3.4 圆周角 同步练习 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦圆周角定理及应用，通过基础巩固、中档提升、综合拓展三层设计，实现从单一知识点到多定理综合应用的递进，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|圆周角定理、直径性质|单选1-3直接应用定理求角度，填空6-8结合半圆模型巩固概念| |中档|圆心角关系、内接四边形|单选4-5涉及半径计算与角平分线，填空9-10融入量角器、古代数学情境| |提高|多定理综合、动态几何|解答题11-16含网格作图、内接四边形证明，第16题三问递进，培养逻辑推理与模型意识|

3.4圆周角 一、单选题 1.如图，AB是⊙0的弦，点C在⊙0上.若∠ACB=26°，则∠A0B=() A B A.10° B.26° C.40° D.52° 2.如图，AB为⊙O的直径，点P为BA延长线上一点，以点O为圆心，以AB的长为半径画弧； 再以点P为圆心，以PO的长为半径画弧，两弧交于点D,连接OD与⊙O相交于点C，连接 CP,PD,BC .者CP0=36,则∠B的度数为(） 】 A.36° B.54° C.27 D.18 3.如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上异于A、B的两点，且BC=BD,若 ∠ACD∠B0D,则∠A的度数为() D A.22.5° B.25o C.30° D.45 4.如图，△ABC是⊙0的内接三角形，AB=23,∠ACB=60°，连接OA,OB,则⊙0的半径是 B A.1 B.2 C.3 D.3 5.如图，半圆0的直径AB=10,弦AC=6,AD平分∠BAC,则AD的长为() B A.9 B.310 C.72 D.45 二、填空题 6.如图，在半圆O中，AB是直径，C、D是半圆上两点，∠BOC=40°，∠OCD=50°，则 ∠ABD= D 7.以O为中心点的量角器与直角三角板ABC按如图的方式摆放，量角器的刻度线与斜边AB 重合.点D为斜边AB上一点，作射线CD交AB于点E,如果点E所对应的读数为50°，那么 ∠BCD= 度 B E 8.我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道题：今有圆材，径二尺五寸，欲为方放，令 厚七寸，问：广几何？用数学语言可表述为：如图，⊙0的直径为25寸，矩形ABCD内接于 ⊙0 B=7 C= 寸，则 A D d 9.如图，△ABC内接于⊙0，连接OA、OB、OC,∠BOC=2∠AOB,若∠ACB=20°，则∠BAC的 度数为」 10.如图，点A、B、C在⊙0上，D是弧AB的中点，CD交OA于点E.若∠AOB=100°， ∠OBC=20 ∠OEC ，则 的度数是 E 三、解容题 11.如图是由边长为1的小正方形组成的6×7的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点， 格点A、B、C在同一个圆上，只用无刻度的直尺分别在给定的网格中按下列要求作图，保留 作图痕迹. 图① 图② (1)在图①中，画出圆心0 (2)在图②中，在O0上画点D,使AC=AD, 12.四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90° D B 图1 图2 (1)如图1，经过A、B、C三点作⊙0，求证：点D在⊙0上； (2)如图2，连结AC、BD,若AC⊥BD,求证：AB=AD 13.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径作O0,交BC于点D,交AC于点E. B D (1)求证：BD=DC; (2)若∠BAC=40°，求∠EBC的度数. 14.如图，四边形ABCD内接于⊙O,AB=AC,AC⊥BD,垂足为E,点F在BD的延长线上， 且DF=DC,连接AF、CF. D (1)求证：∠BAC=2∠DAC; (2)若AF=10,BC=4W5,求线段AE的长. 15.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，点D在AB上，且AD=AC,延长CD交⊙O于 点E,连接OC,OE. D (1)求证：∠A=∠BOE. (2)若∠A=30°，AB=8,求CE的长. 16.已知四边形ABCD内接于⊙O,连接AC、BD,∠ACD+∠ADB+∠CAD=90°； B B B 0 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：BC是⊙0的直径： (2)如图2，点E在BD上，连接AE、CE,且AE=CE,∠ABD=2∠CAE,求证：CE平分∠ACD: (3)如图3，在(2)的条件下，点F在BD上，连接CF,若∠CFD=2∠ACE,BF=4,AC=16, 求⊙0的半径长. 参考答案 一、单选题 1.D (解：∠AOB=2∠ACB=2×26°=52°， 2.C 解：由作图知PO=PD,OD=AB, ∴△POD是等腰三角形， &C0-48=0c, .PC⊥CD,即∠OCP=90°， .∠CP0=36°， ∴.∠P0C=90°-∠CP0=54°， :∠B=)∠P0D=27 2 3.A 解：BC=BD ∴.∠BOD=2∠A :∠ACD=3∠BOD 2 ∠4CD=3x2∠A=3∠A 2 :∠ACD=1∠AOD 2 ∴.∠AOD=2∠ACD=6∠A ,AB是⊙O的直径，∠AOD+∠BOD=180°， ∴.6∠A+2∠A=180° ∴.∠A=22.5° 4.B 解：如图，过点O作OD⊥AB, A B OD⊥AB .DA=DB=3 ,∠ACB=60° .∠AOB=120° ..OA=OB ∠AB0=180°，120°=30° 设OD=x,则OB=2x, ..OD2+BD2=OB2 .x2+3=4x2 解得x=1或-1（不合题意，舍去）， ∴.OB=2 故⊙0的半径是2. 5.D 解：连接OD,OC,作DE⊥AB于E,OF⊥AC于F, D E ∴.∠DEO=∠AFO=90° .A0=C0 1 AF-7AC .AC=6 ·AF=3 :AD平分 BAC .∴.∠BAC=2∠BAD, ,∠BOD=2∠BAD ∴.∠BAC=∠BOD ∠FAO=∠EOD 在△AOF和△ODE中， 「∠AFO=∠OED ∠FAO=∠EOD AO=OD .△AOF≌△ODE(AAS) ∴OE=AF=3 AB=10 ..AO=OD=5 .AE=AO+OE=5+3=8 在Ra0DE中，DE=VOD-OE=52-3=4 在Rt△ADE中，AD=√AE2+DE2=V82+42=45. 二、填空题 6.30 解：如图：连接OD, .OC=OD,∠0CD=50°， ∴.∠ODC=∠OCD=50°， ∴.∠C0D=180°-50°-50°=80° .∠AOB=180°， ∴.∠A0D=180°-∠COD-∠B0C=180°-80°-40°=60°， ,∠ABD与∠AOD分别是AD所对的圆周角和圆心角， ∠ABD=)∠40D=x60°=30e 2 7.65 解：如图，连接EO B :∠ACB=90°AB ⊙0 为的直径 点C在00 上 由题意得：∠AOE=50 ∴.∠BOE=180°-∠AOE=130° :∠BCD与∠BOE分别是BE所对的圆周角和圆心角 ∠BCD=∠BOE=65° 8.24 解：如图，连接AC, D B C 四边形ABCD是矩形， ∴.∠ABC=90°， ∴.AC是⊙0的直径， ∴.AC=25寸， AB=7寸， :8C=VAC-AB=V252-7=24(寸). 9.40° 解：：∠ACB与∠AOB分别是⊙0中AB所对的圆周角和圆心角，∠ACB=20°， ∴.∠AOB=2∠ACB=2×20°=40°， .∠BOC=2∠AOB ∴.∠B0C=2×40°=80°， ,∠BAC与∠BOC分别是⊙O中弧BC所对的圆周角和圆心角， :B1C=0c-×80=40: 10.95° 解：如图，连接OD,设BC与OA交于点F, B E :D是弧AB的中点，∠AOB=100°，∠OBC=20°， :∠B0D=∠A0D=号∠4OB=50° 2<80D=25° <C ∴∠BFA=∠AOB+∠B=100°+20°=120°， .∠OEC=∠BFE-∠C=120°-25°=95°. 三、解答题 11.(1)如图①，点0即为所求 A 图① (2)如图②，点D即为所求.· D 图② 12.(1)证明：连接AC, 图1 .∠ABC=90° ，且0经 00经过4、8、C三点， AC⊙O 多 直径， ,∠ADC=90° 点D在0 上 (2)证明：取AC中点O,连接OB,OD, O - B C .∠ABC=∠ADC=90° .08-OD-C :AC⊥BD ∴.AC 垂直平分BD ∴.AB=AD 13.(1)证明：如图：连接AD, A E C ,AB是OO的直径， .∠ADB=90°，即AD⊥BC, 又AB=AC, .BD=DC. (2)解：，AB=AC,∠BAC=40°， :<C=180-,∠81C=70 2 .AB是⊙O的直径， ∴.∠CEB=90°， ∴.∠EBC=90°-∠C=20°， 14.（1)证明：.AB=AC, .∴∠ABC=∠ACB, AB=AB, ∴.∠ACB=∠ADB, .∠ABC=∠ADB, :∠ABc=80°-∠BAO=90-5∠B4c 21 ÷Bc=0-24c 又AC⊥BD, ∴.∠CAD=90°-∠ADB, ∠BAC=LDAC .2 ∴LBAC=2LDAC; (2)解：：∠CAD=∠CBD,∠BAC=LBDC,∠BAC=2∠DAC ∴.∠BDC=2∠CBD; DF DC, .∠DFC=∠DCF, ∴.∠BDC=∠DFC+∠DCF=2LDFC, 又∠BDC=2∠CBD :∠BFC=)∠BDC=∠CBD 2 .CB=CF=45. 又BD⊥AC, ∴BE=EF, ∴.AC是线段BF的中垂线， .AB=AC, .'AB=AF=AC=10, 又BC=4W5, 设AE=x,CE=10-x, 由18-E=8C2-CE,得100-=80-00-=8E, 解得x=6, ∴.AE=6 15.(1)证明：，AB是⊙0的直径，C为⊙0上一点， ∴.∠ACB=90°， ∴.∠ACD=90°-∠BCE, .AD=AC, .∠ACD=∠ADC, .∠CAB+∠ACD+∠ADC=180°， ∠CAB+2(90°-∠BCE)=180° ,即∠CAB+180°-2∠BCE=1800 ∴.∠CAB=2∠BCD, .∠BOE=2∠BCE, ∴.∠A=∠BOE. (2)解：如图，连接OC, B 由(1)可知∠B0E=∠A=30°， .∠BOC=2∠A=60° .∠CAB=30°， ∴.∠COE=∠BOC+∠BOE=90°， AB=8, .0C=0E=4, ∴.CE=V0C2+0E2=42. 16.(1)证明：AD=AD, ∴.∠ACD=∠ABD, CD=CD, .∠CAD=∠CBD, AB=AB, .∴.∠ADB=∠ACB, .∠ACD+∠ADB+∠CAD=90°， ∴∠ABD+∠ACB+∠CBD=∠ABC+∠ACB=90° ∴.∠BAC=90°， ∴.BC是⊙O的直径； (2)证明： AD=AD ∴.∠ACD=∠ABD 又∠ABD=2∠CAE ∴∠ACD=2∠CAE .AE=EC ∴.∠CAE=∠ECA ∴.∠DCE=∠ACD-∠ACE=2∠CAE-∠ACE=∠ACE,即CE平分∠ACD: (3)解：如图，延长CE、BA交于点M,过点E,分别作AM,AC的垂线，垂足分别为N,H, B 图3 .∠CAB=90° ∴.∠CAM=90° ,EN⊥AB .NEll AC 由(2)知∠CAE=∠ACE, 设∠CAE=∠ACE=Q,则∠ABD=2a,∠NEA=∠EAC=Q .∠M=90°-∠ACE=90°-&， .∠EAM=90°-∠NEA=90°-a, ∠BEM=180°-∠ABD-∠M=180°-2a-(90°-a)=90°-a=∠M .'BE=BM, .'∠EAM=90°-a=∠M .∴.EM=AE=CE ∴.AN=AM ·AC=16,AE=CE,EH⊥AC ∴.AH=HC=8 .∠CAM=∠ANE=∠AHE=90° ∴.四边形AHEN是矩形， .EH=AH=8,EH AN MN, .∠ACE=∠DCE=a ∴.∠CEH=90°-a=∠CED 又EC=EC, ECHEDC(ASA) ∴.DC=HC=8=EN, 又.'已知∠CFD=2∠ACE=∠ABD,∠BNE=∠FDC=90° :△BNE≌aFDC(AAS) ∴CF=AB,BE=FC 设EF=AB=x BF=4, ∴.FC=BE=EF+BF=x+4, ∴.BM=BE=FC=x+4 AN-MN-BMABX4-=2 2 2 ∴.ED=EH=AN=2 在RtACDF中，FD=EF+ED=x+2,，CD=8,FC=x+4 .CD2+DF2=CF2 :8+(+2=(e+4 解得：x=13 .AB=13且AC=16, .'AB2+AC2=BC2 :BC=√AB2+AC=V132+16=57 :OB=0c=5 2