解】(1)解：由题意可知： ∠ABC=∠DCB=90°，∠ACB=∠CBE=45°，∠BCE=75°，AD=80 海里， 过A作AH⊥DC交CD于点H, 北 西 →东 15 南 75o 则四边形 是矩形， 30% 45 B AHCB :BC=AH, :D在A北偏东30°方向， .∠DAH=30°， 在RtAHD中， MH=AD.co30°=80x5 2 405 海里， 答案第4页，共2页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BC=AH=403 海里， 在△BCE中，∠BCE=75°，∠CBE=45°， ∴.∠CEB=180°-75°-45°=60°， 过C作CF⊥BE于F, 在RtACBF中， CF=BC.sin45°=405×V2 20√6 2 海里， 在RIACFE中，sin60°=CF CE CE= CF206 =40W2 sin60° V3 海里， 2 40W2 即C与E之间的距离为 海里： (2)解：设甲出发后走了x海里，甲的位置为M,即此时甲与C的距离CM=x海里， ,甲乙速度相等， ∴.乙也走了x海里，乙从E沿EC向C走，乙的位置为N, 乙与C的距离 N=CE-x=40v2-x 由方向可知：CA在C的南偏西45°，CE在C的南偏东75°， .∠MCN=45°+75°=120°， 当MW=50海里时， 过M作MK⊥NC,交NC的延长线于K,则∠MCK=180°-120°=60°， 北 K C 西)东 .N E南 M 在 中： 459 RtACMK 答案第5页，共2页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 MK=x·sin60=V 2xCK=x·c0s600= 2, 4x=cK+cN=x+(405-402-, 2 展开整理得：x2-40W2x+700=0, 解得，-05±02-470 =20W2±10 出发时甲乙距离 CB=402≈56.56>50，随若行走距离”增大，距离先减小后增大，首 次相距0海里对应较小的根，X=202-10≈20x1414-1018,3 50 即此时甲与C的距离约为183海里. 22.【详解】(1)该坡道不符合标准要求，理由如下： 在R△ABC中，tan∠BAC=BC C, ∴.tan14°= BC ≈0.25 4.8 C≈1.2(m) 解得 1.215.1 而4.8420>20， ∴该坡道坡度大于国家标准，不符合标准要求： (②)小红设计的方案图符合标准，理由如下： 过点D作DG⊥BC于点G, B D 图③ 由题意得，在RtEDF中，DF=0.8m,EF=16m, 答案第6页，共2页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 tan∠DEF=DF_0.81 EF1620, ∴坡道ED符合标准； ,∠F=∠C=∠DGC=90°， .四边形DFCG是矩形， .CG=DF=0.8m,DG=CF=EF+CE=16+2-18(m) BG=BC-CG=1.2-0.8=0.4(m) 在RIABDG中，tam∠BDG=BC-04-1L DG184520' ∴坡道DB符合标准， 又：C℉=18<20，满足地面要求， 小红设计的方案图符合标准. a b 23.【详解】(1)解：由题意得sin A sin B, 10 0 ·sin45o-sin30°， 解得b=5V5 (2)解：过点C作CD⊥AB于点D, sind=CD_CD ACb· CD=bsind= 2 ×5V2=5 .∠A=45°， .AD=CD=5. ∠B=30°， .∠BCD=60°， :sin∠BCD=BD BC =sin60°=BD 10, 答案第7页，共2页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :BD=sim60°x10= 2×10=5√3 4B=AD+BD=c=5+53 :s-48xc0-6+5)52503 a CD (3)解：由题意可得，BC=40×1.5=60,∠ACB=60°，∠B4C=75°-30°=45°： AB 60 由题意得sin600sin45o, :B=30V6≈73,47 答：AB≈73.47 mile. 答案第8页，共2页 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第23章 解直角三角形 培优冲刺 （考试时间：120分钟 满分：150分 ） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 1．（本题4分）一辆小车沿着斜坡向上行驶了50米（坡度），则此时该小车的竖直高度上升（    ） A．米 B．25米 C．米 D．米 2．（本题4分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点．点均在格点上，连接，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（本题4分）如图，在中，，若，，则（    ） A． B． C． D． 4．