2027届高考物理人教版一轮复习-重难突破11 动量守恒定律及其应用

该高中物理高考复习讲义聚焦动量守恒定律及其应用，系统覆盖守恒条件（理想、近似、单方向守恒）、碰撞（弹性、非弹性、完全非弹性）、人船、反冲爆炸、弹簧、板块等核心模型，以及力学三大观点综合应用，按“概念规律—模型建构—综合应用”逻辑层次展开。通过考点梳理（如动量守恒“四性”诠释）、方法指导（如解题步骤规范）、真题训练（分7考向的选择与解答题），帮助学生建立系统知识网络和解题框架。 讲义突出科学思维与模型建构，如碰撞问题中通过动碰静结论推导及三原则判断，培养学生推理能力；设置分层练习（基础单选到综合解答），配合重难诠释（如人船模型对地位移辨析），确保复习针对性。创新采用“模型对比+多过程拆解”策略，如弹簧与板块模型共速临界分析，有效突破高频易错点，助力学生提升综合应用能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

重难突破11　动量守恒定律及其应用 1. 理解动量守恒定律的内容、四种表达式与理想守恒、近似守恒、单方向守恒三类条件，掌握其矢量性、瞬时性、同一性、普适性，能正确判断系统动量是否守恒。 2. 掌握弹性碰撞、非弹性碰撞、完全非弹性碰撞的规律与碰撞三原则，会用动碰静结论，能分析人船模型、反冲爆炸、弹簧、板块等典型模型。 3. 能灵活选用动量观点、能量观点与牛顿运动定律观点，规范选取系统、规定正方向，解决多体、多过程的综合问题。 【思维导图】 考点一　动量守恒定律的内容与表达式 1．内容：如果一个系统不受外力，或者所受外力的矢量和为零，这个系统的总动量保持不变，这就是动量守恒定律。 2．研究对象是“系统”：内力是系统内各物体之间的相互作用力，只改变各物体的动量、不改变系统总动量；外力才会改变系统的总动量。 3．四种表达形式： （1），相互作用前后系统的总动量相等； （2），作用前两物体动量之和等于作用后动量之和； （3），两物体动量的变化量等大反向； （4），系统总动量的增量为零。 重难诠释　①动量守恒的条件是“系统所受合外力为零”，而不是“物体不受力”；内力无论多大都不改变系统的总动量。②p=p′是矢量相等，并不意味着系统内每个物体的动量都不变——恰恰是内力让各物体的动量发生了等大反向的变化。③Δp1=−Δp2 表明动量只在系统内部转移、总量不增不减。④列式前先选好系统、再规定正方向，且各物体速度必须相对同一惯性参考系（通常取地面）。 考点二　守恒条件、“四性”与解题步骤 1．三类守恒条件：①理想守恒——系统不受外力或所受合外力为零；②近似守恒——内力远大于系统所受外力，外力冲量可忽略（如碰撞、爆炸、打击、反冲）；③单方向守恒——系统在某一方向上所受合外力为零，则该方向上动量守恒（如光滑圆弧槽、斜面的水平方向）。 2．动量守恒定律的“四性”：①矢量性——式中各动量是矢量，先选正方向、再带正负号；②瞬时性——守恒指每一时刻的总动量都与初时刻相等；③同一性——各速度相对同一参考系、对应同一时刻；④普适性——适用于多物体系统，宏观、微观、变力、高速情形都成立。 3．解题一般步骤：选取系统→受力分析判断是否守恒（或在哪个方向守恒）→规定正方向→确定初、末状态各物体速度→列动量守恒方程→需要时再联立能量（动能定理、机械能守恒）方程。 动量守恒的三种情形对比 情形 成立条件 典型例子 理想守恒 不受外力，或所受合外力为零 光滑水平面上两滑块相碰 近似守恒 内力远大于外力，外力冲量可忽略 碰撞、爆炸、打击、反冲 某方向守恒 该方向上合外力为零（总动量未必守恒） 光滑圆弧槽、光滑斜面的水平方向 重难诠释　①“某一方向守恒”是高频易错点：系统总动量并不守恒，但只要某一方向（多为水平方向）合外力为零，就可只在该方向列守恒式。②判断“近似守恒”时要能说明依据——作用时间极短，内力的冲量远大于外力的冲量。③同一性要求所有速度统一到同一参考系（人在船上走、子弹打木块都要换算到地面参考系）。④瞬时性要求初、末状态取在同一相互作用过程的起止瞬间，过程中不能随意取状态。 考点三　碰撞问题 1．碰撞特点：相对运动的物体相遇时在极短时间内运动状态发生显著变化；作用时间极短、内力（碰撞力）远大于外力，系统动量守恒。 2．碰撞三原则（判断碰撞能否发生）：①动量守恒——碰前总动量等于碰后总动量；②动能不增加——碰后总动能不大于碰前总动能，弹性碰撞取等号；③速度合理——碰后原在前的物体速度不小于原在后的物体（不可穿透），碰前相向运动的两物体碰后不可能都不改变方向。 3．动碰静弹性碰撞结论：质量 、速度 的小球与静止的 发生弹性正碰，联立动量守恒与动能守恒得 由此：时速度交换（、）；时碰后都向前、且；时入射小球反弹（）；时大球速度几乎不变、小球以约弹出。 三类碰撞的比较 类型 动量 动能 碰后特点 弹性碰撞 守恒 守恒（无损失） 可由两式联立求碰后速度 非弹性碰撞 守恒 有损失 碰后分离，损失部分动能 完全非弹性碰撞 守恒 损失最多 碰后粘在一起、速度相同 重难诠释　①判断某碰撞“是否可能”，三原则必须同时满足，其中“动能不增”和“速度合理（不穿透）”最容易被忽略。②动碰静结论由动量守恒式与动能守恒式联立得到，既要记结论也要会推导。③完全非弹性碰撞的隐含条件是“碰后共速”，且这种碰撞损失的动能最多，损失量等于“碰前系统总动能减去碰后共速时的总动能”。④碰撞时间极短，过程中位移可忽略，认为各物体从碰前位置以碰后新速度开始运动。 考点四　人船模型、反冲与爆炸 1．人船模型条件：系统由两个物体组成、相互作用前静止（总动量为零），且在研究方向上所受合外力为零。 2．人船结论：相互作用过程中任意时刻都有 ，对时间累积得 ；再结合相对位移关系 ，解得 （下标 1、2 分别为人与船，L 为人相对船移动的距离，x1、x2 为对地位移）。 3．反冲：系统的一部分以一定速度离开时，剩余部分获得反向冲量；内力远大于外力时动量守恒。反冲中有其他形式的能转化为机械能，系统总动能增加，火箭喷气就是连续反冲。 4．爆炸：作用时间极短、内力远大于外力，故系统动量守恒；化学能转化为动能，故动能增加；因时间极短、位移可忽略，可认为碎片从爆炸前的位置以新速度抛出。 碰撞、爆炸与反冲的比较 现象 动量 能量变化 典型实例 碰撞 守恒 动能不增加（弹性碰撞不变） 两球相碰、子弹打木块 爆炸 守恒 化学能转化为动能，动能增加 炮弹凌空炸裂、手榴弹 反冲 守恒（常由静止起） 其他能转化为动能，动能增加 火箭喷气、发射炮弹、爆竹 重难诠释　①人船模型中的都是“对地位移”，而中的 L 是两物体的相对位移（人相对船走过的距离），切勿把相对位移直接当成对地位移。②人船结论只在“系统初始静止”时成立；若初始总动量不为零，应回到加常数的一般式。③反冲、爆炸中系统动量守恒但动能增加，与碰撞的“动能不增”恰好相反，切勿混用。④火箭问题要注意喷气前后总质量变化，通常对“箭体＋喷出燃气”整体列守恒式。 考点五　弹簧模型与板块模型 1．弹簧模型：光滑水平面上两物体与轻弹簧组成的系统动量守恒、机械能守恒（只有弹簧弹力做功）。弹簧被压缩到最短或被拉伸到最长时，两物体速度相同（共速），此时弹性势能最大。 2．弹簧过程：A 接触弹簧后 ，弹簧被压缩；共速时形变量最大；之后 ，弹簧逐渐恢复；弹簧恢复原长时，两物体的速度关系相当于完成了一次弹性碰撞。 3．板块模型：滑块滑上木板，若系统所受合外力为零则动量守恒；滑块与木板间因摩擦产生的热量 Q=f·s（s 为相对路程），等于系统损失的动能；“恰好不从木板上滑出”的临界条件是滑块到达板端时恰与木板共速。 重难诠释　①“共速”是弹簧模型与板块模型共同的临界信号：弹簧此时形变量（弹性势能）最大，板块此时相对位移（生热）最大。②摩擦生热一定用摩擦力乘以“相对路程”，而不是物体的对地位移。③若木板还受地面摩擦，则系统总动量不守恒，不能整体套动量守恒，只能在光滑（或某方向合外力为零）时用守恒，其余借助能量关系或牛顿定律。④求弹簧最大弹性势能，通常用“动量守恒求共速 + 机械能守恒求势能”两条方程联立。 考点六　力学三大观点的综合应用 1．三大观点：①牛顿运动定律观点——由力求瞬时加速度，适合恒力、明确受力的过程；②动量观点——动量定理与动量守恒，适合涉及时间、碰撞反冲、多物体系统的问题；③能量观点——动能定理、机械能守恒与能量守恒，适合涉及位移、做功、生热的问题。 2．选用原则：多物体组成的系统优先考虑两个守恒；涉及速度与时间、平均力、碰撞冲击时用动量观点；涉及速度与位移、变力做功、摩擦生热时用能量观点；受恒力且需求瞬时加速度时用牛顿运动定律。 3．多过程问题：按相互作用把全过程拆成若干阶段——碰撞、爆炸等瞬间只用动量守恒（位移忽略），其余阶段用动能定理、机械能守恒或运动学、牛顿定律，相邻阶段以“衔接处速度连续”作为桥梁。 力学三大观点的比较 观点 主要规律 矢量/标量 优先使用情景 牛顿观点 牛顿三定律、运动学公式 矢量（可分解） 恒力、求瞬时加速度与时间 动量观点 动量定理、动量守恒定律 矢量（可分方向） 碰撞反冲、爆炸、流体、涉时间 能量观点 动能定理、机械能/能量守恒 标量（不分方向） 变力做功、曲线、生热、涉位移 重难诠释　①碰撞、爆炸等瞬间过程只列动量守恒（必要时加能量关系），不要在瞬间使用位移类公式。②能由两个守恒解决的问题优先用守恒，尽量不引入加速度和时间，过程更简洁。③多体问题要会整体法与隔离法结合：对守恒系统用整体法，求系统内部相互作用力时用隔离法。④抓住“速度桥梁”：上一阶段的末速度就是下一阶段的初速度，逐段衔接、避免漏过程。 考向1　判断系统是否动量守恒及动量守恒的初步应用 一、单选题 1．（25-26高二上·涡阳三中·期末）下列有关系统的总动量守恒表述正确的是（     ） A．只要系统内力代数和为零，系统的总动量就守恒 B．只要系统内力之和大于外力之和，系统的总动量就守恒 C．如果系统内有摩擦力，系统的总动量也可以保持不变 D．如果系统内有重力，系统的总动量一定变化 2．（25-26高二上·湖南娄底·期末）图甲为铅球运动员比赛时的情景，运动员将铅球投掷出去后，铅球在空中运动轨迹如图乙所示，不计空气阻力，则铅球在空中运动过程中（　　） A．动量守恒，机械能守恒 B．向上运动过程动量变化量与向下运动过程动量变化量方向相反 C．向上运动过程重力冲量与向下运动过程重力冲量方向相反 D．若抛出点和落地点高度相同，则铅球上升过程与下落过程的动能变化量大小相等 3．（25-26高三上·宁晋一中·学业水平调研）在2025年成都世界运动会自由潜水比赛中，中国运动员取得了优异成绩。运动员在下潜过程中与配重块一同匀速向下运动，运动员达到自己极限时，迅速卸下配重块，然后在浮力作用下上浮。若不考虑运动过程中水的阻力，则在运动员浮出水面、配重块落入水底之前，运动员与配重块组成的系统（　　） A．动量守恒，机械能不守恒 B．动量守恒，机械能守恒 C．动量不守恒，机械能守恒 D．动量不守恒，机械能不守恒 4．（26-27高三上·山东青岛·期初）如图所示，从距地面同一高度上的A、B两点同时水平相向抛出两个完全相同的小球，初速度大小分别为、，当两球发生正碰时，速度方向互相垂直，碰后粘在一起恰好落在A点正下方。已知重力加速度为g，则两球碰撞点P的离地高度为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·全国·高考）两小车P、Q的质量分别为mP和mQ，将它们分别与小车N沿直线做碰撞实验，碰撞前后的速度v随时间t的变化分别如图1和图2所示。小车N的质量为mN，碰撞时间极短，则（　　） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·景德镇一中·期末）乌贼靠自身的漏斗状体管喷射海水推动身体运动，被称为“水中火箭”。如图所示，一只悬浮在水中的乌贼，当外套膜吸满水后，它的总质量为，遇到危险时，通过短漏斗状的体管在极短时间内将水向后以高速喷出，从而迅速逃窜，喷出水的质量为，则喷出水后乌贼的动量为（　　） A．80kg·m/s B．1600kg·m/s C．320kg·m/s D．400kg·m/s 二、多选题 7．（2027·贵州黔南·摸底）一轻杆两端分别固定小球A和小球B，两小球均可视为质点且B球质量是A球质量的2倍。现将该轻杆放入固定在竖直平面内的圆形轨道上，并使小球B位于轨道的最低点，此时小球A恰好位于轨道上与圆心等高处，如图所示。不计一切阻力，则由静止释放轻杆后（　　） A．A、B两小球组成的系统机械能守恒 B．A、B两小球组成的系统动量守恒 C．A、B两小球速度大小始终相等 D．某时刻轻杆可能水平 三、解答题 8．（25-26高二上·内蒙古大学附中·期末）如图所示，光滑水平面上放一木板A，质量M=6kg，小铁块B（可视为质点）质量为m=2kg，木板A和小铁块B之间的动摩擦因数μ=0.3，小铁块B以v0=10m/s的初速度从木板A的左端冲上木板，恰好不滑离木板（g取10m/s2），则： (1)A、B速度相同时，相同速度的大小为多少？ (2)薄木板的长度为多少？ 考向2　板块及子弹打木块模型 一、单选题 1．（25-26高二上·厦门熹海高级中学·期末）如图所示，质量为m的光滑圆环套在固定的水平杆上，轻绳的一端系在圆环上，另一端系着质量为M的木块。质量为的子弹以水平速度射入木块，离开木块时，木块的速度为v，子弹穿过木块的时间极短。重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．子弹射穿木块前后，子弹和木块组成的系统动量和机械能都守恒 B．子弹射出木块后的瞬间，圆环对杆的压力 C．子弹射穿木块的过程，子弹和木块组成的系统损失的机械能 D．子弹射穿木块后，木块上升到最高高度 2．（25-26高一上·江西科技学院附中·期末）如图（a）所示，质量为2m的长木板，静止地放在光滑的水平面上，另一质量为m的小铅块（可视为质点）以水平速度滑上木板左端，恰能滑至木板右端且与木板保持相对静止，铅块运动中所受的摩擦力始终不变。若将木板分成长度与质量均相等（即）的两段1、2后紧挨着放在同一水平面上，让小铅块以相同的初速度由木板1的左端开始运动，如图（b）所示，则下列说法正确的是（     ） A．小铅块将从木板2的右端滑离木板 B．小铅块滑到木板2的右端与之保持相对静止 C．（a）过程中摩擦小铅块的末速度大 D．（a）过程小铅块的相对长木板右侧位移大 二、多选题 3．