14.2 三角形全等的判定（第4课时 “斜边、直角边”） 同步练习 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦“斜边、直角边”判定，通过基础辨析、情境应用、动态探究三层设计，构建从单一知识点到综合推理的巩固路径，培养几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|HL判定直接应用|选择1直接考查判定依据，填空11结合直角性质简单计算| |发展层|HL与其他判定综合|选择7通过作图过程辨析判定原理，填空14结合垂直模型应用| |综合层|动态问题与多结论证明|解答21动点全等探究，23题多问串联判定与性质推理|

第十四章 全等三角形 14.2 三角形全等的判定 第4课时 “斜边、直角边” 1、 选择题 1．如图，于点O，连接、，若，，则可判定，依据是（     ） A． B． C． D． 2．如图，已知，添加一个条件后，仍然不能判定的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在四边形中，，要根据证明，则需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 4．在数学活动课上，老师用三角尺演示角平分线的作法如图：在的两边上分别取点、，使；再分别过点，作，的垂线，交点为，连接．通过证明得到平分，则证明最直接的依据是（   ） A． B． C． D． 5．如图，两个直角三角形全等的是（    ） A．③④ B．①③ C．①② D．①④ 6．如图，已知，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是（     ） A． B． C． D． 7．在课堂上，陈老师发给每人一张印有（如图①）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图②所示． 对这两种画法的描述正确的是（   ） A．小赵同学作图判定的依据是 B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的是线段 C．小刘同学作图判定的依据是 D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的是线段 8．如图，点在的边的延长线上，过点作，连接，若，，，则的长为（     ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 9．如图，在中，，是上一点．，，垂足分别为，，，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 10．如图，点是的中点，，平分，下列结论∶①②③④,四个结论中成立的是（ ） A．①②④ B．①②③ C． ②③④ D．①③ 2、 填空题 11．如图，在四边形中，，，连接，，则的度数为__________． 12．如图，在和中，，，若，则__________． 13．如图，在中，，，，交于点E，若，则的度数为_______． 14．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC＝4cm，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F．若AE＝1cm，则EF＝　 　cm． 15．如图，在中，，，的面积为10，作，且，连接，点为射线上的动点，当的长度最短时，的面积为________． 16．如图，在中，，，过点B作．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点的运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为t秒（），则当以B，E，D为顶点的三角形与全等时，t的值为________秒． 3、 解答题 17．如图，已知于点A，于点B，且．求证：． 18．如图，与中，，是直角，边，在一条直线上，且，．求证： 19．如图，已知点A、B、C、D在同条直线上，．用“”证明，需添加什么条件？并写出你的证明过程． 解：需要添加的条件是________________； 证明： 20．如图，已知AD，BC相交于点O，AB＝CD，AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，BN＝CM． 求证：△ABM≌△DCN． 21．如图，在中，，，，、两点分别在线段和过点且垂直的射线上运动，且点不与点，重合，，那么当点运动到什么位置时，才能使与全等？ 22．如图，已知，其中，的延长线与相交于点，连接． (1)求证：； (2)若， ，求的长． 23．如图，在中，于D，于E，交于点O，且． (1)求证：； (2)连接，求证：平分； (3)若，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十四章 全等三角形 14.2 三角形全等的判定 第4课时 “斜边、直角边” 1、 选择题 1．如图，于点O，连接、，若，，则可判定，依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件识别出直角三角形及对应的斜边和直角边即可判断三角形全等． 【详解】解：∵于点， ∴， ∴和均为直角三角形， 在和中， ， ∴， 则可判定，依据是． 2．如图，已知，添加一个条件后，仍然不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定方法（、、、、），并明确不能作为判定三角形全等的依据是解题的关键． 已知，且公共边，逐一分析各选项添加条件后能否满足全等三角形的判定定理（、、、等），从而判断是否能判定． 【详解】解：在和中，已知，． 选项： ∵， ∴（）． 选项： ∵，，， ∴不满足全等三角形的判定定理（不能判定全等）， ∴不能判定． 选项： ∵， ∴（）． 选项： ∵， ∴（）． 故选：． 3．如图，在四边形中，，要根据证明，则需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵， 若证明， 则应该添加． 