第一章 方法技巧专题 勾股定理与面积问题&思想方法专题 勾股定理中的方程思想（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年八年级上册数学（北师大版·新教材）

方法技巧专题 勾股 类型1利用割补法求面积 1.一块地如图所示，已知 AB=8 m,BC=6 m, ∠B=90°，AD=26m, CD=24m,则这块地的面积为 m2. 2.如图，某小区计划对临街直角转弯处进行改 造，设计了一块绿化地（四边形ABCD),在 点D处放置一座雕像.已知AB=3m,BC= 4m,CD=13m,AD=12m,求这块绿化地 的面积 街 住宅 B街道C 类型2利用“勾股树”求面积（教材P20复习 题T3变式) 基本模型：如图，沿着直角三角形的三边向外作正方 形、半圆、等腰直角三角形、等边三角形 结论：S1十S2=S3 3.如图，以Rt△ABC的两直角边为边向外分 别作两个正方形，以Rt△ABC的斜边为直 径向外作半圆.若半圆的面积为8π，则两个 正方形的面积之和为 9数学八年级上册配BSD版 定理与面积问题【热点】 S B (第3题图) (第4题图) 4.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD= 90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个 正方形.若S1十S4=135,S3=49,则S2的值 为 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以各 边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上 称为“希波克拉底月牙”.如果AC=3,BC= 4,那么阴影部分的面积为 S (第5题图) (第6题图) 6.规律探究新趋势如图，正方形ABCD的边长 为a,其面积为S1,以CD为斜边作等腰直角 三角形，并以该等腰直角三角形的一条直角 边为边向外作正方形，其面积为S2…按照 a2 此规律继续下去，若S。=2,则n的值为 类型3利用“赵爽弦图”求面积 7.数学文化新趋势“赵爽弦图”巧 妙利用面积关系证明了勾股定 理.如图所示的“赵爽弦图”是 由四个全等的直角三角形和中间的小正方 形拼成的一个大正方形.设直角三角形的两 条直角边长分别为m,n(m>n).若大正方形 的面积为10，(m十n)2=16,则小正方形的面 积是 思想方法专题勾股定 类型1单勾股列方程 方法点拨：单勾股列方程：在同一个三角形中，已知 一边长和另外两边之间的关系，据此关系设未知数， 并分别表示出另外两边长，利用勾股定理构造方程 解题， (一)非折叠问题 1.数学文化新趋势《西江月》中描述：平地秋千 未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺 板高离地….翻译为：如图，秋千OA静止 的时候，踏板离地高一尺(AC=1尺)，将它 往前推进两步(EB=10尺)，此时踏板升高， 离地五尺(BD=5尺)，求秋千绳索OB的长. (二)折叠问题（教材P13“尝试·思考”变式） 2.如图，在长方形纸片ABCD中，AB=6,AD= 18,将此长方形纸片折叠，使点D与点B重 合，点C落在点H的位置，折痕为EF,则 BE的长为 A.6 B.10 C.24 D.48 (第2题图) (第3题图) 3.如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB=90°， BC=3,AB=5,D是BC边上一点，连接 AD,把△ABD沿AD翻折，点B恰好落在 AC延长线上的点B处，则CD的长为 理中的方程思想【热点】 4.如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸 片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上 的点B'处，点A的对应点为点A',且BC= 3,则CN的长是 A A B (第4题图) （第5题图) 类型2双勾股列方程 方法点拨：双勾股列方程：当两个直角三角形具有公共 边或相等的边时，利用其为中间桥梁构建方程（如图） AB2-BD2=AC2-CD2 5.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,AB= 17,AC=10.若BC=21,则CD的长为. 6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC上 一点.若AB=8,AD=BD=5,则CD的长 为 B D B (第6题图)（变式题图）（第7题图） 【变式题】如图，在△ABC中，AB=20,AC= 15,BC=7,则点A到BC的距离为 7.钓鱼情境化如图，露在水面上的鱼线BC 的长为6m,钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把 鱼杆AC转动到AC'的位置，此时露在水面 上的鱼线B'C的长为8m.若BB的长为 2m,则钓鱼杆AC的长为 m. 第一章勾股定理10参考答案 第一章勾股定理 1探索勾股定理 第1课时认识勾股定理 1.B2.C3.12 4.解：(1)c2=a2+6=52+122=169,所以c=13.(2)6=c2-a2=252-72=576,所以 b=24.(3)由题意，得c=a十8.因为c2=a2+b,所以(a十8)2=a2+162,解得a=12.所 以c=a+8=20. 5.解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2=AC+BC=152+202=625,所以AB =25.(2)因为Saa=合AB·CD=7AC·BC,即号×25CD=合×15×20，所以CD =12 6.B7.A8.25或79.D10.C11.D12.2 13.解：在Rt△ABD中，由勾股定理，得AB2一BD2=AD.在Rt△ACD中，由勾股定 理，得AC-CD2=AD2.所以AB2-BD2=AC2-CD,即252-BD2=172-(28- BD)2.所以BD=20.所以AD2=AB2-BD2=252-202=225,所以AD=15.所以 SAe=2BC·AD=号×28X15=210. 14.解：(1)S=S+S.理由如下：易得三个半圆的面积分别为S=答AB,S,= 零BC,S,=AC,在R△ABC中，由勾股定理，得AB=BC十AC,所以令AB= 晋BC+AC,所以S=S:+S.(2)17 第2课时勾股定理的验证及其简单应用 1.1a+bc(2)(a+b2合bx4+e(3)(a+b=bx4+e&2+8=C 2.43.2.44.1500 5.解：这辆轿车违章了.理由如下：由题意可知，AB=50m,AC=30m.在Rt△ABC中， 由勾股定理，得BC=AB2-AC=502-302=1600,所以BC=40m.所以这辆轿车的 速度为40÷2=20(m/s)=72(km/h).因为72>70，所以这辆轿车违章了. 6.解：因为CD⊥AB,所以∠D=90°.在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD2=BC一CD =202-162=144,所以BD=12m.在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2=AC-CD =342-162=900,所以AD=30m.所以AB=AD-BD=18m.答：点A,B之间的距 离为18m. 7.D8.7 9.解：连接BF.因为AC=b,所以SE方形AcDE=b.由题意，得CD=DE=AC=b,EF= BC=a,所以BD=CD-BC=b-a,DF=DE+EF=b+a.因为∠CAE=90°，所以 ∠BAC+∠BAE=90°.因为∠BAC=∠EAF,所以∠EAF+∠BAE=90°.所以△BAF 为等膜直角三角形.所以Ssmp=SABr十SAr=合C十号(6一a)6叶a）=合2十 之(6-a2).因为SEae=Sr,所以=合e+合心-c).所以d+8=已. 10.解：(1)过点B作BC⊥AD于点C.由题意，易得BC=ED=15m,BE=CD=1.6m.在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理，得AC=AB2-BC=172-152=64,所以AC =8m.所以AD=AC十CD=9.6m.答：风筝离地面的垂直高度AD为9.6m.(2)风筝 沿DA方向再上升12m后，AC=8+12=20(m),此时，AB2=AC+BC=202+152= 625,所以此时风筝线AB的长为25m.所以25一17=8(m).答：小明应该再放出8m线. 一1 2一定是直角三角形吗 1.A2.B3.244.等腰直角 5.解：由勾股定理，得AB2=22+32=13,BC2=42+62=52,AC2=42十72=65.因为 AB2+BC=65,所以AB2+BC2=AC.所以△ABC为直角三角形. 6.解：(1)△ABD是直角三角形.理由如下：因为BC=24cm,AD为中线，所以BD= CD=12cm.因为AD2+BD2=52+122=169,AB2=132=169,所以AD2+BD2= AB.所以△ABD为直角三角形，且∠ADB=90°.(2)因为∠ADB=90°，所以AD⊥ BC.又因为BD=CD,所以AC=AB=l3cm. 7.B8.6和10（或15和17）9.C.10.B11.45 12.解：因为AB⊥BC,所以∠B=90°.在Rt△ABC中，AC=AB2+BC=92+122= 225,所以AC=15cm.因为CD2+AC=82+225=289,AD2=172=289,所以CD2+ AC2=AD2.所以△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°.所以S四边形ABCn=S△ABc十 Saw=2AB·BC+2AC.CD=2×9X12+号×15X8=14(cm). 13.解：(1)连接CE.因为D是BC的中点，DE⊥BC,所以CE=BE.因为BE-AE= AC,所以CE一AE=AC,即AE十AC=CE2.所以△ACE是直角三角形，且∠A= 90°.(2)因为D是BC的中点，所以BC=2BD=10.由(1)知∠A=90°，所以AB=BC 一AC=64.所以AB=8.设AE=x,则CE=BE=8-x.在Rt△ACE中，由勾股定理， 得AE十AC=CE,即2十6=(8-P,解得x=子，所以AE=子 14.解：(1)n2-12nn2+1(2)以a,b,c为边长的三角形是直角三角形.证明如下： 因为a2+b2=(n2一1)2+(2n)2=n4+2n2+1,c2=(n2+1)2=n4+2n2+1,所以a2+b =c2.所以以a,b,c为边长的三角形是直角三角形。 3勾股定理的应用 1.D 2.解：因为CD⊥AB,所以∠CDB=∠CDA=90°，在Rt△CDB中，BD=BC-CD2= 81,所以BD=9.在Rt△ACD中，AD2=AC一CD2=256,所以AD=16.所以AB=AD +BD=25.因为AB2=252=625,AC+BC=202+152=625,所以AB2=AC+BC. 所以△ABC是直角三角形. 3.B4.C 5.解：(1)(x十1)(2)在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC+AB2=AC,即52+x2= (x+1)2,解得x=12.答：旗杆AB的高度为12m. 6.D7.B8.2.9 9.解：设BD=xm,则AD=4十8-x=12一x(m).在Rt△ACD中，由勾股定理，得 AD=AC2+CD2,即(12-x)2=82+(4+x)2,解得x=2.所以BD=2m.所以CD= BC十BD=6m.答：这棵树的高度为6m. 10.解：(1)海港C受台风影响.理由如下：过点C作CD⊥AB 于点D.因为AC+BC=3002+4002=250000,AB2=5002= 250000,所以AC+BC=AB.所以△ABC是直角三角形， A B 且∠ACB=90.因为SaC=号AB·CD=合AC·BC,所以 CD=AC:BC=240km.因为240<250，所以海港C受台风影响.(2)如图，设当台风 AB 中心移动到E,F处时正好影响海港C,则EC=FC=250km.因为CD⊥EF,所以EF =2ED.在Rt△ECD中，由勾股定理，得ED2=EC-CD2=2502-2402=4900,所以 ED=70km.所以EF=2ED=140km.所以140÷20=7(h).答：台风影响该海港持续 的时间为7h. 2 方法技巧专题勾股定理与面积问题【热点】 1.96 2.解：连接AC.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2=AB2十BC2=32十42=25，所以 AC=5m.因为AC2+AD2=52+122=169,CD2=169,所以AC2+AD2=CD2.所以 △ADC是直角三角形，且∠CAD=90.所以Sa#Am=S6x十Sac=号AB·BC 十合AD·AC=合×3×4+号×12×5=36(m).答：这块绿化地的面积是36m. 3.644.865.66.20267.4 思想方法专题勾股定理中的方程思想【热点】 1.解：设OA=OB=x尺.因为EC=BD=5尺，AC=1尺，所以EA=EC-AC=4尺， OE=OA一EA=(x-4)尺.在Rt△OEB中，由勾股定理，得OB=OE十EB,即x2= (x-4)2+102,解得x=14.5.所以OB=14.5尺.答：秋千绳索OB的长为14.5尺. 2.B3.号445.66号【变式题127.10 问题解决策略：反思 【趣味情境引人】解：如图，作点B关于直线的对称点B,连接 AB,与直线l交于点C,则点C就是饮马处，此时所走的路程之和 最短. 1.1302.53.134.17 【拓展变式】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作点B关于E℉的对B: D 称点B',作BD⊥AE,交AE的延长线于点D,连接AB,则 AB的长即为蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程.由 题意，得DE=合BB'=1cm,AE=9-4=5(cm),所以AD= AE十DE=6cm因为玻璃杯的底面周长为16cm,所以BD=子×16=8(cm).在 Rt△ADB'中，由勾股定理，得AB2=AD2十B'D2=62+82=100.所以AB=10cm. 答：爬行的最短路程为10cm. 1.252.203.54.255.100 第一章章末复习 思维导图 a2十b2=c2a2十b2=c2正整数 考点整合 1.C2.B3.A4.3526子 7.解：(1)设AB=xdm,则BC=(16-x)dm.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2+ BC2=AB2,所以82+(16一x)2=x2,解得x=10.所以AB=10dm.所以AB十AC=10 +8=18(dm).答：绳子的总长度为18dm.(2)若物体C升高7dm,则此时AB=10十7 =17(dm).在Rt△AB'C中，由勾股定理，得B'C2=AB-AC=172-82=225,所以 B'C=15dm.由(1)，得BC=16-10=6(dm),所以BB=B'C-BC=9dm.答：滑块B 向左滑动的距离为9dm, 8.C9.B10.A 11.解：(1)ADLBC.理由如下：因为AD2+CD=122+52=169,AC2=132=169,所以 AD2十CD=AC.所以△ACD是直角三角形，且∠ADC=90°.所以AD⊥BC.(2)因为 AD⊥BC,所以∠ADB=90°.在Rt△ABD中，BD2=AB2-AD2=152-122=81,所以 BD-=9m所以5aAo=合BD·AD=合×9X12=54(m).所以50X54=270(元). 答：需花费2700元. 3