26.2.2 二次函数y=a(x-h)²+k的图象与性质（讲义）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦二次函数顶点式y=a(x-h)²+k的图象与性质，从定义（a≠0，顶点(h,k)，对称轴x=h）到性质（开口方向、增减性、最值），再到平移规律（左加右减，上加下减）及综合应用，构建从基础到应用的学习支架。 资料通过“随学随练”“活学活用”设计，结合平移抛物线、消防水枪水流轨迹等实例，培养抽象能力、推理意识和模型意识。课中辅助教师分层教学，课后学生可通过题型训练查漏补缺，提升解决问题能力。

第二十六章 二次函数 26.2.2二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质 课标要点 1.理解二次函数顶点式定义：形如y=a(x−h)2+k（a、h、k是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，其中x是自变量； 2.分清各部分名称：a决定开口方向、开口大小；顶点坐标(h， k)，对称轴为直线x=h；重点牢记二次项系数a≠0，h、k可以为0； 3.会识别顶点式：能直接由解析式读出顶点坐标、对称轴；遇到y=a(x+h)2+k先变形为y=a[x−(−h)]2+k再读取顶点； 4.能根据实际问题列顶点式二次函数解析式，注意实际问题中自变量x的取值范围。 学习重难点 重点： 1.牢记二次函数顶点式y=a(x−h)2+k(a≠0)，抓住核心条件a≠0。 2.准确读出抛物线顶点坐标(h，k)、对称轴直线x=h；掌握a、h、k各自作用。 3.辨析顶点式，区分顶点式、y=ax2、一般式y=ax2+bx+c。 难点： 1.忽略a≠0这个前提，当题目含参数时，既要保证解析式为顶点式，同时二次项系数不能等于0。 2.顶点横坐标符号容易出错，y=a(x+m)2+k的顶点横坐标是−m，不是m。 3.增减性以对称轴x=h为分界，容易直接套用y=ax2的对称轴x=0。 4.实际应用求最值，容易忽略自变量取值范围；容易漏掉自变量的实际取值范围。 知识点二次函数y=a(x-h)2+k的图象 一、基本概念(顶点式) 1.解析式：y=a(x-h)²+k,叫做二次函数的顶点式。 2.条件：a、h、k是常数，a≠0。 a≠0是二次函数的前提；若a=0，式子变成一次函数y=k,不再是二次函数。 3.顶点含义：抛物线的顶点坐标为(h，k)；对称轴是直线x=h。 △易错点：看清符号，如y=2(x+3)²-1,改写为y=2[x-(-3)]²+(-1),顶点是(-3，-1),对称轴直线x=-3. 二、图象特征(抛物线) 函数图象是抛物线，形状由a决定。 1.开口方向 ①a>0：抛物线开口向上；②a<0：抛物线开口向下。 2.开口宽窄：由|a|决定。 |a|越大，开口越窄；|a|越小，开口越宽。 只要a相同，抛物线形状、大小完全一样，只是位置不同。 3.对称轴：直线x=h。 4.顶点：(h,k),顶点是抛物线的最高点或者最低点。 随学随练 1．（25-26九年级上·陕西西安·期中）二次函数图象的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数顶点式，直接读出、的值，得到顶点坐标． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴，， ∴图象的顶点坐标为． 2．（25-26九年级下·江苏苏州·开学考试）由二次函数，可知（     ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．其图象与y轴交点的纵坐标为1 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】根据二次函数顶点式的性质，逐项判断即可得到正确结果． 【详解】解：对于二次函数，其中，，， ， 抛物线开口向上，A选项错误； 顶点式的对称轴为直线， 对称轴为直线，B选项错误； 抛物线与轴交点，令代入解析式：， 与轴交点纵坐标为，不是，C选项错误； 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，随的增大而减小，D选项正确 故选：D． 3．（25-26九年级下·全国·课后作业）已知函数，和． (1)在同一个平面直角坐标系中画出这三个函数的图象； (2)分别说出这三个函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)试讨论函数的性质． 【答案】(1) 解：列表： x … 0 1 2 … … … 列表： x … … … … 列表： x … … … … 如图所示为所求： (2) ：开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； ：开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； ：开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为. (3) 函数开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大.函数有最小值，最小值为． 【分析】（1）利用描点法画出函数图象即可； （2）利用顶点式二次函数的特征，可直接得到开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）观察图象即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：对于顶点形式的二次函数，决定开口方向，对称轴为直线，顶点坐标为． 对于，，，，因此开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 对于，，，，因此开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 对于，，，，因此开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． （3）解：函数开口向上，对称轴为直线， 因此当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，当时，有最小值． 4．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知二次函数． (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； (2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (3)若，求y的取值范围． 【答案】(1) 描点，连线 (2)对称轴为直线，顶点坐标为 (3) 【分析】（1）根据列表，描点，连线的步骤画出图象； （2）根据二次函数的图象及性质即可解答； （3）求出当和时的函数值，结合函数图象即可解答． 【详解】（1）解：列表： x … 0 1 2 3 4 … … 2 0 2 … （2）解：该二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为． （3）解：当时，， 当时，， ∴由图象可得时，． 知识点函数增减性与最值 情况1：a>0，开口向上，顶点是最低点 1.增减性： ①当x<h(对称轴左侧)，y随x的增大而减小； ②当x>h(对称轴右侧)，y随x的增大而增大。 2.最值：当x=h时，函数有最小值y=k;函数没有最大值。 情况2：a<0，开口向下，顶点是最高点 1.增减性： ①当x<h(对称轴左侧),y随x的增大而增大； ②当x>h(对称轴右侧),y随x的增大而减小。 2.最值：当x=h时，函数有最大值y=k；函数没有最小值。 口诀：上减右增，下增右减 开口向上：左减右增；开口向下：左增右减。 随学随练 1．（2026·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知抛物线上有三点，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的解析式确定开口方向和对称轴，然后根据离抛物线的对称轴的距离判断函数值大小即可． 【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴为，顶点坐标为， ∵，，， 又，抛物线开口方向向上，离抛物线的对称轴越远的点，对应的函数值越大， ∴． 2．（2026·浙江温州·一模）已知点，，都在抛物线上，当，，时，三者之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：抛物线， 抛物线开口向下，对称轴，顶点坐标为， 当时，， 解得或， 抛物线与轴的两个交点坐标为：，， 当，，时，， ． 3．（2026·吉林长春·模拟预测）已知、是抛物线上的两点．若且，则________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】根据点在抛物线上得到与的表达式，对和作差，结合已知条件和判断差的符号，即可比较和的大小． 【详解】解：∵，是抛物线上的两点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）已知二次函数． (1)用配方法将化为的形式； (2)写出这个二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴； (3)当取何值时，随的增大而减小？ 【答案】(1) (2)开口向上，顶点，对称轴 (3)当时，随增大而减小 【分析】（1）用配方法将二次函数一般式化为顶点式即可； （2）根据的正负，以及顶点式特征，可得开口方向、顶点坐标和对称轴； （3）根据二次函数图象特征，可得当时，随增大而减小． 【详解】（1）； （2），， 图象开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线； （3），，对称轴为直线， 当时，随增大而减小． 【点睛】本题考查了二次函数，掌握相关知识是解题的关键． 知识点抛物线的平移(由y=ax²得到y=a(x-h)²+k) 基础抛物线：y=ax²,顶点(0,0),对称轴x=0(y轴)。 平移原则：形状不变，a不变；左加右减，上加下减 1.左右平移(改变h)：左加右减(只对x进行变化) ①y=ax²向右平移h个单位：y=a(x-h)²(h>0) ②y=ax²向左平移|h|个单位：y=a(x+h)²=a[x-(-h)]² 2.上下平移(改变k)：上加下减(直接在式子末尾加减) ①y=a(x-h)²向上平移k个单位：y=a(x-h)²+k(k>0) ②y=a(x-h)²向下平移|k|个单位：y=a(x-h)²-k 随学随练 1．（25-26八年级下·北京·期末）将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．向左平移3个单位，向上平移5个单位 B．向右平移3个单位，向上平移5个单位 C．向左平移5个单位，向下平移3个单位 D．向右平移5个单位，向上平移3个单位 【答案】A 【详解】解：∵的顶点坐标为，的顶点坐标为， ∴顶点从平移到，需要先向左平移3个单位，再向上平移5个单位． 2．（25-26八年级下·云南昆明·期末）将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“左加右减自变量，上加下减常数项”的规律求解即可． 【详解】解：先向左平移2个单位，可得解析式为， 再向下平移3个单位，可得解析式为． 3．（25-26九年级上·上海宝山·期末）新定义：若抛物线与x轴正半轴有两个交点，且其中一个交点与抛物线在y轴上的交点的连线与x轴夹角为，则称该抛物线为“半垂抛物线”，称抛物线在x轴上的这个交点为“半垂点”，称抛物线在坐标轴上的三个交点形成的三角形为抛物线的“半垂三角形”． 已知抛物线是“半垂抛物线”，且为该抛物线的“半垂三角形”，点，点，点C为“半垂点”．将抛物线先向左平移4个单位，再向下平移3个单位后，得到新抛物线的对称轴是直线______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义、待定系数法求抛物线解析式、二次函数的平移，理解新定义是解题的关键． 