第23章 解直角三角形（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材沪科版九年级上册

**基本信息** 九年级上册数学第23章解直角三角形单元卷，以赵爽弦图、港珠澳大桥等文化与现实情境为载体，覆盖三角函数定义及应用，适配单元复习，提升数学建模与实际问题解决能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|三角函数定义（第1题）、特殊角计算（第4题赵爽弦图）|结合网格（第6题）、菱形（第7题）考查几何直观| |填空题|4/20|坡比（第13题滑梯）、仰角俯角（第14题建筑物高度）|融入生活场景，强化量感与空间观念| |解答题|9/90|综合应用（第20题港珠澳大桥测高、第23题光伏板铺设）|通过多步推理（如方向角、最佳角度计算）发展运算能力与推理意识|

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第23章 解直角三角形 能力提升 （考试时间：120分钟 满分：150分 ） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。 1．（本题4分）如图，若的三边长，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．（本题4分）如图，在中，是斜边上的高，，则下列比值中等于的是（   ）． A． B． C． D． 3．（本题4分）某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，撑开的遮阳面和的长均为1.8米，的度数为，则此时“天幕”的宽度是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．（本题4分）中国古代数学家赵爽设计的“弦图”蕴含了许多丰富的数学知识．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，设，若大正方形的面积为25，，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（本题4分）如图，一个土堆的截面可近似看成一个等腰，，其中斜坡与水平地面所成夹角，当米时，土堆顶端A到地面的距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．（本题4分）如图，在正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则的值是（    ） A． B． C． D． 7．（本题4分）在菱形中，，，，则（    ） A． B． C．2 D． 8．（本题4分）在中，所对的边分别为a，b，c，下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 9．（本题4分）如图，点，，都在正方形网格的格点上，则的值是（     ） A． B． C． D． 10．（本题4分）如图，正方形和正方形，点在的延长线上．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．（本题5分）计算：__________． 12．（本题5分）如图，在中，，，，则的长为_____． 13．（本题5分）如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若扶梯长为米，则滑梯的长度为_____米． 14．（本题5分）如图，在处看建筑物的顶端的仰角为，向前行进3米到达处，从处看的仰角为（图中各点均在同一平面内，三点在同一条直线上，），则建筑物的高度约为___________米（结果精确到．参考数据：． 三、解答题（本题共9小题，共90分。其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题14分） 15．（本题8分）如图，在中，，为锐角，，垂足为，若，．求的度数及的长． 16．（本题8分）如图，甲､乙两楼相距，甲楼高，自甲楼楼顶看乙楼楼顶，仰角为，乙楼有多高？（结果精确到） 17．（本题8分）随着2025年第九届丝博会的热度，“丝绸之路”再度成为全球热点，位于西安市玉祥门外盘道中心岛的张骞塑像也引来很多外地游客参观．某数学兴趣小组计划进行测量该塑像高度的实践活动，测量示意图如图所示，小刚将无人机（无人机的高度忽略不计）放在塑像正前方的地面A处，测得塑像顶部C的仰角为，随后操作无人机竖直向上升高到点B处，测得塑像顶部C的俯角为，已知点A，B，C与塑像底部D在同一平面内，且，均垂直于地面，求该塑像的高度．（结果保留一位小数．参考数据：，，） 18．（本题8分）如图，在中，，，中线． (1)求的长； (2)求的值． 19．（本题10分）如图1是某小区投放安装的儿童游乐设施，如图2是滑梯部分的示意图，，经过测量可知，攀登梯的坡比为，且米，． (1)求线段的长度；（精确到0.1米） (2)求滑道的长度．（精确到0.1米）（参考数据：，，，） 20．