（本题4分）已知，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（本题4分）如图在菱形中，，则的值（    ） A． B．2 C． D． 6．（本题4分）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点E、F．若，，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 7．（本题4分）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，的每个顶点都在网格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（本题4分）如图，在中，,，，则的长为（     ） A． B． C． D． 9．（本题4分）如图，在矩形纸片中，点是边的中点，点在边上．将该纸片沿折叠后，使点落在边上的点处．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 10．（本题4分）如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河岸边C处的俯角为，，无人机沿水平线方向继续飞行80米至B处时，被河对岸D处的小明测得其仰角为．无人机距地面的垂直高度用表示，点M，C，D在同一条直线上，其中米，则河流的宽度（     ） A．160米 B．米 C．米 D．米 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．（本题5分）如图，一道斜坡坡比为，，则斜坡的高度__________． 12．（本题5分）如图，在中，于点，那么______． 13．（本题5分）如图，在中，，平分，F为线段上一点，且，连接若，则的长为__________． 14．（本题5分）如图，在中，，直线是在外部且经过点的任意一条直线，过点作于点，过点作于点，连结，交于点．下面给出四个结论： ①； ②当点为中点时，； ③当时，的最大值为； ④当时，与相似． 上述结论中，正确结论的序号有________． 三、解答题（本题共9小题，共90分。其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题14分） 15．（本题8分）计算：． 16．（本题8分）如下图，在中，于点．若为的中点，求的值． 17．（本题8分）如图，乡镇在乡镇的正北方向，桥最北端桥墩在乡镇的西南方向，最南端桥墩在乡镇的北偏西方向处．原来从乡镇到乡镇需要经过桥，路线为折线，现在新建了桥，可直接沿直线从乡镇到达乡镇，已知桥和平行．（参考数据：，，，结果保留整数） (1)求点到直线的距离； (2)求现在从乡镇到乡镇比原来少走的路程． 18．（本题8分）如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹． (1)在图①中，作的中线； (2)在图②中，在上找一点E，连接，使得； (3)在图③中，在上找一点P，连接，使． 19．（本题10分）某校综合与实践小组测量某塔的高度，形成了如下不完整的实践报告： 测量对象 某塔 测量目的 学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题 测量工具 无人机 测量方案 1．先将无人机从地面的点处垂直上升至点，测得塔的顶端的俯角为； 2．再将无人机从点处沿水平方向飞行至点，然后沿垂直方向上升至点．此时，测得塔的顶端的俯角，图中各点均在同一竖直平面内． 测量示意图    请根据以上测量数据，求该塔的高度（结果精确到，参考数据：，，）． 20．（本题10分）甘州木塔于隋文帝开皇二年（公元582年）重建，至今已有一千多年历史，其建筑技巧集木工、铁工、画师技法于一体，制作精巧，是甘州八景之一（如图①．某数学兴趣小组开展“测量甘州木塔高度”的实践活动，过程如下： 方案设计：如图②，木塔垂直于地面，利用测角仪在木塔同侧的测量点B，C两处分别测得木塔顶端A的仰角，的度数（O，C，B在同一条直线上），再测得B，C两点之间的距离． 数据收集：测角仪，测得． 问题解决：求甘州木塔的高度（结果精确到）． 参考数据：． 根据上述方案及数据，请你完成求解过程． 21．（本题12分）如图，是海警舰艇指挥中心，是4处小岛．在的正东方向，在的正北方向，且在的西南方向．在的正西方向，且在的北偏东方向海里处．在的东北方向，且在的南偏东方向．（参考数据：） (1)求与之间的距离（结果保留根号）； (2)海警舰艇甲从出发沿方向巡防，海警舰艇乙从出发沿方向巡防，他们同时出发，且速度相等.当他们首次相距海里时，开始双舰协同巡防，求此时甲与的距离（结果精确到0.1海里） 22．（本题12分）项目课题：设计无障碍坡道． 项目情境：国家标准《无障碍设计规范》：不设扶手的平坡出入口地面坡度不应大于．如图①是小红所在学校的无障碍坡道． 项目实施：已知，无障碍坡道的水平宽度米，坡角．为检测该坡道是否符合国家标准，小红抽象出坡道的示意图如图②所示，并进行计算和设计． 