3.4 圆周角 同步练习 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练习围绕圆周角定理及应用，通过基础巩固、中档综合、提升探究三层设计，实现从单一知识点到综合应用的递进，培养几何直观、推理意识与创新能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|圆周角基本定理、内接四边形性质|选择题1-5、填空9-11直接应用定理，强化概念理解，培养几何直观| |中档|圆周角与弦/弧关系、直径性质计算|选择题6-8、填空12-14结合计算与简单推理，发展推理意识| |提升|综合证明与探究（角平分线、内接四边形综合）|解答题15-20（如17题等边三角形证明、20题线段关系探究）提升综合应用，渗透创新意识|

3.4圆周角同步练习 一、选择题： 1.如图，A,B,C三点在⊙O上，且∠BOC=100°，则∠A的度数为() A.40° B.50 c. 80° D.100° A B C 2.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B=58°，∠ACD=40°，则DC所对圆心角为() A.18° B.24° C 30o D.36° B 3.如图，点O为线段BC的中点，点A,C,D到点O的距离相等，若∠ABC=40°，则∠ADC的度数是 () A.130° B.140° C.150° D.160° B ● 0 4如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，AB⊥CD,∠ADC=30°，则∠BOC=() A.30° B.45° C.60° D.75° 第1页，共1页 5.如图，四边形ABCD内接于OO,∠B=66°，AD=CD,连结AC,则∠CAD的度数为) A.28° B.30° C.33° D.35° 6.如图，AC为⊙O的直径，点B,D在⊙O上，∠ABD=60°，CD=2,则AD的长为() .2 B.22 C.2N3 D.4 0 B 7.如图，AC,BC为⊙O的弦，连接OA,OB,OC.若∠AOB=40°，∠OCA=30°，则∠BCO的度 数为() A.40° B.45° C. 50° D.55° C A 8.如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OC,若∠ABC=100°，则∠AOC=()°， A.80 B.100 C. 140 D.160 0 第2页，共1页 C 二、填空题： 9.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O,∠ABC=70°，则∠ADC的度数是 D 0 10.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠OBC=28°，则∠A=°. B 11.如图，四边形ABCD内接于⊙O,若∠C=130°，则∠BOD的度数为一 D 0 A B 12.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦.若∠DCB=45,AD=1,则AB=· D 夕 13.如图，点A,B,C,D在⊙O上，AB//OC,∠D=20°，则∠AOC=. B D 第3页，共1页 14.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，DE是⊙O的直径，连接AE,若∠C=130°，则∠BAE= °.D 三、解答题： 15.如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交边AC,BC于点D,E,且E为BC边的中点. (1)求证：AC=AB; (2)若AB=10,AD=6,求BE. D B 0 16.(本小题8分】 如图，△ABC内接于一圆，∠CAB=30°，∠B=60°，O是AB的中点，CD⊥AB于点E,交圆于点D (1)求证：点O是圆心； (2)求∠DAE的度数. 17.如图，四边形ABCD内接于⊙O,∠ABC=60°，对角线DB平分∠ADC, (1)求证：△ABC是等边三角形： (2)若AD=2,DC=3,求△ABC的周长. 第4页，共1页 0 18.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF, AE⊥CD于点E, (1)求证：AB=AC; (2若BD=11,DE=2,求CD的长. A 19.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E,连接AD,BC,CO (1)当∠BC0=30°时，求∠A的度数， (2)若CD=6√2，BE=6,求⊙O的半径. B A 第5页，共1页 20.已知△ABC内接于⊙O,∠BAC的平分线交⊙O于点D,连接DB,DC. A A B C 0 B C 0 D D 图① 图② (1)如图①，当∠BAC=120°时，请直接写出线段AB,AC,AD之间满足的等量关系： (2)如图②，当∠BAC=90°时，试探究线段AB,AC,AD之间满足的等量关系，并证明你的结论. 第6页，共1页答案和解析 1.【答案】B 【解折1解：由题意得∠A-3B0C=方×10=500 故选：B 2.【答案】D 【解析】解：如图，连接OD,OC. .:∠B+∠ADC=180°， ∴.∠ADC=180°-58°=122°， .∠CAD=180°-∠ADC-∠ACD=180°-122°-40°=18°， .∴.∠DOC=2∠CAD=36°， 故选：D 3.【答案】B 【解析】解：由题意得到OA=OB=OC=OD,作出圆O,如图所示， ∴.四边形ABCD为圆O的内接四边形， 第1页，共1页 .∴.∠ABC+∠ADC=180°， .∠ABC=40°， .∠ADC=140°， 故选：B 4.【答案】C 【解析】解：连接BD, D 0 ,CD是⊙O的直径，AB是弦，AB⊥CD ∴.∠ADC=∠BDC=30°， ∴.∠BOC=2∠BDC=60°， 故选：C 5.【答案】C 【解析】解：，四边形ABCD内接于⊙O, ∴.∠B+∠ADC=180° 第2页，共1页 .∠B=66o ∴.∠ADC=180°-66°=114° AD=CD ∴.AD=CD 2CAD-×180-14j=33, 故选：C 6.【答案】C 【解析】解：.AC为⊙O的直径， ∴.∠ADC=90' .∵∠C=∠ABD=60 .∠CAD=30' .CD=2 ∴.AC=2CD=4' .AD=V42-2=2V3 故选：C 7.【答案】C 解：.∠AOB=40°， ∠ACB=3∠A0B=200, 第3页，共1页 .∠OCA=30' .∴.∠BCO=∠OCA+∠ACB=50 故选：C 8.【答案】D 【解析】解：如图，在优弧AC中取点E,连接AE,CE, E .·AC=AC,∠ABC=100°， ∴.∠AOC=2∠AEC, ∴.∠AEC=180°-100°=80°， .∵∠AOC=2∠AEC, .∠A0C=160°， 故选：D. 9.【答案】110 【解析】解：.四边形ABCD内接于⊙O, .∠ABC+∠ADC=180°' 第4页，共1页 .∠ABC=70° .∴.∠ADC=110o 故答案为：110°」 10.【答案】62 【解析】解：连接OC, .OB=OC,∠OBC=28°， .∴.∠OCB=∠OBC=28°， .∴.∠B0C=180°-∠OCB-∠OBC=124°， :∠A= 2 ∠B0C=62°， 故答案为：62 11.【答案】100 【解析】解：，四边形ABCD内接于⊙O, ∴.∠A+∠C=180o' .∠C=130 .∠A=50° 由圆周角定理得：∠BOD=2∠A=100°， 故答案为：100°」 12.【答案】V2 解：，AB是⊙O的直径， ∴.∠ADB=90°， 第5页， 共1页 C ,'∠DCB与∠DAB对应同一段弧BD, .∴.∠DCB=∠DAB=45°， ∴.∠ABD=90·-∠DAB=45, .∴.BD=AD=1, .AB=VA D2+BD2=2 故答案为：V2. 13.【答案】140 【解析】解：连接OB, ◇ ,∠BDC=20°， .∴.∠B0C=2×20°=40°， AB//OC, ∴.∠ABO=∠BOC=40(两直线平行， .OA=OB, .∴.∠A=∠AB0=40°（等边对等角， .∴.∠A0B=180°-40°-40°=100°， 内错角相等)， 第6页，共1页 .∴.∠A0C=100°+40°=140°. 故答案为：140°. 14.【答案】40 【解析】解：.DE是⊙O的直径， .∴.∠DAE=90o 四边形ABCD是内接于00'∠C=130: .∴.∠BAD=180°-∠C=180°-130°=50' .∴.∠BAE=∠DAE-∠BAD=90°-50°=40， 故答案为：40 15.【答案】【小题1】 如图，连接AE,.AB为直径，∴.∠AEB=90°. .E为BC的中点，∴.AE垂直平分BC,∴.AC=AB D A 【小题2】 连接BD,如图，.AB为直径，.∠ADB=90°， 第7页，共1页 在Rt△ABD中，AB=10'AD=6'.BD=VAB-AD=8 .'AC=AB=10,.∴.CD=AC-AD=10-6=4, 在Rt△BCD中，BC=VCD2+BD=V42+8=4V5 :E为BC边的中点，BE=BC=2V5. 16.【答案】【小题1】 .∠CAB=30°，∠B=60°，∴.∠ACB=180°-∠CAB-∠B=90°.又.A、B两点都在圆上， ∴.AB是圆的直径.又，O是AB的中点，∴.点O是圆心 【小题2】 :AC=AC'.∠D=∠B=60°.AB⊥CD:.∠DAE=90°-∠D=30° 17.【答案】【小题1】 .四边形ABCD内接于⊙O,∴.∠ABC+∠ADC=180°..∠ABC=60°， ∠ADC=120°.DB平分∠ADC,.∠ADB=∠CDB=60°.AB=ABBC=BC ∴.∠ACB=∠ADB=60°，∠BAC=∠CDB=60°.∴.∠ABC=∠ACB=∠BAC.∴.△ABC是等边 三角形 【小题2】 如图，过点A作AM⊥CD,交CD的延长线于点M.∴.∠AMD=90°..'∠ADC=120°， ∠MDC=180°，∴.∠ADM=60°.∴.在Rt△AMD中，∠DAM=30°.∴.易得 DM=2AD=1.AM=AD2-DM=3.:CD=3,∴CM=CD+DM=4.在R△AMC中， AC=VAM2+CM=V9.:△ABC是等边三角形，AB=AC=BC=V19△ABC的周长为 3V19 第8页，共1页 M 0 18.【答案】【小题1】 证明：.'AD平分∠BDF, ∴.∠ADF=∠ADB, .·∠ADF=∠ABC,∠ACB=∠ADB, .∠ABC=∠ACB,∴.AB=AC; 【小题2】 解：过点A作AG⊥BD,垂足为点G.可证Rt△AED≌Rt△AGD, AE=AG, 在Rt△AEC和Rt△AGB中，AB=AC, ∴.Rt△AEC≌Rt△AGB(HL),.∴.BG=CE, .BD=11,.∴.BG=BD-GD=11-2=9, ∴.CE=BG=9,.∴.CD=CE-DE=9-2=7. 19.【答案】【小题1】 .OB=OC,∠BCO=30°， .∠OBC=∠BC0=30°，∴.∠ADC=∠OBC=30°， CD⊥AB,∴.∠AED=90°，∴.∠A=90°-∠ADC=60°. 【小题2】 .:AB是⊙O的直径，CD⊥AB,CD=6V2, 第9页，共1页 .'GD=ED=2, CE-CD=3V2, 设OB=OC=r,则OE=BE-OB=6-r, 在Rt△0CE中，0E2+CE2=0C2,即(6-r2+(3V2}=r2, 解得r=4.5,∴.⊙0的半径为4.5 20.【答案】【小题1】 AB+AC=AD 解：如图，在AD上截取AE=AB,连接BE, .∠BAC=120°，AD平分∠BAC, .∠DBC=∠DAC=∠DCB=∠DAB=60°， ∴.△ABE和△BCD都是等边三角形，∴.AB=BE,BC=BD,∠ABE=60°， .∴.∠CBD-∠EBC=∠ABE-∠EBC,即∠DBE=∠ABC ∴.△BED≌△BAC(SAS),∴.DE=AC,.∴.AD=AE+DE=AB+AC. A B C EO D 【小题2) AB+AC=V2AD.证明如下： 第10页，共1页 如图，延长AB至点M,使BM=AC,连接DM, A 0 D M .四边形ABDC内接于⊙O,.∴.∠ABD+∠ACD=180°， .'∠ABD+∠MBD=180°，.∴.∠MBD=∠ACD .:AD平分∠BAC,∠BAC=90°，∴.∠BAD=∠CAD=45°，∴.BD=CD, 又.'BM=AC,.∴.△MBD≌△ACD(SAS),∴.MD=AD,∠M=∠CAD=45°， .∴.∠ADM=180°-∠M-∠DAM=180°-45°-45°=90°， ∴.△AMD是等腰直角三角形，∴.AM=V2AD,即AB+BM=V2AD,∴.AB+AC=V2AD. 第11页，共1页3.4圆周角同步练习 一、选择题： 1.如图，A,B,C三点在⊙0上，且∠B0C=100°，则∠A的度数为() A.40° B.50° C.80° D.100° y 2.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B=58°，∠ACD=40°，则C所对圆心角为() A.18° B.24° C.309 D.36% B 3.如图，点O为线段BC的中点，点A,C,D到点O的距离相等，若LABC=40°，则∠ADC的度数是() A.130° B.140° C.150° D.160° A D 4.如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，AB1CD,∠ADC=30°，则∠BOC=() A.30° B.45 C.60° D.75° 0 B 第1页，共5页 5.如图，四边形ABCD内接于⊙O,∠B=66°，AD=CD,连结AC,则LCAD的度数为() A.28 B.30° C.33° D.35° B 6.如图，AC为⊙O的直径，点B,D在⊙O上，∠ABD=60°，CD=2,则AD的长为() A.2 B.2√2 C.2W3 D.4 D B 7.如图，AC,BC为⊙0的弦，连接0A,OB,OC.若LA0B=40°，∠0CA=30°，则∠BC0的度数为() A.40° B.45° C.50° D.55° A 8.如图，⊙0是△ABC的外接圆，连接0A、0C,若LABC=100°，则∠A0C=()°. A.80 B.100 C.140 D.160 C B 二、填空题： 9.如图，己知四边形ABCD内接于⊙O,∠ABC=70°，则∠ADC的度数是 0 B 第2页，共5页 10.如图，△ABC是⊙0的内接三角形，若∠0BC=28°，则LA= B C 11.如图，四边形ABCD内接于⊙0，若∠C=130,则∠B0D的度数为 D 12.如图，AB是⊙0的直径，CD是⊙0的弦.若LDCB=45°，AD=1,则AB=· D 13.如图，点A,B,C,D在⊙0上，AB//0C,∠D=20°，则∠A0C=· B 14.如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，DE是⊙O的直径，连接AE,若LC=130°，则∠BAE= D 0 E 第3页，共5页 三、解答题： 15.如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交边AC,BC于点D,E,且E为BC边的中点. (1)求证：AC=AB; C (2)若AB=10,AD=6,求BE. D E 0 16.(本小题8分) 如图，△ABC内接于一圆，∠CAB=30°，∠B=60°，O是AB的中点，CD1AB于点E,交圆于点D. (1求证：点0是圆心： (2)求LDAE的度数， 0 17.如图，四边形ABCD内接于⊙O,∠ABC=60°，对角线DB平分∠ADC. (1)求证：△ABC是等边三角形： (2)若AD=2,DC=3,求△ABC的周长 0 第4页，共5页 18.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且AD平分LBDF,AE1CD于点E. (1)求证：AB=AC; (2)若BD=11,DE=2,求CD的长. 19.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E,连接AD,BC,CO. (1当∠BC0=30时，求∠A的度数. B (2)若CD=6V2,BE=6,求⊙0的半径. E D 20.已知△ABC内接于⊙O,∠BAC的平分线交⊙O于点D,连接DB,DC. A A B B D D 图① 图② (1)如图①，当LBAC=120时，请直接写出线段AB,AC,AD之间满足的等量关系：一· (2)如图②，当LBAC=90时，试探究线段AB,AC,AD之间满足的等量关系，并证明你的结论， 第5页，共5页