先根据“半垂点”的定义确定点坐标，进而求出抛物线的解析式，再根据平移的性质即可求出新抛物线的对称轴． 【详解】解：∵为该抛物线的“半垂三角形”，点，点C为“半垂点”， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∵点C在x轴正半轴上， ∴点， 设抛物线的解析式为， 则， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵将抛物线先向左平移4个单位，再向下平移3个单位， ∴新抛物线的解析式为， ∴新抛物线的对称轴是直线． 故答案为：． 拓展二次函数y=a（x-h）²+k中最值问题 核心知识点回顾： y=a(x-h)2+k，顶点坐标(h，k)，对称轴直线x=h。 这三道题的抛物线都是y=a(x-m)2-m，所以顶点固定为(m，-m)，顶点横、纵坐标满足关系式：y=-x，也就是顶点永远在直线y=-x上运动！ 关键模型：动抛物线，顶点在定直线上移动，a不变，抛物线形状不变，只平移位置。 题型 核心操作 关键点 顶点在图形内部 1.写出顶点(h,k) 2.找到顶点运动轨迹直线 3.求轨迹直线和多边形边界交点 参数就是顶点横坐标h，求交点横坐标就是参数范围 定抛物线，区间最值差 1.顶点式读开口、顶点、对称轴 2.确定区间内最大值 3.用差值反求最小值，解方程找x 要判断顶点是否落在自变量区间内 动抛物线与多边形有交点 1.顶点(h,k)，轨迹直线 2.抛物线整体平移，形状不变 3.抛物线刚好与正方形边相切/过顶点，代入求临界参数 相切：联立方程Δ=0；过顶点：直接把正方形顶点代入抛物线 活学活用 1．（25-26九年级上·北京西城·期中）如图，菱形中，，抛物线的顶点在菱形的边上或内部，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数点的坐标特征、二次函数与一次函数交点问题等内容，数形结合是解题的关键．由题易得顶点在直线上运动，画出图形，求出和直线的交点横坐标，再根据图形即可得解． 【详解】解：抛物线的顶点为， 抛物线的顶点在直线上运动， 如下图所示， 设直线的解析式是， 把点、的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线解析式为， 令， 解得：， 由图象可知，当时，抛物线的顶点在菱形的边上或内部． 故选： C． 2．（24-25九年级上·浙江温州·期末）已知二次函数．当时，函数的最大值与最小值的差为12，则n的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 先求出二次函数的对称轴，得到函数的增减性，再分为，和三种情况，然后分别求出对应的最大值与最小值，结合题意列出方程求解判断． 【详解】∵开口向下，顶点为，对称轴为y轴，最大值为9， ∴在对称轴左侧，y的值随着x的值增大而增大；在对称轴右侧，y的值随着x的值增大而减小； ①当时，当时，y随的x增大而增大， 那么时取得最小值，时取得最大值， 最小值为，最大值为， 已知最大值与最小值的差为12， 则可列出方程- ， 解得， 但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去； ②当时， 此时 时取得最大值，时取得最小值， 最大值为9，最小值为， 此时最大值与最小值的差为12， 符合题意； ③当时， 此时时取得最大值，时取得最小值， 最大值为9，最小值为， 已知最大值与最小值的差为12， 则可列出方程， 解得， 但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去． ∴综上，得到n的取值范围为：． 故选：B． 3．（25-26九年级下·河北沧州·阶段检测）定义：我们将图象的顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数的图象与正方形有交点时，m的最大值和最小值分别是（    ） A．4， B．， C．4，0 D．， 【答案】D 【分析】由题意可得，互异二次函数的顶点为在直线上运动，结合正方形的性质可得，从图象可以看出，当函数图象从左上向右下运动时，若抛物线与正方形有交点，先经过点，再逐渐经过点，点，点，最后在经过点，且在运动的过程中，两次经过点，两次经过点、点和点，故只需要算出当函数经过点以及点时的值，即可求出的最大值及最小值． 【详解】解：如图：由题意可得，互异二次函数的顶点为在直线上运动， ∵在正方形中，点，点， ∴， 从图象可以看出，当函数图象从左上向右下运动时，若抛物线与正方形有交点，先经过点，再逐渐经过点，点，点，最后在经过点，且在运动的过程中，两次经过点，两次经过点、点和点， ∴只需要算出当函数经过点以及点时的值，即可求出的最大值及最小值， 当互异二次函数经过点时，， 解得或， 当互异二次函数经过点时，， 解得：或， ∴互异二次函数的图象与正方形有交点时，m的最大值和最小值分别是，． 题型一 正确找出二次函数顶点坐标 解题贴士 一般式 两种方法： 方法A：公式法(直接套) 对称轴 把这个x代入原式算对应的y,得到顶点纵坐标。 顶点： 注意： 不建议死记，大多数题目，算出工，再代回函数求y更不容易算错。 ▌例1（25-26九年级上·江苏宿迁·开学考试）抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：抛物线为， 顶点坐标是． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·北京·期末）二次函数的顶点的横坐标为（     ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【详解】解：二次函数的顶点坐标为，即横坐标为． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·北京·期末）抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二次函数顶点式的顶点坐标为． 【详解】解：抛物线顶点坐标为． 题型二 二次函数y=a（x-h）²+k图象与性质综合 ▌例2（25-26八年级下·浙江金华·期末）关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大 【答案】C 【分析】根据顶点式的性质，判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性即可得到答案． 【详解】解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故B错误，C正确； ∵， ∴抛物线开口向下，故A错误， ∴当时，随的增大而减小，故D错误． ▌对点练2-1．（2026·西藏拉萨·模拟预测）对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】根据顶点式的特点，分别判断开口方向、顶点坐标、对称轴和增减性即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴， ∴抛物线开口向上，故错误； 顶点坐标为，故正确； 对称轴为直线，故错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故错误． ▌对点练2-2．（2026·广东广州·二模）对于抛物线，下列说法正确的是（     ）． A．图象与轴无交点 B．当时，随的增大而增大 C．当时，有最小值 D．图象的顶点坐标为 【答案】C 【分析】根据二次函数的顶点式的性质，逐项分析，即可求解． 【详解】解：对于抛物线，顶点坐标为，对称轴为直线； ∵， ∴抛物线的开口向上， 对A选项：令，则，即抛物线与轴交点为，故A选项说法错误，不符合题意； 对B选项：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，故B选项说法错误，不符合题意； 对C选项：当时，有最小值；故C选项说法正确，符合题意； 对D选项：抛物线的顶点坐标为，故D选项说法错误，不符合题意． 题型三 利用y=a（x-h）²+k的增减性判断函数值大小 解题贴士 抛物线对称轴：，顶点(h，k) 1.当(开口向上) 在对称轴左侧：x<h，y随c增大而减小 在对称轴右侧：x>h，y随x增大而增大 离对称轴越远，函数值y越大 2.当(开口向下) 在对称轴左侧：x<h，y随c增大而增大 在对称轴右侧：x>h，y随x增大而减小 离对称轴越远，函数值y越小 ▌例3（26-27九年级上·全国·单元复习）抛物线过三点，则大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在二次函数中， 对称轴为直线，开口向上， 在图象上的三点， ∵， ∴点离对称轴的距离最远，点离对称轴的距离最近， ∴． ▌对点练3-1．（2026·吉林·模拟预测）若点、是函数上的两点，若且，则________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据已知条件判断点A和点B到对称轴的距离大小，根据二次函数的性质比较和的大小． 【详解】解：对于二次函数， ， 抛物线开口向上，对称轴为轴（即直线），开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，点到轴的距离为横坐标的绝对值，因此比较与的大小， ，， ， 当时，，可得，即； 当时，，可得，即， 综上可得，即点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，又抛物线开口向上，故． ▌对点练3-2．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知二次函数，当自变量分别取、、时，对应的函数值分别为、、，则、、的大小关系是_________________用“”连接 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由于二次函数开口向上，函数值的大小取决于自变量与对称轴的距离，距离越远函数值越大，然后问题可求解． 【详解】解：由二次函数（）可知：对称轴为直线，开口向上， ∵当自变量分别取、、时，对应的函数值分别为、、， ∴计算各自变量与对称轴的距离的平方：当时，；当时，；当时，， ∴由，根据到对称轴距离的平方越大函数值越大，因此； 故答案为． 题型四 y=a（x-h）²+k中作图题 ▌例4（25-26九年级上·河北·阶段检测）已知二次函数 … … … … (1)在所给网格中建立平面直角坐标系并直接画出此函数的图象．（标准图） (2)根据函数图象写出顶点坐标、对称轴，并写出图象的开口方向和增减性； 【答案】(1) 解：填表如下， … 0 1 … … 0 2 0 … (2)解：顶点坐标，对称轴是直线，开口向下，当时，随增大而增大，当时，随增大而减小． 【详解】（1）略； （2）略． ▌对点练4-1．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知二次函数． (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； (2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (3)若，求y的取值范围． 【答案】(1) 描点，连线 (2)对称轴为直线，顶点坐标为 (3) 【分析】（1）根据列表，描点，连线的步骤画出图象； （2）根据二次函数的图象及性质即可解答； （3）求出当和时的函数值，结合函数图象即可解答． 【详解】（1）解：列表： x … 0 1 2 3 4 … … 2 0 2 … （2）解：该二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为． （3）解：当时，， 当时，， ∴由图象可得时，． ▌对点练4-2．（25-26九年级下·河南安阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标． (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象． (3)若抛物线在点A和点B之间（含点A，B）的部分与抛物线只有一个交点，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)或 【分析】（1）把点A的坐标代入解析式，确定a值即可得到解析式，配方即可得到顶点坐标； （2）按照列表、描点、连线三个步骤画图即可； （3）利用数形结合思想，分类思想求解即可． 【详解】（1）解：将点代入中， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点坐标为； （2）解：列表如下： … 0 1 2 3 4 … … 5 0 0 5 … 画出函数的图象如图所示； （3）解：当时，， ∴点B的坐标为， ∵ ，， ∴该抛物线的对称轴为直线，开口向下，与y轴的交点的坐标为，且可看成由抛物线沿对称轴（直线）上下平移得到． 当抛物线的顶点坐标为时，符合题意，即，解得， 当抛物线经过点时，如图所示，此时有两个交点， 将代入，得， 解得， 当抛物线经过点时，如图所示，此时有一个交点， 将代入，得， 解得， 当时，如图，此时有一个交点． 综上所述，m的取值范围为或． 题型五 y=a（x-h）²+k中的平移 解题贴士 一、平移口诀(顶点变化) 左右平移改变h;上下平移改变k 左加右减(针对x,括号内部);上加下减(针对常数k,括号外部) 1.左右平移(水平) 向左平移m个单位：h→h+m，y=a[x-(h+m)]²+k 记忆：左移，括号里面x加上m 向右平移m个单位：h→h-m，y=a[x-(h-m)]²+k 2.上下平移(竖直) 向上平移n个单位：k→k+n，y=a(x-h)²+(k+n) 向下平移n个单位：k→k-n，y=a(x-h)²+(k-n) ▌例5（2026·内蒙古通辽·模拟预测）将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度所得图象的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移规律即可求解． 【详解】解：∵原函数为，向右平移2个单位长度，需将自变量替换为，得； 再向上平移5个单位长度，需在整体上加5， ∴最终所得图象的函数表达式为． ▌对点练5-1．（2026·甘肃嘉峪关·二模）将抛物线向左平移一个单位，再向上平移两个单位，得到的新抛物线的解析式为_______________． 【答案】 【分析】原抛物线已经是顶点式，直接根据二次函数平移的“左加右减，上加下减”规律计算即可． 【详解】解：根据抛物线平移规律：左加右减自变量，上加下减常数项． ∵原抛物线解析式为， ∴向左平移1个单位，对自变量加1，得， 再向上平移2个单位，对整体加2，得， ∴最后得到的新抛物线解析式为：． ▌对点练5-2．（25-26九年级上·四川泸州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移后得到抛物线，则抛物线的表达式为________． 【答案】 【分析】本题考查的是抛物线的平移的性质，熟记抛物线的平移的性质是解本题的关键． 由平移的性质可得二次项的系数为，再结合平移后的抛物线的顶点坐标可得答案． 【详解】解：∵抛物线经过平移后得到抛物线，而的顶点坐标为：， ∴，即； 故答案为：． 题型六 待定系数法求解析式 解题贴士 顶点式 适用条件：已知顶点(h，k)，再加另外任意1个点。 顶点信息给法：直接给顶点；给对称轴+一个点；给最大/最小值。步骤： 1.设直接用顶点数值代入，只剩a未知 2.将另外一个点代入，解出a 3.(题目要求一般式时，展开整理) ▌例6（26-27九年级上·全国·单元复习）已知二次函数y与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 … y … 5 a 0 … (1)_____________； (2)求该二次函数的表达式； (3)y随x的增大而减小时，x的取值范围是_____________． 【答案】(1)0 (2) (3) 【分析】（1）根据表中数据，利用二次函数的对称性质即可求解； （2）利用待定系数法即可求解； （3）将二次函数解析式的顶点式，结合二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由表格可知，当时，；当时，． 对于二次函数，两点纵坐标相同，则这两点关于对称轴对称， 所以抛物线的对称轴为直线． 因为点和关于直线对称， 所以； （2）解：设二次函数的表达式为， 把代入得， 解得， ∴二次函数的表达式为， 即． （3）解：由（2）知，， 其二次项系数，函数图象开口向上，对称轴直线． 根据二次函数的性质，在对称轴左侧，函数值随自变量的增大而减小， 所以当随的增大而减小时，的取值范围是． ▌对点练6-1．（25-26九年级上·广东汕头·阶段检测）已知二次函数的图像的顶点为，且过点，求该二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，设二次函数的解析式为，根据二次函数的顶点为，得到，再把点代入求出，问题得解． 【详解】解：设二次函数的解析式为， ∵二次函数的顶点为， ∴， ∵二次函数过点， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为． ▌对点练6-2．（25-26七年级上·浙江丽水·阶段检测）已知抛物线顶点为，且经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)判断点是否在函数图像上． 【答案】(1) (2)不在 【分析】（1）设该拋物线的解析式为，把点A代入，根据待定系数法即可求得； （2）把代入解析式，算一下y的值是否为，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像顶点为， ∴设该拋物线的解析式为， 将点代入中，得， 该抛物线的解析式为， 即； （2）当时， ， 点不在此函数图像上． 【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质等知识，能熟练地运用待定系数法求二次函数的解析式是解此题的关键． 题型七 y=a（x-h）²+k中的实际应用 ▌例7（2026·陕西西安·模拟预测）某商业大楼外墙的广告牌因电路老化燃起大火．接警后，消防员迅速抵达现场，将消防车停在大楼正前方空旷地带，操控车载水枪灭火，水流在空中形成抛物线．如图所示，已知火情发生在大楼外墙的点处，点距地面10.5米高，与消防车水枪出水口的水平距离为12米，水枪出水口距地面3米高．以水枪出水口为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴，建立平面直角坐标系． (1)经观测，水枪喷出的水流在离出水口水平距离8米处达到最大高度，此时水流恰好精准喷射到处．求水流所在抛物线的函数表达式； (2)若距地面高度为12米的五楼窗台内又发现着火点，点距外墙的水平距离为1米．原水流轨迹无法覆盖，且场地限制，消防车无法进一步靠近，只能通过向上平移水枪喷头来调整水流位置，且新水流的抛物线与原抛物线形状相同．为确保水流能精准喷射到点处，喷头应向上平移多少米？ 【答案】(1) (2)喷头向上平移米，则可精准喷射到处 【分析】（1）由题意得抛物线的顶点横坐标为8，点，设该水流所在抛物线表达式为，再利用待定系数法求解，即可解题； （2）根据题意推出点坐标，设向上平移后的抛物线表达式为，将点坐标代入表达式求解，即可解题． 熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点横坐标为8，点， 则设该水流所在抛物线表达式为， 将原点和分别代入， 得， 解得， 该抛物线表达式为； （2）解：（米）， 点坐标为， 设向上平移后的抛物线表达式为， 将代入得：， 解得， 则喷头向上平移米，则可精准喷射到处． ▌对点练7-1．（25-26九年级上·内蒙古兴安·期末）某化工材料经销公司购进了一种化工原料7000千克，购进价格为 30元/千克，物价部门规定销售价格不得高于70 元/千克，也不得低于30元/千克，市场调查发现，单价定为70元时，日均出售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克，在销售过程中，每天还要支出其它费用500元(天数不足一天时，按整天计算)．设销售单价为x元，日均获利y元． (1)求y关于x的二次函数解析式，并注明x的取值范围 (2)将（1）中的二次函数配方成的形式，写出顶点坐标；在上图的直角坐标系中画出草图；观察图象并指出∶单价定为多少时日均获利最多？是多少？ (3)若将这种化工原料全部售出，试比较日均获利最多与单价最高两种销售方式，哪种获总利较多？多多少？ 【答案】(1) (2)， 二次函数的图象如图所示： 定价为65元时，日均获利最多，是1950元 (3)销售单价最高时获总利较多，且多获利26500元 【分析】本题考查了二次函数的销售盈利问题，求二次函数的解析式，化为顶点式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，根据利润等于单件利润乘上数量再减去其他支出，进行列式化简，即可作答． （2）根据题意，化为一般式，再结合二次函数的图象性质进行分析，即可作答． （3）由（2）得当日均获利最多时，单价为65元，则日均销售千克，因为某化工材料经销公司购进了一种化工原料7000千克，则总获利元，再算出此时将这种化工原料全部售完需要117天，那么总获利为（元），因为，则（元），即可作答． 【详解】（1）解：∵购进价格为 30元/千克，单价定为70元时，日均出售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克，在销售过程中，每天还要支出其它费用500元(天数不足一天时，按整天计算)． ∴， ∵物价部门规定销售价格不得高于70 元/千克，也不得低于30元/千克， ∴， 即． （2）解：由（1）得 则， ∴顶点坐标为，开口向下， ∴定价为65元时，日均获利最多，是1950元． （3）解：由（2）得当日均获利最多时，单价为65元， 则日均销售（千克） ∵某化工材料经销公司购进了一种化工原料7000千克， 则总获利（元）， 当销售单价最高时，单价为70元，日均销售60千克， ∴此时， ∴将这种化工原料全部售完需要117天， 那么总获利为（元）， ∵， 则（元）， ∴销售单价最高时获总利较多，且多获利元． ▌对点练7-2．（2025·河南濮阳·一模）足球训练中，球员从球门正前方9米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数解析式， (2)已知守门员站在距离球门1米处，且正面对着球，守门员防守高度为米，通过计算判断球是否会被守门员扑到（忽略守门员的反应时间和其他因素） (3)已知为上一点，米，米，现规定在球门上方点到点之间的区域（含点和点）为“死角区”，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当球员带球向正后方移动1米再射门时，通过计算判断球是否能射进“死角区”． 【答案】(1) (2)球会被守门员扑到 (3)球不能射进“死角区” 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握用待定系数法求函数解析式，二次函数图象平移规律． （1）用待定系数法即可求解； （2）当时，，根据，即可得出结论； （3）根据抛物线的平移规律，求得设抛物线为，再当时，，比较大小，即可得出结论. 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线为， 把代入，得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：当时，， ∵， ∴球会被守门员扑到． （3）解：∵射门路线的形状、最大高度均保持不变，当球员带球向正后方移动1米再射门时， ∴抛物线的顶点坐标为，即， ∴则抛物线为， 当时，， ∵， ∴球不能射进“死角区”． 题型八 y=a（x-h）²+k解答题综合 ▌例8（25-26九年级上·云南昆明·期末）在平面直角坐标系中，点在抛物线上． (1)求抛物线E的对称轴； (2)若抛物线E经过点，将抛物线E向右平移个单位长度后得到抛物线F．当时，抛物线F上对应最高点与最低点的高度差为4，求m的值． 