任务： (1)如图②，根据已知数据，求出铅直高度的值，请帮小红判断该坡道是否符合标准要求，并说明理由； (2)如图③，受地面条件限制，该坡道方向能用的水平宽度只有米．小红设计了一个“回转坡道”的方案示意图：在处安装支柱米，在处留米的通道，入口为点，经过两个坡道与再到达点，且米．在满足地面限制条件下，小红设计的方案图是否符合标准？如果符合，请说明理由：如果不符合，请提出修改建议．（参考数据：，，） 23．（本题14分）【问题背景】如图，在锐角三角形中，，，的对边分别是，，，过作于点，则，，即，，于是，即，同理有，，所以． 【简单应用】如图，在中，，，的对边分别是，，，若，，． (1)根据以上条件结合材料中的结论，求的值； (2)求的面积． 【综合应用】 (3)在某次巡逻中，如图，甲船在处测得岛在甲船的北偏西的方向上，随后以的速度按北偏东的方向航行，一个半小时后到达处，此时又测得岛在北偏西的方向上，求此时甲船距岛的距离．（结果精确到，） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第23章 解直角三角形 培优冲刺 （考试时间：120分钟 满分：150分 ） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 1．（本题4分）一辆小车沿着斜坡向上行驶了50米（坡度），则此时该小车的竖直高度上升（    ） A．米 B．25米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查坡度的概念及勾股定理的应用．先根据坡度定义设出竖直高度与水平宽度，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设小车竖直高度上升了米， ∵坡度 ∴水平宽度为米， ∵小车沿斜坡行驶的距离为斜边，长度为50米， 根据勾股定理得：， 解得（舍去负根）， 即此时该小车的竖直高度上升为米． 故选：C． 2．（本题4分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点．点均在格点上，连接，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求正切， 先标注直角三角形，再根据正切的定义解答即可． 【详解】解：如图所示，标注格点D， 在中，， ∴． 故选：C． 3．（本题4分）如图，在中，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦的定义，计算即可． 【详解】解：在中，，，， 则． 4．（本题4分）已知，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用锐角正弦值随角度增大而增大的性质，结合已知特殊角的正弦值求解范围． 【详解】解：∵是锐角，且，又∵当为锐角时，随角度的增大而增大， ∴由可得， ∵锐角满足， ∴． 5．（本题4分）如图在菱形中，，则的值（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，以及三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，菱形四边相等．首先设菱形边长为，则，根据三角函数定义可得，再解即可得到的值，然后利用勾股定理计算出的长，然后在根据正切定义可得的值． 【详解】解：设菱形边长为， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 6．（本题4分）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点E、F．若，，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】解：连接， ∵垂直平分， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，锐角三角函数的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 7．（本题4分）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，的每个顶点都在网格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，求正弦值． 用网格求出三边的长，根据等腰三角形的性质，求出边上的高，进而求出边上的高，最后根据三角函数的意义求解即可． 【详解】解：如图，取的中点D，连接，则，过点C作，垂足为E， 由网格可得，， 则边上的高， 由三角形的面积公式得，， 即， ∴， ∴． 故选：C． 8．（本题4分）如图，在中，,，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 过点A作于点D，利用和分别求出、长，再利用勾股定理求出长，从而求解的长． 【详解】解：如图，过点A作于点D， ， 在中，， ， 解得：， ， 在中，， ， 解得：， ． 9．（本题4分）如图，在矩形纸片中，点是边的中点，点在边上．