（25-26高二下·河南郑州·期末）如图所示，在光滑水平面上静置一均匀木块，一颗子弹（可视为质点）沿水平方向射入木块并嵌入其中，最终与木块保持相对静止一起运动。若使子弹与木块的总质量保持不变，仅改变二者的质量分配，考虑以下两种情况：情况甲：子弹质量是木块质量的2倍；情况乙：木块质量是子弹质量的2倍。假设两种情况下子弹的初动量大小相等，子弹在木块中受到的阻力恒定。不计空气阻力。下列判断正确的有（     ） A．子弹射入木块前的初动能，情况乙大于情况甲 B．子弹射入木块过程中系统损失的机械能，两种情况相同 C．子弹射入木块过程中系统损失的机械能，情况乙大于情况甲 D．子弹嵌入木块后木块获得的动能，情况甲大于情况乙 三、解答题 4．（25-26高二上·安阳县实验中学·期末）如图所示，半径足够大的光滑圆弧轨道与长的长木板构成物体B，圆弧的最低点与长木板的上表面相切于P点，B放在光滑的水平面上，质量为，质量为的木块A置于B的最左端，A与B的长木板部分间的动摩擦因数。质量为的子弹以水平向右的速度射入A，且留在A中，子弹和A相互作用的时间极短，重力加速度g取，A可视为质点。求：A沿B的圆弧轨道上滑的最大高度。 5．（25-26高二上·涡阳三中·期末）如图所示，AB、CD、EF为光滑的水平轨道，A、B、E、F等高。半径为R的光滑半圆形凹槽M和物块N并排静止在AB轨道上。一辆小车静止在CD轨道上，左侧紧靠竖直墙壁BC，上表面与AB、EF等高。可视为质点的小球P从凹槽M上方高为h处静止释放，沿着凹槽M右边切线进入，一段时间后，物块N与凹槽M分离并以一定的速度滑上小车，小车与竖直墙壁ED碰撞前，物块N和小车已共速，碰撞后小车立即被墙壁粘住静止。已知小球P、凹槽M、物块N和小车的质量均相等，重力加速度g取10，R＝h＝0.5m，物块N与小车上表面间的动摩擦因数。求： (1)小球P刚进入凹槽M时的速度大小； (2)物块N与凹槽M分离时，物块N的速度大小； (3)为了使物块N能滑上EF轨道，小车的最大长度。 6．（25-26高二上·湖南岳阳华容·期末）如图所示，质量为的木块静止在光滑的水平桌面上，一质量为的子弹，以的速度射入木块，经过极短的时间，子弹留在木块中且与木块一起运动，空气阻力不计。 (1)子弹留在木块中与木块一起运动时，子弹运动的速度是多大？ (2)子弹留在木块中与木块一起运动时，木块的动能是多大？ (3)整个过程中，子弹和木块组成的系统产生了多少热量？ 考向3　斜面与曲面模型 一、多选题 1．（25-26高二上·贵州毕节黔西·期末）某同学受如图甲所示极限运动的启发，设计了如图乙所示的简化模型，质量为M的滑块静止在光滑的水平面上，滑块的左侧面为光滑弧面，弧面底部与水平面相切，一质量为m的小球以速度向右运动，若小球未能冲出滑块的顶端，且，则下列说法正确的是（　　） A．小球和滑块组成的系统动量守恒 B．小球在滑块上运动的最大高度为 C．小球滑离滑块时的速度方向一定向左 D．小球滑离滑块后，滑块的速度大小为 二、解答题 2．（26-27高三上·山东青岛·期初）如图所示，质量、倾角的斜面静止在水平台面上，斜面左端与台面左端对齐，质量的小物块在外力作用下静止在斜面底端。质量的小球从O点以沿与水平夹角方向、大小的速度抛出，小球到达斜面底端时速度恰好沿斜面向上，此时撤去外力，小球与物块发生对心弹性碰撞，碰后物块恰好不从斜面上端滑出。重力加速度大小，不计一切摩擦。 (1)求小球与物块碰后瞬间物块的速度大小； (2)求斜面的长度L； (3)已知物块在斜面上运动过程中，斜面一直做匀加速直线运动，求物块再次回到斜面底端时的速度大小及其方向与水平夹角的正切值。 3．（25-26高二上·湖南娄底·期末）如图所示，一实验小车静止在光滑水平面上，其上表面有粗糙水平轨道与光滑四分之一圆弧轨道。圆弧轨道与水平轨道相切于圆弧轨道最低点，一物块静止于小车最左端，一小球用不可伸长的轻质细线悬挂于点正下方，并轻靠在物块左侧。现将细线拉直到水平位置时，静止释放小球，小球运动到最低点时与物块发生弹性碰撞。碰撞后，物块沿着小车上的轨道运动，已知细线长。小球质量。物块、小车质量均为。小车上的水平轨道长。圆弧轨道半径。小球、物块均可视为质点。不计空气阻力，重力加速度取。 (1)求小球运动到最低点与物块碰撞前所受拉力的大小； (2)求小球与物块碰撞后的瞬间，物块速度的大小； (3)若物块恰能上升到圆弧轨道顶点且不脱离轨道，求物块与水平轨道间的动摩擦因数及小车运动的最大速度。 4．（25-26高二上·陕西咸阳永寿县中学·期末）如图所示，在足够大的光滑水平地面上，静置一质量为2m的滑块，滑块右侧面的光滑圆弧形槽的半径为R，末端切线水平，圆弧形槽末端离地面的距离为。质量为m的小球（可视为质点）从圆弧形槽顶端由静止释放，与滑块分离后做平抛运动，重力加速度大小为g。 (1)小球运动至圆弧形槽末端时，小球的速度大小和滑块的速度大小分别为多少？ (2)小球落地时的动能为多少？ 5．（25-26高二上·湖南娄底·期末）如图所示，半径为R的四分之一圆弧体1固定在光滑水平面上，水平面上的小车左端水平部分与圆弧体1的最低点B等高且平滑接触。小车上表面右端固定一个四分之一圆弧体2，圆弧面DE最低点D与小车上表面水平部分平滑连接。圆弧面AB、DE光滑，小车水平部分CD粗糙。一质量为m可视为质点的小滑块P，从A点正上方高R处静止释放，经B点后滑上小车，恰好能滑到E点，最后刚好不能从小车的C点滑离。已知小车及圆弧体2总质量M，，重力加速度为。求： (1)滑块P滑到圆弧面B点时对圆弧轨道的压力大小； (2)圆弧轨道2的半径； (3)若当滑块在C点与小车相对静止一起向右运动时，给滑块一个向右的瞬时冲量，滑块也恰好能滑到E点，则给滑块的瞬时冲量大小。 6．（25-26高二上·孝感鲁迅高级中学·期末）如图甲所示，光滑水平面上放置斜面C、曲面D，其中C固定在地面上且表面粗糙，D不固定且表面光滑，C、D之间的水平地面上放置两物块A、B，A的一端与一轻质弹簧连接，B的一端与轻质弹簧接触但不连接，初始时弹簧处于压缩状态，A、B及弹簧组成的系统在外力作用下静止在光滑水平面上，现撤去外力，B与弹簧恰好分离时，B刚好滑到斜面C底端，且B在水平面运动的位移为，此时A还未滑上D，A与D相互作用时不会滑出D，也不考虑A在D上滑动时弹簧与D的相互作用。B滑上斜面C，然后滑下与A碰撞，碰撞后弹簧最大弹性势能为。A、B从开始滑动到分离时，A、B运动的v-t图像如图乙所示（图中v已知，未知）。已知B的质量为m，A与曲面D的质量相等，斜面C、曲面D与水平面光滑连接，碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内，。求： (1)A的质量； (2)开始时弹簧的压缩量； (3)物块B在斜面C上滑动的整个过程克服摩擦力做的功W。 考向4　弹簧类模型 一、多选题 1．如图所示，质量为的物体A放在光滑水平面上，右端与一水平轻质弹簧相连，弹簧另一端固定在墙上，质量为的物体B以速度向右运动，与A相碰后一起压缩弹簧，直至B与A分离的过程中，下列说法正确的是（　　） A．在整个过程中，物体A、B和弹簧组成的系统机械能守恒 B．弹簧的最大弹性势能为 C．物体A对B做的功为 D．物体A对B的冲量大小为 2．（25-26高二上·湖南娄底·期末）光滑水平面上的三个小球a、b、c的质量均为m，小球b，c与轻弹簧相连且静止，小球a以速度v0冲向小球b，与之相碰并粘在一起运动。在整个运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．三个小球与弹簧组成的系统动量守恒，机械能不守恒 B．弹簧被压缩的过程中，b（含a）的加速度一直减小，c 的加速度一直增大 C．弹簧压缩到最短时系统动能最小，之后c的速度会继续增大 D．当弹簧第一次恢复原长时，小球c的速度一定最大，球b此时的速度方向可能水平向左 二、解答题 3．（25-26高二上·静宁文萃中学·期末）如图所示，在光滑水平面上，质量为滑块乙静止，左端固定一轻质弹簧，弹簧处于原长状态。现有一质量为的滑块甲，以的水平向右速度滑向滑块乙，与弹簧右端接触并发生相互作用。求： (1)弹簧被压缩至最短时，滑块甲和乙的共同速度大小； (2)弹簧被压缩至最短时，弹簧的最大弹性势能； (3)滑块甲与弹簧分离（弹簧再次恢复原长）时，滑块甲和乙的速度大小。 4．（25-26高二上·合肥六中·期末）如图所示，质量为的长木板A、质量为的物块B均静止在光滑的水平面上，B的左端连接有水平放置的轻弹簧。质量为的物块C从长木板上表面的左端以大小为的初速度滑上长木板，A与轻弹簧碰撞前，A、C已相对静止；A与弹簧碰撞后，当A、B、C三者共速时，物块C与长木板间刚好要滑动。已知物块C与长木板A间的动摩擦因数为0.5，重力加速度为，弹簧始终处于弹性限度内，求： (1)从C滑上A至A、C共速的过程中，因摩擦产生的热量为多少； (2)当A、B、C三者共速时，物块B的速度和加速度分别为多大。 5．（25-26高三上·乐平三中·期末）如图，在光滑水平地面有一质量为的物块P，其上表面为光滑的半径为的圆弧轨道，圆弧顶端点切线竖直，P右端与薄板Q粘连在一起，薄板Q上表面恰好是P右端切面。一轻弹簧的右端固定在Q右端，另一端自由。可看成质点的质量为的小滑块自圆弧顶端点上方的点自由下落，重力加速度大小取，忽略空气阻力，弹簧长度的变化始终在弹性限度内。 (1)若P固定在地面上，小滑块经过物块P的最右端时对P的压力 (2)若P没有固定在地面上，Q的质量为，其上表面弹簧左侧与小滑块的摩擦因数为，其余部分光滑。当小滑块滑过P右端时P和Q的连接断开，小滑块恰好不离开薄板Q，求薄板Q粗糙部分的长度和弹簧的最大弹性势能？ 6．（25-26高三上·长春东北师大附中·期末）如图所示，质量均为m=0.2kg的两物块通过细线连接，物块间有一压缩量的轻弹簧（物块和弹簧不拴接），静止于高为h=0.2m、表面粗糙的平台上。现烧断细线，两物块从静止开始运动，弹簧恢复原长时物块2恰好从平台右边缘B点水平飞出，水平射程x=2m，物块1恰好向左从E点脱离弹簧并进入一半径R=1m的光滑圆轨道。g=10m/s2，物块1和2均可看作质点，两物块与平台的动摩擦因数均为0.5。求： (1)脱离弹簧时物块1和2的速度大小v1和v2； (2)物块1到达圆轨道最高点A时对轨道压力的大小； (3)整个过程中，弹簧释放的弹性势能。 考向5　多物体多次碰撞问题 一、多选题 1．（25-26高二上·湖北黄冈罗田一中·期末）某兴趣小组设计了如图所示的实验装置，用来研究碰撞问题。小球1通过长为L的轻绳连接在天花板上，小球2、3……N并排静止于离地面一定高度的水平轨道AB上，相邻小球间有一小间隙，2号球位于轨道边缘，BC部分为半径足够大的圆弧轨道。已知这N个小球的大小相同，质量依次为m、3m、9m……。将1号球向左拉到轻绳处于水平伸直位置，然后静止释放，到最低点时与2号球对心碰撞（碰后迅速将1号球撤走），2号球再与3号球对心碰撞……碰撞时间极短且无机械能损失，不计一切阻力，小球可视为质点，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．1、2号球碰后瞬间，二者的速度方向相反 B．碰后瞬间，1号球对轻绳的拉力大小为 C．N号球沿圆弧轨道上升的最大高度为 D．N号球与（N-1）号球从A点飞出后，落在地面同一点 二、解答题 2．（26-27高三上·重庆西大附中·阶段检测）如图所示，在足够长的光滑水平面上有两个小物块A、B和凹槽C。物块A的质量为m，物块B的质量为3m，凹槽C的质量为3m，A、B相距为l，凹槽C的左端与B相距为3l，凹槽左、右槽壁的距离为3l且槽壁的厚度忽略不计，凹槽C内放一质量为6m的小物块D。物块D与左边槽壁的距离为l，与凹槽之间的动摩擦因数。开始时物块、凹槽均静止，现给物块A施加水平向右的恒力F，物块A向右做匀加速运动，一段时间后与B发生弹性碰撞。当A与B发生第二次弹性碰撞时立刻撤去恒力F。B与凹槽C碰撞立即粘在一起运动。已知，，，取重力加速度，物块A、B、D均可视为质点，物块D与凹槽壁的碰撞没有能量损失，且所有碰撞时间均忽略不计。求： (1)小物块A和B第一次碰撞后B的速度大小； (2)物块D与凹槽相对静止时，物块D距凹槽左壁的距离； (3)从物块D开始运动到物块D与凹槽相对静止时，物块D运动的位移大小。 3．（25-26高一下·南昌一中·期末）如图所示，水平面上点左侧光滑，点右侧粗糙，质量的物块静止在水平面光滑部分，其上表面是半径的光滑圆弧轨道，其底端点的切线水平。水平面上点右侧，等间距放置完全相同的物块1、物块2、物块3、…、物块。将物块从物块的顶端点由静止释放，物块从点进入水平面粗糙部分，物块运动距离后与物块1碰撞，碰后两物块以共同的速度继续运动距离后与物块2碰撞，三物块以共同的速度运动，后面重复前面的运动情况。除物块外其他物块均可视为质点，质量均为，与水平面粗糙部分之间的动摩擦因数均为，，所有碰撞时间极短，忽略空气阻力。取，已知。求： (1)物块离开物块时的速度大小 (2)从物块静止释放到、分离过程，运动的距离； (3)物块最多能与几个物块发生碰撞。 4．（26-27高三上·河南部分学校·开学）如图所示，n个质量均为4m的相同小球在光滑水平面上沿同一直线放置。一大小相同、质量为m的小球P以初速度向右运动，与n个小球发生正碰。 (1)若所有小球均为强力磁吸球，求小球P最终运动的速度大小； (2)若所有小球均为弹性钢球，求最右侧小球的速度大小； (3)若小球属性未知，求小球P及最右侧小球最终的动能大小范围。 考向6　人船及类人船模型 一、单选题 1．（26-27高三上·江苏淮阴中学·阶段性测试）如图所示，质量均为m的两个小球A、B用长为L的轻质细绳连接，B球穿在光滑水平细杆上，初始时刻，细绳处于水平状态，将A、B由静止释放，空气阻力不计。从释放到A球第一次运动到最低点的过程中，下列说法正确的是（     ） A．A、B组成的系统动量守恒 B．B球向右运动的距离为 C．A球重力的瞬时功率一直变大 D．细绳对A球不做功 2．（25-26高二上·湖南岳阳华容·期末）“独竹漂”是一项独特的黔北民间绝技。独竹漂高手们脚踩一根楠竹，漂行水上如履平地。在平静的湖面上，一位女子脚踩竹竿抵达岸边，此时女子静立于竹竿A点，一位摄影爱好者使用连拍模式拍下了该女子在竹竿上行走过程的系列照片，并从中选取了两张进行对比，其简化图如图所示。经过测量发现，甲、乙两张照片中A、B两点的水平间距约为2cm，乙图中竹竿右端距离河岸约为2.4cm。女子在照片上身高约为1.6cm。已知该女子的质量约为60kg，若不计水的阻力，则该竹竿的质量约为（　　） A．40kg B．50kg C．72kg D．75kg 3．（25-26高二上·江苏南京·期末）如图，质量为M的半圆形槽静置于水平地面上，将质量为m的小球从槽口A点由静止释放，小球可视为质点，忽略一切摩擦，下列说法中正确的是（    ） A．小球运动到半圆形槽右侧最高点一定与A点等高 B．小球向右摆动时，槽向右运动，且系统动量守恒 C．小球向右摆动时，槽向左运动，且系统动量守恒 D．从A点释放到右侧最高点，半圆形槽的位移一定大于小球在水平方向上的位移 4．（25-26高二上·盐津二中·月考）如图所示，气球下面有一根长绳，一个质量为的人抓在气球下方，气球和长绳的总质量为，长绳的下端刚好和水平面接触。当静止时人离地面的高度为。如果这个人开始沿绳向下滑，当滑到绳下端时，他离地面的高度约为（可以把人看成质点）（　　） A． B． C． D． 二、多选题 5．（26-27高三上·日照·开学考试）如图所示，质量均为的木块A、B并排放在光滑水平面上，木块A上固定一竖直轻杆，轻杆上端的O点系一长为l的细线，细线另一端系一质量为m的小球C。现将小球C拉起使细线水平伸直且无拉力，并由静止释放小球C，重力加速度为g，小球和木块均可视为质点。下列判断正确的是（　　） A．小球C从释放到轨迹最低点的过程中，物体A、B和小球C组成的系统动量守恒 B．小球C从释放到轨迹最低点的过程中，木块A移动的距离为 C．木块A、B分离时，木块A的速度大小为 D．小球C轨迹最低点与第一次上升到轻杆左侧最高点的高度差为 6．（25-26高一下·阜新高级·学情调研）我国精密机械研发中，常采用滑块-轻杆模型测试设备动态平衡性能。如图所示，一质量的滑块套在光滑的水平轨道上，一质量的小球通过长的轻质细杆与滑块上的光滑轴连接，小球和轻杆可在竖直平面内绕轴自由转动。初始时，轻杆水平，现给小球一竖直向上的初速度，重力加速度取。下列说法正确的是（     ） A．若滑块固定，小球到达最高点的速度大小为 B．若滑块不固定，小球到达最高点的速度大小为 C．若滑块不固定，小球到达最高点时，杆对小球的作用力大小为 D．若滑块不固定，小球到达轴右侧水平位置时相对地面的位移大小为 三、解答题 7．（25-26高一下·哈尔滨第一中学校·期末）如图所示，A和B两小车静止在光滑的水平面上，质量分别为，，A车上有一质量为的机器人，相对地面以的水平速度向右跳上B车，并与B车相对静止不考虑空气阻力。求： (1)机器人跳离A车后，A车的速度大小； (2)机器人跳上B车后与B车一起运动的速度大小； (3)机器人跳离A车的过程中，对A车所做的功。 考向7　反冲及爆炸类问题 一、单选题 1．（25-26高二上·淄博实验中学·期末）如图所示，一只悬停在水中的乌贼，当外套膜吸满水后，它的总质量为，遇到危险时，通过短漏斗状的体管在极短时间内向后高速喷出的水，乌贼的逃窜速度大小为15m/s，则乌贼喷出水的速度大小为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 2．（25-26高二上·济宁二中·月考）甲、乙两人静止在光滑的冰面上，甲推乙后，两人向相反方向滑去。下列正确的是（    ） A．在甲推乙之前，两人的总动量不为0 B．甲推乙后，两人都有了动量，总动量仍为0 C．已知甲的质量为45kg，乙的质量为50kg，甲的速率与乙的速率之比为 D．已知甲的质量为45kg，乙的质量为50kg，甲的速率与乙的速率之比为 三、解答题 3．（25-26高二上·厦门六中·期末）如图所示，固定的光滑平台上固定有光滑的半圆轨道，轨道半径R=1.4m。平台上静止着两个滑块A、B，mA=0.1kg，mB=0.7kg，两滑块间夹有少量炸药，平台右侧有一带挡板的小车，静止在光滑的水平地面。小车质量为M=0.3kg，车面与平台的台面等高，车面左侧粗糙部分长度为L=0.1m，动摩擦因数为μ=0.1，右侧拴接一轻质弹簧，弹簧自然长度所在范围内车面光滑。点燃炸药后，滑块A刚进入与圆轨道相切的C点时，对轨道的压力为，滑块B冲上小车。两滑块都可以看作质点，炸药的质量忽略不计，爆炸的时间极短，且爆炸后两个物块的速度方向在同一水平直线上，且重力加速度g=10m/s2.求： (1)爆炸后滑块A在C点时的速度及爆炸后A与B获得的总动能； (2)整个过程中弹簧的最大弹性势能是多少？ (3)最终滑块B停在离小车左端多远的位置？ 4．（26-27高三上·河北部分高中·开学）如图所示，物块、质量分别为、，二者中间夹有微量炸药（质量可忽略不计）静置在光滑水平平台上。质量的木板静置在平台右侧光滑的水平地面上，木板的上表面与平台齐平，上表面点左侧粗糙，右侧光滑。轻质弹簧固定在木板的右端，自然伸长时左端恰好位于点。引爆炸药，炸药化学能的转化为、两物块的动能，物块以的速度向左运动，物块滑上木板并压缩弹簧。已知木板粗糙部分长度为，物块与木板之间的动摩擦因数，物块可视为质点，弹簧未超过弹性限度，不计空气阻力，重力加速度取。求： (1)炸药爆炸后瞬间物块的速度大小； (2)炸药爆炸过程释放的化学能； (3)弹簧的弹性势能最大值。 5．（26-27高二上·邯郸一中·开学学情检测）一枚在空中飞行的火箭质量为m，在某时刻离地高度为h，速度为v，方向水平，燃料耗尽。此时，火箭突然炸成质量相等的两块，其中一块沿着与v相反的方向飞去，速度大小为。已知地面水平，重力加速度为g。求： (1)火箭炸裂后瞬间另一块的速度大小； (2)炸裂后两块落地时的水平距离。 6．（25-26高二上·盐津二中·月考）如图所示，固定的光滑水平平台上静止着两个滑块和，它们的质量分别为、，两滑块间夹有少量炸药，平台右侧有一带挡板的小车，小车静止在光滑的水平地面上。小车的质量，小车的上表面与平台的台面等高，小车上表面的右侧固定一根轻弹簧，弹簧的自由端在点，小车上表面的左端点与点之间是粗糙的，、的间距，滑块与之间表面的动摩擦因数，点右侧表面是光滑的。点燃炸药后，、分离瞬间两滑块获得的总动能为，之后滑块滑上小车。两滑块都可以看成质点，炸药的质量忽略不计，爆炸的时间极短，爆炸后两个物块的速度方向在同一水平直线上，重力加速度。 (1)求炸药爆炸后滑块获得的速度； (2)求在滑块滑上小车后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能； (3)滑块运动到何处小车的速度最大？并求出小车运动过程中的最大速度。 动量守恒提高 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（25-26高三上·陕西安康·二调）滑块a、b沿水平面上同一条直线发生碰撞，碰撞后两者粘在一起运动，两者的位置x随时间t变化的图像如图所示。则滑块a、b的质量之比为（     ） A．4：5 B．5：4 C．8：1 D．1：8 2．（2026·常州前黄高中·二模）如图所示，将一质量为m的小球从距离地面H高处以初速度水平抛出，落地时速度与水平方向夹角为30°。已知运动过程所受空气阻力的大小与速度大小成正比，满足f=kv（其中，g为重力加速度），方向始终与速度方向相反。下列说法正确的是（     ） A．小球落地时速度大小为2v0 B．下落过程中空气阻力对小球做功为 C．小球下落过程中的水平位移大小为 D．小球下落的时间为 二、多选题 3．（26-27高三上·湖北九师联盟·学情检测）如图所示，质量分别为6kg、3kg的小球a、b通过不可伸长的轻绳绕过固定轻质光滑定滑轮连接，b的下端通过劲度系数k＝200N/m的轻弹簧连接一个质量为3kg的小球c。初始时托住a和c，使弹簧处于原长，三个小球均静止。现同时释放a和c，运动中小球均视为质点且不与滑轮相碰，不计空气阻力，弹簧始终在弹性限度内，弹性势能（x为形变量），重力加速度g取。则（     ） A．释放后瞬间轻绳上的拉力大小为40N B．释放后瞬间轻绳上的拉力大小为80N C．释放后c下降的最大距离为22.5cm D．释放后a下降的最大距离为30cm 4．（2027·沈阳东北育才学校·一模）如图所示，在光滑的水平地面上放有一带光滑圆弧形槽的小车，圆弧半径为R。 一小滑块以大小为v0的速度沿水平槽口滑上小车，不计空气阻力，且小车与小滑块的质量相同。下列判断正确的是（     ） A．若小滑块从圆弧上端滑离，则滑离后小滑块做竖直上抛运动（以地面为参考系） B．若小滑块从圆弧上端滑离，则滑离后小滑块向左上方做斜上抛运动（以地面为参考系） C．若小滑块从圆弧下端滑离，则滑离后小滑块做自由落体运动 D．若小滑块从圆弧下端滑离，则滑离时的速度大小为v0 5．（2026·新疆·模拟）如图所示，、是两个质量相同、带同种性质电荷的小球，但所带电荷量大小不等，两球在光滑绝缘水平面上，给球一个初速度使其沿连线向球运动，同时由静止释放球，在、靠近（两球大小不计且始终不相碰）过程中，下列说法正确的是（　　） A．两球加速度均减小 B．、两球组成系统的电势能增大 C．对作用力的冲量与对作用力的冲量相同 D．当、距离最近时，小球的速度大小为 6．（25-26高三下·贵州遵义·复习）如图所示，水平地面上有三点、、，点在正上方，、、、。质量为、的小球P、Q从、两点同时斜向上抛出，并在共同的最高点处发生碰撞。两球从抛出至到达点前分别受到水平恒力作用，使P的水平加速度向右，Q的水平加速度向左，且大小均为，两球到达点瞬间，撤去水平恒力，此时速度大小分别为、，随后两球发生碰撞。碰撞时间极短，碰后两球分别落在关于对称的C、D两点，且为的中点。若忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　） A． B． C．两球的碰撞为弹性碰撞 D．碰后瞬间，两球速度大小相等 三、解答题 7．（26-27高三上·北师大附属实验中学·摸底测试）如图所示，一圆心为O、半径为R的光滑半圆弧轨道固定在竖直平面内，其下端与光滑水平面在Q点相切。在水平面上，质量为m的小物块A以某一速度向质量也为m的静止小物块B运动。A、B发生正碰后，B到达半圆弧轨道最高点E时对轨道压力恰好为零，A沿半圆弧轨道运动到与O点等高的C点时速度为零。已知重力加速度大小为g，忽略空气阻力。 (1)求碰撞之后B的速度； (2)当A由C点沿半圆弧轨道下滑到D点时，OD与OQ夹角为，求此时A所受的重力对A做功的功率； (3)求碰撞过程中A和B损失的总动能。 8．（2026·北京大兴精华·自测）如图所示，高度的水平桌面上放置两个相同物块A、B，质量。A、B间夹一压缩量的轻弹簧，弹簧与A、B不拴接。同时由静止释放A、B，弹簧恢复原长时A恰好从桌面左端沿水平方向飞出，水平射程；B脱离弹簧后沿桌面滑行一段距离后停止。A、B均视为质点，取重力加速度。求： (1)脱离弹簧时A的速度大小； (2)脱离弹簧时B的速度大小； (3)物块与桌面间的动摩擦因数。 9．（26-27高三上·南京金陵中学·开学考试）如图甲所示，两质量均为m的光滑小球A、B（可视为质点），用长为L的轻杆连接。在水平向左的外力F的作用下保持静止，此时杆与水平方向的夹角为60°。已知重力加速度大小为g。 (1)求外力F的大小； (2)现将小球B推至墙角处后紧靠墙壁竖直立于水平面上（如图乙所示）。当A受到轻微扰动后由静止开始向右倾倒，两球始终在同一竖直平面内运动，求小球B即将离开墙壁时A距离地面的高度； (3)在第（2）问中若去除侧面墙壁（如图丙所示），小球A受到轻微扰动后，仍让其由图示初始位置由静止开始向右倾倒，B始终没有脱离地面。求当轻杆与水平方向的夹角为30°时，小球B的速度大小。 10．（2026·天津河西·考前学情自测）如图所示，质量的物块P放在水平轨道上，其右端和墙壁间压缩一水平轻弹簧（不拴接）。由静止释放后，物块P恰能通过半圆轨道的最高点并沿其内侧做圆周运动，与静置在点的物块Q（两物块完全相同）发生完全非弹性碰撞，碰撞后一起滑入水平轨道。点固定一竖直弹性挡板，两物块与挡板仅发生一次碰撞并以原速率反弹，最终停在的中点处。已知半圆轨道的半径，的距离，重力加速度，所有碰撞时间都极短。所有轨道均固定在同一竖直面内，除段外其余轨道均光滑，不计物块通过轨道连接处的能量损失及空气阻力，两物块均视为质点。求： (1)弹簧弹力对物块P所做的功； (2)两物块碰撞后瞬间的速度大小； (3)物块与水平轨道间的动摩擦因数的可能值。 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难突破11　动量守恒定律及其应用 1. 理解动量守恒定律的内容、四种表达式与理想守恒、近似守恒、单方向守恒三类条件，掌握其矢量性、瞬时性、同一性、普适性，能正确判断系统动量是否守恒。 2. 掌握弹性碰撞、非弹性碰撞、完全非弹性碰撞的规律与碰撞三原则，会用动碰静结论，能分析人船模型、反冲爆炸、弹簧、板块等典型模型。 3. 能灵活选用动量观点、能量观点与牛顿运动定律观点，规范选取系统、规定正方向，解决多体、多过程的综合问题。 【思维导图】 考点一　动量守恒定律的内容与表达式 1．内容：如果一个系统不受外力，或者所受外力的矢量和为零，这个系统的总动量保持不变，这就是动量守恒定律。 2．研究对象是“系统”：内力是系统内各物体之间的相互作用力，只改变各物体的动量、不改变系统总动量；外力才会改变系统的总动量。 3．四种表达形式： （1），相互作用前后系统的总动量相等； （2），作用前两物体动量之和等于作用后动量之和； （3），两物体动量的变化量等大反向； （4），系统总动量的增量为零。 重难诠释　①动量守恒的条件是“系统所受合外力为零”，而不是“物体不受力”；内力无论多大都不改变系统的总动量。②p=p′是矢量相等，并不意味着系统内每个物体的动量都不变——恰恰是内力让各物体的动量发生了等大反向的变化。③Δp1=−Δp2 表明动量只在系统内部转移、总量不增不减。④列式前先选好系统、再规定正方向，且各物体速度必须相对同一惯性参考系（通常取地面）。 考点二　守恒条件、“四性”与解题步骤 1．三类守恒条件：①理想守恒——系统不受外力或所受合外力为零；②近似守恒——内力远大于系统所受外力，外力冲量可忽略（如碰撞、爆炸、打击、反冲）；③单方向守恒——系统在某一方向上所受合外力为零，则该方向上动量守恒（如光滑圆弧槽、斜面的水平方向）。 2．动量守恒定律的“四性”：①矢量性——式中各动量是矢量，先选正方向、再带正负号；②瞬时性——守恒指每一时刻的总动量都与初时刻相等；③同一性——各速度相对同一参考系、对应同一时刻；④普适性——适用于多物体系统，宏观、微观、变力、高速情形都成立。 3．解题一般步骤：选取系统→受力分析判断是否守恒（或在哪个方向守恒）→规定正方向→确定初、末状态各物体速度→列动量守恒方程→需要时再联立能量（动能定理、机械能守恒）方程。 动量守恒的三种情形对比 情形 成立条件 典型例子 理想守恒 不受外力，或所受合外力为零 光滑水平面上两滑块相碰 近似守恒 内力远大于外力，外力冲量可忽略 碰撞、爆炸、打击、反冲 某方向守恒 该方向上合外力为零（总动量未必守恒） 光滑圆弧槽、光滑斜面的水平方向 重难诠释　①“某一方向守恒”是高频易错点：系统总动量并不守恒，但只要某一方向（多为水平方向）合外力为零，就可只在该方向列守恒式。②判断“近似守恒”时要能说明依据——作用时间极短，内力的冲量远大于外力的冲量。③同一性要求所有速度统一到同一参考系（人在船上走、子弹打木块都要换算到地面参考系）。④瞬时性要求初、末状态取在同一相互作用过程的起止瞬间，过程中不能随意取状态。 考点三　碰撞问题 1．碰撞特点：相对运动的物体相遇时在极短时间内运动状态发生显著变化；作用时间极短、内力（碰撞力）远大于外力，系统动量守恒。 2．碰撞三原则（判断碰撞能否发生）：①动量守恒——碰前总动量等于碰后总动量；②动能不增加——碰后总动能不大于碰前总动能，弹性碰撞取等号；③速度合理——碰后原在前的物体速度不小于原在后的物体（不可穿透），碰前相向运动的两物体碰后不可能都不改变方向。 3．动碰静弹性碰撞结论：质量 、速度 的小球与静止的 发生弹性正碰，联立动量守恒与动能守恒得 由此：时速度交换（、）；时碰后都向前、且；时入射小球反弹（）；时大球速度几乎不变、小球以约弹出。 三类碰撞的比较 类型 动量 动能 碰后特点 弹性碰撞 守恒 守恒（无损失） 可由两式联立求碰后速度 非弹性碰撞 守恒 有损失 碰后分离，损失部分动能 完全非弹性碰撞 守恒 损失最多 碰后粘在一起、速度相同 重难诠释　①判断某碰撞“是否可能”，三原则必须同时满足，其中“动能不增”和“速度合理（不穿透）”最容易被忽略。②动碰静结论由动量守恒式与动能守恒式联立得到，既要记结论也要会推导。③完全非弹性碰撞的隐含条件是“碰后共速”，且这种碰撞损失的动能最多，损失量等于“碰前系统总动能减去碰后共速时的总动能”。④碰撞时间极短，过程中位移可忽略，认为各物体从碰前位置以碰后新速度开始运动。 考点四　人船模型、反冲与爆炸 1．人船模型条件：系统由两个物体组成、相互作用前静止（总动量为零），且在研究方向上所受合外力为零。 2．人船结论：相互作用过程中任意时刻都有 ，对时间累积得 ；再结合相对位移关系 ，解得 （下标 1、2 分别为人与船，L 为人相对船移动的距离，x1、x2 为对地位移）。 3．反冲：系统的一部分以一定速度离开时，剩余部分获得反向冲量；内力远大于外力时动量守恒。反冲中有其他形式的能转化为机械能，系统总动能增加，火箭喷气就是连续反冲。 4．爆炸：作用时间极短、内力远大于外力，故系统动量守恒；化学能转化为动能，故动能增加；因时间极短、位移可忽略，可认为碎片从爆炸前的位置以新速度抛出。 碰撞、爆炸与反冲的比较 现象 动量 能量变化 典型实例 碰撞 守恒 动能不增加（弹性碰撞不变） 两球相碰、子弹打木块 爆炸 守恒 化学能转化为动能，动能增加 炮弹凌空炸裂、手榴弹 反冲 守恒（常由静止起） 其他能转化为动能，动能增加 火箭喷气、发射炮弹、爆竹 重难诠释　①人船模型中的都是“对地位移”，而中的 L 是两物体的相对位移（人相对船走过的距离），切勿把相对位移直接当成对地位移。②人船结论只在“系统初始静止”时成立；若初始总动量不为零，应回到加常数的一般式。③反冲、爆炸中系统动量守恒但动能增加，与碰撞的“动能不增”恰好相反，切勿混用。④火箭问题要注意喷气前后总质量变化，通常对“箭体＋喷出燃气”整体列守恒式。 考点五　弹簧模型与板块模型 1．弹簧模型：光滑水平面上两物体与轻弹簧组成的系统动量守恒、机械能守恒（只有弹簧弹力做功）。弹簧被压缩到最短或被拉伸到最长时，两物体速度相同（共速），此时弹性势能最大。 2．弹簧过程：A 接触弹簧后 ，弹簧被压缩；共速时形变量最大；之后 ，弹簧逐渐恢复；弹簧恢复原长时，两物体的速度关系相当于完成了一次弹性碰撞。 3．板块模型：滑块滑上木板，若系统所受合外力为零则动量守恒；滑块与木板间因摩擦产生的热量 Q=f·s（s 为相对路程），等于系统损失的动能；“恰好不从木板上滑出”的临界条件是滑块到达板端时恰与木板共速。 重难诠释　①“共速”是弹簧模型与板块模型共同的临界信号：弹簧此时形变量（弹性势能）最大，板块此时相对位移（生热）最大。②摩擦生热一定用摩擦力乘以“相对路程”，而不是物体的对地位移。③若木板还受地面摩擦，则系统总动量不守恒，不能整体套动量守恒，只能在光滑（或某方向合外力为零）时用守恒，其余借助能量关系或牛顿定律。④求弹簧最大弹性势能，通常用“动量守恒求共速 + 机械能守恒求势能”两条方程联立。 考点六　力学三大观点的综合应用 1．三大观点：①牛顿运动定律观点——由力求瞬时加速度，适合恒力、明确受力的过程；②动量观点——动量定理与动量守恒，适合涉及时间、碰撞反冲、多物体系统的问题；③能量观点——动能定理、机械能守恒与能量守恒，适合涉及位移、做功、生热的问题。 2．选用原则：多物体组成的系统优先考虑两个守恒；涉及速度与时间、平均力、碰撞冲击时用动量观点；涉及速度与位移、变力做功、摩擦生热时用能量观点；受恒力且需求瞬时加速度时用牛顿运动定律。 3．多过程问题：按相互作用把全过程拆成若干阶段——碰撞、爆炸等瞬间只用动量守恒（位移忽略），其余阶段用动能定理、机械能守恒或运动学、牛顿定律，相邻阶段以“衔接处速度连续”作为桥梁。 力学三大观点的比较 观点 主要规律 矢量/标量 优先使用情景 牛顿观点 牛顿三定律、运动学公式 矢量（可分解） 恒力、求瞬时加速度与时间 动量观点 动量定理、动量守恒定律 矢量（可分方向） 碰撞反冲、爆炸、流体、涉时间 能量观点 动能定理、机械能/能量守恒 标量（不分方向） 变力做功、曲线、生热、涉位移 重难诠释　①碰撞、爆炸等瞬间过程只列动量守恒（必要时加能量关系），不要在瞬间使用位移类公式。②能由两个守恒解决的问题优先用守恒，尽量不引入加速度和时间，过程更简洁。③多体问题要会整体法与隔离法结合：对守恒系统用整体法，求系统内部相互作用力时用隔离法。④抓住“速度桥梁”：上一阶段的末速度就是下一阶段的初速度，逐段衔接、避免漏过程。 考向1　判断系统是否动量守恒及动量守恒的初步应用 一、单选题 1．（25-26高二上·涡阳三中·期末）下列有关系统的总动量守恒表述正确的是（     ） A．只要系统内力代数和为零，系统的总动量就守恒 B．只要系统内力之和大于外力之和，系统的总动量就守恒 C．如果系统内有摩擦力，系统的总动量也可以保持不变 D．如果系统内有重力，系统的总动量一定变化 【答案】C 【详解】动量守恒的条件为系统所受合外力的矢量和为0，即，内力的矢量和恒为0，不影响系统总动量。 A．系统内力的矢量和本身恒为0，总动量是否守恒仅由合外力是否为0决定，和内力无关，故A错误； B．只有合外力严格为0时总动量才守恒，若内力远大于外力仅属于近似守恒，不是严格的动量守恒，故B错误； C．摩擦力属于系统内力时，只要系统满足，总动量就可以保持不变，比如光滑水平面上相互摩擦的两个木块组成的系统总动量守恒，故C正确； D．若重力与其他外力平衡使系统合外力为0，总动量可保持不变，比如水平面上碰撞的物体组成的系统，重力和支持力平衡，总动量守恒，故D错误。 故选C。 2．（25-26高二上·湖南娄底·期末）图甲为铅球运动员比赛时的情景，运动员将铅球投掷出去后，铅球在空中运动轨迹如图乙所示，不计空气阻力，则铅球在空中运动过程中（　　） A．动量守恒，机械能守恒 B．向上运动过程动量变化量与向下运动过程动量变化量方向相反 C．向上运动过程重力冲量与向下运动过程重力冲量方向相反 D．若抛出点和落地点高度相同，则铅球上升过程与下落过程的动能变化量大小相等 【答案】D 【详解】A．不计空气阻力，铅球运动过程中只受重力作用，机械能守恒，合外力不为零动量不守恒，故A错误； B．由动量定理可知动量变化量的方向与合外力冲量方向相同，故向上运动过程动量变化量与向下运动过程动量变化量方向相同，故B错误； C．重力方向总是竖直向下，由重力冲量 可知重力冲量的方向总是竖直向下，故C错误； D．根据动能定理可知，动能变化量等于合外力做功，上升与下降过程中，两者做功大小相等，符号相反，故D正确。 故选D。 3．（25-26高三上·宁晋一中·学业水平调研）在2025年成都世界运动会自由潜水比赛中，中国运动员取得了优异成绩。运动员在下潜过程中与配重块一同匀速向下运动，运动员达到自己极限时，迅速卸下配重块，然后在浮力作用下上浮。若不考虑运动过程中水的阻力，则在运动员浮出水面、配重块落入水底之前，运动员与配重块组成的系统（　　） A．动量守恒，机械能不守恒 B．动量守恒，机械能守恒 C．动量不守恒，机械能守恒 D．动量不守恒，机械能不守恒 【答案】A 【详解】卸下前系统匀速向下运动，表明总浮力等于总重力，在卸下配重块后，运动员和配重块组成的系统所受外力仍为重力与浮力，故系统所受合外力矢量和为零，动量守恒。在运动员上浮、配重块下落的过程中，浮力对系统做功，不满足机械能守恒的条件，故系统机械能不守恒。 故选A。 4．（26-27高三上·山东青岛·期初）如图所示，从距地面同一高度上的A、B两点同时水平相向抛出两个完全相同的小球，初速度大小分别为、，当两球发生正碰时，速度方向互相垂直，碰后粘在一起恰好落在A点正下方。已知重力加速度为g，则两球碰撞点P的离地高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设两球从抛出到碰撞经历的时间为，碰撞时竖直分速度大小均为 两球发生正碰时速度方向互相垂直，由速度矢量点积为零可得 则有 解得 碰后两球粘在一起，水平方向动量守恒（取向右为正）： 解得，即碰后合速度水平向左，大小为 竖直方向碰后速度仍为，方向向下 碰后两球恰好落在点正下方，说明碰后水平向左的位移大小等于碰前球向右的水平位移大小为 解得 碰撞点离地高度等于碰后下落的高度为 将代入上式 解得，故A正确。 故选A。 5．（2026·全国·高考）两小车P、Q的质量分别为mP和mQ，将它们分别与小车N沿直线做碰撞实验，碰撞前后的速度v随时间t的变化分别如图1和图2所示。小车N的质量为mN，碰撞时间极短，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】PN碰撞时，根据碰撞前后动量守恒有 即 根据图像可知 所以； 同理，QN碰撞时，根据碰撞前后动量守恒有 即 根据图像可知 所以 所以 故选D。 6．（25-26高二上·景德镇一中·期末）乌贼靠自身的漏斗状体管喷射海水推动身体运动，被称为“水中火箭”。如图所示，一只悬浮在水中的乌贼，当外套膜吸满水后，它的总质量为，遇到危险时，通过短漏斗状的体管在极短时间内将水向后以高速喷出，从而迅速逃窜，喷出水的质量为，则喷出水后乌贼的动量为（　　） A．80kg·m/s B．1600kg·m/s C．320kg·m/s D．400kg·m/s 【答案】A 【详解】由题意可知，乌贼逃命时喷出水的速度为v=160m/s，喷出水的质量为m=0.5kg；且乌贼和喷出的水组成的系统动量守恒，设乌贼喷射出水后的动量为p，取乌贼向前逃窜的方向为正方向，由动量守恒定律可得p-mv=0 代入数据解得乌贼喷射出水后的动量为p=80kg·m/s 故选A。 二、多选题 7．（2027·贵州黔南·摸底）一轻杆两端分别固定小球A和小球B，两小球均可视为质点且B球质量是A球质量的2倍。现将该轻杆放入固定在竖直平面内的圆形轨道上，并使小球B位于轨道的最低点，此时小球A恰好位于轨道上与圆心等高处，如图所示。不计一切阻力，则由静止释放轻杆后（　　） A．A、B两小球组成的系统机械能守恒 B．A、B两小球组成的系统动量守恒 C．A、B两小球速度大小始终相等 D．某时刻轻杆可能水平 【答案】ACD 【详解】A．A、B两小球组成的系统，只有重力做功，系统机械能守恒，故A正确； B．A、B两小球组成的系统合外力不为零，则系统动量不守恒，故B错误； C．A、B两球均绕轨道圆心做圆周运动，运动过程中两球相对轨道圆心的角速度始终相同，且转动半径均等于轨道半径R，由可知两球速度大小始终相等，故C正确； D．当轻杆水平时，根据系统机械能守恒定律可得 解得 由此可知，某时刻轻杆可以达到水平，故D正确。 故选ACD。 三、解答题 8．（25-26高二上·内蒙古大学附中·期末）如图所示，光滑水平面上放一木板A，质量M=6kg，小铁块B（可视为质点）质量为m=2kg，木板A和小铁块B之间的动摩擦因数μ=0.3，小铁块B以v0=10m/s的初速度从木板A的左端冲上木板，恰好不滑离木板（g取10m/s2），则： (1)A、B速度相同时，相同速度的大小为多少？ (2)薄木板的长度为多少？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）光滑水平面上，木板和小铁块组成的系统合外力为零，满足动量守恒。设共速后的速度为，取初速度方向为正方向，由动量守恒定律 解得 （2）恰好不滑离木板，说明二者共速时，刚好到达的右端，相对于的相对位移等于木板长度。 系统损失的动能全部转化为内能，大小等于滑动摩擦力乘以相对位移，由能量守恒 代入数据解得 考向2　板块及子弹打木块模型 一、单选题 1．（25-26高二上·厦门熹海高级中学·期末）如图所示，质量为m的光滑圆环套在固定的水平杆上，轻绳的一端系在圆环上，另一端系着质量为M的木块。质量为的子弹以水平速度射入木块，离开木块时，木块的速度为v，子弹穿过木块的时间极短。重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．子弹射穿木块前后，子弹和木块组成的系统动量和机械能都守恒 B．子弹射出木块后的瞬间，圆环对杆的压力 C．子弹射穿木块的过程，子弹和木块组成的系统损失的机械能 D．子弹射穿木块后，木块上升到最高高度 【答案】D 【详解】A．子弹射穿木块的过程，由于存在摩擦生热，系统机械能不守恒，故A错误； B．子弹射出木块后的瞬间，木块具有速度，做圆周运动，绳子拉力（为绳长） 圆环对杆的压力，故B错误； C．子弹射穿木块的过程，系统损失的机械能等于初动能减去末动能，即（为子弹穿出后的速度），选项中漏掉了子弹穿出后的动能，故C错误； D．子弹射穿木块后，木块和圆环组成的系统水平方向动量守恒，机械能守恒。当木块上升到最高点时，两者具有相同的水平速度， 由动量守恒定律得 由机械能守恒定律得 联立解得，故D正确。 故选D。 2．（25-26高一上·江西科技学院附中·期末）如图（a）所示，质量为2m的长木板，静止地放在光滑的水平面上，另一质量为m的小铅块（可视为质点）以水平速度滑上木板左端，恰能滑至木板右端且与木板保持相对静止，铅块运动中所受的摩擦力始终不变。若将木板分成长度与质量均相等（即）的两段1、2后紧挨着放在同一水平面上，让小铅块以相同的初速度由木板1的左端开始运动，如图（b）所示，则下列说法正确的是（     ） A．小铅块将从木板2的右端滑离木板 B．小铅块滑到木板2的右端与之保持相对静止 C．（a）过程中摩擦小铅块的末速度大 D．（a）过程小铅块的相对长木板右侧位移大 【答案】D 【详解】AB．在图 (a) 中，小铅块在木板上滑动时，木板的加速度为 在图 (b) 中，小铅块在木板 1 上滑动时，木板 1 和 2 一起加速，加速度 ，与 (a) 相同； 当小铅块滑上木板 2 后，木板 1 分离，木板 2 的加速度变为 。因为 ，所以在 (b) 的后半段，木板 2 加速更快，小铅块与木板 2 更快达到速度相等，相对滑动的距离更短，小铅块不会从木板 2 右端滑离，故AB错误； C．设 (a) 过程最终共同速度为，(b) 过程小铅块与木板 2 的共同速度为，木板 1 的速度为。根据动量守恒定律，(a) 过程有 (b) 过程有 由于木板 1 在小铅块滑离后不再加速，其速度小于 (a) 过程中木板的最终速度 （在 a中木板一直加速至 ） 联立两式可得 即 因为，所以，即 (b) 过程小铅块的末速度大，故C错误； D．系统产生的摩擦热 ，等于系统动能的损失量。对于给定的总动量，当系统内各物体速度相等时，系统总动能最小。 在 (a) 中，最终两者速度相等，系统末动能最小，动能损失最大，产生的热量最多，相对位移最大。 在 (b) 中，最终木板 1 速度小于小铅块和木板 2 的速度，系统末动能较大，动能损失较小，产生的热量较少，相对位移较小。因此 (a) 过程小铅块相对长木板的位移大，故D正确。 故选D。 二、多选题 3．（25-26高二下·河南郑州·期末）如图所示，在光滑水平面上静置一均匀木块，一颗子弹（可视为质点）沿水平方向射入木块并嵌入其中，最终与木块保持相对静止一起运动。若使子弹与木块的总质量保持不变，仅改变二者的质量分配，考虑以下两种情况：情况甲：子弹质量是木块质量的2倍；情况乙：木块质量是子弹质量的2倍。假设两种情况下子弹的初动量大小相等，子弹在木块中受到的阻力恒定。不计空气阻力。下列判断正确的有（     ） A．子弹射入木块前的初动能，情况乙大于情况甲 B．子弹射入木块过程中系统损失的机械能，两种情况相同 C．子弹射入木块过程中系统损失的机械能，情况乙大于情况甲 D．子弹嵌入木块后木块获得的动能，情况甲大于情况乙 【答案】AC 【详解】A．设子弹质量为，木块质量为，总质量 保持不变，子弹初动量大小为。情况甲： 则 情况乙：， 两种情况下子弹初动量相等，故情况甲子弹初速度 情况乙子弹初速度 情况甲子弹初动能 情况乙子弹初动能 所以情况乙的初动能大于情况甲，故A正确； BC．两种情况下子弹嵌入后系统的共同速度相同： 系统损失的机械能等于初动能减去末动能。情况甲： 情况乙： 比较得 所以情况乙损失的机械能更大，B错误，C正确； D．子弹嵌入后木块与子弹一起运动，木块速度为共同速度。情况甲木块获得的动能 情况乙： 故情况乙中木块获得的动能更大，故D错误。 故选AC。 三、解答题 4．（25-26高二上·安阳县实验中学·期末）如图所示，半径足够大的光滑圆弧轨道与长的长木板构成物体B，圆弧的最低点与长木板的上表面相切于P点，B放在光滑的水平面上，质量为，质量为的木块A置于B的最左端，A与B的长木板部分间的动摩擦因数。质量为的子弹以水平向右的速度射入A，且留在A中，子弹和A相互作用的时间极短，重力加速度g取，A可视为质点。求：A沿B的圆弧轨道上滑的最大高度。 【答案】 【详解】子弹和木块A相互作用的时间极短，两者组成的系统动量守恒，由动量守恒定律得 解得子弹射入A后木块A和子弹的整体的速度大小为 当A到达最大高度时，A（含子弹）与B共速，整个系统水平面光滑，二者组成的系统水平方向动量守恒，由动量守恒定律得 解得 A沿B的圆弧轨道上滑过程由系统能量守恒定律得 解得A沿B的圆弧轨道上滑的最大高度为 5．（25-26高二上·涡阳三中·期末）如图所示，AB、CD、EF为光滑的水平轨道，A、B、E、F等高。半径为R的光滑半圆形凹槽M和物块N并排静止在AB轨道上。一辆小车静止在CD轨道上，左侧紧靠竖直墙壁BC，上表面与AB、EF等高。可视为质点的小球P从凹槽M上方高为h处静止释放，沿着凹槽M右边切线进入，一段时间后，物块N与凹槽M分离并以一定的速度滑上小车，小车与竖直墙壁ED碰撞前，物块N和小车已共速，碰撞后小车立即被墙壁粘住静止。已知小球P、凹槽M、物块N和小车的质量均相等，重力加速度g取10，R＝h＝0.5m，物块N与小车上表面间的动摩擦因数。求： (1)小球P刚进入凹槽M时的速度大小； (2)物块N与凹槽M分离时，物块N的速度大小； (3)为了使物块N能滑上EF轨道，小车的最大长度。 【答案】(1) (2) (3)0.75m 【详解】（1）小球P做自由落体运动，根据运动学公式， 解得 （2）小球P进入凹槽后，M与N一起向右运动，当小球运动到最低点时，N与M分离，设小球速度大小为，N和M速度大小为，根据系统机械能守恒得 水平方向动量守恒得 解得， （3）物块N与槽M分离后以速度滑上小车。 设二者共速后速度为，根据动量守恒得 二者共速过程，设N相对小车滑行距离，根据功能关系得 解得 碰撞后小车立即被墙壁粘住静止，物块N继续在小车上表面匀减速运动，到达E点速度为， 物块N还能滑上EF轨道应满足 解得 所以，小车的最大长度为 6．（25-26高二上·湖南岳阳华容·期末）如图所示，质量为的木块静止在光滑的水平桌面上，一质量为的子弹，以的速度射入木块，经过极短的时间，子弹留在木块中且与木块一起运动，空气阻力不计。 (1)子弹留在木块中与木块一起运动时，子弹运动的速度是多大？ (2)子弹留在木块中与木块一起运动时，木块的动能是多大？ (3)整个过程中，子弹和木块组成的系统产生了多少热量？ 【答案】(1) (2)62.5J (3)375J 【详解】（1）系统动量守恒，当子弹留在木块中时，由动量守恒定律可得                        解得 （2）木块的动能为 （3）子弹穿入木块的过程中，动能变化量为 解得                        所以该过程中产生了375J的热量。 考向3　斜面与曲面模型 一、多选题 1．（25-26高二上·贵州毕节黔西·期末）某同学受如图甲所示极限运动的启发，设计了如图乙所示的简化模型，质量为M的滑块静止在光滑的水平面上，滑块的左侧面为光滑弧面，弧面底部与水平面相切，一质量为m的小球以速度向右运动，若小球未能冲出滑块的顶端，且，则下列说法正确的是（　　） A．小球和滑块组成的系统动量守恒 B．小球在滑块上运动的最大高度为 C．小球滑离滑块时的速度方向一定向左 D．小球滑离滑块后，滑块的速度大小为 【答案】BCD 【详解】A．小球和滑块组成的系统在水平方向上动量守恒，但竖直方向上由于受到重力作用动量不守恒，故小球和滑块组成的系统动量不守恒，故A错误； B．当小球上升到最大高度时，小球和滑块速度相同，设共同速度为v，则， 解得，故B正确； CD．小球和滑块组成的系统在水平方向上动量守恒，根据动量守恒定律及能量守恒定律可得， 解得， 因为，的值为负，即小球滑离滑块时的速度方向向左，故CD正确； 故选BCD。 二、解答题 2．（26-27高三上·山东青岛·期初）如图所示，质量、倾角的斜面静止在水平台面上，斜面左端与台面左端对齐，质量的小物块在外力作用下静止在斜面底端。质量的小球从O点以沿与水平夹角方向、大小的速度抛出，小球到达斜面底端时速度恰好沿斜面向上，此时撤去外力，小球与物块发生对心弹性碰撞，碰后物块恰好不从斜面上端滑出。重力加速度大小，不计一切摩擦。 (1)求小球与物块碰后瞬间物块的速度大小； (2)求斜面的长度L； (3)已知物块在斜面上运动过程中，斜面一直做匀加速直线运动，求物块再次回到斜面底端时的速度大小及其方向与水平夹角的正切值。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）小球从点抛出后做斜上抛运动，到达斜面底端时速度恰好沿斜面向上，与水平方向成角；抛出时速度大小，方向与水平方向成角。斜上抛运动中水平方向的分速度不变，设小球到达斜面底端时的速度大小为，则 代入数据解得 小球到达斜面底端时与物块发生对心弹性碰撞，碰撞前物块在斜面上受外力保持静止。取沿斜面向上为正方向，设碰后小球和物块的速度分别为和，由动量守恒定律得 由弹性碰撞的机械能守恒得 联立解得，，即碰后小球静止在斜面底端，物块沿斜面向上运动。 （2）物块以速度沿斜面向上滑动，同时推动斜面沿水平台面滑动。物块恰好不从斜面上端滑出，说明物块滑到斜面顶端时与斜面恰好达到共同速度，物块沿斜面上升的距离等于斜面长度。物块与斜面组成的系统在水平方向上不受外力，水平方向动量守恒；不计一切摩擦，系统机械能守恒。设物块滑到斜面顶端时物块与斜面的共同速度为，取水平向右为正方向，由水平方向动量守恒得 由机械能守恒定律得 联立解得， （3）物块沿斜面上升再返回的过程中，斜面一直做匀加速直线运动，物块在斜面上滑动时的受力情况不变，因此物块的加速度在水平方向和竖直方向的分量都不变。物块从斜面底端出发，最后又回到斜面底端，竖直方向上的位移为零，所以物块回到斜面底端时的竖直分速度与它离开斜面底端时的竖直分速度大小相等、方向相反，即 物块在斜面上运动的全过程中，物块与斜面组成的系统在水平方向上不受外力，水平方向动量守恒；不计一切摩擦，系统机械能守恒。设物块回到斜面底端时斜面的速度为，物块的水平分速度为，仍取水平向右为正方向，由水平方向动量守恒得 由机械能守恒定律得 联立解得，，其中负号表示物块的水平分速度方向向左。物块再次回到斜面底端时的速度方向斜向左下方，速度与水平方向的分解关系如图所示。 由速度分解的平行四边形定则得 速度方向与水平方向的夹角满足 所以物块再回到斜面底端时的速度大小为，方向斜向左下方，与水平方向夹角的正切值为。 3．（25-26高二上·湖南娄底·期末）如图所示，一实验小车静止在光滑水平面上，其上表面有粗糙水平轨道与光滑四分之一圆弧轨道。圆弧轨道与水平轨道相切于圆弧轨道最低点，一物块静止于小车最左端，一小球用不可伸长的轻质细线悬挂于点正下方，并轻靠在物块左侧。现将细线拉直到水平位置时，静止释放小球，小球运动到最低点时与物块发生弹性碰撞。碰撞后，物块沿着小车上的轨道运动，已知细线长。小球质量。物块、小车质量均为。小车上的水平轨道长。圆弧轨道半径。小球、物块均可视为质点。不计空气阻力，重力加速度取。 (1)求小球运动到最低点与物块碰撞前所受拉力的大小； (2)求小球与物块碰撞后的瞬间，物块速度的大小； (3)若物块恰能上升到圆弧轨道顶点且不脱离轨道，求物块与水平轨道间的动摩擦因数及小车运动的最大速度。 【答案】(1) (2) (3)； 【详解】（1）对小球摆动到最低点的过程中，由动能定理 解得 在最低点，对小球由牛顿第二定律 解得小球运动到最低点与物块碰撞前所受拉力的大小为 （2）小球与物块碰撞过程中，由动量守恒定律和机械能守恒定律 ， 解得小球与物块碰撞后的瞬间，物块速度的大小为 （3）物块恰能运动到圆弧轨道顶点，此时两者共速设为，则对物块与小车整体由水平方向动量守恒 由能量守恒定律 解得 物块再返回轨道最低点时小车速度最大，设此时物块速度为，由动量守恒和机械能守恒有， 解得或（舍去） 4．（25-26高二上·陕西咸阳永寿县中学·期末）如图所示，在足够大的光滑水平地面上，静置一质量为2m的滑块，滑块右侧面的光滑圆弧形槽的半径为R，末端切线水平，圆弧形槽末端离地面的距离为。质量为m的小球（可视为质点）从圆弧形槽顶端由静止释放，与滑块分离后做平抛运动，重力加速度大小为g。 (1)小球运动至圆弧形槽末端时，小球的速度大小和滑块的速度大小分别为多少？ (2)小球落地时的动能为多少？ 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）小球运动至圆弧形槽末端时，对系统由水平方向动量守恒可知 由能量关系 解得， （2）对小球由动能定理 解得 5．（25-26高二上·湖南娄底·期末）如图所示，半径为R的四分之一圆弧体1固定在光滑水平面上，水平面上的小车左端水平部分与圆弧体1的最低点B等高且平滑接触。小车上表面右端固定一个四分之一圆弧体2，圆弧面DE最低点D与小车上表面水平部分平滑连接。圆弧面AB、DE光滑，小车水平部分CD粗糙。一质量为m可视为质点的小滑块P，从A点正上方高R处静止释放，经B点后滑上小车，恰好能滑到E点，最后刚好不能从小车的C点滑离。已知小车及圆弧体2总质量M，，重力加速度为。求： (1)滑块P滑到圆弧面B点时对圆弧轨道的压力大小； (2)圆弧轨道2的半径； (3)若当滑块在C点与小车相对静止一起向右运动时，给滑块一个向右的瞬时冲量，滑块也恰好能滑到E点，则给滑块的瞬时冲量大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设滑块到B点时的速度大小为，根据机械能守恒定律 解得 滑块运动到B点时，根据牛顿第二定律 解得 根据牛顿第三定律，滑块对圆弧面的压力大小为 （2）当滑块到E点时，设滑块速度为v1，根据水平方向动量守恒得 根据能量守恒 由于滑块恰好不从C点滑离，根据动量守恒可知，滑块到C点时，滑块和小车的共同速度也为，根据能量守恒得 联立解得 （3）设给滑块的瞬时冲量大小为I，则有 对滑块和小车研究，当滑块到E点时，由水平方向动量守恒有 根据能量守恒得 联立解得， 6．（25-26高二上·孝感鲁迅高级中学·期末）如图甲所示，光滑水平面上放置斜面C、曲面D，其中C固定在地面上且表面粗糙，D不固定且表面光滑，C、D之间的水平地面上放置两物块A、B，A的一端与一轻质弹簧连接，B的一端与轻质弹簧接触但不连接，初始时弹簧处于压缩状态，A、B及弹簧组成的系统在外力作用下静止在光滑水平面上，现撤去外力，B与弹簧恰好分离时，B刚好滑到斜面C底端，且B在水平面运动的位移为，此时A还未滑上D，A与D相互作用时不会滑出D，也不考虑A在D上滑动时弹簧与D的相互作用。B滑上斜面C，然后滑下与A碰撞，碰撞后弹簧最大弹性势能为。A、B从开始滑动到分离时，A、B运动的v-t图像如图乙所示（图中v已知，未知）。已知B的质量为m，A与曲面D的质量相等，斜面C、曲面D与水平面光滑连接，碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内，。求： (1)A的质量； (2)开始时弹簧的压缩量； (3)物块B在斜面C上滑动的整个过程克服摩擦力做的功W。 【答案】(1)2m (2) (3) 【详解】（1）设A的质量为，A、B与弹簧组成的系统从开始运动到分离过程由动量守恒定律有 由图像可知， 解得 （2）设A、B开始运动到分离过程，A的位移大小为，B的位移大小为，弹簧的压缩量为x，则有 A、B从开始到分离过程经历时间相等，动量守恒的表达式还可表达为， 根据位移—时间公式有 则 联立代入，解得弹簧压缩量 （3）设B滑上斜面C，然后滑下，第一次与A碰撞前速度为，A滑下D与B碰撞前的速度为，B滑上C再滑下的整个过程中有摩擦力做负功，A从滑上D到再滑下过程中系统水平方向动量守恒、机械能守恒，因为，速度交换，则。 B与A再次相互作用时，当A、B压缩弹簧最短时，弹性势能最大，A、B共速，由动量守恒定律有 由能量守恒定律有 解得 B在斜面上滑动的整个过程，由动能定理有 则克服摩擦力做的功 考向4　弹簧类模型 一、多选题 1．如图所示，质量为的物体A放在光滑水平面上，右端与一水平轻质弹簧相连，弹簧另一端固定在墙上，质量为的物体B以速度向右运动，与A相碰后一起压缩弹簧，直至B与A分离的过程中，下列说法正确的是（　　） A．在整个过程中，物体A、B和弹簧组成的系统机械能守恒 B．弹簧的最大弹性势能为 C．物体A对B做的功为 D．物体A对B的冲量大小为 【答案】BD 【详解】A．A和B发生完全非弹性碰撞时有机械能的损失，则在整个过程中，物体A、B和弹簧组成的系统机械能不守恒，故A错误； B．A和B发生完全非弹性碰撞，由动量守恒定律有 可得共同速度为 当A和B的速度为零时，弹簧的弹性势能最大，压缩弹簧过程中，由机械能守恒可得，故B正确； C．当弹簧恢复原长时，A、B分离，由能量守恒可知此时B的速度大小为；根据动能定理，物体A与B相互作用的过程中，A对B做的功即为物体B动能的变化量，有，故C错误； D．根据动量定理知，物体A对B的冲量即为物体B的动量变化量，以的方向为正方向，则有 故物体A对B的冲量大小为，故D正确。 故选BD。 2．（25-26高二上·湖南娄底·期末）光滑水平面上的三个小球a、b、c的质量均为m，小球b，c与轻弹簧相连且静止，小球a以速度v0冲向小球b，与之相碰并粘在一起运动。在整个运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．三个小球与弹簧组成的系统动量守恒，机械能不守恒 B．弹簧被压缩的过程中，b（含a）的加速度一直减小，c 的加速度一直增大 C．弹簧压缩到最短时系统动能最小，之后c的速度会继续增大 D．当弹簧第一次恢复原长时，小球c的速度一定最大，球b此时的速度方向可能水平向左 【答案】AC 【详解】A．球a与球b相碰并粘在一起运动，发生完全非弹性碰撞，所以三个小球与弹簧组成的系统动量守恒，机械能有损失，故A正确； B． 弹簧被压缩时，弹簧弹力为 F = kx 可知弹簧弹力随形变量x增大而增大。根据牛顿第二定律可知，a、b、c的加速度一直增大，故B错误； C．弹簧压缩到最短时，弹簧形变量最大，弹簧弹性势能最大，系统动能最小，c球速度还要继续增大，当弹簧恢复原长时c球速度最大，故C正确； D．规定向右为正方向，球a与球b相碰并粘在一起运动，由动量守恒有 当弹簧第一次恢复原长时，三个小球与弹簧组成的系统动量守恒，有 机械能守恒有 解得 可知当弹簧第一次恢复原长时，小球c的速度一定最大，球b此时的速度方向一定水平向右，故D错误。 故选AC。 二、解答题 3．（25-26高二上·静宁文萃中学·期末）如图所示，在光滑水平面上，质量为滑块乙静止，左端固定一轻质弹簧，弹簧处于原长状态。现有一质量为的滑块甲，以的水平向右速度滑向滑块乙，与弹簧右端接触并发生相互作用。求： (1)弹簧被压缩至最短时，滑块甲和乙的共同速度大小； (2)弹簧被压缩至最短时，弹簧的最大弹性势能； (3)滑块甲与弹簧分离（弹簧再次恢复原长）时，滑块甲和乙的速度大小。 【答案】(1)2m/s (2)24J (3)甲和乙的速度大小均为4m/s 【详解】（1）弹簧被压缩至最短时，滑块甲和乙的速度相等，由动量守恒定律可知 解得 即滑块甲和乙的共同速度大小为2m/s。 （2）由能量关系可知，弹簧的最大弹性势能为 解得 （3）滑块甲与弹簧分离（弹簧再次恢复原长）时由动量守恒和能量关系可知， 联立解得， 滑块甲和乙的速度大小均为4m/s。 4．（25-26高二上·合肥六中·期末）如图所示，质量为的长木板A、质量为的物块B均静止在光滑的水平面上，B的左端连接有水平放置的轻弹簧。质量为的物块C从长木板上表面的左端以大小为的初速度滑上长木板，A与轻弹簧碰撞前，A、C已相对静止；A与弹簧碰撞后，当A、B、C三者共速时，物块C与长木板间刚好要滑动。已知物块C与长木板A间的动摩擦因数为0.5，重力加速度为，弹簧始终处于弹性限度内，求： (1)从C滑上A至A、C共速的过程中，因摩擦产生的热量为多少； (2)当A、B、C三者共速时，物块B的速度和加速度分别为多大。 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）设A、C共速时的速度大小为，根据动量守恒定律有 解得 根据能量守恒定律有 解得 （2）设A、B、C共速时的速度大小为，根据动量守恒定律有 解得 由于A、B、C共速时，C刚好要滑动，这时A、C整体的加速度大小为 根据牛顿第二定律可得此时弹簧的弹力 对物块B进行受力分析，根据牛顿第二定律有 解得 5．（25-26高三上·乐平三中·期末）如图，在光滑水平地面有一质量为的物块P，其上表面为光滑的半径为的圆弧轨道，圆弧顶端点切线竖直，P右端与薄板Q粘连在一起，薄板Q上表面恰好是P右端切面。一轻弹簧的右端固定在Q右端，另一端自由。可看成质点的质量为的小滑块自圆弧顶端点上方的点自由下落，重力加速度大小取，忽略空气阻力，弹簧长度的变化始终在弹性限度内。 (1)若P固定在地面上，小滑块经过物块P的最右端时对P的压力 (2)若P没有固定在地面上，Q的质量为，其上表面弹簧左侧与小滑块的摩擦因数为，其余部分光滑。当小滑块滑过P右端时P和Q的连接断开，小滑块恰好不离开薄板Q，求薄板Q粗糙部分的长度和弹簧的最大弹性势能？ 【答案】(1)44N，方向竖直向下； (2), 【详解】（1）若P固定在地面上，小滑块从A端下滑到物块P的最右端，根据机械能守恒有 解得 小滑块在物块P的最右端，根据牛顿第二定律有 解得 根据牛顿第三定律，可知小滑块经过物块P的最右端时对P的压力大小为44N，方向竖直向下； （2）若P没有固定在地面上，设小滑块滑过P右端时其速度为，P Q的速度为，取向右为正方向，根据水平方向动量守恒有 根据能量守恒有 联立解得， 小滑块滑上Q，小滑块先经过Q上表面粗糙段，当与弹簧接触后，压缩弹簧至最短，然后再被弹簧反弹，再次经过Q上表面粗糙段，最后与Q达到共同速度，设共同速度为，取向右为正方向，根据动量守恒 解得 根据能量守恒有 代入数据解得薄板Q粗糙部分的长度为 根据功能关系，可得弹簧的最大弹性势能为 6．（25-26高三上·长春东北师大附中·期末）如图所示，质量均为m=0.2kg的两物块通过细线连接，物块间有一压缩量的轻弹簧（物块和弹簧不拴接），静止于高为h=0.2m、表面粗糙的平台上。现烧断细线，两物块从静止开始运动，弹簧恢复原长时物块2恰好从平台右边缘B点水平飞出，水平射程x=2m，物块1恰好向左从E点脱离弹簧并进入一半径R=1m的光滑圆轨道。g=10m/s2，物块1和2均可看作质点，两物块与平台的动摩擦因数均为0.5。求： (1)脱离弹簧时物块1和2的速度大小v1和v2； (2)物块1到达圆轨道最高点A时对轨道压力的大小； (3)整个过程中，弹簧释放的弹性势能。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）物块2平抛运动的时间满足 水平射程满足 解得 两物块受到的摩擦力和弹簧弹力均等大反向，故系统动量守恒，有 得， （2）物块1到最高点过程中，由动能定理有 物块在最高点，由牛顿第二定律有 解得 根据牛顿第三定律有 故 （3）根据能量守恒有 其中 解得 考向5　多物体多次碰撞问题 一、多选题 1．（25-26高二上·湖北黄冈罗田一中·期末）某兴趣小组设计了如图所示的实验装置，用来研究碰撞问题。小球1通过长为L的轻绳连接在天花板上，小球2、3……N并排静止于离地面一定高度的水平轨道AB上，相邻小球间有一小间隙，2号球位于轨道边缘，BC部分为半径足够大的圆弧轨道。已知这N个小球的大小相同，质量依次为m、3m、9m……。将1号球向左拉到轻绳处于水平伸直位置，然后静止释放，到最低点时与2号球对心碰撞（碰后迅速将1号球撤走），2号球再与3号球对心碰撞……碰撞时间极短且无机械能损失，不计一切阻力，小球可视为质点，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．1、2号球碰后瞬间，二者的速度方向相反 B．碰后瞬间，1号球对轻绳的拉力大小为 C．N号球沿圆弧轨道上升的最大高度为 D．N号球与（N-1）号球从A点飞出后，落在地面同一点 【答案】ABD 【详解】A．1号球摆到最低点过程中，由动能定理得 解得 1号球与2号球发生弹性碰撞，动量守恒 机械能守恒 解得 碰后瞬间两球速度等大反向，A正确； B．碰后瞬间，对1号球， 代入得，B正确； C．2号球与3号球发生弹性碰撞，动量守恒 机械能守恒： 解得， 以此类推，可知号球与N号球碰后，速度分别为 ， N号球沿圆弧轨道上升的最大高度为，C错误； D．N号球从圆弧轨道下滑后，速度与号球碰后速度相同，因此从A点飞出后会落在地面同一点，D正确。 故选ABD。 二、解答题 2．（26-27高三上·重庆西大附中·阶段检测）如图所示，在足够长的光滑水平面上有两个小物块A、B和凹槽C。物块A的质量为m，物块B的质量为3m，凹槽C的质量为3m，A、B相距为l，凹槽C的左端与B相距为3l，凹槽左、右槽壁的距离为3l且槽壁的厚度忽略不计，凹槽C内放一质量为6m的小物块D。物块D与左边槽壁的距离为l，与凹槽之间的动摩擦因数。开始时物块、凹槽均静止，现给物块A施加水平向右的恒力F，物块A向右做匀加速运动，一段时间后与B发生弹性碰撞。当A与B发生第二次弹性碰撞时立刻撤去恒力F。B与凹槽C碰撞立即粘在一起运动。已知，，，取重力加速度，物块A、B、D均可视为质点，物块D与凹槽壁的碰撞没有能量损失，且所有碰撞时间均忽略不计。求： (1)小物块A和B第一次碰撞后B的速度大小； (2)物块D与凹槽相对静止时，物块D距凹槽左壁的距离； (3)从物块D开始运动到物块D与凹槽相对静止时，物块D运动的位移大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据题意，设小物块A和B第一次碰撞前，小物块A的速度为，由动能定理有 解得 当与发生第一次弹性碰撞后速度分别为，规定方向为正方向，根据动量守恒定律和能量守恒定律， 解得， （2）当与发生第一次弹性碰撞后先向左做匀减速，再向右匀加速运动，向右匀速运动。假设还没运动到凹槽所在处，追上发生第二次弹性碰撞，追上所经历的时间为，位移相等，对A有 因为 对B有 解得，，假设成立，与发生第二次弹性碰撞前速度分别为，则， 当与发生第二次弹性碰撞后速度分别为，根据动量守恒定律和能量守恒定律，． 解得， 当与发生第二次弹性碰撞后的速度为零同时撤去外力，所以静止，向右匀速运动，与凹槽碰撞立即粘在一起运动，速度为，由于之间有摩擦，物块开始运动，随后物块与凹槽左、右边槽壁多次发生弹性碰撞，最终物块与凹槽相对静止，一起匀速运动，速度为。根据动量守恒定律和能量守恒定律，， 解得 由分析可知物块D与凹槽相对静止时，物块D停在凹槽右壁处，所以距凹槽左壁的距离为。 （3）设凹槽与物块每次碰前的速度分别为，碰后的速度分别为，根据动量守恒定律和能量守恒定律， 解得 即每碰撞一次和凹槽与物块发生一次速度交换，两次碰撞之间，和凹槽与物块加速、减速的加速度大小相等，做出和凹槽与物块相互作用过程中的图像，图像中实线为和凹槽的图线，虚线为物块的图线，如图 由图可知，和凹槽与物块相互作用前的速度为，最后的共同速度为，运动时间可按和凹槽一直减速计算 因为 解得 设和凹槽与物块D速度分别为，根据动量守恒定律得 即(的运动方向相同) 结合上式可得两物体位移关系为 因为两者一直同方向运动，物块开始距凹槽左壁，相对静止时物块在凹槽的右壁，所以两物体的位移关系为 解得 3．（25-26高一下·南昌一中·期末）如图所示，水平面上点左侧光滑，点右侧粗糙，质量的物块静止在水平面光滑部分，其上表面是半径的光滑圆弧轨道，其底端点的切线水平。水平面上点右侧，等间距放置完全相同的物块1、物块2、物块3、…、物块。将物块从物块的顶端点由静止释放，物块从点进入水平面粗糙部分，物块运动距离后与物块1碰撞，碰后两物块以共同的速度继续运动距离后与物块2碰撞，三物块以共同的速度运动，后面重复前面的运动情况。除物块外其他物块均可视为质点，质量均为，与水平面粗糙部分之间的动摩擦因数均为，，所有碰撞时间极短，忽略空气阻力。取，已知。求： (1)物块离开物块时的速度大小 (2)从物块静止释放到、分离过程，运动的距离； (3)物块最多能与几个物块发生碰撞。 【答案】(1) (2) (3)5个 【详解】（1）将物块从物块的顶端点由静止释放，二者水平方向动量守恒，规定向右为正方向，则有 根据机械能守恒定律有 代入，， 解得 （2）物块与物块的水平位移关系为 其中 则物块运动的距离 （3）根据上述分析可知，物块到达点时的速度，物块与物块碰撞前瞬间动能大小满足 物块与物块1相碰，根据动量守恒得 碰撞后瞬间系统动能 物块、1和2碰撞前瞬间，系统动能 物块、1和2相碰，根据动量守恒得 物块、1和2碰撞后瞬间，系统动能 物块、1、2和3碰撞前瞬间，系统动能 以此类推，在与物块碰撞前瞬间，系统动能 若一共碰撞次，则有， 代入数据解得 即物块最多能与5个物块发生碰撞。 4．（26-27高三上·河南部分学校·开学）如图所示，n个质量均为4m的相同小球在光滑水平面上沿同一直线放置。一大小相同、质量为m的小球P以初速度向右运动，与n个小球发生正碰。 (1)若所有小球均为强力磁吸球，求小球P最终运动的速度大小； (2)若所有小球均为弹性钢球，求最右侧小球的速度大小； (3)若小球属性未知，求小球P及最右侧小球最终的动能大小范围。 【答案】(1) (2) (3)； 【详解】（1）由于小球均为强力磁吸球，所以最后小球全部磁吸在一起 解得 （2）小球P与钢球发生弹性碰撞，根据动量守恒和机械能守恒可知， 解得， 对n个钢球相邻两个之间的碰撞，根据动量守恒和机械能守恒可得， 解得 （3）①当所有小球间的碰撞均为弹性碰撞时，最右侧小球速度最大，为；当所有小球间的碰撞均为完全非弹性碰撞时，最右侧小球速度最小，为。故最右侧小球的速度大小范围 最右侧小球最终的动能大小范围 ②若小球P与右侧第一个小球发生弹性碰撞，速度为；若小球P与右侧第一个小球发生完全非弹性碰撞 解得 之后与其它钢球发生弹性碰撞，则有， 解得 所以小球P的速度大小范围 即小球P向右运动的最大速度为，向左运动的最大速度为，最小速度为零。所以小球P最终的动能大小范围 考向6　人船及类人船模型 一、单选题 1．（26-27高三上·江苏淮阴中学·阶段性测试）如图所示，质量均为m的两个小球A、B用长为L的轻质细绳连接，B球穿在光滑水平细杆上，初始时刻，细绳处于水平状态，将A、B由静止释放，空气阻力不计。从释放到A球第一次运动到最低点的过程中，下列说法正确的是（     ） A．A、B组成的系统动量守恒 B．B球向右运动的距离为 C．A球重力的瞬时功率一直变大 D．细绳对A球不做功 【答案】B 【详解】A．A、B组成的系统在水平方向上不受外力，水平方向动量守恒，但在竖直方向上，A球有向下的加速度，系统处于失重状态，竖直方向合外力不为零，故系统总动量不守恒，故A错误； B．系统在水平方向上动量守恒，且初始总动量为零，设A、B水平位移大小分别为、，由水平方向动量守恒可得 两边乘上时间并累加可得 且 解得 即B球向右运动的距离为，故B正确； C．根据重力功率计算式可知，初始时刻A球速度为零，重力的瞬时功率为零，当A球运动到最低点时，A球的速度方向水平，竖直分速度为零，重力的瞬时功率也为零，而在中间过程中A球有竖直向下的分速度，重力的瞬时功率大于零，所以A球重力的瞬时功率先变大后变小，故C错误； D．在运动过程中，B球的动能增加，细绳对B球做正功，由于细绳为轻质细绳，细绳对A、B做功的代数和为零，所以细绳对A球做负功，故D错误。 故选B。 2．（25-26高二上·湖南岳阳华容·期末）“独竹漂”是一项独特的黔北民间绝技。独竹漂高手们脚踩一根楠竹，漂行水上如履平地。在平静的湖面上，一位女子脚踩竹竿抵达岸边，此时女子静立于竹竿A点，一位摄影爱好者使用连拍模式拍下了该女子在竹竿上行走过程的系列照片，并从中选取了两张进行对比，其简化图如图所示。经过测量发现，甲、乙两张照片中A、B两点的水平间距约为2cm，乙图中竹竿右端距离河岸约为2.4cm。女子在照片上身高约为1.6cm。已知该女子的质量约为60kg，若不计水的阻力，则该竹竿的质量约为（　　） A．40kg B．50kg C．72kg D．75kg 【答案】B 【详解】对人和竹竿组成的系统，可看成人船模型，所以 代入数据可得竹竿的质量为 故选B。 3．（25-26高二上·江苏南京·期末）如图，质量为M的半圆形槽静置于水平地面上，将质量为m的小球从槽口A点由静止释放，小球可视为质点，忽略一切摩擦，下列说法中正确的是（    ） A．小球运动到半圆形槽右侧最高点一定与A点等高 B．小球向右摆动时，槽向右运动，且系统动量守恒 C．小球向右摆动时，槽向左运动，且系统动量守恒 D．从A点释放到右侧最高点，半圆形槽的位移一定大于小球在水平方向上的位移 【答案】A 【详解】ABC．系统水平方向不受力，可知水平方向动量守恒，小球向右摆动时，槽向左运动，但系统动量不守恒，小球运动到半圆形槽右侧最高点时，二者速度均为零，根据能量守恒可知一定与A点等高，故A正确，BC错误； D．从A点释放到右侧最高点，有 两边微元求和可得 可得 因为不知道小球和半圆形槽的质量关系，故无法判断半圆形槽的位移和小球在水平方向上的位移大小关系，故D错误。 故选A。 4．（25-26高二上·盐津二中·月考）如图所示，气球下面有一根长绳，一个质量为的人抓在气球下方，气球和长绳的总质量为，长绳的下端刚好和水平面接触。当静止时人离地面的高度为。如果这个人开始沿绳向下滑，当滑到绳下端时，他离地面的高度约为（可以把人看成质点）（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】系统（人+气球+绳）初始静止，竖直方向总重力与浮力平衡，合外力为零，动量守恒。设人相对于地面向下的位移大小为，气球（绳）相对于地面向上的位移大小为。根据动量守恒，任意时刻 两边同乘运动时间得 根据几何关系满足 解得 所以滑到绳下端时，他离地面的高度约为3.6m。 故选A。 二、多选题 5．（26-27高三上·日照·开学考试）如图所示，质量均为的木块A、B并排放在光滑水平面上，木块A上固定一竖直轻杆，轻杆上端的O点系一长为l的细线，细线另一端系一质量为m的小球C。现将小球C拉起使细线水平伸直且无拉力，并由静止释放小球C，重力加速度为g，小球和木块均可视为质点。下列判断正确的是（　　） A．小球C从释放到轨迹最低点的过程中，物体A、B和小球C组成的系统动量守恒 B．小球C从释放到轨迹最低点的过程中，木块A移动的距离为 C．木块A、B分离时，木块A的速度大小为 D．小球C轨迹最低点与第一次上升到轻杆左侧最高点的高度差为 【答案】BCD 【详解】A．系统动量守恒的条件是合外力为零。小球C从释放到最低点的过程中，C有竖直方向的向心加速度分量，系统竖直方向合外力不为零，仅水平方向不受外力、水平方向动量守恒，总动量不守恒。故A错误； B．小球C从释放到轨迹最低点的过程中，系统水平方向动量守恒，初始总水平动量为0，最低点时小球C水平向左的速度大小为，木块A、B整体向右的速度大小为，以水平向左为正方向，可得 设小球C水平向左的位移大小为，木块A、B整体向右的位移大小为，根据“人船模型”规律，可得 且两者相对水平位移满足 联立解得，即A、B整体向右移动，故B正确。 C．小球摆到轨迹最低点时，细线拉力竖直向上，此后C向左摆动会拉动A减速，而B在光滑水平面不受力将保持匀速，此时A、B恰好分离。 从释放到最低点的过程，系统机械能守恒得 联立解得分离时C的速度大小，A、B的共同速度大小。故C正确。 D．A、B分离后，B以匀速向右运动，A和C组成的系统，当C第一次上升到轻杆左侧最高点时，C和A水平方向共速，根据系统水平动量守恒得 根据机械能守恒得 解得C上升的高度 因此最低点与左侧最高点的高度差为。故D正确。 故选BCD。 6．（25-26高一下·阜新高级·学情调研）我国精密机械研发中，常采用滑块-轻杆模型测试设备动态平衡性能。如图所示，一质量的滑块套在光滑的水平轨道上，一质量的小球通过长的轻质细杆与滑块上的光滑轴连接，小球和轻杆可在竖直平面内绕轴自由转动。初始时，轻杆水平，现给小球一竖直向上的初速度，重力加速度取。下列说法正确的是（     ） A．若滑块固定，小球到达最高点的速度大小为 B．若滑块不固定，小球到达最高点的速度大小为 C．若滑块不固定，小球到达最高点时，杆对小球的作用力大小为 D．若滑块不固定，小球到达轴右侧水平位置时相对地面的位移大小为 【答案】ACD 【详解】A．若滑块固定，根据机械能守恒定律 解得小球到达最高点的速度大小为，A正确； B．若滑块不固定，则由水平动量守恒 根据机械能守恒定律 解得小球到达最高点的速度大小为，滑块的速度，B错误； C．若滑块不固定，小球到达最高点时，对小球 解得T=8N，可知杆对小球的作用力大小为，C正确； D．若滑块不固定，小球到达轴右侧水平位置时，由水平方向动量守恒可知其中 解得小球相对地面的位移大小为，D正确。 故选ACD。 三、解答题 7．（25-26高一下·哈尔滨第一中学校·期末）如图所示，A和B两小车静止在光滑的水平面上，质量分别为，，A车上有一质量为的机器人，相对地面以的水平速度向右跳上B车，并与B车相对静止不考虑空气阻力。求： (1)机器人跳离A车后，A车的速度大小； (2)机器人跳上B车后与B车一起运动的速度大小； (3)机器人跳离A车的过程中，对A车所做的功。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）取向右为正方向。机器人跳离车的过程中，机器人和车组成的系统水平方向不受外力，系统动量守恒。由动量守恒定律得 解得 负号表示车向左运动，其速度大小为。 （2）机器人跳上车并与车相对静止的过程中，机器人和车组成的系统水平方向不受外力，系统动量守恒。由动量守恒定律得 解得 因此机器人与车一起运动的速度大小为。 （3）车在水平方向仅受机器人作用力，竖直方向的力不做功，因此机器人对车所做的功等于合力功。由动能定理得 考向7　反冲及爆炸类问题 一、单选题 1．（25-26高二上·淄博实验中学·期末）如图所示，一只悬停在水中的乌贼，当外套膜吸满水后，它的总质量为，遇到危险时，通过短漏斗状的体管在极短时间内向后高速喷出的水，乌贼的逃窜速度大小为15m/s，则乌贼喷出水的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设悬停在水中的乌贼，当外套膜吸满水后，它的总质量为，遇到危险时喷出水的质量为，乌贼的逃窜速度大小为，则喷水过程，根据动量守恒可得 解得 故选B。 二、多选题 2．（25-26高二上·济宁二中·月考）甲、乙两人静止在光滑的冰面上，甲推乙后，两人向相反方向滑去。下列正确的是（    ） A．在甲推乙之前，两人的总动量不为0 B．甲推乙后，两人都有了动量，总动量仍为0 C．已知甲的质量为45kg，乙的质量为50kg，甲的速率与乙的速率之比为 D．已知甲的质量为45kg，乙的质量为50kg，甲的速率与乙的速率之比为 【答案】BD 【详解】AB．冰面光滑，对甲与乙构成的系统，所受外力的合力为0，由于甲、乙两人初始状态均处于静止，总动量为零；根据动量守恒定律可知，甲推乙后，两人都有了动量，总动量仍为0，故A错误，B正确； CD．根据动量守恒定律有 解得，故D正确，C错误。 故选BD。 三、解答题 3．（25-26高二上·厦门六中·期末）如图所示，固定的光滑平台上固定有光滑的半圆轨道，轨道半径R=1.4m。平台上静止着两个滑块A、B，mA=0.1kg，mB=0.7kg，两滑块间夹有少量炸药，平台右侧有一带挡板的小车，静止在光滑的水平地面。小车质量为M=0.3kg，车面与平台的台面等高，车面左侧粗糙部分长度为L=0.1m，动摩擦因数为μ=0.1，右侧拴接一轻质弹簧，弹簧自然长度所在范围内车面光滑。点燃炸药后，滑块A刚进入与圆轨道相切的C点时，对轨道的压力为，滑块B冲上小车。两滑块都可以看作质点，炸药的质量忽略不计，爆炸的时间极短，且爆炸后两个物块的速度方向在同一水平直线上，且重力加速度g=10m/s2.求： (1)爆炸后滑块A在C点时的速度及爆炸后A与B获得的总动能； (2)整个过程中弹簧的最大弹性势能是多少？ (3)最终滑块B停在离小车左端多远的位置？ 【答案】(1)7m/s，2.8J (2)0.035J (3)0.05m 【详解】（1）由牛顿第三定律知滑块A在C点所受的支持力大小为NA=F压=4.5N 根据牛顿第二定律有 解得 设爆炸后滑块A获得速度大小为vA，而A运动到C点是匀速直线运动，有 在爆炸过程中，滑块A、B组成的系统动量守恒，设滑块B获得的速度大小为vB，则： 由动量守恒有 解得 所以爆炸后A与B获得的总动能为 （2）当滑块B将弹簧压缩至最短时，滑块B和小车达到共同速度v共 ，且此过程动量守恒，有 解得 在滑块B从滑上小车到将弹簧压缩至最短的过程，整个系统根据功能关系可得 解得弹簧的最大弹性势能为 （3）最终滑块B相对小车静止，且共同速度仍为，设最终B停在离小车左端的距离为x，整个系统根据功能关系可得 解得 4．（26-27高三上·河北部分高中·开学）如图所示，物块、质量分别为、，二者中间夹有微量炸药（质量可忽略不计）静置在光滑水平平台上。质量的木板静置在平台右侧光滑的水平地面上，木板的上表面与平台齐平，上表面点左侧粗糙，右侧光滑。轻质弹簧固定在木板的右端，自然伸长时左端恰好位于点。引爆炸药，炸药化学能的转化为、两物块的动能，物块以的速度向左运动，物块滑上木板并压缩弹簧。已知木板粗糙部分长度为，物块与木板之间的动摩擦因数，物块可视为质点，弹簧未超过弹性限度，不计空气阻力，重力加速度取。求： (1)炸药爆炸后瞬间物块的速度大小； (2)炸药爆炸过程释放的化学能； (3)弹簧的弹性势能最大值。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）炸药爆炸过程，对、系统有 解得 （2）根据能量守恒，炸药化学能的转化为、两物块的动能，有 解得 （3）当物块与木板共速时，弹簧的弹性势能最大，根据动量守恒有 解得 根据能量守恒有 解得 5．（26-27高二上·邯郸一中·开学学情检测）一枚在空中飞行的火箭质量为m，在某时刻离地高度为h，速度为v，方向水平，燃料耗尽。此时，火箭突然炸成质量相等的两块，其中一块沿着与v相反的方向飞去，速度大小为。已知地面水平，重力加速度为g。求： (1)火箭炸裂后瞬间另一块的速度大小； (2)炸裂后两块落地时的水平距离。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）取火箭初速度方向为正方向，根据动量守恒定律有， 解得 （2）弹片在空中做平抛运动，设飞行时间为，则， 两块弹片落地水平距离为， 联立解得 6．（25-26高二上·盐津二中·月考）如图所示，固定的光滑水平平台上静止着两个滑块和，它们的质量分别为、，两滑块间夹有少量炸药，平台右侧有一带挡板的小车，小车静止在光滑的水平地面上。小车的质量，小车的上表面与平台的台面等高，小车上表面的右侧固定一根轻弹簧，弹簧的自由端在点，小车上表面的左端点与点之间是粗糙的，、的间距，滑块与之间表面的动摩擦因数，点右侧表面是光滑的。点燃炸药后，、分离瞬间两滑块获得的总动能为，之后滑块滑上小车。两滑块都可以看成质点，炸药的质量忽略不计，爆炸的时间极短，爆炸后两个物块的速度方向在同一水平直线上，重力加速度。 (1)求炸药爆炸后滑块获得的速度； (2)求在滑块滑上小车后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能； (3)滑块运动到何处小车的速度最大？并求出小车运动过程中的最大速度。 【答案】(1) (2) (3)滑块B压缩弹簧后返回到Q点时小车的速度最大，小车的最大速度为2m/s 【详解】（1）由于爆炸的时间极短，则滑块和组成的系统动量守恒，设炸药爆炸后滑块获得的速度大小为，滑块获得的速度大小为，则有 又因为点燃炸药后，、分离瞬间两滑块获得的总动能为 代入数据联立解得 （2）当弹簧压缩到最短时弹簧的弹性势能最大，由于滑块B与小车组成的系统动量守恒，以向右为正方向，则由动量守恒定律得 由能量守恒定律得 代入数据联立解得弹簧的最大弹性势能为 （3）当弹簧恢复到原长时，即滑块B压缩弹簧后返回到Q点时小车的速度最大，设此时滑块B的速度为，小车的速度为，以向右为正方向，则由动量守恒定律得 由能量守恒定律得 代入数据联立解得，或， 由于当，时，滑块B的速度大于小车的速度，不符合实际，应舍去，所以小车运动过程中的最大速度为。 动量守恒提高 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（25-26高三上·陕西安康·二调）滑块a、b沿水平面上同一条直线发生碰撞，碰撞后两者粘在一起运动，两者的位置x随时间t变化的图像如图所示。则滑块a、b的质量之比为（     ） A．4：5 B．5：4 C．8：1 D．1：8 【答案】D 【详解】由题干图像可知，碰撞前滑块a、b的速度， 碰撞后，两滑块的速度 两滑块碰撞过程系统动量守恒，以滑块b的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得 解得 故选D。 2．（2026·常州前黄高中·二模）如图所示，将一质量为m的小球从距离地面H高处以初速度水平抛出，落地时速度与水平方向夹角为30°。已知运动过程所受空气阻力的大小与速度大小成正比，满足f=kv（其中，g为重力加速度），方向始终与速度方向相反。下列说法正确的是（     ） A．小球落地时速度大小为2v0 B．下落过程中空气阻力对小球做功为 C．小球下落过程中的水平位移大小为 D．小球下落的时间为 【答案】C 【详解】A．利用配速法，将初速度分解为一个竖直向下的 则由平行四边形法则，根据几何关系，另一速度（方向为右上，与水平方向夹角为30°） 如图所示 竖直方向，小球受到的阻力 代入 得 则小球在竖直方向做匀速直线运动，故小球落地时，竖直方向速度不变，为（方向竖直向下）；方向，小球受阻力做减速运动，故小球落地时，方向为右上，与水平方向夹角为30°，又合力方向为右下，与水平方向夹角为30°，作图如下 由三角形法则，根据几何关系得 故A错误； B．由动能定理 代入得 故B错误。 C．落地速度与水平方向夹角为，因此 解得 合速度大小 即​ ​水平方向仅受阻力的水平分量，由动量定理 （即水平位移） 代入 ​整理得 即​ 代入，得 代入水平位移公式 故C正确。 D．竖直方向由动量定理 整理得 即 代入得 故D错误。 故选C。 二、多选题 3．（26-27高三上·湖北九师联盟·学情检测）如图所示，质量分别为6kg、3kg的小球a、b通过不可伸长的轻绳绕过固定轻质光滑定滑轮连接，b的下端通过劲度系数k＝200N/m的轻弹簧连接一个质量为3kg的小球c。初始时托住a和c，使弹簧处于原长，三个小球均静止。现同时释放a和c，运动中小球均视为质点且不与滑轮相碰，不计空气阻力，弹簧始终在弹性限度内，弹性势能（x为形变量），重力加速度g取。则（     ） A．释放后瞬间轻绳上的拉力大小为40N B．释放后瞬间轻绳上的拉力大小为80N C．释放后c下降的最大距离为22.5cm D．释放后a下降的最大距离为30cm 【答案】AC 【详解】AB．初始时弹簧处于原长，释放后瞬间，弹簧形变量不变，设释放后瞬间轻绳上的拉力大小为T，对ab整体由牛顿第二定律有 对a由牛顿第二定律有 联立解得T＝40N，A正确，B错误； CD．把abc看成整体，沿绳合力为零，由动量守恒定律有 微元累加得 设释放后c下降的最大距离为h，则a下降的最大距离为，此时弹簧形变量，由能量守恒定律有 解得h＝22.5cm，C正确，D错误。 故选AC。 4．（2027·沈阳东北育才学校·一模）如图所示，在光滑的水平地面上放有一带光滑圆弧形槽的小车，圆弧半径为R。 一小滑块以大小为v0的速度沿水平槽口滑上小车，不计空气阻力，且小车与小滑块的质量相同。下列判断正确的是（     ） A．若小滑块从圆弧上端滑离，则滑离后小滑块做竖直上抛运动（以地面为参考系） B．若小滑块从圆弧上端滑离，则滑离后小滑块向左上方做斜上抛运动（以地面为参考系） C．若小滑块从圆弧下端滑离，则滑离后小滑块做自由落体运动 D．若小滑块从圆弧下端滑离，则滑离时的速度大小为v0 【答案】BC 【详解】AB．取水平向右为正方向。小车和滑块组成的系统在水平方向不受外力，设滑块对地的水平速度为、小车速度为，由水平方向动量守恒得 若滑块从圆弧上端滑离，圆弧上端的切线竖直，滑块相对小车的水平速度为零，故，代入上式得 滑块从上端滑离时具有竖直向上的切向速度，所以对地速度同时具有向左和向上的分量，离开后做向左上方的斜上抛运动，故A错误，B正确； CD．若滑块从圆弧下端滑离，说明滑块沿圆弧上升后又返回下端。设此时滑块和小车的水平速度分别为和，由水平方向动量守恒得 由系统机械能守恒且下端与初态等高，有 联立上式得，滑块返回下端时相对小车向右运动，因此滑块对地速度为零，小车向左运动且速度大小为。滑块离开下端后只受重力作用，做自由落体运动，故C正确，D错误。 故选BC。 5．（2026·新疆·模拟）如图所示，、是两个质量相同、带同种性质电荷的小球，但所带电荷量大小不等，两球在光滑绝缘水平面上，给球一个初速度使其沿连线向球运动，同时由静止释放球，在、靠近（两球大小不计且始终不相碰）过程中，下列说法正确的是（　　） A．两球加速度均减小 B．、两球组成系统的电势能增大 C．对作用力的冲量与对作用力的冲量相同 D．当、距离最近时，小球的速度大小为 【答案】BD 【详解】A．两球间的库仑力，随着距离减小，增大，加速度，故两球加速度大小均增大，故A错误； B．两球带同种电荷，靠近过程中电场力做负功，电势能增加，故B正确； C．两力大小相等、方向相反，因此冲量大小相等、方向相反，故C错误； D．系统水平方向不受外力，动量守恒。设质量均为，最近时两球速度相等，设为，有 解得，故D正确； 故选BD。 6．（25-26高三下·贵州遵义·复习）如图所示，水平地面上有三点、、，点在正上方，、、、。质量为、的小球P、Q从、两点同时斜向上抛出，并在共同的最高点处发生碰撞。两球从抛出至到达点前分别受到水平恒力作用，使P的水平加速度向右，Q的水平加速度向左，且大小均为，两球到达点瞬间，撤去水平恒力，此时速度大小分别为、，随后两球发生碰撞。碰撞时间极短，碰后两球分别落在关于对称的C、D两点，且为的中点。若忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　） A． B． C．两球的碰撞为弹性碰撞 D．碰后瞬间，两球速度大小相等 【答案】ABD 【详解】A．两球在竖直方向均做竖直上抛运动，上升高度均为，故运动时间相同，满足 解得 在水平方向，两球均做匀加速直线运动。对于球，从到，位移为，加速度向右，由运动学公式 到达点时水平速度 联立可得 对于球，从到，位移大小为，加速度向左，同理可得 已知，代入可得 因此， 两式相比得，故A正确； B．两球在点碰撞后做平抛运动，下落高度相同，故运动时间相同，均为。由于落点、关于对称，且为的中点，可知 由可知碰后两球速度大小相等，即 取向右为正方向，碰前的速度为，的速度为；碰后落在点，速度为，落在点，速度为。根据动量守恒定律有 因为 整理得 即 代入、、，解得，故B正确； C．碰前总动能 碰后总动能 由于且（因为），可知，碰撞过程中有机械能损失，不是弹性碰撞，故C错误； D．两球在点碰撞后做平抛运动，下落高度相同，故运动时间相同。由于落点、关于对称，说明两球碰后的水平位移大小相等，由可知碰后两球速度大小相等，故D正确。 故选ABD。 三、解答题 7．（26-27高三上·北师大附属实验中学·摸底测试）如图所示，一圆心为O、半径为R的光滑半圆弧轨道固定在竖直平面内，其下端与光滑水平面在Q点相切。在水平面上，质量为m的小物块A以某一速度向质量也为m的静止小物块B运动。A、B发生正碰后，B到达半圆弧轨道最高点E时对轨道压力恰好为零，A沿半圆弧轨道运动到与O点等高的C点时速度为零。已知重力加速度大小为g，忽略空气阻力。 (1)求碰撞之后B的速度； (2)当A由C点沿半圆弧轨道下滑到D点时，OD与OQ夹角为，求此时A所受的重力对A做功的功率； (3)求碰撞过程中A和B损失的总动能。 【答案】(1)，方向与A的初速度方向相同 (2) (3) 【详解】（1）设B到半圆弧轨道最高点时速度为，由于B对轨道最高点的压力为零，则由牛顿第二定律得 对B由Q到最高点的过程，由机械能守恒定律得 解得，方向与A的初速度方向相同 （2）对A由C到D的过程，由机械能守恒定律得 由于对A做功的力只有重力，则A所受的重力对A做功的功率为 解得 （3）设A、B碰后瞬间的速度分别为， 对A由Q到C的过程，由机械能守恒定律得 解得 设碰前瞬间A的速度为，对A、B碰撞的过程，由动量守恒定律得 解得 碰撞过程中A和B损失的总动能为 解得 8．（2026·北京大兴精华·自测）如图所示，高度的水平桌面上放置两个相同物块A、B，质量。A、B间夹一压缩量的轻弹簧，弹簧与A、B不拴接。同时由静止释放A、B，弹簧恢复原长时A恰好从桌面左端沿水平方向飞出，水平射程；B脱离弹簧后沿桌面滑行一段距离后停止。A、B均视为质点，取重力加速度。求： (1)脱离弹簧时A的速度大小； (2)脱离弹簧时B的速度大小； (3)物块与桌面间的动摩擦因数。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）弹簧恢复原长时A恰好从桌面左端沿水平方向飞出，A飞出后做平抛运动，由平抛运动的规律可得 解得 （2）物块A、B与弹簧作用过程，由题意可知物块A、B受到的滑动摩擦力等大反向，则物块A、B与弹簧组成的系统合外力为零，满足动量守恒定律，以向右为正方向，则有 解得 （3）对B脱离弹簧后沿桌面滑行一段距离后停止的过程，根据动能定理得 解得物块与桌面间的动摩擦因数为 9．（26-27高三上·南京金陵中学·开学考试）如图甲所示，两质量均为m的光滑小球A、B（可视为质点），用长为L的轻杆连接。在水平向左的外力F的作用下保持静止，此时杆与水平方向的夹角为60°。已知重力加速度大小为g。 (1)求外力F的大小； (2)现将小球B推至墙角处后紧靠墙壁竖直立于水平面上（如图乙所示）。当A受到轻微扰动后由静止开始向右倾倒，两球始终在同一竖直平面内运动，求小球B即将离开墙壁时A距离地面的高度； (3)在第（2）问中若去除侧面墙壁（如图丙所示），小球A受到轻微扰动后，仍让其由图示初始位置由静止开始向右倾倒，B始终没有脱离地面。求当轻杆与水平方向的夹角为30°时，小球B的速度大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）以小球A为研究对象，根据受力平衡关系 以AB整体为研究对象，水平方向受力平衡 解得 （2）设球B即将离开墙壁时，杆与水平方向夹角为θ，根据动能定理 B离开墙壁时，杆对小球没有作用力，对A球根据牛顿第二定律 联立解得 A距离地面的高度 （3）当轻杆与水平方向的夹角为30°时，设小球A水平和竖直方向的分速度分别为和，小球B的速度为 因小球A和B水平方向受合外力为零，则水平方向动量守恒 小球A、B组成的系统机械能守恒 小球A和小球B沿轻杆方向分速度相等 联立以上公式可得 10．（2026·天津河西·考前学情自测）如图所示，质量的物块P放在水平轨道上，其右端和墙壁间压缩一水平轻弹簧（不拴接）。由静止释放后，物块P恰能通过半圆轨道的最高点并沿其内侧做圆周运动，与静置在点的物块Q（两物块完全相同）发生完全非弹性碰撞，碰撞后一起滑入水平轨道。点固定一竖直弹性挡板，两物块与挡板仅发生一次碰撞并以原速率反弹，最终停在的中点处。已知半圆轨道的半径，的距离，重力加速度，所有碰撞时间都极短。所有轨道均固定在同一竖直面内，除段外其余轨道均光滑，不计物块通过轨道连接处的能量损失及空气阻力，两物块均视为质点。求： (1)弹簧弹力对物块P所做的功； (2)两物块碰撞后瞬间的速度大小； (3)物块与水平轨道间的动摩擦因数的可能值。 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）点由重力提供向心力，由牛顿第二定律得 对弹簧和物块P整体，根据机械能守恒定律 联立解得 （2）物块从点到点过程满足能量守恒，有 碰撞过程满足动量守恒，有 联立解得 （3）若物块反弹后滑至处停下，根据动能定理 解得 若物块反弹后冲上圆弧轨道，再返回轨道至处停下，根据动能定理 解得 因为碰后两物块回到点时的动能，所以以上均为的可能值。 2 学科网（北京）股份有限公司 $