【答案】(1)对称轴为直线 (2) 【分析】此题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先求出抛物线与y轴的交点坐标为，然后根据二次函数对称性求解即可； （2）首先求出，然后由平移规律求出抛物线F的表达式为，然后分三种情况讨论，根据题意分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 ∴当时， ∴抛物线与y轴的交点坐标为 ∵点在抛物线上 ∴点和点关于对称轴对称 ∴对称轴为直线； （2）解：将和代入得， 解得 ∴抛物线 ∵将抛物线E向右平移个单位长度后得到抛物线F ∴抛物线F的表达式为 ∴抛物线F的对称轴为直线，开口向上 ∵ ①当时，即， ∵ ∴ 当时，y取得最小值2 当时，y取得最大值 ∵抛物线F上对应最高点与最低点的高度差为4， ∴ 解得（舍去）或（舍去）； ②当时，即， 当时，y取得最小值2 当时，y取得最大值 ∵抛物线F上对应最高点与最低点的高度差为4， ∴ 解得（舍去）或； ③当时，即， 当时，y取得最小值 当时，y取得最大值 ∵抛物线F上对应最高点与最低点的高度差为4， ∴ 解得（舍去）； 综上所述，． ▌对点练8-1．（25-26九年级上·天津西青·期末）已知抛物线（a，b，c为常数，且）与轴的一个交点坐标是，顶点坐标是． (1)求该抛物线解析式中，，的值； (2)直接写出当时，函数值的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）根据顶点坐标是设出抛物线的解析式为：，然后代入求出a的值即可得出函数解析式，然后变为一般式即可得出b、c的值； （2）根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴设抛物线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∴； （2）解：由（1）可得，抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，y随x的增大而增大， 把代入得：， 把代入得：， ∴当时，． 题型九 y=a（x-h）²+k解答题压轴 ▌例9（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）关于的二次函数． (1)若，二次函数图像的顶点坐标为_____； (2)求出二次函数图像的顶点坐标（用含的式子表示），判断顶点是否在直线上； (3)在时二次函数的最大值与最小值的差等于15，求的值． 【答案】(1)； (2)，顶点在直线上； (3)或． 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图像上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键． （1）把二次函数化为顶点式即可； （2）把二次函数化为顶点式，再把顶点坐标代入直线即可； （3）根据自变量的取值范围与对称轴的关系，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：当时，， 顶点坐标为． 故答案为：． （2）解：， 顶点坐标为， 当时，， 顶点在直线上． （3）解：， 对称轴为直线且开口向上， 当时， ， ， ． 解得； 当时， ， ， ， 解得， ， 这两个解都舍去； 当时， ， ， ， 解得． ， 这两个解都舍去； 当时， ， ， ， 解得． 综上， 或． ▌对点练9-1．定义为函数的“特征数”．如：函数的“特征数”是，函数的“特征数”是，函数的“特征数”是． (1)将“特征数”是的函数图象向下平移个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是 ； (2)在（1）中，平移前后的两个函数分别与轴交于、两点，与直线分别交于、两点，在给出的平面直角坐标系中画出图形，判断以、、、四点为顶点的四边形形状，并说明理由； (3)若（2）中的四边形与“特征数”是的函数图象有交点，试求出实数 的取值范围． 【答案】(1) (2) 函数为与轴交点为， 函数为与轴交点为， ∴， 令时，则，， 如图： ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． (3) 【分析】本题考查二次函数的综合、新定义，函数的平移，理解定义，能将定义与所学函数知识结合是解题的关键． （1）由已知可知函数为，平移后函数为； （2）先求出函数与轴交点求出，，令，求出，，则，又由，可判断四边形是菱形； （3）由已知可得，则函数与边无交点，只能与边有交点，将A 、D两点坐标代入函数，求出值，结合图象即可得出实数 的取值范围． 【详解】（1）解：解：∵函数的特征数是 ， ∴函数为， 将函数向下平移 个单位得到， 故答案为：． （2）解：略． （3）解：∵函数的“特征数”是 ∴， 如图： 当时， ∴函数与边无交点， 若四边形与函数图象有交点，则函数与边有交点， 将代入函数得：，解得：， 将代入函数得：，解得：，， ∴由图象可知：实数 的取值范围为：． ▌对点练9-2．（25-26九年级上·云南昭通·期中）已知抛物线与x轴的左右交点分别为点A、点B，与y轴交点为点C，若将此抛物线向下平移4个单位长度后，其顶点坐标为． (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)设点P在该抛物线的对称轴上运动，是否存在点P，使的周长最小？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)设点M在该抛物线的对称轴上运动，当是直角三角形时，求出所有满足条件的点M的坐标． 【答案】(1)顶点坐标为 (2) 解：不存在，理由如下： 由（1）可知抛物线的顶点坐标为 ，解得 ∴该抛物线的解析式为． ∵抛物线与轴的左右交点分别为点、点 令，解得或 ， ． ∵点在抛物线的对称轴上， ∴设点的坐标为． 又∵点关于对称轴对称， ． 的周长为， 又， 的周长为， ∴当时，的周长最小，此时点的坐标为， 又∵点在轴上，不能构成三角形， ∴不存在点，使的周长最小． (3)点的坐标为或或或 【分析】本题主要考查了平移的性质、二次函数的综合题、勾股定理、轴对称的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据平移的定义即可解答； （2）由（1）可知抛物线的顶点坐标为，据此列方程组可得，即该抛物线的解析式为；再求得即．易得当时，的周长最小，此时点的坐标为，但此时不能构成三角形，据此即可解答； （3）如图，设的坐标为，易得，、，然后分、、三种情况，分别利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线向下平移4个单位长度后，其顶点坐标为， ∴抛物线的顶点坐标为． （2）略 （3）解：如图，设的坐标为， 由勾股定理得，，，， 此时分三种情况考虑： ①当时，有，即，解得：， ∴点的坐标为； ②当时，有，即，解得：， ∴点的坐标为或； ③当时，有，即，解得：， ∴点的坐标为； 综上所述，当是直角三角形时，点的坐标为或或或． 基础通关 1．（25-26九年级下·辽宁大连·期末）函数是二次函数，则它的图象（     ） A．开口向上，对称轴为轴 B．开口向下，顶点在轴上方 C．开口向上，与轴无交点 D．开口向下，与轴无交点 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义求出的值，再根据二次函数的图象与性质分析即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得， ∴这个二次函数的解析式为， ∴这个二次函数的对称轴为轴；顶点坐标为，顶点在轴下方， 又∵， ∴抛物线的开口向下，这个二次函数的图象与轴无交点， 综上，这个二次函数的图象开口向下，对称轴为轴，顶点在轴下方与轴无交点；只有选项D符合． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据解析式可得函数图象的开口方向向下和对称轴，则可得到离对称轴越远，函数值越小，求出三个点到对称轴的距离，比较即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴． 3．（2026·广东深圳·三模）当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线．如果抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线，则的值为（     ） A．3 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质与图象的轴对称变换，得出两条关于轴对称的抛物线开口大小方向一致，顶点关于轴对称，先求出的顶点坐标，再得到对称顶点，对应得到和的值，即可计算出结果 【详解】解：抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线， 二者开口大小方向一致，顶点坐标关于轴对称， 对配方得 ， 的顶点坐标为， 点关于轴对称的点的坐标为，即的顶点坐标为， 又的顶点式为，其顶点坐标为， ，， 4．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，已知二次函数，当时，则函数y的最小值和最大值（   ） A．和14 B．和14 C．和 D．和2 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，结合图象得函数的最值是解题的关键．先求出二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数开口向上确定其增减性，并结合图象解答即可． 【详解】解：∵二次函数，对称轴为：直线， 又∵， ∴时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小， 由图象可知：在内，时，y有最大值，， 时，y有最小值，， 故选：B． 5．（25-26九年级上·云南曲靖·期末）如图是抛物线的图象，顶点坐标为，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的对称轴是直线 B．抛物线与轴的交点坐标为 C．当时，随的增大而减小 D．当时，函数的最大值为4 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式．利用二次函数的性质，对称性，增减性判断选项A、B、C，利用二次函数的最值及开口方向，即可判定选项D． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的对称轴是直线，故选项A错误； 设二次函数的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为，故选项B错误； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大，故选项C错误； ∵二次函数的顶点坐标为，开口向下， ∴当时，二次函数取得最大值，最大值是4， 即当时，函数的最大值为4，故选项D正确， 故选：D． 6．（2026·浙江台州·模拟预测）已知二次函数经过点，若，则下列说法正确的为（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】根据解析式可得对称轴，当时，函数图象开口向上，离对称轴越远，函数值越大，当时，函数图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小，据此根据讨论求解即可． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，则函数图象开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵二次函数经过点，， ∴， ∴， ∴， 解得； 当时，则函数图象开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵二次函数经过点，， ∴， ∴， ∴， 解得． 7．（25-26八年级下·北京·期末）在二次函数中，当时，y随x的增大而增大，则实数m的值可以是______．（写出一个满足条件的m值） 【答案】 【分析】根据二次函数的性质，确定对称轴位置得到的取值范围，任取一个范围内的值即可． 【详解】解：二次函数中，二次项系数为，因此抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴右侧，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴， ∴的值可以是（答案不唯一，满足即可）． 8．（24-25九年级上·吉林松原·期末）如图是抛物线的部分图象，若，则自变量的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解是关键．观察图象可知：抛物线开口向上，对称轴为直线， 抛物线与轴一个交点为，从而可判断时对应自变量取值范围． 【详解】解：观察图象可知：抛物线开口向上，对称轴为直线， 抛物线与轴一个交点为， 抛物线与轴另一个交点为， 当时，自变量的范围是． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·甘肃庆阳·期末）将抛物线绕顶点顺时针旋转，所得抛物线的解析式为________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的旋转问题． 抛物线绕顶点旋转后，顶点坐标不变，开口方向相反． 【详解】解：原抛物线的顶点坐标为，二次项系数． 绕顶点旋转后，顶点坐标不变，开口方向相反， 故二次项系数为，顶点坐标为， 所得抛物线解析式为． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·广东梅州·阶段检测）已知二次函数，当时，的取值范围为________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数开口向上，顶点在区间内，最小值在顶点处，最大值在端点处． 【详解】解：二次函数，，开口向上，对称轴为． 当时，； 当时，； 当时，． 故的取值范围为． 故答案为：． 11．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）若二次函数图象上总存在一点，使得，就称为该抛物线的“开口大小”，则抛物线的“开口大小”为_____． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，理解抛物线的“开口大小”是解题关键．根据抛物线的“开口大小”定义，存在点 满足，且点在抛物线上，代入顶点式可得，结合条件得，因，故，即，因此开口大小为，对于给定抛物线，直接识别系数即可计算． 【详解】解：由定义，存在点 使得，且， ， 代入条件得， ， 两边除以，得，即， 开口大小， 抛物线 的二次项系数， ， 开口大小为 ， 故答案为： 4． 12．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知二次函数图象的顶点为，且点在图象上，求此二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，解题的关键是掌握顶点解析式． 根据顶点坐标设抛物线的解析式为，然后利用待定系数法求函数解析式即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为．把代入，得， 解得． ． 即这个二次函数的解析式为． 13．（25-26九年级上·浙江金华·期末）将抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线． (1)求a，h，k的值； (2)指出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)说明此二次函数的增减性和最大（小）值． 【答案】(1)； (2)开口方向向下，对称轴为，顶点坐标为； (3)当时，y随x的增长而增大，当时，y随x的增长而减小，当时，y的最大值是． 【分析】本题主要考查了二次函数的平移、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的平移规律：左加右减、上加下减是解题的关键． （1）由平移的规律可得函数平移后的解析式为，从而即可得到，，，进行计算即可； （2）根据二次函数的性质即可得到答案； （3）根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线， ∴抛物线平移后的解析式为， ∴，，， ∴； （2）解：由（1）知，抛物线为抛物线， ∴抛物线的开口方向向下，对称轴为，顶点坐标为； （3）解：∵， ∴当时，y随x的增长而增大，当时，y随x的增长而减小，当时，y的最大值是． 14．（25-26八年级上·上海·期末）已知抛物线经过点，顶点为点P，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式以及顶点P的坐标； (2)将抛物线向上平移m（）个单位后，点A的对应点为点M，若此时，求m的值． 【答案】(1)；顶点 (2) 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数图形平移，熟练掌握函数性质是解决问题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）由题意可得，由此可求得直线的解析式为，由，可设直线解析式为，进而求得其解析式为，由，代入直线的表达式求得，即可求得的值； 【详解】（1）解：∵抛物线经过，代入得， 解得， ∴抛物线解析式为， ∴顶点； （2）解：令，则，即， ∵直线经过点， 设其解析式为， 则，解得， ∴直线， ∵，且直线经过点， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线， ∵点是点向上平移个单位所得， ∴，代入直线的表达式，得， ∴． 素养提升 1．（25-26九年级上·河南信阳·期中）已知二次函数 （m为常数）在自变量x满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为6，则m的值为 （    ） A．0或 B．0或6 C．2或 D．2或6 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质（顶点式、x的范围内的最值），解题的关键是根据对称轴与自变量x的范围的位置关系分情况讨论． 由二次函数开口向上，对称轴为，顶点纵坐标为2（最小值），但题目中最小值为6，故对称轴不在这个范围内；分（时取最小值）和（时取最小值）两种情况，代入函数求并验证． 【详解】解：二次函数开口向上，对称轴为，顶点纵坐标为2． ∵时，的最小值为， ∴不在这个范围内． ①当时，时取最小值，代入得， 即， 解得或（舍去）． ②当时，时取最小值，代入得， 即， 解得（舍去）或． 综上，或6， 故选：B． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数，当时，函数值为；当时，函数值为，若，则下列表达式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性，难点在于根据二次项系数的正负情况分情况讨论．分和两种情况根据二次函数的对称性确定出与的大小关系，然后对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：①时，二次函数图象开口向上， ∵， ， ∴ 无法确定的正负情况， ∵ ∴， ②时，二次函数图象开口向下， ∵， ， ∴ 无法确定的正负情况， ∵ ∴， 综上所述，表达式正确的是， 故选：C． 3．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过正方形的三个顶点A、B、C，则a的值是多少？（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质，正方形的性质．可得，即，根据正方形的性质以及二次函数的对称性可得，再代入函数解析式求解． 【详解】解：连接，交于点 当， ∴，即， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 将代入，则 解得， 故选：B． 4．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与的一个交点为A.已知点A的横坐标为1，过点A作x轴的平行线，分别交这两条抛物线于点B、C（点B在点A左侧，点C在点A右侧），则的值为（   ） A．9 B． C．10 D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线的对称性．由两抛物线的解析式确定出两抛物线的对称轴，利用对称性确定出点B与C的横坐标，进而求出的长． 【详解】解：抛物线与的对称轴分别为直线与直线， ∵点A的横坐标为1， ∴点C的横坐标为5，点B的横坐标为， ∴， 故选：C． 5．（25-26八年级上·安徽淮南·阶段检测）二次函数（是常数，且）的图象经过点，一次函数的图象经过点，当时，有四个命题：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．其中正确的命题个数为（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合，熟练掌握函数图象法是解题关键．先求出二次函数的对称轴为直线，两个函数的交点坐标，再画出两个函数的大致图象，然后结合函数图象逐个分析即可得． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 联立，解得或， 即二次函数与一次函数的两个交点坐标为和， 当时，画出两个函数的大致图象如下： 则由函数图象可知，当时，，命题①正确； 当时，，命题②正确； 当时，，命题③正确； 当时，若，则；若，则；若，则；命题④错误； 综上，正确的命题个数为3个， 故选：C． 6．（24-25九年级下·湖北黄石·期中）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为_____． 【答案】或6 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键．由题意可知的对称轴为直线，顶点坐标为，分两种情况讨论：当时，；当时，在，，即可求解答案． 【详解】解：的对称轴为直线， 顶点坐标为， 当时，在，函数有最小值， ∵的最小值为， ∴， ∴； 当时，离对称轴越远，函数值越小， 在，，， ∴当时，函数有最小值， ∴， 解得； 综上所述：的值为6或． 故答案为：6或． 7．（25-26九年级上·山东临沂·期中）将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数图像的平移与几何变换，以及抛物线与x轴的交点问题，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键． 将抛物线向下平移个单位后，得到新抛物线，其与轴有公共点等价于对应二次方程有实数根，因此判别式大于等于零，由此列不等式求解的取值范围． 【详解】将抛物线 向下平移 个单位长度后，得到新抛物线的表达式为 ， 平移后的抛物线与轴有公共点，即方程 有实数根， 因此判别式 ， 计算判别式：， 由，得，解得． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，直线经过点，抛物线恰好经过三点中的两点．则_______，_______，平移抛物线，使其顶点仍在直线上，平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值是___________ 【答案】 2 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先求出直线的解析式为，直线经过点，，，求出抛物线也经过点，则可得抛物线不能同时经过点，再根据点的横坐标相同可得抛物线不能同时经过点，则抛物线只能经过点，代入计算即可得的值，然后设平移后的抛物线的解析式为，其顶点坐标为，将其代入直线的解析式可得，最后求出平移后所得抛物线与轴交点纵坐标，用表示出来，利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：∵直线经过点， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 将代入直线得：， 将代入直线得：， ∴点，也都在直线上， 将代入得：， ∴抛物线经过点，是与直线的一个交点， ∵抛物线与直线不可能有三个交点， ∴抛物线不能同时经过点， 又∵的横坐标相同， ∴抛物线不能同时经过点， ∴抛物线只能经过点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， 设平移后的抛物线的解析式为，其顶点坐标为， ∵点仍在直线上， ∴， 将代入抛物线得：， ∴平移后所得抛物线与轴交点纵坐标为， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值， 故答案为：，，． 9．（2026·福建三明·一模）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点A，且与y轴交于点C． (1)若，，求此二次函数的表达式； (2)在（1）的条件下，将二次函数的图象向右平移m个单位长度，得到新的二次函数的图象，当时，求新的二次函数的最小值； (3)设一次函数（n是常数）．若二次函数y1的表达式还可以表示为的形式，当函数的图象经过点时，求的值． 【答案】(1) (2)当时，最小值为；当时，最小值为；当时，最小值为 (3)或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）确定平移后的解析式，根据抛物线的性质得到对称轴为直线，分类讨论即可得解．（3）把，代入中，得出关于，的关系式，把代入求解即可； 【详解】（1）二次函数的图象经过，， ， 解得：， 此二次函数的表达式为； （2） ，且向右平移m个单位长度， 新的二次函数可表示为， 对称轴为， ①当，即时， 当时，有， ②当时，即时， 当时，有， ③当，即时， 当时，有； （3） ，， ， ， ， 又图象经过点， ， 或， 或． 10．（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）已知二次函数的图象经过点． (1)求该二次函数图象的对称轴． (2)若的最大值为10，将该函数的图象向左平移3个单位长度，得到新的二次函数，当时，求的取值范围． (3)若存在直线l与抛物线交于点，点，当时，m有最大值8，求a的值及m的最小值． 【答案】(1)对称轴为直线 (2) (3)，m的最小值为0 【分析】（1）将点的坐标代入解析式，整理解析式即可得出，即可求出抛物线的对称轴； （2）根据对称轴和给出点的坐标即可求出抛物线的解析式为，然后再利用函数图象平移的性质即可求出新的抛物线的解析式，进一步求得当时的取值范围； （3）根据对称轴得出，从而可求出的取值范围，根据在抛物线上，m有最大值8，可得出a的值，确定二次函数的解析式，进而即可得出结果． 【详解】（1）解：将点代入， ∴，     ∴， ∴对称轴为直线； （2）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，函数有最大值10， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平移后的函数解析式为， ∴当时，； （3）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在抛物线上， ∴， ∴， ∵， 解得，， ∴抛物线的解析式为， 当时，m的最小值为0． 11．（2026·安徽铜陵·一模）某工厂的产品传送带的形状可近似看作抛物线，其解析式为，在传送带旁边有一个机械臂，机械臂端点的运动轨迹可近似看作直线，已知抛物线的顶点是传送带的最低点，机械臂端点与传送带在顶点和另一点处相遇． (1)求的值； (2)工厂为了优化传送带和机械臂的配合，对传送带进行平移改造得到新传送带，新传送带的形状对应的抛物线与轴的交点为，与轴的其中一个交点的横坐标为1，有一个监测设备在直线上移动，且分别与直线、原抛物线、新抛物线相交于点． （i）当时，若，求点、的坐标； （ii）当时，求的取值范围． 【答案】(1)，， (2)（i）点的坐标为，或， （ii）或 【分析】（1）先将抛物线的顶点坐标代入直线求出k,再将点代入直线关系式可得点的坐标，然后将点代入抛物线关系式可得答案； （2）（i）先设新抛物线的解析式为，再将点代入，并得出关系式，即可表示出点，进而得出，然后根据自变量取值范围，及得出方程，求出解即可； （ii）联立两个函数关系式求出交点横坐标，即，再分两种情况当时，点在点上方，当时，点在点下方，然后根据求出取值范围即可． 【详解】（1）解：由题意，知抛物线的顶点为，将点代入直线，得，解得． 直线的解析式为， 将点代入，得． 点的坐标为． 将点代入，得，解得，则抛物线的关系式为； （2）解：（i）由（1）知，原抛物线的解析式为，设新抛物线的解析式为． 将点代入，得，解得， 新抛物线的解析式为． 直线分别交直线、原抛物线、新抛物线于点， ． 点，，， 点在线段上，且， 则，． ， 解得． 当时，点； 当时，点． 综上，点的坐标为，或，． （ii）联立 ，得，解得． 当时，点在点上方，当时，点在点下方． 由（i）知． 当时，，解得； 当时，，解得：． 综上，的取值范围为或． 迁移创新 1．（25-26九年级上·甘肃庆阳·期中）九年级某班成立了数学学习兴趣小组，该数学兴趣小组对函数的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整． (1)函数的自变量x的取值范围是____________； (2)①列表：如表是x，y的几组对应值，其中____________，____________； x … 0 1 2 3 4 … y … 9 0 m 3 n 0 9 … ②描点：根据表中的数值描点，请补充描出点，； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整； (3)请观察函数图象，当y随x的增大而增大时，x的取值范围为____________． (4)若点，均在该函数图象上，且，则p与q的大小关系是____________． 【答案】(1)全体实数 (2)①，； ②所描点，如图所示； ③所作函数图象如图所示： (3)或 (4) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据函数解析式可直接进行求解； （2）把或代入函数解析式进行求解即可；②根据描点可进行作图；③根据描点、连线可进行作图； （3）根据函数图象可直接进行求解； （4）由图象易得点A、B在之间的函数图象上，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：由可知：自变量为全体实数； 故答案为全体实数； （2）解：①当时，则有； 当时，则有； 故答案为，； ②略 ③略 （3）解：由（2）中函数图象可知：当y随x的增大而增大时，x的取值范围为或； 故答案为或； （4）解：∵点，均在该函数图象上，且， ∴根据（2）中函数图象可知：点A、B在之间的函数图象上， 由图象可知在之间的函数图象开口向下，对称轴为直线， ∴根据开口向下，离对称轴越近，其对应的函数值也就越大， ∴当时，p与q的大小关系是； 故答案为． 2．（25-26九年级上·山东临沂·期中）在二次函数中，与的几组对应值如表所示． … 0 1 … … 1 … (1)求二次函数的表达式及顶点坐标； (2)在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象，并求出当时，函数最大值与最小值的差； (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请求出的值． 【答案】(1)二次函数的解析式为；二次函数图象的顶点坐标为 (2) 画函数图象，如图， 16 (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，画二次函数的图象，二次函数图象的平移，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式，一般式化为顶点式，求出顶点坐标即可； （2）五点作图法画出函数图象，数形结合求出最大值与最小值的差即可； （3）根据平移规则，求出新的函数解析式，根据二次函数的性质，分情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：把点，代入得： 解得：， 二次函数的解析式为； ∵ 二次函数图象的顶点坐标为； （2）由（1）可知，对称轴为直线， 点关于直线的对称点为， 函数的图象开口向上，， 当时，函数的最小值为，当时，有最大值为13， 函数最大值与最小值的差为； （3）二次函数的图象向右平移个单位长度后， 新函数为． 此时对称轴是直线，函数图象开口向上． ①当时，即， 当时，取最大值为；当时，取最小值为． 又最大值与最小值的差为5， ． ，不合题意． ②当时，即， 当或时，取最大值为或；当时，取最小值为． 又最大值与最小值的差为5， 或． 或（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）或． ③当时，即， 当时，取最小值为；当时，取最大值为． 又最大值与最小值的差为5， ． ，不合题意． 综上，或． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 二次函数 26.2.2二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质 课标要点 1.理解二次函数顶点式定义：形如y=a(x−h)2+k（a、h、k是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，其中x是自变量； 2.分清各部分名称：a决定开口方向、开口大小；顶点坐标(h， k)，对称轴为直线x=h；重点牢记二次项系数a≠0，h、k可以为0； 3.会识别顶点式：能直接由解析式读出顶点坐标、对称轴；遇到y=a(x+h)2+k先变形为y=a[x−(−h)]2+k再读取顶点； 4.能根据实际问题列顶点式二次函数解析式，注意实际问题中自变量x的取值范围。 学习重难点 重点： 1.牢记二次函数顶点式y=a(x−h)2+k(a≠0)，抓住核心条件a≠0。 2.准确读出抛物线顶点坐标(h，k)、对称轴直线x=h；掌握a、h、k各自作用。 3.辨析顶点式，区分顶点式、y=ax2、一般式y=ax2+bx+c。 难点： 1.忽略a≠0这个前提，当题目含参数时，既要保证解析式为顶点式，同时二次项系数不能等于0。 2.顶点横坐标符号容易出错，y=a(x+m)2+k的顶点横坐标是−m，不是m。 3.增减性以对称轴x=h为分界，容易直接套用y=ax2的对称轴x=0。 4.实际应用求最值，容易忽略自变量取值范围；容易漏掉自变量的实际取值范围。 知识点二次函数y=a(x-h)2+k的图象 一、基本概念(顶点式) 1.解析式：y=a(x-h)²+k,叫做二次函数的顶点式。 2.条件：a、h、k是常数，a≠0。 a≠0是二次函数的前提；若a=0，式子变成一次函数y=k,不再是二次函数。 3.顶点含义：抛物线的顶点坐标为(h，k)；对称轴是直线x=h。 △易错点：看清符号，如y=2(x+3)²-1,改写为y=2[x-(-3)]²+(-1),顶点是(-3，-1),对称轴直线x=-3. 二、图象特征(抛物线) 函数图象是抛物线，形状由a决定。 1.开口方向 ①a>0：抛物线开口向上；②a<0：抛物线开口向下。 2.开口宽窄：由|a|决定。 |a|越大，开口越窄；|a|越小，开口越宽。 只要a相同，抛物线形状、大小完全一样，只是位置不同。 3.对称轴：直线x=h。 4.顶点：(h,k),顶点是抛物线的最高点或者最低点。 随学随练 1．（25-26九年级上·陕西西安·期中）二次函数图象的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·江苏苏州·开学考试）由二次函数，可知（     ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．其图象与y轴交点的纵坐标为1 D．当时，y随x的增大而减小 3．（25-26九年级下·全国·课后作业）已知函数，和． (1)在同一个平面直角坐标系中画出这三个函数的图象； (2)分别说出这三个函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)试讨论函数的性质． 4．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知二次函数． (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； (2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (3)若，求y的取值范围． 知识点函数增减性与最值 情况1：a>0，开口向上，顶点是最低点 1.增减性： ①当x<h(对称轴左侧)，y随x的增大而减小； ②当x>h(对称轴右侧)，y随x的增大而增大。 2.最值：当x=h时，函数有最小值y=k;函数没有最大值。 情况2：a<0，开口向下，顶点是最高点 1.增减性： ①当x<h(对称轴左侧),y随x的增大而增大； ②当x>h(对称轴右侧),y随x的增大而减小。 2.最值：当x=h时，函数有最大值y=k；函数没有最小值。 口诀：上减右增，下增右减 开口向上：左减右增；开口向下：左增右减。 随学随练 1．（2026·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知抛物线上有三点，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江温州·一模）已知点，，都在抛物线上，当，，时，三者之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·吉林长春·模拟预测）已知、是抛物线上的两点．若且，则________．（填“”、“”或“”） 4．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）已知二次函数． (1)用配方法将化为的形式； (2)写出这个二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴； (3)当取何值时，随的增大而减小？ 知识点抛物线的平移(由y=ax²得到y=a(x-h)²+k) 基础抛物线：y=ax²,顶点(0,0),对称轴x=0(y轴)。 平移原则：形状不变，a不变；左加右减，上加下减 1.左右平移(改变h)：左加右减(只对x进行变化) ①y=ax²向右平移h个单位：y=a(x-h)²(h>0) ②y=ax²向左平移|h|个单位：y=a(x+h)²=a[x-(-h)]² 2.上下平移(改变k)：上加下减(直接在式子末尾加减) ①y=a(x-h)²向上平移k个单位：y=a(x-h)²+k(k>0) ②y=a(x-h)²向下平移|k|个单位：y=a(x-h)²-k 随学随练 1．（25-26八年级下·北京·期末）将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．向左平移3个单位，向上平移5个单位 B．向右平移3个单位，向上平移5个单位 C．向左平移5个单位，向下平移3个单位 D．向右平移5个单位，向上平移3个单位 2．（25-26八年级下·云南昆明·期末）将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·上海宝山·期末）新定义：若抛物线与x轴正半轴有两个交点，且其中一个交点与抛物线在y轴上的交点的连线与x轴夹角为，则称该抛物线为“半垂抛物线”，称抛物线在x轴上的这个交点为“半垂点”，称抛物线在坐标轴上的三个交点形成的三角形为抛物线的“半垂三角形”． 已知抛物线是“半垂抛物线”，且为该抛物线的“半垂三角形”，点，点，点C为“半垂点”．将抛物线先向左平移4个单位，再向下平移3个单位后，得到新抛物线的对称轴是直线______． 拓展二次函数y=a（x-h）²+k中最值问题 核心知识点回顾： y=a(x-h)2+k，顶点坐标(h，k)，对称轴直线x=h。 这三道题的抛物线都是y=a(x-m)2-m，所以顶点固定为(m，-m)，顶点横、纵坐标满足关系式：y=-x，也就是顶点永远在直线y=-x上运动！ 关键模型：动抛物线，顶点在定直线上移动，a不变，抛物线形状不变，只平移位置。 题型 核心操作 关键点 顶点在图形内部 1.写出顶点(h,k) 2.找到顶点运动轨迹直线 3.求轨迹直线和多边形边界交点 参数就是顶点横坐标h，求交点横坐标就是参数范围 定抛物线，区间最值差 1.顶点式读开口、顶点、对称轴 2.确定区间内最大值 3.用差值反求最小值，解方程找x 要判断顶点是否落在自变量区间内 动抛物线与多边形有交点 1.顶点(h,k)，轨迹直线 2.抛物线整体平移，形状不变 3.抛物线刚好与正方形边相切/过顶点，代入求临界参数 相切：联立方程Δ=0；过顶点：直接把正方形顶点代入抛物线 活学活用 1．（25-26九年级上·北京西城·期中）如图，菱形中，，抛物线的顶点在菱形的边上或内部，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江温州·期末）已知二次函数．当时，函数的最大值与最小值的差为12，则n的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·河北沧州·阶段检测）定义：我们将图象的顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数的图象与正方形有交点时，m的最大值和最小值分别是（    ） A．4， B．， C．4，0 D．， 题型一 正确找出二次函数顶点坐标 解题贴士 一般式 两种方法： 方法A：公式法(直接套) 对称轴 把这个x代入原式算对应的y,得到顶点纵坐标。 顶点： 注意： 不建议死记，大多数题目，算出工，再代回函数求y更不容易算错。 ▌例1（25-26九年级上·江苏宿迁·开学考试）抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·北京·期末）二次函数的顶点的横坐标为（     ） A．2 B． C．3 D． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·北京·期末）抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 题型二 二次函数y=a（x-h）²+k图象与性质综合 ▌例2（25-26八年级下·浙江金华·期末）关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大 ▌对点练2-1．（2026·西藏拉萨·模拟预测）对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，随的增大而减小 ▌对点练2-2．（2026·广东广州·二模）对于抛物线，下列说法正确的是（     ）． A．图象与轴无交点 B．当时，随的增大而增大 C．当时，有最小值 D．图象的顶点坐标为 题型三 利用y=a（x-h）²+k的增减性判断函数值大小 解题贴士 抛物线对称轴：，顶点(h，k) 1.当(开口向上) 在对称轴左侧：x<h，y随c增大而减小 在对称轴右侧：x>h，y随x增大而增大 离对称轴越远，函数值y越大 2.当(开口向下) 在对称轴左侧：x<h，y随c增大而增大 在对称轴右侧：x>h，y随x增大而减小 离对称轴越远，函数值y越小 ▌例3（26-27九年级上·全国·单元复习）抛物线过三点，则大小关系是（     ） A． B． C． D． ▌对点练3-1．（2026·吉林·模拟预测）若点、是函数上的两点，若且，则________．（填“”、“”或“”） ▌对点练3-2．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知二次函数，当自变量分别取、、时，对应的函数值分别为、、，则、、的大小关系是_________________用“”连接 题型四 y=a（x-h）²+k中作图题 ▌例4（25-26九年级上·河北·阶段检测）已知二次函数 … … … … (1)在所给网格中建立平面直角坐标系并直接画出此函数的图象．（标准图） (2)根据函数图象写出顶点坐标、对称轴，并写出图象的开口方向和增减性； ▌对点练4-1．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知二次函数． (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； (2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (3)若，求y的取值范围． ▌对点练4-2．（25-26九年级下·河南安阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标． (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象． (3)若抛物线在点A和点B之间（含点A，B）的部分与抛物线只有一个交点，请直接写出m的取值范围． 题型五 y=a（x-h）²+k中的平移 解题贴士 一、平移口诀(顶点变化) 左右平移改变h;上下平移改变k 左加右减(针对x,括号内部);上加下减(针对常数k,括号外部) 1.左右平移(水平) 向左平移m个单位：h→h+m，y=a[x-(h+m)]²+k 记忆：左移，括号里面x加上m 向右平移m个单位：h→h-m，y=a[x-(h-m)]²+k 2.上下平移(竖直) 向上平移n个单位：k→k+n，y=a(x-h)²+(k+n) 向下平移n个单位：k→k-n，y=a(x-h)²+(k-n) ▌例5（2026·内蒙古通辽·模拟预测）将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度所得图象的函数表达式为（     ） A． B． C． D． ▌对点练5-1．（2026·甘肃嘉峪关·二模）将抛物线向左平移一个单位，再向上平移两个单位，得到的新抛物线的解析式为_______________． ▌对点练5-2．（25-26九年级上·四川泸州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移后得到抛物线，则抛物线的表达式为________． 题型六 待定系数法求解析式 解题贴士 顶点式 适用条件：已知顶点(h，k)，再加另外任意1个点。 顶点信息给法：直接给顶点；给对称轴+一个点；给最大/最小值。步骤： 1.设直接用顶点数值代入，只剩a未知 2.将另外一个点代入，解出a 3.(题目要求一般式时，展开整理) ▌例6（26-27九年级上·全国·单元复习）已知二次函数y与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 … y … 5 a 0 … (1)_____________； (2)求该二次函数的表达式； (3)y随x的增大而减小时，x的取值范围是_____________． ▌对点练6-1．（25-26九年级上·广东汕头·阶段检测）已知二次函数的图像的顶点为，且过点，求该二次函数的解析式． ▌对点练6-2．（25-26七年级上·浙江丽水·阶段检测）已知抛物线顶点为，且经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)判断点是否在函数图像上． 题型七 y=a（x-h）²+k中的实际应用 ▌例7（2026·陕西西安·模拟预测）某商业大楼外墙的广告牌因电路老化燃起大火．接警后，消防员迅速抵达现场，将消防车停在大楼正前方空旷地带，操控车载水枪灭火，水流在空中形成抛物线．如图所示，已知火情发生在大楼外墙的点处，点距地面10.5米高，与消防车水枪出水口的水平距离为12米，水枪出水口距地面3米高．以水枪出水口为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴，建立平面直角坐标系． (1)经观测，水枪喷出的水流在离出水口水平距离8米处达到最大高度，此时水流恰好精准喷射到处．求水流所在抛物线的函数表达式； (2)若距地面高度为12米的五楼窗台内又发现着火点，点距外墙的水平距离为1米．原水流轨迹无法覆盖，且场地限制，消防车无法进一步靠近，只能通过向上平移水枪喷头来调整水流位置，且新水流的抛物线与原抛物线形状相同．为确保水流能精准喷射到点处，喷头应向上平移多少米？ ▌对点练7-1．（25-26九年级上·内蒙古兴安·期末）某化工材料经销公司购进了一种化工原料7000千克，购进价格为 30元/千克，物价部门规定销售价格不得高于70 元/千克，也不得低于30元/千克，市场调查发现，单价定为70元时，日均出售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克，在销售过程中，每天还要支出其它费用500元(天数不足一天时，按整天计算)．设销售单价为x元，日均获利y元． (1)求y关于x的二次函数解析式，并注明x的取值范围 (2)将（1）中的二次函数配方成的形式，写出顶点坐标；在上图的直角坐标系中画出草图；观察图象并指出∶单价定为多少时日均获利最多？是多少？ (3)若将这种化工原料全部售出，试比较日均获利最多与单价最高两种销售方式，哪种获总利较多？多多少？ ▌对点练7-2．（2025·河南濮阳·一模）足球训练中，球员从球门正前方9米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数解析式， (2)已知守门员站在距离球门1米处，且正面对着球，守门员防守高度为米，通过计算判断球是否会被守门员扑到（忽略守门员的反应时间和其他因素） (3)已知为上一点，米，米，现规定在球门上方点到点之间的区域（含点和点）为“死角区”，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当球员带球向正后方移动1米再射门时，通过计算判断球是否能射进“死角区”． 题型八 y=a（x-h）²+k解答题综合 ▌例8（25-26九年级上·云南昆明·期末）在平面直角坐标系中，点在抛物线上． (1)求抛物线E的对称轴； (2)若抛物线E经过点，将抛物线E向右平移个单位长度后得到抛物线F．当时，抛物线F上对应最高点与最低点的高度差为4，求m的值． ▌对点练8-1．（25-26九年级上·天津西青·期末）已知抛物线（a，b，c为常数，且）与轴的一个交点坐标是，顶点坐标是． (1)求该抛物线解析式中，，的值； (2)直接写出当时，函数值的取值范围． 题型九 y=a（x-h）²+k解答题压轴 ▌例9（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）关于的二次函数． (1)若，二次函数图像的顶点坐标为_____； (2)求出二次函数图像的顶点坐标（用含的式子表示），判断顶点是否在直线上； (3)在时二次函数的最大值与最小值的差等于15，求的值． ▌对点练9-1．定义为函数的“特征数”．如：函数的“特征数”是，函数的“特征数”是，函数的“特征数”是． (1)将“特征数”是的函数图象向下平移个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是 ； (2)在（1）中，平移前后的两个函数分别与轴交于、两点，与直线分别交于、两点，在给出的平面直角坐标系中画出图形，判断以、、、四点为顶点的四边形形状，并说明理由； (3)若（2）中的四边形与“特征数”是的函数图象有交点，试求出实数 的取值范围． ▌对点练9-2．（25-26九年级上·云南昭通·期中）已知抛物线与x轴的左右交点分别为点A、点B，与y轴交点为点C，若将此抛物线向下平移4个单位长度后，其顶点坐标为． (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)设点P在该抛物线的对称轴上运动，是否存在点P，使的周长最小？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)设点M在该抛物线的对称轴上运动，当是直角三角形时，求出所有满足条件的点M的坐标． 基础通关 1．（25-26九年级下·辽宁大连·期末）函数是二次函数，则它的图象（     ） A．开口向上，对称轴为轴 B．开口向下，顶点在轴上方 C．开口向上，与轴无交点 D．开口向下，与轴无交点 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·广东深圳·三模）当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线．如果抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线，则的值为（     ） A．3 B．0 C．1 D．2 4．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，已知二次函数，当时，则函数y的最小值和最大值（   ） A．和14 B．和14 C．和 D．和2 5．（25-26九年级上·云南曲靖·期末）如图是抛物线的图象，顶点坐标为，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的对称轴是直线 B．抛物线与轴的交点坐标为 C．当时，随的增大而减小 D．当时，函数的最大值为4 6．（2026·浙江台州·模拟预测）已知二次函数经过点，若，则下列说法正确的为（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 7．（25-26八年级下·北京·期末）在二次函数中，当时，y随x的增大而增大，则实数m的值可以是______．（写出一个满足条件的m值） 8．（24-25九年级上·吉林松原·期末）如图是抛物线的部分图象，若，则自变量的取值范围是_____________． 9．（25-26九年级上·甘肃庆阳·期末）将抛物线绕顶点顺时针旋转，所得抛物线的解析式为________． 10．（25-26九年级上·广东梅州·阶段检测）已知二次函数，当时，的取值范围为________． 11．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）若二次函数图象上总存在一点，使得，就称为该抛物线的“开口大小”，则抛物线的“开口大小”为_____． 12．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知二次函数图象的顶点为，且点在图象上，求此二次函数的解析式． 13．（25-26九年级上·浙江金华·期末）将抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线． (1)求a，h，k的值； (2)指出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)说明此二次函数的增减性和最大（小）值． 14．（25-26八年级上·上海·期末）已知抛物线经过点，顶点为点P，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式以及顶点P的坐标； (2)将抛物线向上平移m（）个单位后，点A的对应点为点M，若此时，求m的值． 素养提升 1．（25-26九年级上·河南信阳·期中）已知二次函数 （m为常数）在自变量x满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为6，则m的值为 （    ） A．0或 B．0或6 C．2或 D．2或6 2．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数，当时，函数值为；当时，函数值为，若，则下列表达式正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过正方形的三个顶点A、B、C，则a的值是多少？（    ） A． B． C．2 D． 4．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与的一个交点为A.已知点A的横坐标为1，过点A作x轴的平行线，分别交这两条抛物线于点B、C（点B在点A左侧，点C在点A右侧），则的值为（   ） A．9 B． C．10 D． 5．（25-26八年级上·安徽淮南·阶段检测）二次函数（是常数，且）的图象经过点，一次函数的图象经过点，当时，有四个命题：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．其中正确的命题个数为（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25九年级下·湖北黄石·期中）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为_____． 7．（25-26九年级上·山东临沂·期中）将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是______． 8．（25-26九年级上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，直线经过点，抛物线恰好经过三点中的两点．则_______，_______，平移抛物线，使其顶点仍在直线上，平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值是___________ 9．（2026·福建三明·一模）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点A，且与y轴交于点C． (1)若，，求此二次函数的表达式； (2)在（1）的条件下，将二次函数的图象向右平移m个单位长度，得到新的二次函数的图象，当时，求新的二次函数的最小值； (3)设一次函数（n是常数）．若二次函数y1的表达式还可以表示为的形式，当函数的图象经过点时，求的值． 10．（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）已知二次函数的图象经过点． (1)求该二次函数图象的对称轴． (2)若的最大值为10，将该函数的图象向左平移3个单位长度，得到新的二次函数，当时，求的取值范围． (3)若存在直线l与抛物线交于点，点，当时，m有最大值8，求a的值及m的最小值． 11．（2026·安徽铜陵·一模）某工厂的产品传送带的形状可近似看作抛物线，其解析式为，在传送带旁边有一个机械臂，机械臂端点的运动轨迹可近似看作直线，已知抛物线的顶点是传送带的最低点，机械臂端点与传送带在顶点和另一点处相遇． (1)求的值； (2)工厂为了优化传送带和机械臂的配合，对传送带进行平移改造得到新传送带，新传送带的形状对应的抛物线与轴的交点为，与轴的其中一个交点的横坐标为1，有一个监测设备在直线上移动，且分别与直线、原抛物线、新抛物线相交于点． （i）当时，若，求点、的坐标； （ii）当时，求的取值范围． 迁移创新 1．（25-26九年级上·甘肃庆阳·期中）九年级某班成立了数学学习兴趣小组，该数学兴趣小组对函数的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整． (1)函数的自变量x的取值范围是____________； (2)①列表：如表是x，y的几组对应值，其中____________，____________； x … 0 1 2 3 4 … y … 9 0 m 3 n 0 9 … ②描点：根据表中的数值描点，请补充描出点，； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整； (3)请观察函数图象，当y随x的增大而增大时，x的取值范围为____________． (4)若点，均在该函数图象上，且，则p与q的大小关系是____________． 2．（25-26九年级上·山东临沂·期中）在二次函数中，与的几组对应值如表所示． … 0 1 … … 1 … (1)求二次函数的表达式及顶点坐标； (2)在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象，并求出当时，函数最大值与最小值的差； (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请求出的值． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $