26.2.2 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质(3) 对称 讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数y=a(x-h)²+k的对称性、顶点式应用及函数值比较等核心知识点，通过知识回顾复习开口方向、对称轴、平移等旧知，新知学习归纳对称性质，结合顶点式解决解析式与交点坐标问题，构建从旧知到新知的递进学习支架。 该资料特色在于注重知识衔接与实际应用，通过归纳对称性规律培养抽象能力，利用喷泉、投篮等实例发展模型意识，提供代入计算、对称点转化等多种函数值比较方法提升推理意识。课中辅助教师引导探究，课后检测含中考真题帮助学生查漏补缺。

26.2.2 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质(3) 【知识回顾】 1.函数y=4x2的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 . 2.抛物线y=-3x2-3的开口向___，对称轴是_____，顶点坐标是______.在对称轴的左侧，y随x的增大而____. 3.抛物线y=2(x-5)2+2的对称轴是_______，顶点坐标是_______，图象有最____点，因此当x______时，y有最____值是_____. 4.抛物线y=3x2向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，下列有关平移后的抛物线说法错误的是( ) A.抛物线开口向上 B.顶点坐标为(-1,2) C.若点(3,y1)和点(-1,y2)都在抛物线上，则y1=y2 D.当x<0时，y随x的增大而减小 【新知学习】 1.二次函数的对称性 从图中可以看出，A点和B点关于对称轴x=h______，这时A点和B点的纵坐标______，即y1_____y2；反正也可以得到，当y1_____y2时，A和B关于对称轴______. 同时也可以看出，A点和B点到对称轴x=h的距离_____，即x2-h=h-x1,所以h=_________，即对称轴是x=_________. 归纳：(1)抛物线上的两点，如果纵坐标相等，那么这两点关于对称轴对称；反之，如果两点关于对称轴对称，则这两点的纵坐标相等. (2)抛物线的对称轴的数值等于抛物线上两对称点的横坐标之和的一半，即x=. 2.已知二次函数y=ax2+c，当x取x1，x2(x1≠x2)时，函数值相等，则当x=x1+x2时，其函数值为______. 解：由二次函数y=ax2+c图象的性质可知，x1，x2关于y轴对称，即x1+x2=0. 当x= x1+x2=0时，y=a02+c=c. 故填：c。 3.已知二次函数的图像以A(-1，4)为顶点，且过点B(2，-5). (1)求该二次函数的解析式； (2)求该二次函数图像与坐标轴的交点坐标. (3)若M(m，y1)，N(m+n，y2)(n>0)是该函数图象上的两点，当y1=y2时，求m，n之间的数量关系. 解：(1)∵二次函数的顶点是A(-1，4) ∴设函数为y=a(x+1)2+4 将B(2，-5)代入得：-5=9a+4 a=-1 ∴y=-(x+1)2+4即y=-x2-2x+3 (2)当x=0时，y=-(0+1)2+4=3， 所以与y轴交点为(0，3). 当y=0时，-(x+1)2+4=0 解得x1=1 x2=-3， 所以与x轴的交点为(1，0)(-3，0). (3)方法一：根据题意，得 y1=-(m+1)2+4，y2=-(m+n+1)2+4， ∵y1=y2， ∴-(m+1)2+4=-(m+n+1)2+4， 即(m+1)2=(m+n+1)2. ∵n>0， ∴m+1=-(m+n+1)， 化简，得2m+n=-2； 方法二：∵y1=y2 ∴点A与B关于y=(x+1)2+4的对称轴x=-1对称 ∴=-1， 化简，得2m+n=-2. 思路：当已知二次函数图象上顶点的坐标和另一点的坐标时，可以用顶点式法求二次函数表达式,其步骤是： ①设函数表达式是y=a(x-h)2+k； ②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程； ③将另一点的坐标代入原方程求出a值； 1 a用数值换掉，写出函数表达式. 变式 下表中y与x的数据满足我们初中学过的某种函数关系.其函数表达式为 .(提示：先确定顶点坐标) x … -1 0 1 3 … y … 0 3 4 0 … 4.