（本题10分）港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门的跨海桥隧工程，全长55千米，2018年通车，以“三地三检”模式助力粤港澳大湾区互联互通，创下多项世界之最．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”，某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为60°，在距B处160米的C处看塔顶A，仰角为30°，求该主塔的高度． 21．（本题12分）如图，港口P位于东西方向的海岸线上，“远征”号、“和平”号轮船同时离开港口，各自沿固定方向航行，“远征”号沿东北方向行驶，“和平”号沿西北方向行驶，“远征”号每小时航行16海里，“和平”号每小时航行12海里，它们离开港口一段时间后分别位于点Q，R处，且相距30海里． (1)求两船行驶多长时间分别位于点Q，R处？ (2)求的长度？ 22．（本题12分）觉华塔位于长沙市铜官窑国家考古遗址公园的觉华顶，是遗址公园标志性景点之一登上觉华塔，可俯瞰湘江、遗址公园全景，将山、水、洲、城、平原及公园原生态，自然风光尽收眼底在综合与实践活动中，某学习小组要利用测角仪测量觉华塔的高度．如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上．在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长； (2)求塔的高度（结果精确到，参考数据：，） 23．（本题14分）某光伏工程公司计划在山东某地铺设太阳能光伏板，请根据相关资料帮助该公司解决光伏铺设问题． 【相关资料】 ①该地区正午太阳光线与水平面的夹角为，冬至日时最小，其值为；夏至日时最大，其值为． ②该地区太阳能光伏板安装的最佳角度（即太阳能光伏板与水平面的夹角）为． 【光伏铺设】 施工人员准备在水平地面上按照最佳角度铺设多排平行光伏板，如图为相邻两排光伏板与的侧面安装示意图．光伏板的前支架和后支架垂直于水平地面，垂足分别为，．和分别为光伏板的前后支架（均与水平地面垂直）．已知光伏板，前支架 ，． (1)求后支架的高度； (2)为保证太阳能光伏板的发电效率，需确保每日正午时刻，每块太阳能光伏板的采光不受遮挡．求铺设时前后两排光伏板之间的距离的最小值． （结果精确到，参考数值：，，，，，， 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第23章解直角三角形 能力提升 (考试时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求。 题号 1 2 4 6 7 9 10 答案 D D C D C C B C B B 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11.-112.313.414.9 三、解答题（本题共9小题，共90分。其中：1518每题8分，19-20题每题10分，21-22 题每题12分，23题14分) 15【详解】解：∠B为锐角，且cosB= 2,AD⊥BC, BD 1 AB2∠B=60, AB=6, .BD=3 在R△ABD中， AD=√AB2-BD2=V62-32=35 tanC=4D =3v5 CD “CD=4D35 336 .BC=BD+CD=3+1=4 16.【详解】解：由题意得： 答案第1页，共2页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 人30°.E 40m +30m← D ∠CAE=30°，AE=BD=30Im, 在R△MCB中，CB=ABtm∠CH1B=10V5。 m. 故可得乙楼的商度=CB+BD=CB+AB=(40+10V5) )m≈57m 17.【详解】如图，过点C作CE⊥AB,垂足为E, B122° 45 D AB⊥AD,CD⊥AD,CE⊥AB ∴四边形ADCE是矩形. ∠CAD=45 :.AD=CD, ∴四边形ADCE为正方形， .AD=CD=AE=CE 从点B测得点C的俯角为22°， ∴.根据平行直线的性质可知∠BCE=22°， .BE=AB-AE=13.8-AE. :在RBEC中，an2=BE=13.8-AE13.8-CD CECE 0.40 CD 解得CD≈9.9m, 答案第2页，共2页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.该塑像的高度CD约为9.9m 18.【详解】(1)解：：tan∠B=1, .∠B=45°， 又CD⊥BC, ∴.等腰Rt△CBD, 等腰Rt△CBD中，BC=2, .DB=2BC=22, CD为中线， :1B=2BD=4V2 (2)解：如图，过点C作CE⊥DB于点E, B D E Rt△CBD CE⊥DBDB=2√2 ,等腰 DE=CE=BE=2 AE-4B-BE=3V2 “在Ra4CE中，AC=VAE2+CE=25 :i<A=Cg.点i而 ΓAC2510. 19.