4．在数学活动课上，老师用三角尺演示角平分线的作法如图：在的两边上分别取点、，使；再分别过点，作，的垂线，交点为，连接．通过证明得到平分，则证明最直接的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作法可得到，，，再加上公共边，则可利用“”判断． 【详解】解：由作法可得，，， 则， 在和中 ， ∴． 5．如图，两个直角三角形全等的是（    ） A．③④ B．①③ C．①② D．①④ 【答案】B 【详解】解：①和②无法确定是否有相等的锐角，无法得到全等； ①和③两个直角三角形满足“”，可证明两个三角形全等； ③和②无法确定是否有相等的锐角，无法得到全等； ①②的一条直角边等于④的斜边，无法得到全等； ③和④无法确定是否有相等的锐角，无法得到全等， 则满足题意的为选项B． 6．如图，已知，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直定义得出，根据图形可知是公共直角边，根据直角三角形全等的判定得出需要添加的条件是斜边相等． 【详解】解：∵， ∴， ∵， 若添加， ∴． 7．在课堂上，陈老师发给每人一张印有（如图①）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图②所示． 对这两种画法的描述正确的是（   ） A．小赵同学作图判定的依据是 B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的是线段 C．小刘同学作图判定的依据是 D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的是线段 【答案】A 【分析】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．根据全等三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A、小赵同学作图判定的依据是，正确，本选项符合题意； B、小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度应该是的长，错误，不符合题意； C、小刘同学作图判定的依据应该是，错误，本选项不符合题意； D、小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度应该是的长，错误，本选项不符合题意． 故选：A． 8．如图，点在的边的延长线上，过点作，连接，若，，，则的长为（     ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【答案】B 【分析】证明，则，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． 9．如图，在中，，是上一点．，，垂足分别为，，，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，，可求得，从而有对应角相等，即可求的度数． 【详解】解： ，，且知，， ， 在和中， ， ， ， ． 10．如图，点是的中点，，平分，下列结论∶①②③④,四个结论中成立的是（ ） A．①②④ B．①②③ C． ②③④ D．①③ 【答案】A 【分析】过E作EF⊥AD于F，易证得Rt△AEF≌Rt△AEB，得到BE＝EF，AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；而点E是BC的中点，得到EC＝EF＝BE，则可证得Rt△EFD≌Rt△ECD，得到DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，也可得到AD＝AF＋FD＝AB＋DC，∠AED＝∠AEF＋∠FED＝∠BEC＝90°，即可判断出正确的结论． 【详解】解：过E作EF⊥AD于F，如图， ∵AB⊥BC，AE平分∠BAD， ∴BE=EF，AE=AE， ∴Rt△AEF≌Rt△AEB(HL) ∴AB＝AF，∠AEF＝∠AEB； 而点E是BC的中点， ∴EC＝EF＝BE，所以③错误； ∵EC＝EF，ED=ED， ∴Rt△EFD≌Rt△ECD， ∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，所以②正确； ∴AD＝AF＋FD＝AB＋DC，所以④正确； ∴∠AED＝∠AEF＋∠FED＝∠BEC＝90°，所以①正确， 综上：①②④正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等，也考查了三角形全等的判定与性质． 2、 填空题 11．如图，在四边形中，，，连接，，则的度数为__________． 【答案】 【分析】根据“”判定，利用全等三角形对应角相等得出，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：， 和都是直角三角形， 在和中， ， ， ， 在中，． 12．如图，在和中，，，若，则__________． 【答案】 【分析】根据已知条件利用定理证明，得出，再利用直角三角形两锐角互余求出，最后利用角的和差关系求解即可． 【详解】解：， 与均为直角三角形， 在和中， ， ， ， ， ， ． 13．如图，在中，，，，交于点E，若，则的度数为_______． 【答案】/61度 【分析】由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 14．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC＝4cm，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F．若AE＝1cm，则EF＝　 　cm． 【答案】5． 【分析】由CD⊥AB，EF⊥AC就可以得出∠FEC＝∠ADC＝90°，就有∠A＝∠F，就可以得出△ABC≌△FCE，就有EF＝AC而求出结论． 【详解】解：∵CD⊥AB，EF⊥AC， ∴∠FEC＝∠ADC＝∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠A＝∠ACD+∠F＝90°， ∴∠A＝∠F， ∵BC＝EC＝4cm， 在△ABC和△FCE中， ， ∴△ABC≌△FCE（AAS）， ∴AC＝FE， ∵AC＝AE+EC， ∴FE＝AE+EC， ∵EC＝4cm，AE＝1cm， ∴FE＝4+1＝5cm． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了垂直的性质的运用，直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 15．如图，在中，，，的面积为10，作，且，连接，点为射线上的动点，当的长度最短时，的面积为________． 【答案】1 【分析】先结合垂线段最短，得的延长线，再证明，得，，又因为，证明，故，最后把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：依题意，当的长度最短时，即的延长线，如图所示： 过点作， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵的延长线， ∴， ∴， ∴， ∵ 故， ∴， 则， ∴． 16．如图，在中，，，过点B作．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点的运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为t秒（），则当以B，E，D为顶点的三角形与全等时，t的值为________秒． 【答案】、、8 【分析】分当E在线段上，或当E在线段延长线上，由证明这两个三角形全等，再结合对应边相等进行列式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ①当E在线段上时， 如图：若， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：； 若，此时点E和点A重合，不符合题意； ②当E在线段延长线上时， 如图：若， ∴， ∵， ∴； 如图：若， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴当或或8秒时，与全等． 3、 解答题 17．如图，已知于点A，于点B，且．求证：． 【答案】 证明：如图，连接． ，， ． 在和中， ， ， ． 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定定理（HL）与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 通过连接构造全等三角形，根据HL证明，再根据全等三角形的性质即可得到． 【详解】略 18．如图，与中，，是直角，边，在一条直线上，且，．求证： 【答案】 证明：∵， ∴，即， ∵，是直角， ∴和都是直角三角形， 在和中， ， ∴； ∴， ∴． 【分析】此题考查了直角三角形全等的判定和性质，证明，根据即可证明；推出，即可证明． 【详解】略 19．如图，已知点A、B、C、D在同条直线上，．用“”证明，需添加什么条件？并写出你的证明过程． 解：需要添加的条件是________________； 证明： 【答案】，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，解题的关键是能正确理解所需条件． 先求出，，再根据定理推出即可． 【详解】解：条件是， 证明：， ， ， ，， ， 在和中 故答案为：． 20．如图，已知AD，BC相交于点O，AB＝CD，AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，BN＝CM． 求证：△ABM≌△DCN． 【答案】见详解. 【分析】先根据BN＝CM得出BM＝CN，再由垂直的定义得出∠AMB＝∠DNC＝90°，利用HL证明三角形全等即可． 【详解】证明：∵BN＝CM， ∴BN+MN＝CM+MN，即BM＝CN， ∵AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N， ∴∠AMB＝∠DNC＝90°． 在Rt△ABM和Rt△DCN中， ， ∴Rt△ABM≌Rt△DCN（HL）． 【点睛】本题考查证明两个三角形全等，熟练掌握HL证明三角形全等是解题的关键． 21．如图，在中，，，，、两点分别在线段和过点且垂直的射线上运动，且点不与点，重合，，那么当点运动到什么位置时，才能使与全等？ 【答案】当点运动到线段的中点位置时，能使与全等 【分析】先得到两个三角形均为直角三角形，结合斜边，利用定理分类讨论直角边对应相等，再结合点不与点重合的限制，排除，最终确定． 【详解】解：∵，， ∴， ∴与都是直角三角形， ①当时，点与点重合，不符合题意， ②当时，在与中， ∵， ∴， ∵， ∴，即点是线段的中点， 综上所述，当点运动到线段的中点位置时，能使与全等． 22．如图，已知，其中，的延长线与相交于点，连接． (1)求证：； (2)若， ，求的长． 【答案】(1)证明：， ， ， ， 在和中， ， ； (2)3 【分析】（1）根据，得，即可证明； （2）根据全等三角形的性质及线段的和差即可求得的长． 【详解】（1）略 （2）解： ， ， ， ， ， ， ， ， ． 23．如图，在中，于D，于E，交于点O，且． (1)求证：； (2)连接，求证：平分； (3)若，求的度数． 【答案】(1)证明：∵于D，于E， ∴， ∵，， ∴； (2)证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵于D，于E， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分； (3) 【分析】（1）利用证明即可； （2）证明，即可得证； （3）根据三角形的内角和定理，进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵，， ∴， ∴， ∴. 学科网（北京）股份有限公司 $