(2025威海)已知点(﹣2，y1)，(3，y2)，(7，y3)都在二次函数y=-(x-2)2+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(　　) A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y2>y1>y3 D.y3>y2>y1 解法1：∵(-2，y1) (3，y2) (7，y3)在函数y=-(x-2)2+c的图象上 ∴y1=-(-2-2)2+c=-16+c， y2=-(3-2)2+c=-1+c， y3=-(7-2)2+c=-25+c ∴y2>y1>y3 解法2：∵点(-2，y1)关于对称轴x=2的对称点为(6，y1)， ∵a=-1<0，当x>2，y随x的增大而减小， 0<3<6<7， ∴y2>y1>y3. 解法3：画出函数y=-(x-2)2+c的草图， 因为点(-2，y1)关于对称轴x=2的对称点为(6，y1)，在图象上找到横坐标分别为3，6，7的三个点，比较其纵坐标大小(位置高低)，即可得y2>y1>y3； 解法4：函数y=-(x-2)2+c，a=-1<0，对称轴为x=2， 点(7，y3) (-1，y1) (3，y2)到对称轴的距离逐渐变小， ∴y2>y1>y3； 点评：比较两个二次函数数值大小的方法： (1)把自变量直接代入二次函数解析式求值. (2)当点在对称轴的同侧，根据函数的增减性判断；当点在对称轴的两侧时，通过找关于对称轴的对称点，转化到对称轴的同侧求解； (3)画草图，找出当x取值时，y的值在y轴上的高低来确定，注意当点不在对称轴的同侧时，要找出对称点再比较； (4)利用抛物线上的点到对称轴的距离比较大小： 当开口向上时，点到对称轴的距离越大，相应的函数值越大；当开口向下时，点到对称轴的距离越大，相应的函数值越小. 5.(2023滨州)某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根顶部带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心的水平距离也为3m，那么水管的设计高度应为 　. 解:如图建立直角坐标系，点(1，3)是图中这段抛物线的顶点. 因此可设这段抛物线对应的函数是 y=a(x-1)2+3(0≤x≤3). ∵这段抛物线经过点(3，0)， ∴0=a(3-1)2+3. 解得:a=- 因此抛物线的解析式为:y=-(x-1)2+3(0≤x≤3) 当x=0时，y=2.25. 答:水管高度应为2.25m. 【学习检测】 1.若抛物线y=a(x-1)2+k上有一点A(3，5)，则点A关于对称轴对称点A’的坐标为______. 2.已知点A(m，n)在y=ax2+a(a≠0)的图象上，那么点B(-m，n) _______(填“在”或“不在”)y=ax2+a(a不为0)的图象上. 3.已知二次函数y=-x2-2图象上有两点A(-7，y1)，B(-8，y2)，C(7,y3)则y1，y2，y3的关系是______________. 4.(2023广州)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y=x2-3上，且0＜x1＜x2，则y1　 　y2.(填“＜或>或=”) 5.设𝐴(3， y1)， 𝐵(−2， y2) ， 𝐶(−1，y3)是抛物线𝑦=−3(𝑥−1)2+𝑘上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是____________. 6.(2024广东)若点(0，y1)，(1，y2)，(2，y3)都在二次函数y＝x2的图象上，则(　　) A.y3>y2>y1 B.y2>y1>y3 C.y1>y3>y2 D.y3>y1>y2 7.(2024凉山州)抛物线y(x﹣1)2+c经过(﹣2，y1)，(0，y2)，(，y3)三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是(　　) A.y1>y2>y3 B.y2>y3>y1 C.y3>y1>y2 D.y1>y3>y2 8.(2025温州)已知点A(a，2)，B(b，2)，C(c，7)都在抛物线y=(x-1)2-2上，点A在B的左侧，下列选项正确的是(　　) A.若c＜0，则a＜c＜b B.若c＜0，则a＜b＜c C.若c>0，则a＜c＜b D.若c>0，则a＜b＜c 9.(2024贵州)如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是﹣3，顶点坐标为(﹣1，4)，则下列说法正确的是(　　) A.二次函数图象的对称轴是直线x＝1 B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C.当x＜﹣1时，y随x的增大而减小 D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 第9题图 第10题图 10.(2025山东)在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y(厘米/天)和光照强度x(勒克斯)之间存在一定关系.在低光照强度范围(200≤x≤1000)内，y与x近似成一次函数关系；在中高光照强度范围(x≥1000)内，y与x近似成二次函数关系.其部分图象如图所示.根据图象，下列结论正确的是( ) A.当x≥1000时，y随x的增大而减小 B.当x=2000时，y有最大值 C.当y≥0.6时，x≥1000 D.当y=0.4时，x=600 11.如图，在某次篮球训练中，小张在距篮圈中心的水平距离4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线.当球运行的水平距离为2.5m时达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离是3.05m,则此时抛物线的函数关系式是( ) A.y=-2x2+4 C.y=-0.2x2+3.05 B.y=-0.2x2+3.5 D.y=-0.2x2+2.5 第11题图 第12题图 12.某经济示范区测试一款垂直起降配送无人机.一次试验中，该无人机从地面起飞到降落过程中，飞行高度h(m)与时间t(s)满足二次函数h=at2十bt,其图象如图所示.根据图象，下列说法正确的是( A.该图象的对称轴是直线t=2.5 B.此次飞行无人机飞行的最大高度为9m C.当t=1时，该无人机飞行的高度为6m D.该无人机从地面起飞到降落地面经过的时间是7s 13.(2025连云港)如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y=a(x-3)2+2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则铅球掷出的水平距离OB为　 　 m. 第13题图 第14题图 14.卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线,桥拱在水面的跨度0A约为22m,若按如图所示方式建立平面直角坐标系,则主桥拱所在抛物线可以表示为y=-(x-11)2+13,则主桥拱最高点P与其在水中倒影P'之间的距离为________m. 15.(2025资阳)在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴相交于点C(0，-3)，且抛物线的顶点坐标为(1，﹣4).求抛物线的表达式； 16.(2026沈阳)探究下列问题: (1)写出下列二次函数的顶点坐标. ①y=x2-5的顶点坐标为________; ②y=-4(x-3)2的顶点坐标为__________; 若抛物线的顶点在坐标轴上，则称该抛物线为“数轴函数”，像上面①②的函数均为“数轴函数” (2)继续研究发现,对于y=a(x-h)2+k，因为a≠0,当____=0时，y=a(x-h)2+k的顶点在轴上;当_____=0时，y=a(x-h)2+k的顶点在y轴上.请你写出一个顶点在x轴上的二次函数解析式:_________. (3)与x轴平行的直线与y=-4(x-3)2交于M，N两点(点M在点N的左侧)，若MN≤8，请直接写出M点横坐标xm的取值范围. 参考答案 【知识回顾】 1.向上；Y轴(或x=0)；(0,0) 2.向下；y轴；(0，-3)；增大 3.x=5;(5,2);低；=5；小；2 4.B 【新知学习】 1.对称；相同；=；=；对称 相等；;. 3.变式: 解：从题意可知，对称轴x==1,顶点为(1,4) 设函数表达式为y=a(x-1)2+4, ∴3=a(0-1)2+4,a=-1 ∴y=-(x-1)2+4 【学习检测】 1.(-1，5) 2.在 3.y1=y3>y2 4.< 5.y1=y3>y2 6-12.ADDDB BB 13.8 14.26 15.解：设抛物线的表达式为y=a(x-1)2-4 将x=0,y=-3代入y=a(x-1)2-4中,可得: -3=a(0-1)2-4 解得a=1 ∴y=(x-1)2-4. 16.解:(1)①y=x2-5的顶点坐标为(0,-5), ②y=-4(x-3)2的顶点坐标为(3,0), (2)继续研究发现，对于y=a(x-h)2+k， 因为a≠0,当k=0时，y=a(x-h)2+k的顶点在x轴上;当h=0时，y=a(x-h)2+k的顶点在y轴上.写出一个顶点在x轴上的二次函数解析式:y=(x+1)2(答案不唯一). (3)∵y=-4(x-3)2, ∴抛物线的对称轴为直线x=3， 设与x轴平行的直线与y=-4(x-3)2交点M，N的横坐标分别为m，n，且m<3<n， ∴=3 ∴n=6-m, ∴MN=|m-n|=|m-6+m|=|2m-6| ∵MN≤8,即|2m-6|≤8 ∴6-2m≤8, 解得m≥-1 ∴点M的横坐标-1≤xM<3. 学科网（北京）股份有限公司 $