【详解】(1)解：攀登梯AD的坡比为1：1， .4B BD 1, 在RteABD中， 4B-BD=AD 2 答案第3页，共2页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD=2.1米， ·ABs② D 2 2.15×1,414×2.11.5 2 2 (米) 答：线段AB的长度约为1.5米： (2)解：在Rt△ABC中，∠C=37°， .AB=AC.sin37°， 4CAB≈=2.5（米） sin37°0.60 答：滑道AC的长度约为2.5米. 20.【详解】解：过点A作AD⊥CB于点D,设AD=x米， 由题意得，∠ABD=60°，∠ACD=30°， 在Ra4DB中，an60=AD DB :DB日 :Dcs 3x+160 tan30°=AD =3 DC 3 在RiADC中， 3 3x+160 :3r=x+1605 :r=80V5 80W3 答：该主塔的高度为 米 7777777 答案第4页，共2页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 21.【详解】(1)解：两船分别沿东北、西北方向行驶， 则∠1=45°，∠2=45°， ∠1+∠2=90°， :△PQR为直角三角形， 设航行时间为t,可得： 远征号航程：16t海里，即P2=161, 和平号航程：12t海里，即PR=12t, 己知0R=30, 由勾股定理可得： QR2=P0+PR2,即16+(12'=302 解得1=1.5(1=-1.5舍去)， 所以两船行驶1.5小时后分别位于点9，R处， (2)解：由第一问可知，两船航行时间为1.5小时， 所以远征号航程：16×1.5=24（海里），即P0=24海里， 和平号航程：12×1.5=18（海里），即PR=18海里. 22.【详解】(1)解：由题意，DE⊥EC. 在Rt△DEC中，∠DCE=30°，CD=20m, be-0=10m 答：DE的长为l0m. (2)由题意，BA⊥EA 在Rt△DEC中，DE=10m,CD=20m. CE=VCD2-DE2=V202-102=103(m)） 在Rt△ABC中，设AB=xm. ∠BCA=45°， .AC=AB=xm :.EA=CE+AC=(103+x)m 答案第5页，共2页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过点D作DF⊥AB,垂足为F. D 30 45o 由题意，得DE=FA=10m, DF=EA=(10v3+x)m AB =xm ∴.BF=AB-FA=(x-10)m 在Rt△BDF中，∠BDF=27°， BF=DF.tan27°≈0.510W3+xm x-10=0,505+,解得x=105+20≈37. .AB=37m 答：塔AB的高度约为37m, 23.【详解】(1)解：过点A作AI⊥BF,垂足为I, B 太阳光线 C GO H ∠AIB=90° △ABI为直角三角形， 根据题意可知∠BAI=30°， AB=2m, :.BI=4B=Im 2 :AE⊥MN,BF⊥MN, .∠AEF=∠BFE=∠AIF=90°」 答案第6页，共2页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .四边形AEFI为矩形， ∴.IF=AE=0.6m, .BF=BI+IF=1+0.6=1.6m: (2)解：由题意得，当∠BOM=a=31°，且点C与点B,共线时，FG最小， BF⊥MN, ∴.∠BFQ=90° 在RtABFO中，an∠BOM=B O, BE 1.6 ∴.FQ= an∠BQM0.60 =2.67m, 由题意可知，CG=AE=0.6m, CGL MN ∴.∠CGQ=90° 在Rt△CGO中，tan∠BQM-CG GO CG0.6 ∴G0= tan∠BQM0.6 =Im FG=FQ-GQ=2.67-1≈1.7m 答案第7页，共2页 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第23章 解直角三角形 能力提升 （考试时间：120分钟 满分：150分 ） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。 1．（本题4分）如图，若的三边长，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据勾股定理逆定理判断 为直角三角形，再利用锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 是直角三角形，且， 在中，． 2．（本题4分）如图，在中，是斜边上的高，，则下列比值中等于的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，利用锐角三角函数定义判断即可． 【详解】解：在中，， 在中，， ∵， ∴， 在中，． 故选：D． 3．（本题4分）某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，撑开的遮阳面和的长均为1.8米，的度数为，则此时“天幕”的宽度是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形、等腰三角形三线合一，灵活运用相关知识是解题的关键；根据正弦函数解直角三角形即可解答． 【详解】解：设交于点， ∵，， ∴，， 在中，， ∵， ∴. 4．（本题4分）中国古代数学家赵爽设计的“弦图”蕴含了许多丰富的数学知识．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，设，若大正方形的面积为25，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，掌握余弦的定义是解题的关键． 先求出正方形的边长，再由余弦等于锐角的邻边与斜边的比值即可求解． 【详解】解：∵大正方形的面积为25，则边长为5， ∴， 在中，． 故选：D． 5．（本题4分）如图，一个土堆的截面可近似看成一个等腰，，其中斜坡与水平地面所成夹角，当米时，土堆顶端A到地面的距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】此题考查解直角三角形的应用，等腰三角形三线合一的性质，根据等腰三角形的性质得到，再根据三角函数求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，， ∴（米）， 故选：C． 6．（本题4分）如图，在正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与锐角三角函数的定义，解题的关键是在格点中延长构造直角三角形，利用直角三角形边角关系直接求解． 延长至格点，连接，证为直角三角形，再根据余弦定义求解． 【详解】解：设每个小正方形边长为．则，, 延长到格点，连接． ，,． ， 为直角三角形，且． ∴． 故选：． 7．（本题4分）在菱形中，，，，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，难度适中．根据，设出，则，，得出，根据，，求出，再利用勾股定理得出的长，即可求出答案． 【详解】解：， 设，则，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 8．（本题4分）在中，所对的边分别为a，b，c，下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，A选项错误，不符合题意； ，B选项错误，不符合题意； ，C选项正确，符合题意； ，D选项错误，不符合题意 ． 9．（本题4分）如图，点，，都在正方形网格的格点上，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长，交网格于格点，连接，设网格小正方形边长为1，利用勾股定理求出，，，根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，根据三角函数的定义即可得出答案． 【详解】解：如图，延长，交网格于格点，连接， 设网格小正方形边长为1， ∴，，， ∵，即， ∴是直角三角形，， ∴． 10．（本题4分）如图，正方形和正方形，点在的延长线上．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正方形的边长为，则，利用正方形性质求出、的长及，在中利用正切定义求解． 【详解】解：连接，如图： 设， ∵四边形和是正方形，， ∴，，， ∴，， ∵、分别是正方形、的对角线， ∴，， ∴， ∴在中，． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．（本题5分）计算：__________． 【答案】 【详解】解： 12．（本题5分）如图，在中，，，，则的长为_____． 【答案】3 【分析】本题考查了直角三角形的边角间关系和勾股定理．掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．先根据锐角三角函数的边角间关系，可求出的长，再用勾股定理求出的长． 【详解】解：在中， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：3． 13．（本题5分）如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若扶梯长为米，则滑梯的长度为_____米． 【答案】4 【分析】根据题意得，，，，，因此，，通过解直角三角形求出，即可． 【详解】解∶由题意得：，，，，， ∴， ∴在中，（米）， ∴米， ∴在中，（米）． 答：滑梯的长度为4米． 14．（本题5分）如图，在处看建筑物的顶端的仰角为，向前行进3米到达处，从处看的仰角为（图中各点均在同一平面内，三点在同一条直线上，），则建筑物的高度约为___________米（结果精确到．参考数据：． 【答案】9 【分析】根据，得到，根据和正切的概念列出算式，解出算式得到答案 【详解】解：，， ，即． ． ， ，即． 解得． 三、解答题（本题共9小题，共90分。其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题14分） 15．（本题8分）如图，在中，，为锐角，，垂足为，若，．求的度数及的长． 【答案】， 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握各锐角的三角函数值及各锐角三角函数的计算公式是解题的关键． 根据函数值直接得到的度数以及的长，在中，利用勾股定理可得的长，再由，可得到的长，即可求解． 【详解】解：为锐角，且，， ， ， ． 在中，， ， ． ． 16．（本题8分）如图，甲､乙两楼相距，甲楼高，自甲楼楼顶看乙楼楼顶，仰角为，乙楼有多高？（结果精确到） 【答案】 【分析】先根据题意作出示意图，然后在RT△ACE中，可得出CE的长度，继而可得出乙楼的高度． 【详解】解：由题意得： ∠CAE＝30°，AE＝BD＝30m， 在Rt△ACE中，CE＝AE∙tan∠CAE＝10m， 故可得乙楼的高度＝CE＋ED＝CE＋AB＝（40＋10）m≈． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是将实际问题转化为解直角三角形的问题，求出CE的长度，难度一般． 17．（本题8分）随着2025年第九届丝博会的热度，“丝绸之路”再度成为全球热点，位于西安市玉祥门外盘道中心岛的张骞塑像也引来很多外地游客参观．某数学兴趣小组计划进行测量该塑像高度的实践活动，测量示意图如图所示，小刚将无人机（无人机的高度忽略不计）放在塑像正前方的地面A处，测得塑像顶部C的仰角为，随后操作无人机竖直向上升高到点B处，测得塑像顶部C的俯角为，已知点A，B，C与塑像底部D在同一平面内，且，均垂直于地面，求该塑像的高度．（结果保留一位小数．参考数据：，，） 【答案】 【分析】过点作，垂足为，证明四边形为正方形，在中，利用即可列出方程进行求解．本题主要考查解三角形的应用． 【详解】如图，过点作，垂足为， ，，， 四边形是矩形． ， ， 四边形为正方形， ． 从点测得点的俯角为， ∴根据平行直线的性质可知， ， 在中，， 解得， 该塑像的高度约为． 18．（本题8分）如图，在中，，，中线． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解直角三角形，掌握锐角三角函数的计算是关键． （1）根据正切值的计算得到等腰，，由为中线，得到，由此即可求解； （2）如图，过点作于点，，，根据勾股定理，正弦值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴等腰， ∵等腰中，， ∴， ∵为中线， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∵等腰，，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 19．（本题10分）如图1是某小区投放安装的儿童游乐设施，如图2是滑梯部分的示意图，，经过测量可知，攀登梯的坡比为，且米，． (1)求线段的长度；（精确到0.1米） (2)求滑道的长度．（精确到0.1米）（参考数据：，，，） 【答案】(1)约为1.5米 (2)约为2.5米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成的形式，把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系是坡度是坡角的正切值． （1）根据的坡比为，推出 ．由米，即可得（米）； （2）根据正弦的定义列式计算即可． 【详解】（1）解：攀登梯的坡比为， ， 在中，． 米， （米） 答：线段的长度约为1.5米； （2）解：在中，， ， （米）． 答：滑道的长度约为2.5米． 20．（本题10分）港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门的跨海桥隧工程，全长55千米，2018年通车，以“三地三检”模式助力粤港澳大湾区互联互通，创下多项世界之最．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”，某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为60°，在距B处160米的C处看塔顶A，仰角为30°，求该主塔的高度． 【答案】米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点A作于点D，设米，在中，利用三角函数值得，进而得，在中，利用三角函数值得，进而求解即可． 【详解】解：过点A作于点D，设米， 由题意得，，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：该主塔的高度为米． 21．（本题12分）如图，港口P位于东西方向的海岸线上，“远征”号、“和平”号轮船同时离开港口，各自沿固定方向航行，“远征”号沿东北方向行驶，“和平”号沿西北方向行驶，“远征”号每小时航行16海里，“和平”号每小时航行12海里，它们离开港口一段时间后分别位于点Q，R处，且相距30海里． (1)求两船行驶多长时间分别位于点Q，R处？ (2)求的长度？ 【答案】(1)小时 (2)海里， 海里 【分析】（1）两船分别沿东北、西北方向行驶，则，，可得为直角三角形，设航行时间为,用含的式子表示两船的航程，即，的长，已知的长，使用勾股定理，可求出值，即可得到两船位于,处的航行时间． （2）用两船的航行速度乘以两船的航行时间的具体值，得到两船航程，即的长度． 【详解】（1）解：两船分别沿东北、西北方向行驶， 则， ∵， ∴为直角三角形， 设航行时间为，可得： 远征号航程： 海里，即， 和平号航程： 海里，即， 已知， 由勾股定理可得： ,即， 解得（舍去）， 所以两船行驶小时后分别位于点Q，R处． （2）解：由第一问可知，两船航行时间为小时， 所以远征号航程： （海里），即海里， 和平号航程： （海里），即海里． 22．（本题12分）觉华塔位于长沙市铜官窑国家考古遗址公园的觉华顶，是遗址公园标志性景点之一登上觉华塔，可俯瞰湘江、遗址公园全景，将山、水、洲、城、平原及公园原生态，自然风光尽收眼底在综合与实践活动中，某学习小组要利用测角仪测量觉华塔的高度．如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上．在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长； (2)求塔的高度（结果精确到，参考数据：，） 【答案】(1) (2)塔的高度约为． 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解； （2）在中，根据勾股定理求得，设．得出，过点作，垂足为．，．在中，，得出，进而建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，． 在中，，， ． 答：的长为． （2）由题意， 在中，，， ． 在中，设． ， ． ． 过点作，垂足为． 由题意，得，． ， ． 在中，， ． ，解得． ． 答：塔的高度约为． 23．（本题14分）某光伏工程公司计划在山东某地铺设太阳能光伏板，请根据相关资料帮助该公司解决光伏铺设问题． 【相关资料】 ①该地区正午太阳光线与水平面的夹角为，冬至日时最小，其值为；夏至日时最大，其值为． ②该地区太阳能光伏板安装的最佳角度（即太阳能光伏板与水平面的夹角）为． 【光伏铺设】 施工人员准备在水平地面上按照最佳角度铺设多排平行光伏板，如图为相邻两排光伏板与的侧面安装示意图．光伏板的前支架和后支架垂直于水平地面，垂足分别为，．和分别为光伏板的前后支架（均与水平地面垂直）．已知光伏板，前支架 ，． (1)求后支架的高度； (2)为保证太阳能光伏板的发电效率，需确保每日正午时刻，每块太阳能光伏板的采光不受遮挡．求铺设时前后两排光伏板之间的距离的最小值． （结果精确到，参考数值：，，，，，， 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作 ，垂足为，求得，再证明四边形为矩形，得，故可求； （2）当 ，且点与点，共线时，最小．分别求出，，根据可得结论． 【详解】（1）解：过点作 ，垂足为， ， 为直角三角形， 根据题意可知， ， ， ，， ， ∴四边形为矩形 ， ， ； （2）解：由题意得，当 ，且点与点，共线时，最小， ， ， 在中，， ， 由题意可知，， ， ， 在中，， ， ． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第41页 共42页 ◎ 第42页 共42页 学科网（北京）股份有限公司 $ ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 保密★启用前 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第23章 解直角三角形 能力提升 （考试时间：120分钟 满分：150分 ） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。 1．（本题4分）如图，若的三边长，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．（本题4分）如图，在中，是斜边上的高，，则下列比值中等于的是（   ）． A． B． C． D． 3．（本题4分）某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，撑开的遮阳面和的长均为1.8米，的度数为，则此时“天幕”的宽度是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．（本题4分）中国古代数学家赵爽设计的“弦图”蕴含了许多丰富的数学知识．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，设，若大正方形的面积为25，，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（本题4分）如图，一个土堆的截面可近似看成一个等腰，，其中斜坡与水平地面所成夹角，当米时，土堆顶端A到地面的距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．（本题4分）如图，在正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则的值是（    ） A． B． C． D． 7．（本题4分）在菱形中，，，，则（    ） A． B． C．2 D． 8．（本题4分）在中，所对的边分别为a，b，c，下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 9．（本题4分）如图，点，，都在正方形网格的格点上，则的值是（     ） A． B． C． D． 10．（本题4分）如图，正方形和正方形，点在的延长线上．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．（本题5分）计算：__________． 12．（本题5分）如图，在中，，，，则的长为_____． 13．（本题5分）如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若扶梯长为米，则滑梯的长度为_____米． 14．（本题5分）如图，在处看建筑物的顶端的仰角为，向前行进3米到达处，从处看的仰角为（图中各点均在同一平面内，三点在同一条直线上，），则建筑物的高度约为___________米（结果精确到．参考数据：． 三、解答题（本题共9小题，共90分。其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题14分） 15．（本题8分）如图，在中，，为锐角，，垂足为，若，．求的度数及的长． 16．（本题8分）如图，甲､乙两楼相距，甲楼高，自甲楼楼顶看乙楼楼顶，仰角为，乙楼有多高？（结果精确到） 17．（本题8分）随着2025年第九届丝博会的热度，“丝绸之路”再度成为全球热点，位于西安市玉祥门外盘道中心岛的张骞塑像也引来很多外地游客参观．某数学兴趣小组计划进行测量该塑像高度的实践活动，测量示意图如图所示，小刚将无人机（无人机的高度忽略不计）放在塑像正前方的地面A处，测得塑像顶部C的仰角为，随后操作无人机竖直向上升高到点B处，测得塑像顶部C的俯角为，已知点A，B，C与塑像底部D在同一平面内，且，均垂直于地面，求该塑像的高度．（结果保留一位小数．参考数据：，，） 18．（本题8分）如图，在中，，，中线． (1)求的长； (2)求的值． 19．（本题10分）如图1是某小区投放安装的儿童游乐设施，如图2是滑梯部分的示意图，，经过测量可知，攀登梯的坡比为，且米，． (1)求线段的长度；（精确到0.1米） (2)求滑道的长度．（精确到0.1米）（参考数据：，，，） 20．（本题10分）港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门的跨海桥隧工程，全长55千米，2018年通车，以“三地三检”模式助力粤港澳大湾区互联互通，创下多项世界之最．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”，某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为60°，在距B处160米的C处看塔顶A，仰角为30°，求该主塔的高度． 21．（本题12分）如图，港口P位于东西方向的海岸线上，“远征”号、“和平”号轮船同时离开港口，各自沿固定方向航行，“远征”号沿东北方向行驶，“和平”号沿西北方向行驶，“远征”号每小时航行16海里，“和平”号每小时航行12海里，它们离开港口一段时间后分别位于点Q，R处，且相距30海里． (1)求两船行驶多长时间分别位于点Q，R处？ (2)求的长度？ 22．（本题12分）觉华塔位于长沙市铜官窑国家考古遗址公园的觉华顶，是遗址公园标志性景点之一登上觉华塔，可俯瞰湘江、遗址公园全景，将山、水、洲、城、平原及公园原生态，自然风光尽收眼底在综合与实践活动中，某学习小组要利用测角仪测量觉华塔的高度．如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上．在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长； (2)求塔的高度（结果精确到，参考数据：，） 23．（本题14分）某光伏工程公司计划在山东某地铺设太阳能光伏板，请根据相关资料帮助该公司解决光伏铺设问题． 【相关资料】 ①该地区正午太阳光线与水平面的夹角为，冬至日时最小，其值为；夏至日时最大，其值为． ②该地区太阳能光伏板安装的最佳角度（即太阳能光伏板与水平面的夹角）为． 【光伏铺设】 施工人员准备在水平地面上按照最佳角度铺设多排平行光伏板，如图为相邻两排光伏板与的侧面安装示意图．光伏板的前支架和后支架垂直于水平地面，垂足分别为，．和分别为光伏板的前后支架（均与水平地面垂直）．已知光伏板，前支架 ，． (1)求后支架的高度； (2)为保证太阳能光伏板的发电效率，需确保每日正午时刻，每块太阳能光伏板的采光不受遮挡．求铺设时前后两排光伏板之间的距离的最小值． （结果精确到，参考数值：，，，，，， 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $