第一章 第3周 专项训练(勾股定理中的最短路径与折叠问题)-【全能练考卷】2026-2027学年八年级上册数学周末小卷（北师大版·新教材）

周未小卷周小卷、单元卷、期中卷、期末卷 第3周 专项训练（勾股定理中的 第一章 勾股定理 最短路径与折叠问题) ©时间：45分钟 答案：P5 勾股定理中的最短路径 1.如图，长方形操场ABCD的长AD为80m,宽AB为60m,恒恒站在点A处，足球在点C处，恒恒 要想检到足球，他最少应跑 （) A.60m B.80m C.100m D.140m D (第1题) (第2题) (第3题) 2.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5cm,3cm和1cm,A和B是两个相对的 端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物。若这只蚂蚁从顶点A出发，沿着表面爬 行到顶点B处，则最短的路线长为 痴 () A.17 cm B.13 cm C.12 cm D.9 cm 3.如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个半圆柱，中 间可供滑行部分的截面是弧长为18m的半圆，其边缘AB=CD=30m,点E在CD上，CE=6m。 若一位滑板爱好者从点A处出发滑到点E处，则他滑行的最短路程为 () 母 A.18m B.24m C.30m D.36m 4.如图，圆柱的底面周长是16cm,高是6cm,在它的外表面有一只蜘蛛（在点A处）和一只蚊子 曾 (在点B处)。若这只蜘蛛想去吃点B处的蚊子，则它需要爬行的最短路线的长是 cmo 蚂蚁 B蜂蜜 (第4题) (第5题) 5.如图，一个圆柱形玻璃杯高为11cm,底面周长为30cm,在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴 蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内 壁B处爬行的最短路线长（杯壁厚度不计）为 cmo 6.[中考新角度·分类讨论]如图，棱柱的底面是边长为4的正方形，侧面都是 B 长为8的长方形，D是BC的中点，在棱柱下底面的点A处有一只蜗牛，它想吃到 上底面点D处的食物，需要爬行的最短路程是s,则s的值为 7.[选材新风向·旋转楼梯]如图1，圆形旋转楼梯是以单柱为中心螺旋上升的 特色楼梯，因造型美观，空间利用率高，常用于室内外设计中。 (1)图2是抽象出来的一层圆形旋转楼梯的示意图，其扶手可近似看成是圆柱侧面上的一条螺 旋线，其中A,B为扶手的两端点。图3是该螺旋线所在圆柱面的侧面展开图，请在图3中画 出该扶手在展开图中的示意图。 (2)在(2)的条件下，抽象出来的这一层楼层高为3m,扶手所在圆柱的底面半径为。m,恒恒计 算出这一层圆形旋转楼梯的扶手长度不超过8，你觉得对吗？请说明理由。（π取3） 图1 图2 图3 8.[选材新风向·地域特色]临汾是帝尧之都，有着尧都之称。尧都华表柱身雕刻祥云与蟠龙， 这一建筑载体已成为中华民族历史悠久、文化灿烂的鲜明标志。如图，在底面圆周长为6m且带 有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方 (即从点A到点C,B为AC的中点)，每根华表刻有雕龙部分的柱身高约为16m,雕刻在石柱上 的雕龙至少长多少米？ 八年级·数学(BS)·上册5 勾股定理中的折叠问题 9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,折叠△ABC的一角，使点B与点A重合，展开后得 折痕DE,则BD的长是 E D (第9题) (第10题)》 (第11题)》 10.[中考新角度·翻折问题]如图，已知在长方形ABCD中，AB=3,BC=5。若把长方形ABCD 沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，则CF= 11.如图，有一块直角三角形纸片ABC,∠C=90°，AC=6cm,BC=8cm。现将直角边AC沿直线AD 折叠，使AC恰好落在斜边AB上，且点C与点E重合，则AB的长为 cm,CD的长为 cm。 12.如图，在△ABC中，∠A+∠C=45°，AC=5。将△ABC分别沿直线DE,FG折叠，使点A,C都与点 B重合。若AD=1,求DF的长。 D 6八年级·数学(BS)·上册 13.如图，在△ABC中，AC=8,BC=15,AB=17,D,E分别是边AB和边CB上的点。把△ABC沿着直 线DE折叠，使顶点B恰好落在边AC的中点B'上。 (1)试判断△ABC的形状，并说明理由； (2)求CE的长。 14.如图，将长方形纸片沿直线AE折叠，顶点D恰好落在边BC上的点F处。已知CE=3cm,AB= 8cm,求AD的长。 D的距离为5cmo 18.解：这辆货车不能通过这个大门。 理由如下： 如图，设BB'与长方形的宽的交点为E。 B 1 m 0.8m 2.3m A' B' 2m 因为AB=1m,AE=0.8m,∠AEB=90°， 所以BE2=AB2-AE2=12-0.82=0.36= 0.62,所以BE=0.6m, 所以BB'=BE+EB'=0.6+2.3=2.9(m)。 因为2.9<3.0， 所以这辆货车不能通过这个大门。 19.解：BD⊥DE。 理由如下：如图。 B 因为EC=24cm,DE=60cm, 所以CD=DE-EC=36(cm)。 因为BC=60cm,BD=48cm, 所以CD2+BD2=362+482=3600, BC2=602=3600, 所以CD+BD2=BC2, 所以△BDC是直角三角形，∠BDC=90°， 即BD⊥DE。 20.解：(1)在Rt△ABC中，AC=120m,AB= 200m, 所以BC2=AB2-AC2=2002-1202=1602, 所以BC=160m。 答：BC的长为160m。 (2)超速。理由如下： 小汽车在BC段的速度为w=8 160 =20(m/s), 20m/s=(20×3.6)km/h=72km/h。 因为72>70， 所以小汽车在BC段超速了。 第3周专项训练 1.C【解析】由题意，可知∠ABC=90°，BC= AD=80m。由勾股定理，得AC2=AB2+BC2= 100,所以AC=100m。 2.B【解析】台阶的展开图如图所示，连接 AB,标示点C。 因为AC=3×3+1×3=12(cm),BC=5cm,所 以在Rt△ABC中AB2=AC2+BC2=169=132, 所以AB=13cm,所以蚂蚁爬行的最短路线 长为13cm。 3.C【解析】如图，将半圆面展开，连接AE。 B 根据题意，得AD=18m,AB=CD=30m, DE=CD-CE=30-6=24(m)。在Rt△ADE 中，由勾股定理，得AE2=AD2+DE2=182+242= 302,所以AE=30m,所以他滑行的最短路程 为30m。 5 4.10【解析】如图，标示，点B正下方与点A 相对的一点C,作出圆柱的侧面展开图，连 接AB,BC,其中BC⊥AC。 夕 由题意可知，AC=2×16=8(cm),BC= 6cm,所以蜘蛛需要爬行的最短路线是AB。 由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=82+62= 102,所以AB=10cm,所以蜘蛛需要爬行的 最短路线的长是10cm。 方法点拨 “化曲为直”求几何体上最短路线长：解 这类题的关键就是应用转化思想，将空 间问题转化为平面问题，把曲面转化为 平面，把曲线转化为直线。连接起点与 终点所得到的线段作为三角形的一条 边，从而构造直角三角形，然后利用勾股 定理求出最短路线的长。 5.17【解析】如图，将该圆柱的侧面（局部） 展开，并标示字母E,F,作点A关于直线EF 的对称，点A',连接A'B,则A'B的长即为最 短距离。 过，点A'作A'D⊥BE,交BE的延长线于点 则A'D=)×30=15(cm),BD=11- 2=8(cm), 在Rt△A'DB中，由勾股定理，得A'B2=152+ 82=172,所以A'B=17cm。 6.10【解析】分三种情况讨论： 6 ①展开棱柱正面与右面，如图1所示。 因为棱柱的底面是边长为4的正方形，侧面 都是长为8的长方形，D是BC的中点，所以 BD=2,所以AD2=82+(4+2)2=100=102,所 以AD=10。 ②展开棱柱正面与上面，如图2所示， 此时AD2=42+(8+2)2=116。 ③展开棱柱左面与上面，如图3所示， 此时AD2=22+122=148。 因为100<116<148， 所以需要爬行的最短路程s的值是10。 BD C B 图1 图2 图3 解题大招 求立体图形上最短路线的一般步骤： (1)将立体图形展开为平面图形。展开 时注意：①只需展开包含相关点的面； ②可能会存在多种展开方法，需要分类 讨论。 (2)确定相关点的位置。 (3)连接相关点，构造直角三角形。 (4)利用勾股定理求解，并确定最小值。 7.解：(1)如图，标示B,连接AB,则线段AB即 为所求。 A - (2)我觉得恒恒的计算正确。 理由如下：如图，标示D。 7 根据题意，得AD=2×3×6=7(m),BD= 3 mo 在Rt△ADB中，由勾股定理，得AB2=AD+ BD2=58。因为82=64,58<64， 所以该扶手长度不超过8m, 即恒恒的计算是正确的。 8.解：如图，把圆柱的侧面展开后是一个长方 形，雕龙把大长方形均分为2个小长方形， 则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个 小长方形的对角线的和。 B B A 因为石柱的底面圆周长为6m,柱身高约为 16 m,E BB'=AA'=6 m,AC=16 m, 所以4AB=4C=2×16=8(m。 在Rt△ABB'中，AB2=BB2+AB2=62+82= 102,所以AB'=10m, 所以雕刻在石柱上的雕龙至少长10×2= 20(m)。 9. 25 【解析】设BD=x,则CD=BC-BD=8- x。由折叠的性质可知，AD=BD=x。在 Rt△ACD中，∠C=90°，AC=6,所以AC2+ CD2=AD,则62+(8-x)2=2,解得x=25,即 4 加的长光空 方法点拨 折叠问题中的解题技巧： (1)根据折叠前后的图形是全等形，实现 线段、角的转化； (2)折痕常作为“角平分线”使用； (3)在折叠后形成的新直角三角形中利 用勾股定理列方程是求解的关键。 1017 【解析】由折叠的性质可知，AF=CF。 设AF=CF=x,则BF=5-x。在Rt△ABF 中，AB2+BF2=AF2,所以32+(5-x)2=x2,解 得x=即CF号 17 11.103【解析】因为在Rt△ABC中，AC= 6cm,BC=8cm,所以AB2=AC2+BC2=62+ 82=102,所以AB=10cm。由折叠的性质， 得AE=AC=6cm,所以EB=AB-AE=10- 6=4(cm)。 设CD=xcm,则BD=(8-x)cm,DE=xcm, 在Rt△BED中，由勾股定理，得BE2+DE2= BD2,即42+x2=(8-x)2,解得x=3,即CD= 3 cmo 12.解：因为∠A+∠C=45°，所以∠ABC=180°- 45°=135°。 由折叠的性质得，BD=AD=1,CF=BF, ∠ABD=∠A,∠FBC=∠C, 所以∠DBF=∠ABC-∠ABD-∠FBC=90°。 设DF=x,则BF=CF=AC-AD-DF=5-1- x=4-x, 所以在Rt△DBF中，BD2+BF2=DF2, 即12+(4-x)2=x2, 8,即Dr=17 解得x= 8 13.解：(1)△ABC是直角三角形。 理由如下：因为82+152=289=172， 即AC2+BC2=AB2, 所以△ABC是直角三角形。 (2)因为点B'恰好落在边AC的中点上， 1 所以B'C=AC=4。 设CE=x。 由折叠的性质，得BE=B'E=BC-CE=15-x。 在Rt△B'CE中，BC2+CE2=B'E2, 所以42+x2=(15-x)2, 解得x=209 30’ 即CE的长为30。 .209 14.解：由题意，得∠B=∠C=∠D=90°，AB= CD=8cm,AD=BC。 因为EC=3cm, 所以DE=DC-EC=8-3=5(cm)。 由折叠的性质，知DE=EF=5cm,AD=AF, 在Rt△ECF中，由勾股定理， 得CF2=EF2-CE2=52-32=42, 所以CF=4cm。 设AD=AF=xcm,则BF=BC-CF=(x-4)cm。 在Rt△ABF中，由勾股定理， 得AB2+BF2=AF2, 所以82+(x-4)2=x2, 解得x=10, 即AD的长为10cm。 第一章单元过关检测卷 1.C【解析】勾股数是三个正整数，且满足两 个较小数的平方和等于最大数的平方。 选项A,12+22=5,32=9,5≠9，不是勾股数， 不符合题意；选项B,42+52=41,62=36, 41≠36，不是勾股数，不符合题意；选项C, 62+82=36+64=100,102=100,所以62+82= 10,且三个数都是正整数，故这组数是勾股 数，符合题意；选项D,7+82=113,92=81, 113≠81，不是勾股数，不符合题意。 (方法点拨 判断三个数是否为勾股数的方法 这三个数是否 否 都为正整数 是 确定最大数 是幻股数 较小两数的平方和是 否 否等于最大数的平方 是 是勾股 2.C【解析】由题意，知AB2=AC2-BC2= 1002-802=602,所以AB=60m。 3.D【解析】因为(a-b)(a2+b2-c2)=0, 所以a=b或a2+b2=c2。 当a=b时，△ABC是等腰三角形； 当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形。 4.B【解析】由勾股定理，得a2+b2=152=225。 因为b-a=3,所以b2-2ab+a2=9, 所以225-2ab=9,所以ab=108, 所以每个直角三角形的雨积为了山=× 108=54。 5.D【解析】选项A,若∠A-∠B=∠C,则∠C+ ∠B=∠A=90°，所以△ABC是直角三角形， 说法正确；选项B,若a2=b2-c2,则a2+c2= b2,所以△ABC是直角三角形，说法正确；选 项C,若a:b:c=5:12:13,不妨设a= 5k,b=12k,c=13k,则a2+b2=c2,所以△ABC 是直角三角形，说法正确；选项D,若a2+b2= c2,则△ABC是直角三角形，说法不正确。 6.D【解析】因为E为AC的中点，AE=8,所 以AC=2AE=16。因为D为BC的中点， BD=10,所以BC=2BD=20。在Rt△ABC 中，∠A=90°，所以AB2=BC2-AC2=202-162= 122,所以AB=12。 7.C【解析】因为在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=8,BC=6,所以AB2=62+82=100=102, 所以AB=10。以AC为直径的半圆面积为 -=8π，以BC为直径的半圆面积为 2 mx())}9] 2 =2m,以AB为直径的半圆面积为 ,102 (2 25 6×8 2 =2m,Rt△MBC的面积为 2 24,所以“希波克拉底月牙”的面积是8π+