将该纸片沿折叠后，使点落在边上的点处．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作于点，连接交于点，设，则，在中，由勾股定理求得，再求得，据此求解即可． 【详解】解：作于点，连接交于点，设，则， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， 由折叠的性质知，垂直平分， ∴， 在中， 由勾股定理得，即， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．（本题4分）如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河岸边C处的俯角为，，无人机沿水平线方向继续飞行80米至B处时，被河对岸D处的小明测得其仰角为．无人机距地面的垂直高度用表示，点M，C，D在同一条直线上，其中米，则河流的宽度（     ） A．160米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】过B作于点N，因为，均垂直，所以四边形是矩形，可得．在中，因为已知，结合米，利用勾股定理求出的长度．在中，因为仰角为，，利用角的正切值求出的长度．因为，代入对应长度即可得到的表达式． 【详解】 解：∵， ∴A处俯角等于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 过作于， 则四边形是矩形， ∴，． 在中，，， ∴． ∴． ∴米． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．（本题5分）如图，一道斜坡坡比为，，则斜坡的高度__________． 【答案】 【分析】根据坡比得到，从而求出的值． 【详解】解：斜坡坡比为， ， ， ． 12．（本题5分）如图，在中，于点，那么______． 【答案】8 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用．设，则，利用勾股定理求得，，由，从而求出，最后由进行计算可以得解． 【详解】解：∵， ∴， 设，则， 由勾股定理得，即， 解得， ∴，， 又， ∴， ∴， 故答案为：8． 13．（本题5分）如图，在中，，平分，F为线段上一点，且，连接若，则的长为__________． 【答案】/ 【分析】过点作交的延长线于点，延长交于点，连接，利用平行线及角平分线性质证，结合为中点证为中点，进而得及，解直角三角形求出长，最后利用列比例式求解． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，延长交于点，连接， ∵平分， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∵ ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，即 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴ ∵ ∴ ∴即 解得：． 14．（本题5分）如图，在中，，直线是在外部且经过点的任意一条直线，过点作于点，过点作于点，连结，交于点．下面给出四个结论： ①； ②当点为中点时，； ③当时，的最大值为； ④当时，与相似． 上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】①②④ 【分析】证明，则，故①正确；证明，由①可知，，即可得到，故②正确；取的中点，连接，，则，由，即可得到的最大值为，故③错误；证明，又由，即可证明，故④正确． 【详解】解；①∵过点作于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确； 当点为中点时，在中， ∴， 由①可知，， ∴， 故②正确； ∵， ∴， 取的中点，连接，，则， ∵ ∴在中， ∵， ∴， ∴的最大值为， 故③错误； ④当，由①可知， ∴ ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上可知，正确结论的序号有①②④． 三、解答题（本题共9小题，共90分。其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题14分） 15．（本题8分）计算：． 【答案】 【分析】先计算算术平方根、零指数幂、锐角三角函数、绝对值，再计算加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 16．（本题8分）如下图，在中，于点．若为的中点，求的值． 【答案】 【分析】首先利用勾股定理计算出的长，再根据直角三角形的性质可得，根据等边对等角可得，进而得到. 【详解】解：． ， ． 为的中点，， ， ． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，求角的正弦值，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 17．（本题8分）如图，乡镇在乡镇的正北方向，桥最北端桥墩在乡镇的西南方向，最南端桥墩在乡镇的北偏西方向处．原来从乡镇到乡镇需要经过桥，路线为折线，现在新建了桥，可直接沿直线从乡镇到达乡镇，已知桥和平行．（参考数据：，，，结果保留整数） (1)求点到直线的距离； (2)求现在从乡镇到乡镇比原来少走的路程． 【答案】(1)点到直线的距离为． (2)现在从乡镇到乡镇比原来少走的路程为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）作于点，于点，证明四边形为矩形，得到，，解直角三角形得出的长，即可； （2）解直角三角形得到的长，求出的长，由勾股定理得到的长，根据，即可． 【详解】（1）解：作于点，于点， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中， ，，， ∴， ∴ ， ∴ ． 答：点到直线的距离为． （2）解：在中，，，， ∴ ， 由（1）可得， ，， ∵ ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴现在从乡镇到乡镇比原来少走的路程为：， ． 18．（本题8分）如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹． (1)在图①中，作的中线； (2)在图②中，在上找一点E，连接，使得； (3)在图③中，在上找一点P，连接，使． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）构造矩形，利用矩形性质即可求解； （2）由图知，由平行线分线段成比例定理可知，所以； （3）构造平行四边形，对角线交点即为中点，则，因为，勾股定理可得，则． 【详解】（1）略； （2）略； （3）略． 19．（本题10分）某校综合与实践小组测量某塔的高度，形成了如下不完整的实践报告： 测量对象 某塔 测量目的 学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题 测量工具 无人机 测量方案 1．先将无人机从地面的点处垂直上升至点，测得塔的顶端的俯角为； 2．再将无人机从点处沿水平方向飞行至点，然后沿垂直方向上升至点．此时，测得塔的顶端的俯角，图中各点均在同一竖直平面内． 测量示意图    请根据以上测量数据，求该塔的高度（结果精确到，参考数据：，，）． 【答案】塔高约 【分析】延长交于点，延长交于点，由题意得：，，，，，，然后设，则，分别在和中，利用解直角三角形求出的长，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：延长交于点，延长交于点，如图： 由题意得：，，，，，， 设， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得：， ， ， 答：塔的高度约为． 20．（本题10分）甘州木塔于隋文帝开皇二年（公元582年）重建，至今已有一千多年历史，其建筑技巧集木工、铁工、画师技法于一体，制作精巧，是甘州八景之一（如图①．某数学兴趣小组开展“测量甘州木塔高度”的实践活动，过程如下： 方案设计：如图②，木塔垂直于地面，利用测角仪在木塔同侧的测量点B，C两处分别测得木塔顶端A的仰角，的度数（O，C，B在同一条直线上），再测得B，C两点之间的距离． 数据收集：测角仪，测得． 问题解决：求甘州木塔的高度（结果精确到）． 参考数据：． 根据上述方案及数据，请你完成求解过程． 【答案】 【分析】由题意可知，四边形都是矩形可得．在中解直角三角形可得，在中解直角三角形可得，再根据列方程求得，进而求得的长即可． 【详解】解：由题意可知，四边形都是矩形． ∴． 在中， ∵， ∴． ∵在中，， ∴， ∵， ∴，解得：． ∴． 答：甘州木塔的高度约为． 21．（本题12分）如图，是海警舰艇指挥中心，是4处小岛．在的正东方向，在的正北方向，且在的西南方向．在的正西方向，且在的北偏东方向海里处．在的东北方向，且在的南偏东方向．（参考数据：） (1)求与之间的距离（结果保留根号）； (2)海警舰艇甲从出发沿方向巡防，海警舰艇乙从出发沿方向巡防，他们同时出发，且速度相等.当他们首次相距海里时，开始双舰协同巡防，求此时甲与的距离（结果精确到0.1海里） 【答案】(1)海里 (2)甲与的距离约为海里 【分析】（1）过作交于点，则四边形是矩形，得出，根据在北偏东方向，得出，在中，解直角三角形求出海里，则海里，在中，求出，过作于，在中，解直角三角形求出海里，在中，解直角三角形求出海里， （2）设甲出发后走了海里，甲的位置为，即此时甲与的距离海里，根据甲乙速度相等，得出乙也走了海里，乙从沿向走，乙的位置为，，当海里时，过作，交的延长线于，则，在中： 解直角三角形求出，则，由勾股定理列方程求出，再结合题意即可解答； 【详解】（1）解：由题意可知：海里， 过作交于点， 则四边形是矩形， ∴， ∵在北偏东方向， ∴， 在中，海里， ∴海里， 在中，，， ∴， 过作于， 在中，海里， 在中，， ∴海里， 即与之间的距离为海里； （2）解：设甲出发后走了海里，甲的位置为，即此时甲与的距离海里， ∵甲乙速度相等， ∴乙也走了海里，乙从沿向走，乙的位置为， ∴乙与的距离， 由方向可知：在的南偏西，在的南偏东， ∴， 当海里时， 过作，交的延长线于，则， 在中： ， ∴， 由勾股定理，即， 展开整理得：， 解得：， 出发时甲乙距离为，随着行走距离增大，距离先减小后增大，首次相距海里对应较小的根：， 即此时甲与的距离约为海里． 22．（本题12分）项目课题：设计无障碍坡道． 项目情境：国家标准《无障碍设计规范》：不设扶手的平坡出入口地面坡度不应大于．如图①是小红所在学校的无障碍坡道． 项目实施：已知，无障碍坡道的水平宽度米，坡角．为检测该坡道是否符合国家标准，小红抽象出坡道的示意图如图②所示，并进行计算和设计． 任务： (1)如图②，根据已知数据，求出铅直高度的值，请帮小红判断该坡道是否符合标准要求，并说明理由； (2)如图③，受地面条件限制，该坡道方向能用的水平宽度只有米．小红设计了一个“回转坡道”的方案示意图：在处安装支柱米，在处留米的通道，入口为点，经过两个坡道与再到达点，且米．在满足地面限制条件下，小红设计的方案图是否符合标准？如果符合，请说明理由：如果不符合，请提出修改建议．（参考数据：，，） 【答案】(1)该坡道不符合标准要求，理由如下： 在中，， ∴, 解得， 而， ∴该坡道坡度大于国家标准，不符合标准要求； (2)小红设计的方案图符合标准，理由如下： 过点作于点， 由题意得，在中，，， ∴， ∴坡道符合标准； ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴坡道符合标准， 又∵，满足地面要求， ∴小红设计的方案图符合标准． 【分析】（1）根据坡度的定义解求，然后比较的坡度与国家标准即可； （2）过点作于点，分别在、中求出坡道、的坡度，再比较的长度与的大小即可． 【详解】（1）略 （2）略 23．（本题14分）【问题背景】如图，在锐角三角形中，，，的对边分别是，，，过作于点，则，，即，，于是，即，同理有，，所以． 【简单应用】如图，在中，，，的对边分别是，，，若，，． (1)根据以上条件结合材料中的结论，求的值； (2)求的面积． 【综合应用】 (3)在某次巡逻中，如图，甲船在处测得岛在甲船的北偏西的方向上，随后以的速度按北偏东的方向航行，一个半小时后到达处，此时又测得岛在北偏西的方向上，求此时甲船距岛的距离．（结果精确到，） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用题目总结出的结论，代入数值计算即可； （2）先求得的长，然后根据三角形的面积公式，即可； （3）利用题目中总结出的正结论代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴， 解得． （2）解：过点作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：由题意可得，，，； 由题意得， ∴ ． 答： ． 试卷第1页，共3页 试卷第26页，共26页 学科网（北京）股份有限公司 $ ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 保密★启用前 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第23章 解直角三角形 培优冲刺 （考试时间：120分钟 满分：150分 ） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 1．（本题4分）一辆小车沿着斜坡向上行驶了50米（坡度），则此时该小车的竖直高度上升（    ） A．米 B．25米 C．米 D．米 2．（本题4分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点．点均在格点上，连接，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（本题4分）如图，在中，，若，，则（    ） A． B． C． D． 4．（本题4分）已知，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（本题4分）如图在菱形中，，则的值（    ） A． B．2 C． D． 6．（本题4分）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点E、F．若，，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 7．（本题4分）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，的每个顶点都在网格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（本题4分）如图，在中，,，，则的长为（     ） A． B． C． D． 9．（本题4分）如图，在矩形纸片中，点是边的中点，点在边上．将该纸片沿折叠后，使点落在边上的点处．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 10．（本题4分）如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河岸边C处的俯角为，，无人机沿水平线方向继续飞行80米至B处时，被河对岸D处的小明测得其仰角为．无人机距地面的垂直高度用表示，点M，C，D在同一条直线上，其中米，则河流的宽度（     ） A．160米 B．米 C．米 D．米 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．（本题5分）如图，一道斜坡坡比为，，则斜坡的高度__________． 12．（本题5分）如图，在中，于点，那么______． 13．（本题5分）如图，在中，，平分，F为线段上一点，且，连接若，则的长为__________． 14．（本题5分）如图，在中，，直线是在外部且经过点的任意一条直线，过点作于点，过点作于点，连结，交于点．下面给出四个结论： ①； ②当点为中点时，； ③当时，的最大值为； ④当时，与相似． 上述结论中，正确结论的序号有________． 三、解答题（本题共9小题，共90分。其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题14分） 15．（本题8分）计算：． 16．（本题8分）如下图，在中，于点．若为的中点，求的值． 17．（本题8分）如图，乡镇在乡镇的正北方向，桥最北端桥墩在乡镇的西南方向，最南端桥墩在乡镇的北偏西方向处．原来从乡镇到乡镇需要经过桥，路线为折线，现在新建了桥，可直接沿直线从乡镇到达乡镇，已知桥和平行．（参考数据：，，，结果保留整数） (1)求点到直线的距离； (2)求现在从乡镇到乡镇比原来少走的路程． 18．（本题8分）如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹． (1)在图①中，作的中线； (2)在图②中，在上找一点E，连接，使得； (3)在图③中，在上找一点P，连接，使． 19．（本题10分）某校综合与实践小组测量某塔的高度，形成了如下不完整的实践报告： 测量对象 某塔 测量目的 学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题 测量工具 无人机 测量方案 1．先将无人机从地面的点处垂直上升至点，测得塔的顶端的俯角为； 2．再将无人机从点处沿水平方向飞行至点，然后沿垂直方向上升至点．此时，测得塔的顶端的俯角，图中各点均在同一竖直平面内． 测量示意图    请根据以上测量数据，求该塔的高度（结果精确到，参考数据：，，）． 20．（本题10分）甘州木塔于隋文帝开皇二年（公元582年）重建，至今已有一千多年历史，其建筑技巧集木工、铁工、画师技法于一体，制作精巧，是甘州八景之一（如图①．某数学兴趣小组开展“测量甘州木塔高度”的实践活动，过程如下： 方案设计：如图②，木塔垂直于地面，利用测角仪在木塔同侧的测量点B，C两处分别测得木塔顶端A的仰角，的度数（O，C，B在同一条直线上），再测得B，C两点之间的距离． 数据收集：测角仪，测得． 问题解决：求甘州木塔的高度（结果精确到）． 参考数据：． 根据上述方案及数据，请你完成求解过程． 21．（本题12分）如图，是海警舰艇指挥中心，是4处小岛．在的正东方向，在的正北方向，且在的西南方向．在的正西方向，且在的北偏东方向海里处．在的东北方向，且在的南偏东方向．（参考数据：） (1)求与之间的距离（结果保留根号）； (2)海警舰艇甲从出发沿方向巡防，海警舰艇乙从出发沿方向巡防，他们同时出发，且速度相等.当他们首次相距海里时，开始双舰协同巡防，求此时甲与的距离（结果精确到0.1海里） 22．（本题12分）项目课题：设计无障碍坡道． 项目情境：国家标准《无障碍设计规范》：不设扶手的平坡出入口地面坡度不应大于．如图①是小红所在学校的无障碍坡道． 项目实施：已知，无障碍坡道的水平宽度米，坡角．为检测该坡道是否符合国家标准，小红抽象出坡道的示意图如图②所示，并进行计算和设计． 任务： (1)如图②，根据已知数据，求出铅直高度的值，请帮小红判断该坡道是否符合标准要求，并说明理由； (2)如图③，受地面条件限制，该坡道方向能用的水平宽度只有米．小红设计了一个“回转坡道”的方案示意图：在处安装支柱米，在处留米的通道，入口为点，经过两个坡道与再到达点，且米．在满足地面限制条件下，小红设计的方案图是否符合标准？如果符合，请说明理由：如果不符合，请提出修改建议．（参考数据：，，） 23．（本题14分）【问题背景】如图，在锐角三角形中，，，的对边分别是，，，过作于点，则，，即，，于是，即，同理有，，所以． 【简单应用】如图，在中，，，的对边分别是，，，若，，． (1)根据以上条件结合材料中的结论，求的值； (2)求的面积． 【综合应用】 (3)在某次巡逻中，如图，甲船在处测得岛在甲船的北偏西的方向上，随后以的速度按北偏东的方向航行，一个半小时后到达处，此时又测得岛在北偏西的方向上，求此时甲船距岛的距离．（结果精确到，） 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $